ПОРЯДОК МУЛЬТИПЛИКАТОРА ШУРА СВОБОДНОЙ ГРУППЫ БЕРНСАЙДА ПЕРИОДА 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Б01 10.24412/с1-37220-2023-1-40-43

ПОРЯДОК МУЛЬТИПЛИКАТОРА ШУРА СВОБОДНОЙ ГРУППЫ БЕРНСАЙДА ПЕРИОДА 3

М.Р. Карапетян

Российско-Армянский (Славянский) университет тагта.кагарв1уап@гаи. ат

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе показано, что порядок мультипликатора Шура свободной конечной группы Бернсайда периода 3 с т порождающими равен 32Ст+4Ст+3Ст.

Ключевые слова: свободная группа Бернсайда, мультипликатор Шура, базисный коммутатор.

Введение

Мультипликатор Шура М(С) - конечной группы С является конечной «абелевой» группой. В данной работе изучается мультипликатор Шура свободной конечной группы Бернсайда периода 3 с т порождающими

М(В(т,3))

Основные определения

/ [^т, Цп\

Рассмотрим слова вида Ь^2 —Ьп, где каждый символ Ь представляет одну из букв х1, %2, ...,хг. Формальные коммутаторы и их веса определяются следующим образом:

1) С1 = = 1, ...,г - коммутатор веса 1, т.е. ш(х^) = 1,

2) Если С1 и С] - коммутаторы, то ск = [С(,С]\ - коммутатор и ш(ск) = и(с{) + ш(с/).

Скажем, что слово с^с^ — с1т, составленное из коммутаторов, собрано, если ^ < 12 < ••• < 1п, т.е. если коммутаторы расположены в порядке возрастания индексов слева направо. Произвольное слово из коммутаторов:

содержит собранную часть с^с^ ... сг , где 11 < 12 < ••• < Iп и 1п < I] ] = т + 1, — , п, и несобранную часть с^ —-с1п, где *п+1 уже не наименьший из индексов I], ] = т + 1,...,п. Собранная часть слова с^с^ — пуста, если только ^ - не наименьший из индексов ([1], глава 11).

п

Собирательный процесс состоит в том, чтобы коммутатор с наименьшим индексом несобранной части слова сделать первым в несобранной части. Это можно сделать по следующим формулам [1]:

1) vu = uv[v,u]

2) vu-1 = u-1v • v2v4 ...v-1v-1v--1(mod Fk+1)

3) v-1u = ир-1ш2ш4 ...w-1w-1(mod Fk+1)

4) v-1u-1 = u-1v1v3v5 ...v4-1v-1v-1(mod Fk+1),

где Fk+1 - (k + 1) -й член нижнего центрального ряда группы F, v0 = v и Vt+1 = [vt,u], Ш1 = [V,U], Mt+1 = [Mt,V].

v1 = [v,u], v2 = [v1,u], v3 = [v2,u] ...

ы1 = [V,U], Ш2 = Wi,v], Ш3 = ...

Коммутаторы, которые могут возникнуть в собирательном процессе, называются базисными.

Базисные коммутаторы группы F с образующими Х1,Х2, ...,хг определяются следующим образом:

1) С; = Xj,i = 1,...,r - базисные коммутаторы веса один, = 1.

2) Пусть базисные коммутаторы весов, меньших n, уже определены. Тогда базисными коммутаторами веса n являются коммутаторы c^ = [cj, Cj], где

a) c и cj - базисные коммутаторы и w(q) + ^(cj) = n,

b) cj > cj, а если cj = [cs, ct], то cj > ct.

3) Коммутаторы веса n следуют за коммутаторами весов меньших n, и между собой они упорядочены произвольным образом. Базисные коммутаторы считаем пронумерованными так, что они упорядочены по индексам.

Итак, повторное применение замен приводит к записи произвольного элемента f группы F в виде слова из базисных коммутаторов:

f = с^с^2 ...с^ (mod Fk+1), где с1, ...,ct - базисные коммутаторы весов 1,2, ...,к.

Основные результаты

По определению мультипликатора Шура группы Бернсайда периода 3, любое его слово может быть представлено как в виде произведения кубов, так и в виде произведения коммутаторов. Отсюда следует, что циклическое вращение любого слова из мультипликатора Шура совпадает с ним.

Слова мультипликатора Шура группы Бернсайда периода 3 с двумя порождающими {а, Ь} можно разложить на произведение коммутаторов вида: [b, a], [b, а-1^, [b-1, а], [Ь-1, а-1]. Такие коммутаторы коммутируют в группе Бернсайда периода 3. Также кубы таких коммутаторов равны единице в

42

М.Р. Карапетян

группе Бернсайда периода 3. Следовательно, куб любого слова мультипликатора Шура равен единице.

Аналогичные рассуждения верны для мультипликатора Шура группы Бернсайда периода 3 с т порождающими. Сумма степеней каждой образующей буквы В(т, 3) в слове из мультипликатора Шура равна нулю. Поэтому при применении собирательного процесса над словами мультипликатора Шура остаются только базисные коммутаторы веса >2. В частности, для мультипликатора Шура группы Бернсайда периода 3 с двумя порождающими { а,Ь} , остаются только следующие базисные коммутаторы веса 3: [[ Ь, а], а\, [[Ь, а], Ь]. Для мультипликатора Шура группы Бернсайда периода 3 с тремя порождающими { а, Ь, с}, кроме базисных коммутаторов веса 3, остаются только следующие базисные коммутаторы: [[[ с, а], Ь] с], [[[с, а], Ь], ь],

[[[Ь,а] , с],с\, [[Ь, а], с] ■ [[с, а], Ь]. Для мультипликатора Шура группы Бернсайда периода 3 с четырьмя порождающими { а, Ь, с, й}, кроме базисных коммутаторов веса 3 и 4, описаннных выше, остаются только следующие базисные коммутаторы веса 4: [[[¿,а],Ь],с],[[[Ь,а], с],й], [[[с,а],Ь],й]. Базисные

коммутаторы большего веса будут равны единице в мультипликаторе Шура, так как они будут содержать базисный коммутатор меньшего веса, который является словом в мультипликаторе Шура.

Итак, порядок мультипликатора Шура свободной группы Бернсайда периода 3 с образующими {х1,х2, ...,хт} равен 32Ст+4Ст+3Ст, а образующие элементы имеют вид:

[[Xу, Х^Х^], [[ху, х]\,ху], [[[Хк, XI], X)] , Х^], [[[Хк, XI], Ху], ху], [[[ху, хД, хк], хк], [[ху,Хг],х^] ■ [[Хк,Х!],Ху], [[[Хг,Х^,Ху],Хк], [[|ху,Х^,Хк],Хг], [[[Хк,Х^|,Ху],Хг|

где I < ] < к < I.

ЛИТЕРАТУРА

1. М. Холл. Теория Групп, М., ИЛ, 1962.

THE SCHUR MULTIPLIER ORDER OF THE FREE BURNSIDE GROUP OF PERIOD 3

M. Karapetyan

Russian-Armenian (Slavonic) University marina.karapetyan@rau. am

ABSTRACT

In this paper shown that the Schur multiplier order of the free Bumside Group period 3 with rank m equals

Keywords: free Burnside group, Schur multiplier, basic commutator.