CC BY
9УДК 519.1+519.8
А.М. Магомедов, М.А. Магомедов
Условия существования рёберной раскраски
Дагестанский государственный университет, magomedtagir1@yandex. ru
Рассматривается двудольный граф G = (X, Y, E), где степени всех вершин множества X равны 2. Найдены условия существования реберной раскраски специального вида.
Ключевые слова: двудольный граф, реберная раскраска, NP-полнота.
Bipartite graph G = (X, Y, E), where degrees of every vertex of set X is equal to 2, considered. Conditions of existence of edge coloring a special aspect are discovered.
Keywords: bipartite graph, interval coloring, NP-completeness.
Введение
Вопросы рёберной раскраски графов находят применение в задачах расписаний и разбиений. Под рёберной раскраской понимают отображение множества рёбер в множество натуральных чисел. Рёберная раскраска называется правильной, если цвета любых смежных рёбер различны. Наименьшее число цветов, достаточное для правильной рёберной раскраски графа G, называется ребёрным хроматическим индексом и обозначается % '(G) ; наибольшую степень вершины графа G принято обозначать через A(G). В случае двудольных графов A(G) = %(G). Для общего случая Визинг установил [1], что A (G )<%(G )< A (G ) +1. Holyer показал, что задача проверки равенства A (G ) = % (G )
NP-полна даже в случае однородных графов [2].
Правильная раскраска рёбер называется интервальной, если для каждой вершины номера цветов инцидентных рёбер заполняют некоторый интервал [3]. Задача интервальной раскраски возникает при построении расписания отправления сообщений между узлами сети [4]; цвета рёбер интерпретируются как дискретные моменты времени и требуется, чтобы каждый узел осуществлял предписанные действия без простоев.
Исходные данные к расписанию, где в системе объектов X обслуживаются объекты множества Y, обычно представляются в виде двудольного графа G = (X, Y, E). Если степень каждой вершины из X равна a, будем говорить, что G является (a, *) -графом; если при этом степень каждой вершины из Y равна (не превосходит) b , будем говорить, что G является (a, b) -графом ( (a, < b) -графом). В [5] отмечено, что впервые вопрос об интервальной раскрашиваемости ( a, b ) -графа сформулировал Hansen, который в 1992 г. доказал [6], что (а, 2) -граф интервально раскрашиваем при любом чётном а. В связи с этим
уточним, что в 1991 г. в [7] было, в частности, указано о построении (6,3)-графа G = ( X, Y, E) (из 60 вершин), для которого не существует рёберной раскраски в два цвета таким образом, что каждой вершине X инцидентны три ребра каждого из двух цветов, а в каждой вершине Y цвета всех трех инцидентных рёбер равны; легко видеть, что такой (6,3)-граф не является интервально 6-раскрашиваемым.
Для интервальной раскраски (а,2) -графа достаточно использовать а цветов [8]; в таких случаях говорят, что граф является интервально а — раскрашиваемым. Hanson, Loten и Toft доказали [9], что при нечётном A любой ( A,2 )-граф допускает интервальную раскраску A + 1 цветом. В [10] получены необходимые и достаточные условия интервальной 4-раскрашиваемости (4, < 4) -графа. В [11] показано, что двудольный граф, где наименьшая степень вершины равна 3, а наибольшая - 4, не всегда является интервально 4-
раскрашиваемым. В общем случае задача об интервальной раскрашиваемости заданного двудольного графа является, как доказал Севастьянов [12], МР-полной; приведенный в [12] пример двудольного графа содержит 28 вершин при Д = 21 (ссылки на другие примеры см. в [5]). При Д < 3 двудольный граф всегда допускает интервальную раскраску [6]. Легко видеть, что (а,а) -граф всегда интервально -раскрашиваем. В [13] доказано, что задача об интервальной 6-раскрашиваемости (6,3)-графа МР-полна.
Заметим, что результаты, относящиеся к правильной раскраске, используются, как правило, при построении расписаний, а результаты, относящиеся к интервальной раскраске, -при оптимизации расписаний. Обширный обзор задач теории расписаний приведен в [14]. Некоторые аспекты построения расписаний длительности 5 без простоев рассмотрены в [15].
Для (р, *) - графа О = (X, У, Е) в статье рассмотрена рёберная раскраска специального
вида, сужение которой на некоторое подмножество из Е обладает свойствами, эффективными для исследования интервальной раскрашиваемости.
Разбиения и раскраски
Приведем несколько определений из [16]. Пусть £ - некоторое множество, £0 ^ £, и задано разбиение Е = (££п) множества £. Разбиение множества £0 на подмножества £ £0,...,£„ £0будем называть Е -индуцированнымразбиением множества £ . Если ||£ £0||—|£; £0|| < 1 для всех 1 <г,7 <п, то Е-индуцированное разбиение будем
называть мягким п-разбиением, в противном случае - жестким п-разбиением множества £ . Разбиение Е множества £ на п подмножеств:
£1, £2,.,£п (1)
и разбиение А целого положительного числа а на п слагаемых:
а=а + а+. • •+а (2)
будем называть ассоциированными, если а = ||£|ах =|\,..,ап = ||£и||. Разбиение (2) целого положительного а будем называть мягким п-разбиением, если |аг - а | < 1 для всех 1 < г, 7 < п; в противном случае разбиение (2) будем называть жестким -разбиением. Операцию замены слагаемых а и а в разбиении А на
а7 =
а7 + ак
ак =
а7 + ак 2
назовем условной операцией (здесь Г П и Ь J обозначают соответственно верхнюю и нижнюю целые части аргумента); условную операцию назовем сближающей операцией, если в качестве а и а выбраны, соответственно, наибольший и наименьший элементы разбиения А. Операцию замены множеств и (||| = а] | = а) в разбиении (1) на
множества £j и £к (|||| = а], |£к|| = ак) назовем условной (сближающей) операцией,
если ей соответствует условная (сближающая) операция в ассоциированном разбиении (2). Будем говорить, что условная операция сохраняет разбиение (1), если соответствующая условная операция сохраняет (оставляет без изменений) ассоциированное разбиение (2). Утверждение 1 [16]. Условная операция преобразует мягкое разбиение к мягкому разбиению. Сближающая операция сохраняет мягкое и только мягкое разбиение. Под штрафом разбиения А будем понимать целое неотрицательное число
р(А)= ^ К -а;|.
1<;< ]<п
2
Утверждение 2 [16]. Любое жесткое разбиение А числа а допускает преобразование к мягкому разбиению выполнением не более (р( А) сближающих операций.
Двудольный граф О = (X, У, Е) будем называть ( а, Ь ) -графом, если йах = а Ух е X; тах ^у = Ь ; здесь а и Ь - целые положительные числа.
уеУ
Пусть р - некоторое целое положительное, О = (X, У, Е) является ( 2,2р +1) -графом, Е ^ Е, каждой вершине х е X инцидентно точно одно ребро, а каждой вершине у е У -не более р рёбер множества Е' (каждая вершина х е У насыщена в Е' точно один раз, а каждая вершина у е У -не более р раз). Подграф О' = (X ,У' , Е' ), порожденный множеством рёбер Е', называется p-каркасом графа О , если имеется вершина у е У , насыщенная в Е' точно р раз.
Рёбра каркаса удобно характеризовать в терминах освещенности: рёбра графа, принадлежащие каркасу, будем называть тёмными, остальные рёбра графа - светлыми. Для графа О = (X,У,Е) и множества цветов Р = {1,2,...,р} сюръекция С :Е ^Р называется рёберной p-раскраской; для каждой вершины V е X ^ У и каждого цвета г е Р обозначим через с(^ г) количество рёбер i-го цвета, инцидентных вершине V, и будем говорить, что в вершине V цвет г представлен с(V, г) раз.
Рёбернаяp-раскраска (2,2р +1) -графа О = (X, У, Е) называется выровненной, если:
1) в каждой вершине х е.^ представлен точно один цвет;
2) если ^у > 2, то |с (у, г)- с (у, 7)| < 1 для всех г, 7 е Ри у е Y (условие выровненно-сти).
Условие выровненности означает, во-первых, что в каждой вершине у е У любой
цвет г е Р представлен не более трёх раз, во-вторых, с(у, г) = 3 тогда и только тогда, когда
ёау = 2 р +1 и с (у,1)=... = с (у, г-1) = с (у,/ + 1) = ... = с(у,р) = 2 .
Выровненная p-раскраска и p-каркас называются согласованными., если цвета любых двух смежных тёмных рёбер различны. К структуре, состоящей из p-каркаса и согласованной с ним выровненной p-раскраски, будем применять термин «p-каркас-раскраска». Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 3 [17]. Если в связном (2,*)-графе О = (X,У,Е) существует некоторый 2-каркас О =( X, У , Е ), то граф О обладает 2-каркас-раскраской.
Теперь всё готово для изложения основного результата - обобщения Утверждения 3 на общий случай.
Утверждение 4. Пусть заданы целое положительное р и (2,2р+1) -граф О = (X, У, Е). Если |£| < р | Г(£) | для любого подмножества £ множества X, то граф О обладает p-каркас-раскраской.
Доказательство. Для каждой вершины у е У выполним замену вместе со всеми инцидентными рёбрами (х(1),у),...,(х^^,у) на р новых «дочерних» вершин у(1) ...,у(р) и рк
новых рёбер: ( х(1), у(1)),..., ( х(), у(1)),...,( х(1), у( р)),..., ( х(), у( р)).
Получим двудольный (2,*)-граф О = (X, У, Е ), удовлетворяющий условиям: < (£)| для любого подмножества £. множества X; через Г(£) обозначено множество вершин, смежных вершинам множества £ в графе О .
По теореме Холла ([18], с. 164) в графе О существует полное паросочетание М1 множества X с множеством У . Пусть О2 = (X2, У2, Е2) - подграф графа О2 , порожденный
набором рёбер, инцидентных в графе G вершинам степени 2p и 2p +1. Т.к. max dGx < 2p < min dG y, в графе G2 существует полное паросочетание Y2 с X2 ([18],
xeX2 2 yeY2 2
c. 16 5).
По теореме Мендельсона-Далмеджа ([17], c. 169) из ребер Mx ^Ы2 можно построить паросочетание, насыщающее в графе G все вершины множеств X и У2.
В дальнейшем термин освещение употребляется в том смысле, что рёбра данного паро-сочетания будем считать рёбрами «тёмного» типа, остальные рёбра графа - рёбрами «светлого» типа. Выполним отождествление каждого набора из p дочерх вершин с восстановлением родительской вершины и с сохранением освещенности ребра: если y(i -1 -вершина, дочерняя для y, освещённость ребра (x, y^) в графе G переносится на ребро
(x, y)-
В результате тёмные рёбра графа G образуют некоторый р-каркас G'. Для каждой вершины y е Y присвоим всем рёбрам тёмного типа, инцидентным вершине у, разные
цвета: 1,2,... Затем каждому светлому ребру (x,y) назначим цвет ребра тёмного типа, инцидентного вершине x. В результате получим р-раскраску C графа G, согласованную с р-каркасом G'.
Подчеркнем, что требуется получить выровненную р-раскраску, согласованную с некоторым р-каркасом. Рассмотрим множества S = {с (y ,1), • • • ,с (y, p )};1 <1 < l =| Y | .
Для каждого 1 = 1,2, • . .,/, для которого соответствующее множество S не выровнено,
выполним следующую итерацию. Начало итерации.
Выберем такие i0 и j, что max с(yt, к) = с(yt, /0), minк к< с(yt, к) = с(yt ), и рассмот-
1< к < p
рим множество рёбер цвета i0 и j0: E0 = {e е E :C (e)e {i0j}};
пусть G = (X0, Y, E) - граф, порождённый множеством E0; G0 - подграф графа G0, порождённый набором тёмных ребер.
Удалим цвета рёбер графа G, сохраняя при этом их освещённость. Очевидно, граф G удовлетворяет условиям Утверждения 3.
В результате применения Утверждения 3 получим выровненную 2-раскраску в цвета i0
и j0, согласованную с некоторым 2-каркасом в G (данный каркас снова обозначим через
G0, а для новой 2-раскраски графа G сохраним обозначение C), при этом объединение
ребер 2-каркаса G0 с набором тёмных рёбер дополнительного подграфа G является, очевидно, -каркасом графа G (для каркаса сохраним обозначение G').
В соответствии с новой раскраской графа G заново вычислим элементы множеств S, • .. , S и сделаем два замечания:
1. Новые значения элементов множества Sk,к ^i, получены выполнением над прежним множеством St некоторой условной операции; следовательно, согласно Утверждению 1, если для множества S ранее достигнуто свойство выровненности, это свойство сохраняется.
2. Значения элементов множества S те же, что получились бы вследствие выполнения сближающей операции над прежним множеством S ; следовательно, в соответствии с Утверждением 2, повторными итерациями можно построить выровненное множество S .
Если множество S не выровнено, повторим итерацию для текущего i. Конец итерации.
Таким образом, при итерациях, выполняемых с целью достижения свойства выровнен-ности очередного из множеств S, свойство выровненности, достигнутое ранее для множеств S, сохраняется; 2 <i < l.
Утверждение 4 доказано.
Статья написана при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» № 2011-1.3.2-111-017/12.
Литература
1. Визинг В.Г. Об оценке хроматического класса p-графа // Дискретный анализ. Сб. науч. тр. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1964. Вып. 3. - С. 25-30.
2. Holyer I. The NP-completeness of edge-coloring // SIAM J. Comput. 1981. V. 10. № 4. -P.718-720.
3. Асратян А.С., Камалян Р.Р. Интервальные раскраски рёбер мультиграфа // Прикладная математика. 1987. Вып.5. - Ереван: Изд-во Ереван. ун-та. - С. 25-34.
4. Jensen N.R., Toft B. Graph coloring problems. - New York: John Wiley & Sons, 1995.
5. Pyatkin A.V. Interval coloring of (3,4)-biregular bipartite graphs having large cubic subgraphs // J. of Graph Theory. 2004. V. 47. № 2. - P. 122-128.
6. Hansen H.M. Scheduling with minimum waiting periods (in Danish) // Master's Thesis, Odense University, Odense, Denvark. - 1992.
7. Магомедов А.М. К вопросу об условиях уплотнения матрицы из 6 столбцов // Деп. в ВИНИТИ. 1991.
8. Магомедов А.М., Рашайда А. Матрица расписания с двумя ненулевыми элементами в строке // Вестник ДГУ. 1999. Вып. 4.
9. Hanson D., Loten C.O.M., Toft B. On interval colourings of bi-regular bipartite graphs // ArsCombinat. 1998. V. 50. - P. 23-32.
10. Магомедов А.М. Условия и алгоритм уплотнения матрицы из 4 столбцов // Деп. в ВИНИТИ. 1992.
11. Giaro K. The complexity of consecutive Д-coloring of bipartite graphs: 4 is easy, 5 is hard // ArsCombin. 1997. 47. - P. 287-298.
12. Севастьянов С.В. Об интервальной раскрашиваемости рёбер двудольного графа // Методы дискретного анализа. 1990. Т. 50. - C. 61-72.
13. Asratian A.S., Casselgren C.J. Some results on interval edge colorings of (\alpha,\beta)-biregular bipartite graphs // Department of Mathematics. 2007. - Linkoping University S-581 83 Linkoping, Sweden.
14. Танаев В.С., Сотсков Ю.Н., Струсевич В.А. Теория расписаний. Многостадийные системы. - М.: Наука, 1989. - 383 c.
15. Магомедов А.М., Сапоженко А.А. Условия существования непрерывных расписаний длительности пять // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2011. Т. 34. № 1. - С. 39-44.
16. Магомедов А.М. Расслоение множества ребер двудольного графа // Научно-технические ведомости СПб ГПУ. Раздел «Математика». 2010. № 4 (109). - С. 150-155.
17. Магомедов А.М. Два частичных паросочетания в двудольном графе специального вида // Материалы X Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения» (Москва, МГУ, 1-6 февраля 2010 г.) / Под ред. О.М. Касим-Заде. - М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2010. - С. 310-312.
18. СвамиМ., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. - М.: Мир, 1984. - 455 с.
Поступила в редакцию 24 декабря 2010 г.
