О симметрических многочленах специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.62

О СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ON SYMMETRIC POLYNOMIALS OF A SPECIAL FORM

С.М. Рацеев 1 , О.И. Череватенко 2 S.M. Ratseev, O.I. Cherevatenko

Ульяновский государственный университет, 432017, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42.

Ulyanovsk State University, 432017, Ulyanovsk, Lev Tolstoy 42

2Ульяновский государственный педагогический университет имени И.Н.Ульянова, 432063, г. Ульяновск, пл.

100-летия со дня рождения В.И. Ленина, 4.

Ulyanovsk State I.N.Ulyanov Pedagogical University, Ploshchad' 100-letiya so dnya rozhdeniya V.I. Lenina, 4

E-mail: ratseevsm@mail.ru; chai@pisem.net

Аннотация. Работа посвящена исследованию симметрических многочленов специального вида. Получены критерии симметричности таких многочленов. Данная задача является частным случаем очень сложных задач о подходах к классификации первичных многообразий ассоциативных алгебр над полями положительной характеристики.

Resume. The paper is devoted to the study of symmetric polynomials of a special form. The necessary and sufficient conditions for the symmetry of such polynomials. This problem is a special case of very difficult problems on approaches to the classification of the prime varieties of associative algebras over fields of positive characteristic.

Ключевые слова: многочлен, симметрический многочлен.

Key words: polynomial, symmetric polynomial.

Введение

Один из способов изучения свойств многочленов из кольца R[x15..., xn ] над кольцом R состоит в описании таких многочленов, которые не изменяются при различных преобразованиях этого кольца. Одним из важных классов таких многочленов являются многочлены, которые являются инвариантными относительно действия элементов симметрической группы Sn, то есть такие многочлены f (x1,..., xn) е R[x1,..., xn ], для которых выполнено равенство

f (x п(1)'"'' xn(n)) f (xi>"-> xn ), СТе Sn •

Такие многочлены называются симметрическими многочленами. Основными симметрическими многочленами в кольце R[x1,. ,xn] являются

k (xl, — , xn )= X x-1 ••• xik ' 1 - k - n 1</'l<...</k -n

Основная теорема теории симметрических многочленов гласит, что любой симметрический многочлен может быть представлен единственным образом в виде многочлена от основных симметрических многочленов.

Симметрические функции имеют приложения в комбинаторике, алгебраической геометрии, теории представлений и т.д. (см., например, [1, 2, 3]).

Данная работа посвящена исследованию симметрических многочленов специального вида. Эта задача является частным случаем чрезвычайно сложных задач, возникших в работах А.Р.Кемера [4] о подходах к классификации первичных многообразий ассоциативных алгебр над полями положительной характеристики.

Пусть К — некоторое поле, X и 7 — некоторые счетные множества, причем X п У = 0. Целью данной работы является описание всех симметрических многочленов относительно переменных хп и уп вида

(х1 ул + + ^ ^г-уг-к е К, (1)

где х, ,...,х, еX, у, ,...,у,, еУ, причем х. ,...,х. попарно различны и у,. ,...,у,, попарно

1 к -'к 1 к -'к

различны.

Хорошо известное строение кольца всех симметрических многочленов не зависит от характеристики основного поля. Для многочленов вида (1) это уже не так. Размерности пространств таких многочленов существенно зависят от характеристики основного поля. В частности, над полями положительной характеристики такие ненулевые многочлены вообще могут отсутствовать.

1. Симметрические многочлены специального вида

Определим умножение элементов вида (х.1 у^ +1)...(х^у^ +1) и (ха^ у41 +1)...(ха уь +1) следующим образом:

(х1 у, + I)... (х^у.к + 1) • (ха1 у41 + 1) ... (хаЛ + 1) =

(Х1,У]1 + 1)-(Х1ь ук + 1)(ха, у4, + 1)-(ха„у4„ + 1)= если .к }П{а1>-> ап }=0 и

{{,..., }к }п {,..., Ьп }=0,

0, иначе

Распространим это правило на все многочлены вида (1), используя линейность. Не трудно заметить, что полученное множество относительно операций + и • будет являться ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.

Пусть К — некоторое поле. Рассмотрим многочлены вида

Б\..<к,1..,к (х1 у,1 + 1^-(х/ку.к +^ ч-м-ке К (2)

где {/1,...,/к}£{1,...,п}, {/1,—,}с{1,.,п}, #{/1,..,/к}=#{/!,•••,.к} = к.

Ввиду коммутативности скобок, можно считать, что ]х < ,2 <... < , в каждом слагаемом из (2). к

Пусть А П — множество всех размещений без повторений из п элементов по к множества {1,...,п}. То есть множество Акп состоит из упорядоченных выборок вида (/1,.-;/к), где {/1,...,/к}с{1,...,п} и /1,... ,/к попарно различны.

Обозначим через ЕЩ(х1,.,хп,у1,.,уп), где 1 < к < п, многочлен вида (2), в котором каждое слагаемое состоит ровно из к скобок. Тогда многочлен ЕЩ имеет такой общий вид:

Е (х1,.,хп,у1,..уп)= Е (х1 у.1 +1).(хЛ +(3)

(и,..,/, )еАк 1кп

1< 11<-< .к <п

то есть сумма берется по всем элементам множества А кп и по всем к -элементным подмножествам {7'l,—,]к} в множестве {l,•..,n}, при этом <.2 <<.к.

Лемма 1. Пусть К — поле нулевой характеристики и п е N. Многочлен Е1п (х1,., хп, у1,., уп) является симметрическим многочленом относительно переменных х1,.,хп тогда и только тогда, когда он имеет такой вид:

Еп(х1,., хи,уи) = Г]Тх,Т^Гр.у. 1 + п •ЕЕр,, Р, е К.

п

=1

V1=1

1=1

Многочлен Е1п(х1,.,хп,у1,.,уп) является симметрическим многочленом относительно переменных х1,.,хп и у1,...,уп тогда и только тогда, когда он имеет такой вид:

Еп(я,,...,хп,уп) = р-| Xх,-1 ¿у

( п Л

+ п2-Р, Ре К.

.,=1 Л1=1 7

Доказательство. Учитывая (3), многочлен Е^ имеет такой общий вид:

и п

Е" (*l,..., хп, у^.. Уп) = ¿¿а1 (х,-У1 + ^ а 1 е К. ,■=11=1

После преобразования получаем

п п п ( п \ п п

Е"(,., Хп, У1,., Уп) = ¿¿а 1(ху+= ¿х ¿а 1У1 + ¿¿а1.

,■=11=1 ,■=1 V1=1 7 ,'=11=1

Для любой перестановки оеБп выполнено равенство оЕ" = Е" тогда и только тогда, когда

для любых ,1,,2 е{1,2,...,п} выполнено равенство а,. . = а, •, то есть коэффициенты а- не зависят

от ,. Обозначим а ^ = Р . Поэтому элемент Е^, симметричный относительно переменных х1,..., хп, имеет такой вид:

Е?(Х1,.,Хп,У1,...,Уп) = Г^х,Р1У1 1 + п-¿Р1, Р1 е К. (4)

V ,-=1 1=1 7 1=1

При этом многочлен Е" вида (4) симметричен относительно переменных у1,.,уп тогда и только тогда, когда для любых , и 1 выполнено равенство Р, = Р1 = Р.

Поэтому многочлен Е" (х1,., хп, у1,., уп) является симметрическим многочленом относительно переменных х1;...,хп и у1,.,уп тогда и только тогда, когда он имеет такой вид:

Е;(х1,...,хп,У1,...,Уп) = Р-Г^х,-)[Ху1 1 + п2 -Р, Ре К.

V ,=1 1=1 7

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть К — поле нулевой характеристики и п е N. Многочлен Е2п (х1,., хп, у1,., уп) является симметрическим многочленом относительно переменных х1,.,хп тогда и только тогда, когда он имеет такой вид:

( \ ( п V п 1 -1 п \

Е2 (X,., хп, У1,., Уп ) = 2!-

V 1«< 1 <

X хх^ I X Р*,УУ, 1 + ("-1)-I ¿Х I ¿(¿3, + ¿Р,,)У1 + п(п-1)- X Рй.

,=1 /V 1=1 s=1

,=1+1

Многочлен Е2п(х1,.,хп,у1,.,уп) является симметрическим многочленом относительно переменных х1;...,хп и у1,...,у п тогда и только тогда, когда он имеет такой вид:

п

+Р

п2(п -1)2

2

Ре К.

Е"(х1,.,хп,у1,.,У") = 2!-Р- X х,х, I X У,У» 1 + ("-1)2-Р-1 ¿Х I ¿у

ч 1</< 1 <п 7^ 1< s<t < п 7 V,=1 7\ 1=1 7

Доказательство. Рассмотрим случай к = 2. Общий вид многочлена вида Е2п , учитывая (3), будет следующим:

Е2 (Х1,., хп , Уl,., Уп )= X а щ, (ХiУs + 1)(х1У, + 1).

1</, 1 <п, ,* 1, 1<s<t<п

После преобразования получаем

Е2 (Х1,., Хп , Уl,., Уп )= X а1 (ХiУs + 1)(Х1У, + 1) =

1<,, 1 <п, / * 1, <,<п

= X (ХiХlУsУt + Х,У + Х1У,) + X =

1</, 1< п, / * 1, 1</, 1<п, / * 1,

<, <п 1<s <, <п

= X х,х11 ¿а^У,|+ X ащ,(xiУs + Х1У,) + X

1</, 1<п, ,* 1 V 1< s<t <п 7 1 < / , 1 <п, ,* 1, 1</, 1<п, ,* 1,

1^<, <п 1<s<t<n

Для любой перестановки ст е 8п выполнено равенство стЕ" = Е" тогда и только тогда, когда коэффициенты а не зависят от / и . . Обозначим ат = Р,. Поэтому Е2И можно записать в таком

виде:

Еп2 (х1,., хи, уи ) = 2|.

Е х,х

\ч1</'< /

Е р«у*у< |+ Е (ху+х.у,)+п(п-1)• Е р-.

1</, _/<«, / * 1, 1<5<, < п

1<в<,<п

Преобразуем сумму Е Р(х1у* + х.у, ) к виду I Еха ][ Еу ьуь ].

1</, 1 <п, /* 1, 1<5 <4 < п

а=1 /V Ь=1

Зафиксируем пару индексов (а,Ь)е{1,...,и}х{1,...,п}. Элемент хауЬ может находиться либо на первом месте в элементе (х1у! + х.у 1), либо на втором. Если хауЬ находится на первом месте, то такие слагаемые имеют вид

(хауь + х.у,), 1 е {1,., п}\{а}, ,е{Ь +1,..., п}. Если хауЬ находится на втором месте, то такие слагаемые имеют вид (х,у + хауь), / е{1,...,п}\{а}, 5 е{1.,Ь-1}.

Поэтому

Ь-1 п ГЬ-1 п ]

ЕЕр*ь(х,у+хл) + Е Ерь(хл + х]у ,) =(п -1) Ер^Ь + Ерь»|хл + °

5=1 ,=Ь + 1

1</<п5=1 /* а

1< =Ь+1 1 * а

где многочлен О не содержит слагаемых хауЬ. Таким образом, элемент Е2п имеет такой вид:

Г V

Е2 (х,,., хп, уи) = 21-

Е р^у^у,

+

Е х. х

V 1</< ] <п /V 1< 5 < ,< п

+(п -1) -1 Ех, )[ Е (Ер л+ Е р *) уу ]+п(п -1) - еР .

/V 1=1 5 = 1 ,=1 + 1 у

(5)

ч /=1 /V 1=1 5 = 1 ,=1' + 1 / 1<5<

При этом многочлен Е2п вида (5) симметричен относительно переменных у1 ,. , уп тогда и только тогда, когда для любых 51, ,1 и 52, ,2 выполнено равенство Р ^ = Р^2,2 . Поэтому многочлен

Е" (х1,., хп, у1;..., уп) является симметрическим многочленом относительно переменных х1,., хп и

у1,., уп тогда и только тогда, когда он имеет такой вид:

Г V

Еп (х1,., хи, у1,., уи) = 21-Р Лемма доказана.

Ех

Vl</< у<п

У

I Е уу]+(п-1)2-р{Ех,ТЕ. Л

Vl<s <, <п / V /=1 /V1=1 /

]

+ Р- п 2(п-1)2 , Ре К.

Лемма 3. Пусть К — поле нулевой характеристики и п е N. Многочлен Е3И (х1,., хп, у1,., уп) является симметрическим многочленом относительно переменных х1,., хп и у1,., уп тогда и только тогда, когда он имеет такой вид:

Е" (х,,; хп, у,,., уи) = 31-р - Г Е х,х]хк )[ Е у.у.уи ) + 21-(п - 2)2-р( Е х,х] У Е уу ) +

. 1</< 1 <к <п }\1<5<,<^<п У V1 < / < 1 <п ^1< 5< ,<п у

+(, - в2(П - 2,2 .р-ГЕЕх, ]í^yу ^

2

V1=1 У

+ р. п2(п - 1)2(п - 2)2 , ре К. 3!

Доказательство. Общий вид многочлена вида Е3п, учитывая (3), будет следующим:

Езп (х1,., хп, у,,., у„)= Е а цьш(х,у5 +1)( ху, +1)( хкуи +1).

(/,У,k)еАп, 1< 5<4<и< п

После преобразования получаем:

/=1

Ез" (Х1,., Хп , Уl,., Уп )= X Х<Х1Хк I X а i1kstuУsУtУu \ + (,, 1 ,к )еА " V 1< "<'<ш <п 7

+ X а цьш(ХХ^У, + х ХиУ.Уи + х1хкУ,Уц) + X а фш(Х,У + Х1У, + хкУ„) + X

а ,,

(>, 1,к )еА ", 1<s<,<и<п

(<, 1 ,к )еА ", <, <и<п

и ^ / "" i1kstu'

(,, 1 ,к )еА ", <, <и<п

Многочлен Е3п(х.,...,хп,у.,.,уп) является симметрическим многочленом относительно переменных х1,.,хп и У.,...,Уп тогда и только тогда, когда коэффициенты а11Ьш не зависят от индексов ,, 1,к,s, ,,и . Поэтому многочлен Е3" имеет такой вид:

( V

Е3 (xl,.,хп,Уl,.,Уп) = 3!'Р-

V

X

(/, 1,к )еА

X УsУtУu 1 +

+ Р- X (xixlУsУ, + хгхьУ,Уи + х1хкУ,Уи) + Р- X (хгУs + 1, + хкУи) + Р

1,к )еА ",

1<s<,<и<п

1,к )еА ",

1<s<,<и<п

п2 (п - 1)2(п - 2)2 3!

Рассуждая аналогичным образом, как и в лемме 2, получаем требуемый вид многочлена Е3п. Лемма доказана.

Рассмотрим общий случай.

Теорема 1. Пусть К — некоторое поле нулевой характеристики и п — некоторое натуральное число. Пусть 1 < к < п. Многочлен

Ек(xl,., хп, Уl,., Уп)

является симметрическим многочленом относительно переменных х1,.,хп и у.,...,уп тогда и только тогда, когда он имеет такой вид:

к ( У

Екп(х.,...,Хп,У.,.,Уп) = ¿(к-А"-к+£1к+s -Р- X Х,.. ...хкк^ X у^ ...ук^

(6)

где Ак — число размещений из п по к, Ск — число сочетаний из п по к, Ре К. Доказательство. Пусть 1 < к < п. Общий вид многочлена Ек" имеет вид (3). Рассуждая аналогичным образом, как и в леммах 1-3, получаем, что для симметричности многочлена Е" относительно переменных х1,.,хп и У.,.,уп необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты а,1.,к11.1к были равны между собой. Пусть все а..ц равны Р. Тогда

Ек" (xl,■••, хп, Уl,■••, Уп) = Р- X Х УА +1)-(ХкУ1к +

1< 11<-< 1к <п

Покажем, что данный многочлен совпадает с (6). Вычислим коэффициенты при

( V А

X

х . х

^ , к - s

¿ У11 ■ У1к-s

V151'1<-< 1к-s <п

где 5 = 0, ■, к. После раскрытия скобок в элементе

1

X Ц У11 +1)... (ХкУ1к +1)= - • X к (х, У11 +1) ... (х,кУ1к +1)

к! (,1.....к )е А"

(,1.....,к )е Ап

1< 11<.< 1к <"

будут получаться суммы вида

1

(11.....1к )е А"

— X X х,у, ...Х У ...Х У ...х, у(

к! , ^^ 11 ^ ^ 1,. ^у 1

(,1.....к )е А" <...<'s <к

(11.....1к )е А"

^<,<и<п

где л означает, что элемент отсутствует. Понятно, что сумма Ех,,УУl ..х/ ••.х\ ...хкун

к,, <...<,5 <к 5 5

состоит их С[ слагаемых. Далее, число элементов вида

(.,а,,...,ак-5,...),(—Ь,.,Ьк-5,.) е Акп х Акя, где а1,.,ак-5, Ь1,.,Ьк-5 зафиксированы, равно

(р^+5) . Поэтому суммы вида (7) можно

записать следующим образом:

г

—.(с5 )с5 •

V п-к+5 ) к

кI

V

Е

V ('1,-,/к - 5 )еА кп -Г

х, ...х.

'1 к-5

Е к у11 . у1к - 5

V ( Л,.-, Уk-5 )еА к-5

=к-((-к+5 )2 - с;-((к - 5)!)2 - е х,... х.

Осталось заметить, что

V

Е у11 . Ук-5

,1< У1<-< Ь-5

к -(сп-к+5 )2 - Ск -((к - 5)|)2 = (к - 5)Ц[_к+, • сп-к+5.

Теорема доказана.

Пример 1. Пусть поле К имеет нулевую характеристику. Приведем некоторые

частные случаи симметрических многочленов Е£ (х,,

> хп, у,,

, уп ) относительно переменных

х,,.,хп и у,,...,уп из теоремы 1. В качестве параметра Р возьмем единицу.

Е2 (х,, х2, у,, у2) = 2 - х, х2 у, у 2 + (х, + х2 )(у, + у2) + 2,

Е23 (х1, х2 > хз > у, > у2 > уз ) = 2 - (х1 х2 + х1 хз + х2хз )(у,у2 + у,уз + у2уз ) + 4 - (х, + х2 + хз )(у, + у2 + уз ) + 18.

Е33 (Л",, х2 , хз , у,, у2 , уз ) = 6 - х1 х2хзу,у2уз + 2 - (х1 х2 + х,хз + х2хз )(у,У2 + У,УЗ + У2УЗ ) + 2 - (х, + х2 + хз ХУ + У2 + УЗ ) + 6

Теорема 2. Пусть /(х,,.,хп,у^...,уп) — многочлен от переменных х,,.,хп и у,,...,уп вида (1) над полем К нулевой характеристики. Данный многочлен является симметрическим многочленом относительно переменных х1,.,хп и у,,...,уп тогда и только тогда, когда он имеет следующий вид:

/(х,,.,хи,у,,.,уи) = Е[ Еа,5!А^С-

V

Е х'1.х/, Е у^

х' . \ Е у,. У Л^ У1<.< у; <п

+ЕЕ[ЕЕа/,!А;-4С4| Е х,,.х,, Е у .у,

,=3 V ,=, ' ' ...

V

для некоторого набора чисел а2,а3,.,ап еК.

Доказательство. Нетрудно видеть, что многочлен /(х1,., хп, у^..., уп) является симметрическим многочленом относительно переменных х1,.,хп и у,,.,уп тогда и только тогда, когда он является линейной комбинацией симметрических многочленов Е/(х,,..хп,у,,...,уп), к = 2,.,п, вида (6):

п

/ ( х1,., хп , у,,—, уп ) = Еа кЕк ( х1>"-> хп , у,,., уп ).

к=2

Осталось преобразовать суммы к требуемому виду. Теорема доказана.

2. Симметрические многочлены специального вида в случае поля положительной

характеристики

+

5=0 4 ,=2

Теорема 3. Пусть К — некоторое поле и п — некоторое натуральное число. В зависимости от характеристики поля К симметрические многочлены относительно переменных х1,.,хп и у.,...,уп из теоремы 1 при Р = 1 будут иметь следующий вид. I. 1. Пусть екагК = 2. Тогда

( 2" V 2" А Е12" (Х1,■••, Х2" , Уl,■, У 2" ) = I Xх,' 1 ¿У1

V j=1 7

F12n-1 (x1, •, x2n-1, У1,; У2П-1) = ( Xxi I XУ

Ff(x^...,x2n,У2П) = |Xx,- I X

j=1 7

I 2n Л

+1,

.j=1

F22n_1(x1,..., x2n-1, У1,-, У2п-1) = 0, Fk(Х,...,xn,У1,.,Уп) = 0, 2 < k < n. 2. Пусть charK = 3. Тогда

I 3n 3n \

F13n x3n , У1,-> У 3n ) = I Xxi 1 ХУ

V /=1 7V j=1

I3n-1 Л

F13n-1(x1,., x3n-1, У1,-, У3n-1 ) = I Xxi 1 XУ.

+1,

F13n-2( x1,..., x3n-2, У1,-, У3п-2) = | X xi 1 X У.

j=1

I3n-2 Л

j=1

+1,

F2 n (x1,-> x3n , У1.-. У 3n ) = 2 '

X xixj I X У.У/ l+l Xxi I Xy>

V1</<j<3n 7V1<s<»<3n 7 V'=1 7V j=1 7

3n

Ft1^,..., x3n-1, У3п-1) = 2.

X

xixj

V 1<i < j <3n-1 7V1<i <»<3n-1

I Л/

3n-1

X у*У> l+l Xxi IXУj

3n-1 Л

+ 2,

F2 n- (X1,•, x3n-2 , У1, • , У3п-2) = 2 •

(

F33n (X1,•.., x3n , У1, • , У3п )=2

X

V 1<i < j<3n-2 7 Л

i =1 7V j=1 7

3n-2 3n-2 Л

l+l Xx 1 ^

1<s <» <3n-2

X ysy» |+| Xx1 Xy.

i=1

j=1 7

3n

V Л ( 3n ЛГ 3n

X xixj I X ysy» |+2 •|Xxi1 Xy.

V 1<i<j<3n 7V1<s<»<3n 7 V i=1

j=1

F33n-1( x1,., x3n-1, У3п-1) = 0,

(

F33n-2( x1,., x3n-2, У 3n- 2) = 2.

V

xixj

F43n-2( X1,•, x3n-2 , У1, • , У3п- 2) =

XX

V 1<i< j<3n-2 7 Л

X xx

V1<i<j<3n-2 7

| X ysy»

V1<s<»<3n-2

Г

| X ysy»

V1<s<»<3n-2

F"n (x1,.,xn,У1,.,yn) = 0, 4 < k < n.

II. Рассмотрим общий случай. Пусть char K = p >0. Тогда

Fkn(x1,.,xn,yn) = 0, 2p-1 < k < n.

Доказательство. Достаточно показать пункт II, так как I является частным случаем пункта II в плане равенства Fk(x1,.,xn,y1,.,yn) = 0, 2p -1 < k < n. Покажем, что при k > 2p-1 все коэффициенты в формуле (6) делятся на p. Итак, рассмотрим коэффициент (k - s)!Asn-k+s • Csn_k+s, который представим в виде

(k - s) !• A-k+s • cs.k+s = (k - s) !(n - k +1) •. • (n - k + s) • Clk+s.

Если s> p, то число (n-k + 1)••..• (n-k + s) делится на p, так как в этом числе не менее p множителей, состоящих из подряд идущих натуральных чисел. Если же s < p, то (k - s)!> (k - p + 1)!> (2 p -1- p + 1)!= p!. Поэтому (k - s)! делится на p. Теорема доказана.

i=1

i=1

i=1

3n-2

i=1

Пример 2. Пусть charK = 3. Рассмотрим все симметрические многочлены при n = 3, используя теорему 3.

^(х^ ^ ^ y^ у 2 , Уз) = (x! + x2 + x3>( yi + У2 + Уз),

F3 (xi, x2, x3, У1, y2, Уз) = 2 • (xi x2 + x x3 + x2 x3)(yi y2 + yi У3 + y2 У3) + (^ + x2 + x3 )(yi + y2 + У3),

F33 (^ x2 , xз, Уl, У2 , Уз) = 2 • (xi x2 + xix3 + x2 x3 )(yi У2 + yi Уз + У 2 Уз ) + 2 • (xi + x2 + x3 )(yi + У2 + Уз).

Список литературы References

1. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. М.: Мир, 1985. 222 с. Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials, second ed. Oxford: Clarendon Press, 1995. 475 pp.

2. Рацеев С.М. Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2012. Т. 67, № 5. С. 8-13.

Ratseev S.M. Equivalent conditions of polynomial growth of a variety of Poisson algebras// Moscow University Mathematics Bulletin. 2012. Vol. 67, № 5-6. Pp. 195-199.

3. Рацеев С.М. Рост многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом // Матем. заметки. 2007. Т. 82, № 1. С. 108-117.

Ratseev S.M. The growth of varieties of leibniz algebras with nilpotent commutator subalgebra // Mathematical Notes. 2007. Vol.82, № 1-2. Pp. 96-103.

4. Кемер А.Р. Об идеалах групповой алгебры бесконечной симметрической группы над полем характеристики p // Матем. заметки, 2012, Т. 92, № 3, 417-425.

Kemer A.R. On Ideals of the Group Algebra of an Infinite Symmetric Group over a Field of Characteristic p // Mathematical Notes, 2012, Vol. 92, № 3, Pp. 417-425.