ВЕРШИННО-РАЗЛИЧАЮЩИЕ РЕБЕРНЫЕ РАСКРАСКИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ГРАФОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Б01 10.24412/с1-37220-2023-1-53-55

ВЕРШИННО-РАЗЛИЧАЮЩИЕ РЕБЕРНЫЕ РАСКРАСКИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ГРАФОВ

Т.К. Петросян1, П.А. Петросян1,2 Российско-Армянский (Славянский) университет Ереванский государственный университет

tigran.petrosyan@student.rau.am, petros_petrosyan@ysu.am

АННОТАЦИЯ

Для графа б функция /\Е(С) ^ N называется «реберной раскраской» графа б. Реберная раскраска / графа б называется «правильной», если для любых смежных ребер е,е' ЕЕ (С), /(е) ф /(в'). Если / - правильная раскраска графа б и V Е У(й), то обозначим через множество цветов ребер, инцидентных вершин V. Правильная раскраска / графа б называется «вершинно-различающей», если для любых различных вершин Е Б(и,/) ф Наименьшее число цветов, необходимое для вершинно-различающей реберной раскраски графа б, называется «вершинно-различающим хроматическим индексом» и обозначается х'а(^). Полным расщепляемым графом называется граф, в котором вершины можно разбить на клику и независимое множество вершин, каждая из которых соединена со всеми вершинами клика. Кубом Фибоначчи Еп называется подграф п-мерного куба <2П, порожденный вершинами, которым соответствуют битовые строки без подряд идущих двух единиц. В данной работе найдены некоторые оценки для вершинно-различающего хроматического индекса полных расщепляемых графов и кубов Фибоначчи.

Ключевые слова: правильная реберная раскраска, вершинно-разли-чающая раскраска, вершинно-различающий хроматический индекс.

Введение

Пусть С - неориентированный граф без кратных ребер и петель, У(С) -множество вершин графа С, Е(С) - множество рёбер графа С. Обозначим через СБпт - полный расщепляемый граф с кликой из п вершин и с независимым множеством т вершин, а через Рп - п-мерный куб Фибоначчи. Неопределяемые понятия и обозначения можно найти в [6].

Правильная реберная раскраска / графа С называется «вершинно-различающей», если для любых различных вершин и,рЕ У(С), Б(и,/) ф Б(у, /). Наименьшее число цветов, необходимое для вершинно-различающей реберной раскраски графа С, называется «вершинно-различающим хроматическим индексом» графа С и обозначается через Хуй(^). Определение вер-шинно-различающей раскраски графа было введено в [1,2] и, независимо, как

54

Т.К. Петросян, П.А. Петросян

«наблюдаемость» графа в [3-5]. В частности, авторами [2] были доказаны следующие результаты.

Теорема 1. Для любого натурального п > 3 имеет место равенство: ^ т, если п — нечетное число,

тъ) {п + 1, если п — четное число.

Теорема 2. Для любых натуральных т и п (п > т > 2) имеет место равенство:

_ т + 1, если п > т > 2, 1п + 2, если п = т > 2.

Целью настоящей работы является исследование вершинно-различающих рёберных раскрасок полных многодольных графов.

Основные результаты

Прежде всего, нами найдена верхняя оценка (^n,m) Для произвольных натуральных m и п. Именно, доказано

Теорема 3. Для любого расщепляемого графа G = CSn,m имеет место.

= т + п, при m + п — нечетном, ^m + n — — m + n + 1, при m + n — четном.

Также найдена верхняя оценка хроматического индекса для графов Фибоначчи.

Теорема 4. Для произвольного графа Фибоначчи с п вершинами (п > 2).

n—— n+1

ЛИТЕРАТУРА

1. Burris A. Vertex-distinguishing edge-colorings. Ph.D. Dissertation, Memphis State University (1993).

2. Burris A., Schelp R. Vertex-distinguishing proper edge-colorings. J. Graph Theory 26, 7382 (1997).

3. Cerny J., HornakM., SotakR. Observability of a graph. Math. Slovaca 46, 21-31 (1996).

4. Hornak M., Sotak R. Observability of complete multipartite graphs with equipotent parts. Ars Comb. 41, 289-301 (1995).

5. HornakM., SotakR.Asymptotic behavior of the observability of Qn. Discrete Math. 176, 139-148 (1997).

6. West D. Introduction to Graph Theory - Prentice-Hall, New Jersey, 2001.

Применение методов интеллектуального анализа данных для управления учебным

55

VERTEX-DISTINGUISHING EDGE COLORINGS OF SOME TYPES OF GRAPHS

T. Petrosyan, A. Petrosyan

Russian-Armenian (Slavonic) University Yerevan State University

ABSTRACT

For a graph G, the function /: (G) ^ N is called the "edge coloring" of graph G. An edge coloring / of a graph G is called "regular" if for any adjacent edges e,' £ £(G), /(e) ^ /(e'). If / is a regular coloring of the graph G and v £ (G), then let us denote the set of colors of edges incident to vertices v by /). Regular coloring / of graph G is called "vertex-distinguishing" if for any different vertices u, v £ V(G), S(u, /) ^ /). The smallest number of colors required for vertex-distinguishing edge coloring of the graph G is called the "vertex-distinguishing chromatic index" and is denoted by jvd' (G). Full fissile graph is the one where the vertices can be divided into a clique and an independent set of vertices, each of which is connected to all vertices of the clique. Fibonacci cube Fn refers to a subgraph of the n-dimensional cube Qn generated by the vertices that match bit strings without consecutive two units. In the present paper, some estimations for the vertex-distinguishing chromatic index of complete fissile graphs and Fibonacci cubes are found.

Keywords: regular edge coloring, vertex-distinguishing coloring, vertex-distinguishing chromatic index.