CC BY
1DOI 10.24412^-37220-2023-1-38-39
О СИЛЬНЫХ РЕБЕРНЫХ РАСКРАСКАХ БЛОКОВЫХ ГРАФОВ
А.К. Драмбян1, П.А. Петросян1,2
1 Российско-Армянский университет 2Ереванский государственный университет ardrambyan@student.rau.am, petros_petrosyan@ysu.am
АННОТАЦИЯ
Функция £ E(G) — N называется реберной раскраской графа G. Реберная раскраска f графа G называется «сильной», если любые два ребра, находящиеся на расстоянии 0 или 1, окрашены в различные цвета. Наименьшее число цветов, необходимое для сильной реберной раскраски графа G, называется «сильным хроматическим индексом» и обозначается ^(б). В настоящей работе показано точное значение сильного хроматического индекса для блоковых графов в частном случае.
Ключевые слова: реберная раскраска, сильная реберная раскраска, сильный хроматический индекс.
Введение
Пусть G - неориентированный граф без кратных ребер и петель, У^) -множество вершин графа G, Е^) - множество ребер графа G. Обозначим через Д^) максимальную из степеней вершин графа G. Неопределяемые понятия и обозначения можно найти в [1].
Реберная раскраска f графа G называется «сильной», если любые два ребра, находящиеся на расстоянии 0 или 1, окрашены в различные цвета. Наименьшее число цветов, необходимое для сильной реберной раскраски графа G, называется «сильным хроматическим индексом» и обозначается Определение сильной реберной раскраски графа было введено в [2]. В частности, Эрдешем и Нешетрилом была предложена следующая гипотеза. Гипотеза (Эрдеш и Нешетрил, 1985): Для любого графа G справедливо:
!5Л(в)2
—т^-,если Л(ь) четное 4 2
5(Л(С)2- 24(С) + 1) лггл
—4 --, если ^(С) нечетное
Гипотеза была доказана для Д^) < 3 [3, 6]. Для графов G с Д^) = 4, Крен-стон [4] показал, что ^я(^) ^22.
О сильных реберных раскрасках блоковых графов
39
Основной результат
Вершина V графа О называется «шарниром», если подграф О1, полученный из графа G удалением вершины V и всех инцидентных ей ребер, состоит из большего количества компонент связности, чем исходный граф О. Связный граф, не содержащий шарниров, называется «двусвязным». Максимальные по включению двусвязные подграфы исходного графа называются «компонентами двусвязности» или «блоками». Граф называется «блоковым», если его каждая компонента двусвязности является полным графом. Множество блоковых графов, для которых количество вершин в наибольшем блоке равняется к, обозначим через Вк. Количество различных ребер инцидентных вершинам блока назовем степенью блока. Максимальную из степеней блока для данного графа О обозначим через Л(С)всс.
Теорема. Пусть О блоковый граф из Вз или В4. Тогда:
Х'5(С) = Л(С)всс.
ЛИТЕРАТУРА
1. West D. Introduction to Graph Theory - Prentice-Hall, New Jersey, 2001.
2. Fouquet J., Jolivet J. Strong edge-coloring of graphs and applications to multi-k-gons. Ars Combinatoria, 16A:141-150, 1983.
3. Andersen L. The strong chromatic index of a cubic graph is at most 10. Topological, algebraical and combinatorial structures. Frolík's memorial volume. Discrete Math. 108 (1992), no. 1-3, 231-252.
4. Cranston D.W., Strong edge-coloring of graphs with maximum degree 4 using 22 colors. Discrete Math. 306 (2006), no. 21, 2772-2778.
5. Faudree R., Schelp R., Gyarfas A., Tuza Zs. The strong chromatic index of graphs, Ars Combinatoria 29B, 1990. PP. 205-211.
6. HorákP., He. Q., Trotter W. Induced matchings in cubic graphs J. Graph Theory 17 (1993), no. 2, 151-160.
ON STRONG EDGE-COLORINGS OF BLOCK-GRAPHS
A.K. Drambyan1, P.A. Petrosyan1,2
1Russian-Armenian University 2Yerevan State University
ABSTRACT
A function f: E(G) — N is called an edge-coloring of a graph G. An edge-coloring f of G is strong, if for every pair of edges at distance at most 2 receives different colors. The smallest number of colors needed for a strong edge-coloring of G is called a strong chromatic index and denoted by X's(G). In this paper we show the exact value of strong chromatic index for block graphs is special cases.
Keywords: edge-coloring, strong edge-coloring, strong chromatic index.
