CC BY
97. Barlet D, Kashiwara M. Duality of D-modules on Flag manifolds // Int. Math. Res. Notes. 2000. 23 1243-1257.
8. Borho W., Brylinski J.-L. Differential operators on homogeneous spaces. III // Invent. Math. 1985. 80. 1-68.
9. Fernando S. Lie algebra modules with finite-dimensional weight spaces. I // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. 322. 757-781.
10. Gabber O. The integrability of the characteristic variety // Amer. J. Math. 1981. 103. 445-468.
11. Joseph A. On the variety of a highest weight module //J. Algebra. 1984. 88. 238-278.
12. Chriss N., Ginzburg V. Representation theory and complex geometry. Boston: Birkhauser Boston, 1997.
13. Penkov I., Serganova V., Zuckerman G. On the existence of (g, k)-modules of finite type // Duke Math. J. 2004. 125. 329-349.
Поступила в редакцию 20.04.2011
УДК 519.22
О ФУНКЦИИ МОЩНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
П. А. Кашицын1
В многомерном анализе рассматривают статистические критерии, которые не меняются при аффинной замене системы координат. В случае многомерной линейной модели и модели с использованием канонических корреляций эти критерии являются функциями собственных значений матриц, распределенных по Уишарту. В данной работе доказана монотонность функции мощности критериев, являющихся функциями элементарных симметрических многочленов от собственных значений матрицы Уишарта.
Ключевые слова: многомерный анализ, функция мощности, элементарный симметрический многочлен, распределение Уишарта.
Statistical tests not changing under an affine change of the coordinate system are considered in the multivariate analysis. In the case of a multivariate linear model and a model using the canonical correlation analysis, these tests are functions of eigenvalues of matrices following a Wishart distribution. In this paper we prove the monotonicity property of test power functions being functions of elementary symmetric polynomials of eigenvalues of a matrix following a non-central Wishart distribution.
Key words: multivariate analysis, power function, elementary symmetric polynomial, Wishart distribution.
1. Введение. В гауссовской многомерной статистике с давних времен стоит проблема исследования мощности применяемых статистических критериев: не доказано в общем виде, что их функции мощности возрастают по мере удаления от нулевой гипотезы. Первые результаты в этой области были получены в работах [1, 2]. В работе [3] показано, что этот результат следует из более простого утверждения — монотонности функции мощности статистических критериев, которые являются монотонными по своим аргументам функциями собственных значений матрицы Уишарта. Данное утверждение в частных случаях было доказано в работах [4, 5]. В настоящей статье дано доказательство монотонности функции мощности критериев, которые являются функциями элементарных симметрических многочленов от собственных значений матрицы Уишарта.
Пусть Wp (n, £, А) — случайная (p х р)-матрица, распределенная по Уишарту с параметром нецентральности А:
n n
Wp (n, £, А) = (Zi + mi) (Zi + mi)T , ^ ттт = А, (1)
i=1 i=1
где £i,...,£n суть н.о.р. Np (0, £). Будем далее считать, что матрица £ является положительно определенной (£ > 0) и известна. Отметим, что распределение E~2WP (п, £, А) £" совпадает с распределением
1 Кашицын Павел Александрович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
\¥р /р,Е зДЕ 2 у поэтому если матрица Е > 0 известна, то можем перейти к распределению с единичной ковариационной матрицей. Рассмотрим характеристическое уравнение
(п, 1Р, А) — I ■ 1р) = 0.
Так как матрица Шр (п, 1р, А) с вероятностью 1 является положительно определенной, то характеристическое уравнение имеет корни ¡1 (А) ^ ... ^ 1р (А) > 0, где неравенства выполнены почти наверное. Кроме того, поскольку А является неотрицательно определенной матрицей (А ^ 0), то ее собственные значения неотрицательны: Х\ ^ ... ^ \р ^ 0.
Будем обозначать через ак(Ь1,...,Ьп) элементарный симметрический многочлен степени к от переменных ^1,...,:
ак , ... ,^п) — ^ ^ ... ^гк ,
где 1 ^ к ^ п. Пусть также а0 — 1 и ак(¿1, ...,Ьп) — 0 при к > п.
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть функция ф (а1,...,ар) не убывает по каждому из своих аргументов, где а г — аг(11(А), ..., 1р(А)) — элементарный симметрический многочлен степени г от собственных значений ¡1 (А) ,... ,1р (А) матрицы Уишарта (1) с ковариационной матрицей 1р. Тогда мощность статистического критерия с критической областью (ф (а1,..., ар) ^ с) не убывает при росте собственных значений \1,...,\р параметра нецентральности А матрицы Уишарта.
2. Стохастические свойства элементарных симметрических многочленов. Введем следующие обозначения. Рассмотрим два фиксированных р-вектора а — (а1 ,...,ар) и Ь — (Ь1,...,Ьр). Будем писать а ^ Ь или Ь ^ а, если ец ^ при г = 1,р.
Рассмотрим два случайных вектора х и у. Если случайный вектор х стохастически не превосходит случайный вектор у, то будем писать х ^^ у или у ^^ х. Для доказательства теоремы 1 понадобится следующая вспомогательная теорема.
Теорема 2. Пусть X — (х1,..., хп), М — (т1,..., тп) — (р х п)-матрицы, где р-векторы хг ~ н.о.р. Л?р (0,1р), г = 1 ,п. Случайная матрица (X + М) (X + М) имеет нецентральное распределение Уишарта Шр (п, 1р, А) с параметром нецентральности А — ММТ. Пусть р-вектор ¡(А) — (¡1 (А),..., ¡р(А)) составлен из собственных значений
(X + М)(Х + М)Т , где Ь(А) ^ ... ^ ¡р(А), а вектор а (¡(А)) — (а1(1(А)),...,ар(1(А))) составлен из элементарных симметрических многочленов от ¡(А). Пусть теперь А1 и А2 — два параметра нецентральности с упорядоченными по убыванию собственными значениями а — (а1,... ,ар) и в — (вь... ,вр) соответственно. Тогда если а ^ в, то а^(А1)) ^^ а^(А2)).
Доказательству данной теоремы предпошлем ряд вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Пусть (р х р) -матрица А — (а^) имеет ранг 1, тогда
р
ёе^А + й\.щ(в1, ...,вр))— в1 ...вр + ^ в1... вг-1аггвг+1 ...вр ■ (2)
г=1
Доказательство. Для доказательства леммы воспользуемся индукцией по параметру р. База индукции при р — 1 очевидно выполнена.
Пусть утверждение верно при р — к — 1. Докажем его для р — к. Для этого разложим определитель матрицы в левой части (2) по первой строке. Таким образом, определитель (к х к)-матрицы представим в виде суммы к определителей с коэффициентами. В определителе с номером ] при ] > 1, умноженном на коэффициент ( — 1)^+1а1^, сдвинем последовательно столбцы с номерами 2,...,] — 1 влево так, чтобы первый столбец оказался на месте (] — 1)-го. Далее, применив предположение индукции к каждому из к определителей в сумме, получим
ёе^А + <1\щ(в1,.. .,вк)) — (в1 + аи )(в2 ...вк + ^ в2 . ..вг-аг вг+1. ..вк ) —
г=2
а12а21 в3 . . . вк — а13а31 в2в4 . . . вк — ... — а1как1в2 . . . вк-1 — к
— в1 ...вк + в1... вг-1аггвг+1 ...вк + (аи а22 — а12 а21)вз ...вк + ... г=1 к
+(ац акк — а1к ак1)в2 . ..вк-1 — в1 ...вк + ^ в1.. .вг-1аггвг+1 ...вк.
г=1
При последнем переходе мы воспользовались тем, что ранг матрицы по условию равен 1, откуда следует, что аийц — = 0, ] = 1, к. Лемма доказана.
Также понадобится следующее утверждение, доказательство которого можно найти, например, в [6, теорема 6^.16^)].
Лемма 2. Пусть и и V — два п-мерных случайных вектора. Если и ^^ V и д : Мп ^ Мк — неубывающая к-мерная функция, то д(и) ^^ д(и).
Далее докажем следующую лемму.
Лемма 3. Пусть С = (С1,С2,..., С,) и В = (7С1, С2,..., Сп) — (р х п)-матрицы, где Сг есть р-вектор, г = 1 ,п, и |7| ^ 1. Пусть в условиях теоремы 2 имеем = СС и Д2 = ВВТ. Тогда г(1(Д1)) ^ а(1(А2)).
Доказательство. Рассмотрим две матрицы 5*1 ~ Шр (п, 1р, Д1) и 52 ~ Шр (п, 1р, Д2). Поскольку
(X + М)(Х + М)Т = (Х1 + Ш1,...,Хп + Шп) (Х1 + Ш1,...,Хп + Шп)Т
имеет распределение Шр (п,1р, А), где р-векторы Хг ~ н.о.р. N (0,1р), то требуемое неравенство в силу свойств стохастического порядка достаточно доказать при фиксированных Х2,...,хп.
Применим к матрицам 51 и 52 с фиксированными столбцами Х2, ...,Хп ортогональное преобразование Q, которое переводит матрицу (Х2 + С2,...,Хп + Сп) (Х2 + С2,...,Хп + Сп)Т в диагональную. При этом данные матрицы примут следующий вид:
QSlQT = (у + а)(у + а)Т + diag(аl,... ар), QS2QT = (у + 7а)(у + 7а)Т + diag(al,... ар),
где СЦ (жг + с2,..., хп + сп) (жг + с2,..., хп + сп)Т СЦТ = diag(a:l,... ар), = У-, = а- Пусть также у = (у\,... ,ур). Заметим, что поскольку Х\ ~ Л?р(0,/р), то у^, г = 1 ,р, суть гауссовские, независимые, одинаково распределенные случайные величины.
Заметим, что при таком преобразовании собственные значения матриц QSlQT и QS2QT те же, что и у матриц 51 и 52 соответственно. Из леммы 1 следует, что характеристический многочлен матрицы 52 имеет вид
р
det(S2 — Х ■ 1р) = (а1 — х) ... (ар — х) + ^(а1 — х) ... (аj-1 — x)(yj + 7а3)2(аj+1 — х) ... (ар — х).
3 = 1
Отсюда получаем, что если (3(^) — элементарный симметрический многочлен степени ] от собственных значений матрицы 52 и (3(агг,...,агт) — элементарный симметрический многочлен степени ] от
р
(3 (!) = (3 (а1, ...,ар) + ^ (3 (а1,.. .,ак-1,ак+1,.. .,ар)(Ук + 1ак )2.
к=1
Для завершения доказательства воспользуемся леммой 2. В обозначениях леммы 2 положим и = ((у1 + а1)2, ...,(ур + ар)2) , V = ((у1 + 7а1)2, ...,(ур + 7ар)2) , д(и) = а(1(А\)), д(у)=а(1(Д2)).
Тогда и V, поскольку случайные величины у^ , г = 1,р, являются независимыми, одинаково распределенными и (уг + аг)2 ^^ (уг + ^аг)2. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим две неотрицательно определенные матрицы Д1 = ААТ и Д2 = ВВТ. Пусть а = (а1,..., ар) и в = (@1,..., вр) — упорядоченные по убыванию собственные значения матриц Д1 и Д2 соответственно и а ^ (3, т.е. оц ^ где г = 1,р. Из неотрицательной определенности матриц Д1 и Д2 следует, что оц ^ 0 и Д ^ 0, г = 1,р. В силу спектрального представления неотрицательно определенных матриц существуют два ортонормированных базиса в1,...,вр и ¡1,...^р, такие, что
ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1
Д1 = ае в! + ... + арврвр , Д2 = в1кк + ... + вр!р!р . (3)
Рассмотрим ортогональное преобразование Q, переводящее базис /1,...,/р в базис в1,...,вр. Применим преобразование Q к матрице Д2:
QД2QT = QBBT QT = ССТ,
агг,...,агт, то
где С = QB, В = Пусть Si = {X + А) (X + А)т и = (X + В) {X + В)т, где
X = (xi ,...,xn) и Xi ~ н.о.р. Np (0,Ip). Тогда Si ~ Wp (n,Ip, Ai) и S2 ~ Wp (n,Ip, A2). Отметим, что нецентральное распределение Уишарта Wp (n, Е, MMT) зависит не от матрицы M, а только от параметра нецентральности MMT (см., например, [7]). Поэтому в силу (3) матрицу A можно положить равной (л/Ще 1,..., уауЗр), а матрицу С — равной (\//?iei, • • •, у/]3р&р) • В этом случае столбцы матриц А и С пропорциональны. Тогда имеем
QS2QT = (QX + QB) (QX + QB)T =d (X + C)(X + C)T ,
где =d означает равенство по распределению. Теперь рассмотрим последовательность матриц А = Aq,Ai, ..., Ар-1, Ар = С, где Ак = (v%"ei, • • •, у/Щек, л/ак+1&к+1, • • •, Тогда по лемме 3 имеем
a(l(AoAT)) ... a(l(ApAT)). Отсюда заключаем, что
a(l(AAT)) ^st a(l(CCT)) =d a(l(BBT)),
что и требовалось доказать.
3. Доказательство теоремы 1. Из леммы 2 следует, что если и и v — два случайных вектора, причем u ^st v, то для функции ф, не убывающей по каждому из своих аргументов, и для произвольной константы с выполнено неравенство
P (ф (и) ^ с) ^ P (ф (v) ^ с).
Используя обозначения теоремы 2, положим и = a (l (Ai)), v = a (l (A2)) и тем самым получим требуемое утверждение теоремы 1.
Автор приносит благодарность научному руководителю профессору Ю.Н. Тюрину за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Das Gupta S., Anderson T.W., Mudholkar G.S. Monotonicity of the power functions of some tests of the multivariate linear hypothesis // Ann. Math. Statist. 1964. 35. 200-205.
2. Anderson T.W., Das Gupta S. A monotonicity property of the power functions of some tests of equality of two covariance matrices // Ann. Math. Statist. 1964. 35. 1059-1063.
3. Perlman M.D., Olkin I. Unbiasedness of invariant tests for MANOVA and other multivariate problems // Ann. Math. Statist. 1980. 8. 1326-1341.
4. Groeneboom P., Truax D.R. A monotonicity property of the power function of multivariate tests // Indagationes Mathematicae. 2000. 11. 209-218.
5. Richards D.S.P. Total positivity properties of generalized hypergeometric functions of matrix argument //J. Statist. Phys. 2004. 116, N 114. 907-922.
6. Shaked M., Shanthikumar J.G. Stochastic Orders. N.Y.: Springer-Verlag, 2006.
7. Muirhead R.J. Aspects of Multivariate Statistical Theory. N.Y.: Wiley, 1982.
Поступила в редакцию 13.05.2011
УДК 511
ИНВЕРСИОННАЯ СЛОЖНОСТЬ САМОКОРРЕКТИРУЮЩИХСЯ СХЕМ ДЛЯ ОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Т. И. Краснова1
Для последовательности булевых функций /П(х1,. ..,хп) — \/ х^х^ при любых
фиксированных к, р ^ 1 и растущем п установлена асимптотика Ь-(/П) ~ п шт{к + 1,р}, где Ь-(/П) — инверсионная сложность реализации функции /П к-самокорректирующимися схемами из функциональных элементов в базисе В — {&, —}, р — вес надежного инвертора.
Краснова Татьяна Игоревна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
