Полигоны и частичные полигоны над полурешетками Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 512.579

ПОЛИГОНЫ И ЧАСТИЧНЫЕ ПОЛИГОНЫ НАД ПОЛУРЕШЕТКАМИ

Т. В. Апраксина, М. Ю. Максимовский

Московский государственный институт электронной техники (ТУ), кафедра высшей математики 1

E-mail: [email protected], [email protected]

Рассматриваются полигоны и частичные полигоны над полурешетками. Получено необходимое и достаточное условие того, что данное упорядоченное множество X является полигоном над полурешеткой. Изучены свойства частичных полигонов над полурешетками и получено достаточное условие продолжаемости частичного полигона X над полурешеткой S до полного полигона.

Ключевые слова: полигон, частичный полигон, полурешетка.

Acts and Partial Acts over Semilattices T. V. Apraksina, M. Yu. Maksimovskiy

Moscow Institute of Electronic Technology,

Chair of Higher Mathematics 1

E-mail: [email protected], [email protected]

We consider the acts and the partial acts over semilattices. We obtain a necessary and sufficient condition to be a partially ordered set X an act over a semilattice. The properties of partial acts are investigated and a sufficient condition is found for the expansion of partial act X over a semilattice S to a full S-act.

Key words: act, partially act, semilattice.

Полигоном над полугруппой S (см. [1]) называется множество X вместе с отображением X х S ^ X, (x, s) ^ xs, причем x(st) = (xs)t при всех x е X, s,t е S. Частичный полигон — это множество X, для которого задано частичное отображение X х S ^ X, причем для любых x е X, s,t е S произведения x(st) и (xs)t существуют или не существуют одновременно и x(st) = (xs)t в случае, если оба этих выражения существуют. Частичный полигон является частичной универсальной алгеброй (см. монографию [2]). Полигон над полугруппой является алгебраической моделью автомата (см. [3]); здесь элементы множества X — состояния, а S — входные сигналы. Частичный полигон можно интерпретировать как автомат, удовлетворяющий условию: если произведение xs не определено, то автомат, находясь в состоянии x и получив на вход сигнал s, прекращает работу.

В ряде работ исследовались полигоны над полугруппами, имеющими несложное строение. Так, в статье [4] были полностью описаны в теоретико-множественных и теоретико-групповых терминах все полигоны над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами. В [5, 6] были изучены полигоны над полурешетками (коммутативными полугруппами идемпотентов) и важным частным случаем полурешеток — цепями. Цель данной работы — продолжить исследования полигонов над полурешетками и цепями и распространить их на частичные полигоны.

© Апраксина Т. ВМаксимовский М. Ю2012

3

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1

Полурешеткой мы, как обычно, называем частично упорядоченное множество (в дальнейшем — просто упорядоченное множество), в котором любое двухэлементное подмножество имеет точную нижнюю грань. Известно (см. [7]), что полурешетку можно рассматривать как коммутативную полугруппу идемпотентов, в которой операция определяется по формуле a ■ b = inf (a, b} и, наоборот, коммутативная полугруппа идемпотентов является полурешеткой, если порядок определить по формуле a < b ^ ab = a.

При рассмотрении полигонов X над полугруппой S удобно считать, что к полугруппе S добавлена единица 1 (даже если S уже имела единицу) и x ■ 1 = x при всех x е X. Положим S1 = S U (1}.

Для упорядоченного множества X и элемента x е X нижний конус xv определяется следующим образом: xv = (у е X|у < x}. Упорядоченное множество X называется связным, если для любых x, у е X существует последовательность элементов xo,x1,...,xn е X такая, что xo = x, xn = у и (xi+1 < xj) либо (xj < xi+1) при i = 0,1,... ,n — 1. Нетрудно проверить, что всякое упорядоченное множество является объединением попарно не пересекающихся связных подмножеств (компонент связности).

В работе [5] было доказано, что полигон X над полурешеткой S является частично упорядоченным множеством относительно порядка

x < у x е yS1. (1)

Естественно возникают две задачи:

(А) для данной полурешетки S описать полигоны над S;

(Б) найти условия, при которых данное упорядоченное множество X является полигоном над некоторой полурешеткой.

Задача (А) была решена в [5] для случая, когда S — конечная цепь. Что касается задачи (Б), то в [5] были найдены необходимые условия на упорядоченное множество X, чтобы оно могло быть полигоном над какой-либо полурешеткой. А именно имеет место

Предложение 1 [5, предл. 2 и 3]. Если X — полигон над полурешеткой, то:

(a) для любого x е X нижний конус xv является полурешеткой;

(b) для любых x, у е X, если x и у лежат в одной компоненте связности, то существует такое z, что z < x, у.

Нетрудно показать, что из (a) следует (b) для любого упорядоченного множества X. Однако условие (a) (а начит, и (b)) не является достаточным для того, чтобы упорядоченное множество X было полигоном над некоторой полурешеткой. Необходимое и достаточное условие этого будет приведено нами ниже.

Обозначим через T(X) полугруппу всех преобразований множества X, т. е. отображений а : X ^ X, умножающихся по правилу x(a^) = (xa)e при x е X, а, в е T(X). Пусть X — упорядоченное множество. Обозначим через Ф^) множество отображений ^ : X ^ X, удовлетворяющих условиям:

(I) V x, у е X x < у ^ x^ < у^ (т. е. ^ изотонно);

(II) V x е X x^ < x (^ — уменьшающее);

(III) ^ (^ — идемпотентное);

(IV) V x, у е X (x = x^ & у < x ^ у = у^).

Заметим, что условия (I)-(III) означают, что ^ является оператором замыкания на двойственном упорядоченном множестве X* = (X, >), а условие (IV) — тот факт, что множество замкнутых элементов стабильно относительно взятия в X* мажоранты.

Лемма 2. ^0 = 0^ для любых ^,0 е Ф^).

Доказательство. Пусть x е X и ^,0 е Ф^). Из условия 2 следует, что x^0 < x^. Так как (x^)^ = x^ (ввиду (III)), то из (IV) мы получаем, что x^0^ = x^0. Отсюда, учитывая (I) и (II), получим: x^0 = x^0^ < x0^. Таким образом, x^0 < x0^. Аналогично получается, что x0^ < x^0. Следовательно, x0^ = x^0. Ввиду произвольности элемента x е X получаем, что ^0 = 0^. □

Следствие 3. Для любого частично упорядоченного множества X множество Ф^) является коммутативной полугруппой идемпотентов.

Доказательство. Используя лемму 2, можно показать, что ^0 е Ф^) для любых ^,0 е Ф(X). □

Очевидно, полугруппа Ф(Х) является подполугруппой полугруппы Т(X). Пусть X — полигон над полугруппой Б. Будем говорить, что Б действует на X эффективно, если

V з, £ Є Б (з = £ ^ 3 х Є X (хз = х£)).

Теорема 4. Пусть X — упорядоченное множество. Тогда X является полигоном над некоторой полурешеткой в том и только том случае, если

Доказательство. Пусть X — полигон над полурешеткой S. Возьмем элементы x, у е X такие, что x < у. По определению порядка в X мы имеем: x = ys при некотором s е S. Несложно проверить, что отображение ^s : X ^ X, x ^ xs удовлетворяет условиям (I)-(IV), поэтому ^s е Ф^). Так как x = у^, то выполняется условие теоремы 4.

Докажем теперь обратное утверждение. Пусть для упорядоченного множества X выполнено условие (2). По следствию 3 Ф^) — полурешетка. Обозначим через 1х тождественное отображение x ^ x при всех x е X. Очевидно, 1х удовлетворяет условиям (I)-(IV), поэтому 1х е Ф^). Так как Ф(X) — подполугруппа полугруппы T(X), то множество X является полигоном над полурешеткой Ф^). Осталось проверить, что первоначальный частичный порядок на X совпадает с порядком, определенным по формуле (1). Действительно, если x < у, то, ввиду условия (2), x = у^ при некотором ^ е Ф^). Наоборот, если x е уФ^), то, ввиду условия (2), x = у^ при некотором ^ е Ф^), а значит, x = у^ < у. □

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что если упорядоченное множество X является полигоном над какой-нибудь полурешеткой, то оно является полигоном над полурешеткой Ф^). Таким образом, Ф^) в этом случае является максимальной полурешеткой, действующей эффективно на X. (Здесь максимальность понимается по включению, так как все полурешетки, эффективно действующие на X, можно считать подмножествами множества T(X)).

Рассмотрим теперь случай, когда упорядоченное множество X само является полурешеткой. Для каждого a е X обозначим через <^а отображение X ^ X, определенное правилом x^a = inf(x, a}

Теорема 5. Если X — полурешетка, то отображение / : X ^ Ф^), а/ = , является

вложением полурешеток.

Доказательство. Легко проверяется, что отображение / является гомоморфизмом полурешеток X и Ф^). Кроме того, очевидно, что если а = Ь при а, Ь Є X, то = фъ, так как Ф^) действует

Назовем полурешетку X направленной, если для любых x, у е X найдется элемент z е X такой, что z > x, у. В частности, направленными полурешетками являются всякая решетка и всякая цепь. Нетрудно привести пример, показывающий, что не всякая направленная полурешетка является решеткой.

Будем говорить, что упорядоченное множество удовлетворяет условию максимальности, если любое непустое его подмножество имеет максимальный элемент.

Теорема 6. Пусть X — направленная полурешетка с условием максимальности. Тогда отображение f : X ^ Ф^), af = <^а, является изоморфизмом полурешеток X и Ф^).

Доказательство. Заметим вначале, что в направленной полурешетке с условием максимальности всегда существует наибольший элемент. Обозначим его через u. Покажем, что для любого ^ е Ф^) имеет место равенство x^ = xa для некоторого a е X. Если ^ = 1х, то ^ = ^u. Пусть ^ = 1х• Тогда найдется элемент у е X такой, что у^ = у. Имеем: у^ < у, (у^)^ = у^. Ввиду условия максимальности существует максимальный элемент a е X такой, что a^ = a. Покажем, что x^ = xa для всех x е X. Возможны три случая.

(a) у > a. Тогда у^ > a^ = a. Но элемент у^ неподвижный (т. е. у^ = у^), значит, у^ < a (ввиду максимальности элемента a). Таким образом, у^ = a = inf (у, a} = у ■ a.

(b) у < a. Тогда у^ = у = у ■ a.

(c) у и a не сравнимы. Так как X — направленная полурешетка, то найдется элемент z е X такой, что z > a, у. Имеем: z > a, a^ = a. Отсюда z^ > a^ = a. Так как элемент z^ неподвижный и z^ > a,

V x, y Є X (x < y ^ 3 ^ є Ф(Х) (x = y^)).

(2)

(x Є X).

эффективно на X.

□

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1

а0

«1

«2

то z^ = a ввиду максимальности элемента a. Далее, так как у < z, то у^ < z^ = a. Таким образом, у^ < у, a. Осталось показать, что у^ = inf (у, a}. Предположим, что с е X — такой элемент, что с < a

и с < у. Покажем, что с < у^. Так как с < a, b, то с^ = с. с^ < у^, значит, с < у^. □

Сделаем несколько замечаний относительно направленных полу-решеток. Очевидно, что если X — полная направленная полурешетка с условием максимальности, то X — решетка. В частности, конечная направленная полурешетка является решеткой. Для бесконечных полурешеток это неверно: полурешетка, изображенная на рисунке является направленной и удовлетворяет условию максимальности, но решеткой не является, так как не существует sup(b, с}.

Если отказаться от требования направленности, то теорема 6 перестает быть верной. Например, для полурешетки X = (1, 2, 3}, 3 < 1, 3 < 2 мы имеем:

d

Направленная полурешетка не являющаяся решеткой

Ф(х) = {(1 2 3 ) , ( 1 2 3 ) , ( 1 2 3 ) , ( 1 2 3 )},

У Ц 1 2 ^ \1 3 3/Д3 2 ^ \3 3 3^]

поэтому X и Ф(Х) не изоморфны.

Перейдем теперь к частичным полигонам.

Предложение 7. Пусть X — частичный полигон над полурешеткой Б. Положим

х < у ^ х = у или х = ув при некотором в е Б. (3)

Тогда (X, <) — упорядоченное множество.

Доказательство. Рефлексивность отношения < очевидна. Пусть х < у и у < г. Тогда х = у£, у = гв при некоторых в,£ е Б1. Отсюда получаем: х = (гв)£. Следовательно, существует произведение г(в£) и х = г(в£). Это означает, что х < г. Наконец, пусть х < у и у < х. Тогда х = ув, у = х£ при некоторых в,£ е Б1. Отсюда получаем: х = ув = (х£)в = х(£в) = х(£2в) = х(£в£) = ((х£)в)£ = (ув)£ = = х£ = у. □

Предложение 8. Пусть X — частичный полигон над полурешеткой Б. Тогда:

(I) если х е X, в, £ е Б таковы, что в < £ и существует хв, то существует и х£;

(II) если существует хв и у > х, то существует и ув;

(III) если хв = х и у < х, то ув = у;

(IV) если х < у и существуют хв и ув, то хв = ув.

Доказательство. (I) Имеем: в£ = £в = в. Так как существует хв, то хв = х(£в) = (х£)в, поэтому существует х£.

(II) Так как у > х, то х = у£ при некотором £ е Б1. Имеем: хв = (у£)в = у(£в) = у(в£) = (ув)£, поэтому существует ув.

(III) Пусть хв = х и у < х. Тогда у = х£ при некотором £ е Б1. Имеем: у = х£ = (хв)£ = х(в£) = = х(£в) = (х£)в = ув.

(IV) Имеем: х = у£ при некотором £ е Б1. Следовательно, хв = (у£)в = у(£в) = у(в£) = (ув)£,

поэтому хв < ув. □

В теории частичных алгебраических операций важное место занимает вопрос о продолжении частичной операции до полной. Пусть X — частичный полигон над полугруппой Б. Мы будем говорить, что этот частичный полигон продолжается до полного, если частичное отображение X х Б ^ X продолжается до обычного отображения X х Б ^ X и выполняется аксиома полигона (хв)£ = х(в£).

Предложение 9. Пусть X — частичный полигон над полурешеткой Б. Будем рассматривать X как упорядоченное множество относительно порядка (3). Если для каждого х е X нижний конус ху является полурешеткой, то для любых х, у е X, лежащих в одной компоненте связности, и любого в е Б произведение хв определено тогда и только тогда, когда ув определено.

Доказательство. Пусть существует хв. Так как хв и у лежат в одной компоненте связности, то по предложению 1 существует г < хв,у. Так как хв существует и г < хв, то по пункту (III)

предложения 8 существует zs и zs = z. Наконец, так как zs существует и y > z, то по пункту (II) предложения 8 существует и ys. □

Таким образом, для каждого s Є S и компоненты связности Xa либо xs определено для всех x Є Xa, либо xs не определено ни для одного x Є Xa.

Предложение 10. Пусть X — связный частичный полигон над полурешеткой S. Обозначим через So множество таких s Є S, для которых xs определено для какого-нибудь x Є X (а значит, по предыдущему утверждению — для всех x Є X). Тогда выполняются условия:

(I) S0 — подполурешетка полурешетки S;

(II) V s,t Є S (s Є S0&t > s) ^ t Є S0;

(III) S' = S\S0 — идеал полугруппы S.

Доказательство. (I) Пусть s,t Є S0. Покажем, что st Є S0. Обозначим xs = y. Так как X — связный полигон, то из существования произведения xt следует существование произведения yt. Таким образом, st Є S0.

(II) Следует непосредственно из пункта (II) предложения 8.

(III) Понятно,что S' — подполугруппа полугруппы S. Пусть si Є S', s2 Є S. Покажем, что sis2 Є S'. Действительно, x(s1 s2) = (xs1 )s2, однако произведение xs1 не определено. Следовательно, ввиду произвольности выбора s1 Є S', s2 Є S S'S Ç S. Аналогично можно показать,что SS' Ç S. □

Теорема 11. Пусть X — упорядоченное множество, являющееся частичным полигоном над полурешеткой S. Если каждая компонента связности имеет наименьший элемент, то частичный полигон X продолжается до полного полигона.

Доказательство. Пусть X = UXa — разбиение множества X на компоненты связности, причем в каждой компоненте Xa есть наименьший элемент. Для x Є Xa, s Є S положим

x ■ s, если xs существует,

xs =

min(Xa), если xs не существует.

Покажем, что (x ■ s) ■ t = x ■ (st) для всех x Є Xa, s,t Є S. Пусть x Є Xa и u = min Xa. Из

определения ясно, что u ■ s = u при всех s Є S. Проверка равенства (x ■ s) ■ t = x ■ (st) разбивается на

три случая.

a) (xs)t существует. Тогда x(st) тоже существует, и мы имеем:

(x ■ s) ■ t = (xs) ■ t = (xs)t = x(st) = x ■ (st).

b) xs существует, а (xs)t не существует. Тогда x(st) не существует, и мы имеем:

(x ■ s) ■ t = xs ■ t = u, x ■ (st) = u.

c) xs не существует. Тогда (xs)t тоже не существует. Поэтому x ■ (st) не существует. Мы имеем:

(x ■ s) ■ t = u ■ t = u, x ■ (st) = u. □

Библиографический список

1. Kilp М., Knauer U., Mikhalev A. V. Monoids, Acts 5. Максимовский М. Ю. О полигонах над полурешет-

and Categories. Berlin : Walter deGruyter, 2000. 529 p. ками // Фунд. и прикл. мат. 2008. Т. 14, № 7. С. 151 —

2. ЛяпинЕ. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические 156.

действие СПб. : Образование, 1991. 163 с. 6. Кожухов И. Б., Максимовский М. Ю. Об автоматах

3. Плоткин Б. И., Гринглаз ,Л. Я., Гварамия А. А. Эле- Над полурешетками // Системный анализ и информа-

мадты алгебраической теории автоматов. М. : Высш. ционно-управляющие системы : сб. науч. тр. / под ред.

шк., 1994. 192 с. Пр0ф. в. А. Бархоткина. М. : МИЭТ, 2006. С. 19-34.

4. Avdeev A. Yu., Kozhuhov I. B. Acts over completely

Л • і • її лі. u 4.- «Ann ЛС o/i 7. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория

0-simple semigroups // Acta cybernetica. 2000. № 24. ^ ^ ^ ^

P 523-531 полугрупп : в 2 т. Т. 1. М. : Мир, 1972. 283 c.