ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ЦИКЛ РАСКРАСКИ ГРАФА Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.1

С.А. Лавренченко1, А.М. Магомедов2

Характеристический цикл раскраски графа

1 Российский государственный университет туризма и сервиса; Россия, 141221, г. Москва, пос. Черкизово, ул. Главная, 99; [email protected]; 2Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43 а;[email protected]

В статье рассматриваются только конечные неориентированные графы без петель. Реберная раскраска графа называется правильной реберной раскраской, если цвета любых двух смежных ребер различны.

Если C - правильная реберная раскраска G и v - вершина из V(G), то S(v,C) обозначает совокупность цветов ребер, инцидентных v. Правильная реберная раскраска C графа G цветами 1, ..., t называется интервальной t-раскраской графа, если использованы все t цветов и для каждой вершины v графа G множество S(v,C) образует интервал целых чисел. Граф G называется интервально раскрашиваемым, если он интервально t-раскрашиваем для некоторого целого положительного t.

В 1990 Севастьянов построил двудольный граф с 28 вершинами и максимальной степенью 21, который не имеет интервальной раскраски. В 1991 г. Ердёш построил двудольный граф с 27 вершинами и максимальной степенью 13, не имеющий интервальной раскраски. В период 1990-2013 гг. контрпример Ердёша оставался минимальным (в смысле максимальной степени) известным двудольным графом, не имеющим интервальной раскраски. Но в 2013 году Петро-сян и Хачатрян построили три двудольных графа, которые не имеют интервальной раскраски, содержат 20, 19, 21 вершину и имеют максимальные степени, равные 11, 12 и 13 соответственно.

Интервальная раскраска графа служит эффективной моделью для изучения задачи составления расписаний без простоев. В данной работе мы приводим новые достаточные условия того, что заданный граф не имеет интервальной реберной раскраски.

Ключевые слова:граф, реберная раскраска, цикл, вершина, интервал, расписание.

Введение

Всюду в статье под раскраской понимается реберная раскраска. Правильнойраскра-ской графа С = (V, Е) будем называть такую сюръекциюС: Е ^ {1,2,..., £}множества ребер Е графа С в множество цветов{1, 2,... , £}, что С(ех) ф С(е2) для любых смежных ребер е1, е2 £ Е. Если вершине V инцидентно ребро цвета к, то говорят, что цвет кпредставлен в вершине V.

К задаче о правильной раскраске графа сводится, например, задача составления расписания, исходные данные к которому представлены графом, где вершины соответствуют объектам, а ребра - запланированным операциям. Для такого сведения достаточно отождествить дискретные моменты времени выполнения операций и цвета соответствующих ребер графа С.

Правильная раскраска графа называется интервальной, если для каждой вершины V цвета, представленные в V, образуют множество [а(р) + 1,а(р) + 2, ...,а(р) + ^и)}, где а(у) - целое неотрицательное число, ай(р) обозначает степень вершины V. Если граф С допускает интервальную раскраску для какого-либо £, будем говорить, что

Синтервально раскрашиваем; если же интервальная раскраска графа С не существует ни при каком £, С интервально нераскрашиваем.

К задаче об интервальной раскрашиваемости сводится задача о беспростойном расписании. Интервальность раскраски соответствует беспростойности объектов. Например, для составления расписания занятий в университете на один конкретный день можно использовать двудольный граф, вершины одной доли которого представляют преподавателей, а другой - студенческие группы университета; тогда интервальная раскраска этого графа даст расписание занятий без окон.

В [1] показано, что: а) задача об интервальной раскрашиваемости ЫР-полна, б) интервально раскрашиваемый граф Овсегда обладает правильной раскраской Ацве-тами (А- наибольшая степень вершин графа О). Простой пример интервально нерас-крашиваемых графов - цикл нечетной длины: если ребра треугольника АВСсутьа, Ь, с, то, присвоив ребру а 1, получим, что цвета ребер Ьи с(представленные в вершине А) должны равняться 2, что противоречит определению интервальной раскраски.

Напротив, любой цикл четной длины интервально раскрашиваем двумя цветами. Цикл четной длины является двудольным графом. В [2] установлено, что задача об интервальной раскрашиваемости двудольного графа и задача об интервальнойраскраши-ваемости двудольного графа заданным числом цветов ЫР-полны.

а) Д = 21, N = 28б) Д = 15, N = 19 в) Д = 14, N = 23

Рис. 1. Интервально нераскрашиваемые двудольные графы: С.В.Севастьянов (а), M. Malafiejski (б), Herz и deWerra (в)

Но построить пример интервально нераскрашиваемого двудольного графа G = (X, Y, Е) непросто. Первый такой пример опубликован С.В. Севастьяновым в работе [2], к наиболее часто цитируемым относятся также примеры интервально нераскра-шиваемых двудольных графов следующих авторов: M. Malafiejski, A. Hertz и D. de Wen^im. рис. 1), а также А.Н. Мирумян и P. Erdos. Отметим, что во всех этих примерах N > 19, Д > 13,min(|X|, |F|) > 3(здесь и далееМ - мощность множества вершин графа).

В статье [3], посвященной методам построения интервально нераскрашиваемых двудольных графов, построены, в частности, интервально нераскрашиваемые двудольные графы с параметрами:

Д = 11,N = 20и Д = 12,N = 19.

Т. к. при Д< 3 двудольный граф всегда интервально раскрашиваем [4], то в настоящее время вопрос о существовании интервально нераскрашиваемых графов остается открытым для 4 < Д < 10.

В данной статье предлагается подход к доказательству интервальной нераскраши-ваемости графа и показывается его применение к примерам (рис. 1).

Характеристический цикл раскраски

Наибольший из цветов, представленных в вершине V, будем обозначать через С {у), наибольший цвет ребер графа С - через С{в). Определение. Пусть задан граф С. Цикл £ = {р0, р1), р1, {р1, р2), р2,..., рп_1, {рп_1, р0), рп = р0 (1) с вершинами в точках и0, р1, у2, ..., Уп_1, и0 будем называть рециклом, а

п-1

у{1) = ^ — й{р0) + 2-п ¿=1

- тестовым значением и0-цикла£. Если существует интервальная раскраска С графа С, такая, что С{р0,р1) и С{рп_1,р0) - соответственно наименьшее и наибольшее значения цветов, представленных в вершине и0, то Ь будем называть характеристическим и0-цикломраскраскиС(для краткости обозначение и0 будем иногда опускать).

Определение. Пусть граф С интервально раскрашиваем и С - его интервальная раскраска. Реверсной раскраской будем называть такую раскраску С' графа С, что С'{е) = С{в) — С{е) + 1 для любого ребра е. Очевидно, что раскраска, реверсная интервальной, также является интервальной идляС(С) = С{С).

Доказательства следующих двух лемм тривиальны.

Лемма 1. Для любой интервальной раскраски графа С и каждой вершины V графа С цвета, представленные в V, различаются не более чем най{р) — 1.

Лемма 2.Пусть С = {V, Е) - заданный граф, Е' с Е. Если при любой интервальной раскраске С графа С ребро цвета 1 принадлежит Е', то Е' принадлежит и ребро с цветом С (С).

Теорема 1. Для любого характеристического цикла (1)

у{1) > 0. (2)

Доказательство. Выражение в правой части очевидного неравенства

п-1

\С{р0,р1) — С{рп_1,рп)\ < ^ \С{р1_1,р1) — С{р1,р1+1)\

¿=1

оценим в соответствии с леммой 1:

п-1 п-1

^ \С{р1_1,р1) — С{Р0Р1+1)\ < ^{¿(Ч) — 1),

¿=1 ¿=1 а выражение \С{р0, р1) — С{уп_1, Уп)\в левой части заменим на<!{р0) — 1. Получим:

п-1

^ — й{р0) + 2 — п > 0.

¿=1

Теорема доказана.

Прикладные аспекты

Определение. Симметричные графы на рис. 1а (где А = 3к, к > 7), 1б (где А = 3к, к > 5) и 1в (где А = 2к,к > 7) будем называтьк-графом 1а, к-графом 1б и к-графом 1в соответственно.

Лемма 3. Если Аграфы С рис. 1 интервально раскрашиваемы и С - интервальная раскраска С, то в вершине О степени А представлены цвета 1 и С{С).

Доказательство.Симметричный граф 1а. Пусть для графа С существует интервальная раскраска С. Покажем, что в вершине О представлен цвет 1. Пусть это не так. Обозначим через и5 произвольную вершину, смежную вершинам и О. Из соображе-

ний симметрии можно считать, что либо С(р5,р1) = 1, либо С(р1,р2) = 1. Покажем, что первый случай невозможен.

В самом деле, если С(р5,р1) = 1, то С(у1) < к + 2 согласно лемме 1. В частности, С(р1,р2) < к + 2 и тогда С(р2,р3) < к + 3. Отсюда: С(и3) < С(р2,р3) + — 1 = = + 4 в частности, С(и3,и6) < 2к + 4 для каждой вершины и6, смежной и3 и О. Следовательно, С(и6, О) < 2к + 5. Из соображений симметрии тогда и С(и7, О) < 2к + 5 для каждой вершины и7, смежной вершинам и4 и О. Таким образом, в первом случае С(0) <2^ + 5, что при к > 7 противоречит очевидному неравенству

с(о) > й(0) = 3£.

Рассмотрение второго случая выполняется аналогично. Но если цвета ребер, инцидентных вершине отличны от 1 (следовательно, по соображениям симметрии отличны от 1 и цвета ребер, инцидентных вершинам и3 и и4), то ребро е' с цветом 1 входит в множество Е' ребер, инцидентных вершине О. Тогда, по лемме 3, Е' включает и ребро е'' с цветом С(С).

Примечание. На рис. 1а множество инцидентных вершине О ребер разбито на три равномощных подмножества Ег, где Ег - подмножество тех из инцидентных вершине О ребер, которые смежны ребрам, инцидентным вершине ^(I = 1, 3,4). Нетрудно видеть, что ребра е' и е" принадлежат разным .

Симметричный граф 1б.Пусть для графа С существует интервальная раскраска С. Покажем сначала, что в вершине О представлен цвет 1. Из соображений симметрии достаточно показать, что для любой вершины у4, смежной и у2, С(р1, и4) 1. Пусть С(р !,г4) = 1. Тогда

С(р2) < С(у2,У4) + d(y2) — 1 < С(рг,р4) + Ы(р4) — 1) + №2) — 1) = = 1 + (3 — 1) + (2к — 1) = 2к + 2.

Для любой вершины V, смежной у2 и и3:

С(у.О) < С(р2) + d(u) — 1 < 2^ +4.

Аналогичные неравенства имеют место как для любой вершины V, смежной и у2, так и для любой вершины V, смежной и у3. Таким образом, предположение С(р1, и4) = 1 влечет С(0) <2^ + 4, что при к > 5 противоречит очевидному условию С(0) > й(0) = 3к.

Как и выше, заметим, что вершине О инцидентны ребра е' и е" с цветами 1 и С(С).

Примечание. Ребра е' и е" принадлежат двум разным подмножествам из трех равномощных подмножеств, на которые «визуально» разбито множество инцидентных О ребер.

Симметричный граф 1в. Обозначим через / множество ребер, инцидентных вершине степени А, через II - множество ребер, смежных /, через III - множество остальных ребер графа С; С(1), С (II), С (III) - множества цветов ребер множеств I, II и III соответственно.

1. Если С(е) = 1 для некоторого ребра ее/, то С(рг) < к. Следовательно, для (и1,и2) е 1,(у2,у3) е //:

С(у2,У3) < С(р2) < С(рг,р2) + ¿(у2) — 1 < к + 2, С(у3,0) < С(Р2,Р3) + ¿(и3) — 1 < к + 3.

Но неравенство С(О) < к + 3 при к > 7 противоречит очевидному = ^(0) <

С(0).

2. Пусть С(е) = 1 для некоторого ребра е = (и2,и3) е II, где и2 - вершина, смежная р1. Тогда

С(р1, р3) < 3 ^ С(р1) < к + 2 ^ С(е) < к + 3 Уе е II ^

С(е) < к + 4 Ve E III;т. е.С(О) К к + 4, что при к > 7 противоречит условию 2к К С (О).

Таким образом (коль скоро в / и II отсутствуют ребра с цветом 1), l E С(1П), т. е. вершине О инцидентно ребро е' с цветом 1, а тогда и ребро е" с цветом C(G).

Примечание. Ребра е' и е" принадлежат двум разным подмножествам из к 2-элементных подмножеств, на которые «визуально» разбито множество инцидентных О ребер.

Лемма доказана.

Покажем теперь применение теоремы для доказательства интервальной нераскра-шиваемости двудольных графов1 а, б и в.

Согласно лемме 3, если графы1а, б и в обладают интервальной раскраской, то с учетом симметрии в качестве характеристических -циклов без ограничения общности могут быть выбраны (см. примечания в конце каждого пункта доказательства леммы 3):для графа 1а -

L1 = О, (0, v5), vs, (v5, v1), v1, (v1, v2), v2, (v2, v3), v3, (v3, v6), v6, (v6,0), 0; для графа 1б-Ь2= O, (O, v4), v4, (v4, v1), v1, (v1, v5), v5, (v5,0), 0; для графа 1 в-

L3 = O, (0, v3), v3, (v3, v2), v2, (v2, v1), v1, (v1, v'2), v'2, (v'2, v'3), v'3, (v'3, 0), 0; здесь v'2 — любая вершина, смежная и отличная от v2, а v' 3 — любая вершина, смежная О и отличная от v3.

Вычислим тестовые значения: y(L1) = 2 + (к + 2) + 2 + (к + 2) + 2 — 3к — (6 — 2) = 6 — к; y(L2) = 3 + 2к + 3 — 3к — (4 — 2) = 4 — к; y(L3) = 2 + 3 + к + 3 + 2 — 2к — (6 — 2) = 6 — к.

Таким образом, тестовые значения у(^^),у(^2) и y(L3) отрицательны тогда и только тогда, когда к > 7, к > 5 и к > 7 соответственно. Согласно теореме в этих случаях графы 1 a, б и в интервально нераскрашиваемы (понятно, что авторы примеров выбрали наименьшие возможные значения к).

Из сказанного ясно, что: а) для как угодно больших N' и А' существует интервально нераскрашиваемый двудольный граф cN > N' и А > А '; б) в каждом из трех рассмотренных -графов уменьшение значения к соответственно к <7,к <5 и к <7, приводит к неотрицательному тестовому значению соответствующего цикла.

Заключение

Интервальная реберная раскраска и паросочетания в двудольных графах, обладающие специфическими свойствами, служат удобными моделями для исследования задач о расписаниях без простоев (некоторые результаты см. в [5-1G]).

Статья написана при поддержке задания № 2G14/33 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России, а также Отдела математики и информатики ДНЦ РАН.

Литература

1. Aсpатян A.C., Камалян P.P. Интервальные раскраски ребер мультиграфа // Прикладная математика. - Вып. 5. - Ереван: Изд-во Ереван. ун-та, 1987. - С. 25 -34.

2. Севастьянов C.B. Об интервальной раскрашиваемости ребер двудольного графа // Методы дискретного анализа в решении экстремальных задач. - Т. 5G. - 199G. - C. 61-72.

3. Petrosyan P.A.and Khachatrian H.H. Intervalnon-edge-colorablebipartitegraphsandmultigraphs // J. Graph.Theory.- 2G14. - №76-Р. 2GG- 216.

4. Hansen H.M. Scheduling with minimum waiting periods (in Danish), Master's Thesis, Odense University, Odense. -Denmark, 1992.

5. Asratian A.S. and Kamalian R.R. Investigation on interval edge-colorings of graphs // Journal of Combinatorial Theory, S. B. - V. 62. - 1994. - Р. 34-43.

6. Hanson D., Loten C.O.M. and Toft B. On interval colorings of bi-regular bipartite graphs // Ars Combinatoria.- V. 50. -1998.- Р. 23-32.

7. МагомедовА.MКвопросуобинтервальнойD-раскраскедвудольныхграфов // Авто-матикаителемеханика. - 2015. - № 1. - С. 101-109.

8. Магомедов А.М., Магомедов Т.А. Реберно-вершинные инцидентные паросочета-ния в задачах расписаний // Прикладная дискретная математика. - 2015. - № 1 (27). -С. 92-95.

9. Магомедов А.М., Магомедов Т.А. Интервальная на одной доле правильная реберная 5-раскраска двудольного графа // Прикладная дискретная математика / Раздел «Прикладная теория графов». - 2011. - № 3. - С. 85-91.

10. Магомедов Т.А. Условия существования трансверсали и быстрый выбор элементов // Вестник ДГУ. - 2012. -Вып. 1. - C. 56-58.

Поступила в редакцию 18 апреля 2015 г.

UDC 519.1

Characteristic coloring cycle S.A. Lawrencenko1, A.M. Magomedov2

1 Russian State University of Tourism and Service; Russia, 141221, Moscow, Cherkizovo, Glavnaya Street, 99; [email protected]

2Dagestan State University; Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43 a; magomed-tagir1@yandex. ru

In this paper we consider only graphs which are finite, undirected, and have no loops. A proper edge-coloring of a graph G is a coloring of the edges of G soh that no two adjacent edges receive the same color. If С is a proper edge-coloring of G and vis the vertexinF(G), then S (у, С) denotes the set

of colors of edges incident to v. A proper edge-coloring С of a graph G with colors 1,____, í is called

an interval ¿-coloring if all t colors are used, and for any vertex vof G the set S (v, C) is an interval of integers. A graph G is called interval colorable if it is an interval ¿-coloring for some positive integer t.

In 1990 Sevastynov constructed a bipartite graph with 28 vertices and maximum degree 21 which has no interval coloring. In 1991 Erdos constructed a bipartite graph with 27 vertices and maximum degree 13 which has no interval coloring. During 1990-2013, Erdos's counterexample remained smallest (in a sense of maximum degree) known bipartite graph which is not interval colorable. But in 2013 Petrosyan and Khachatrian constructed three bipartite graphs which have no interval coloring, contain 20, 19, 21 vertices and have maximum degree 11,12,13, respectively.

Interval edge coloring is effective graph coloring model for studying scheduling problems with no downtime. In this paper we give a new sufficient conditions that the given graph has no interval edge coloring.

Keywords:graph, edge coloring, cycle, vertex, interval, schedule.

Received18 April, 2015