О СИЛЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ШАРОМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2021

• ФИЗИКА •

Вып. 4

УДК 537.2 PACS 41.20.Cv

О силе взаимодействия точечного заряда с диэлектрическим шаром

В. А. Саранин

Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко, Глазов, Россия email: val-sar@yandex.ru

Приведено решение задачи о силе взаимодействия точечного заряда с диэлектрическим шаром, которое представляется в виде бесконечной суммы. Показано, что в случае, когда диэлектрическая проницаемость шара стремится в бесконечность, сила взаимодействия стремится к силе взаимодействия точечного заряда с проводящим изолированным шаром, которая содержит всего одно слагаемое. На основе полученных результатов предложена простая приближенная формула для расчета силы взаимодействия точечного заряда и диэлектрического шара, содержащая тоже только одно слагаемое. Используя полученную формулу, решена задача о силе взаимодействия точечного заряда и одноименно заряженного диэлектрического шара. Для различных значений параметров построены нейтральные кривые, разделяющие области действия сил отталкивания и притяжения.

Ключевые слова: сила электростатического взаимодействия; точечный заряд и диэлектрический шар; заряженный диэлектрический шар.

Поступила в редакцию 17.11.2021; после рецензии 04.12.2021; принята к опубликованию 04.12.2021

About force of interaction of a point charge with a dielectric ball

V. A. Saranin

Korolenko Glazov State Pedagogical Institute, Glazov, Russia email: val-sar@yandex.ru

The decision of a problem on force of interaction of a point charge with a dielectric ball which is represented in the form of the infinite sum is resulted. It is shown that in a case when dielectric permeability of a ball aspires in infinity, force of interaction aspires to force of interaction of a point charge with the conducting isolated ball which contains only one composed. n the basis of the received results the simple approached formula for calculation of force of interaction of a point charge and the dielectric ball, containing too only one composed is offered. Using the received formula, the problem about force of interaction of a point charge and the same charged dielectric ball is solved. For various values of parameters the neutral curves dividing scopes of forces of pushing away and an attraction are constructed.

Keywords: a force of electrostatic interaction; a point charge and a dielectric ball; an electrostatic dynamometer

Received 17.11.2021; revised 04.12.2021; accepted 04.12.2021 doi: 10.17072/1994-3598-2021-4-58-63

© Саранин В. А., 2021

распространяется на условиях лицензии

Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).

1. Введение

Задача о взаимодействии точечного заряда и диэлектрического шара имеет как научно-методическое, так и прикладное значение, например, в физике пылевой плазмы [1]. В цитируемой работе рассмотрено электростатическое взаимодействие диэлектрической частицы с точечным зарядом в присутствии внешнего однородного электрического поля.

Как известно (см., например, [2, с. 61]), задача о взаимодействии точеного заряда с диэлектрическим шаром в конечном виде не решается. То есть в отличие от систем точечный заряд - диэлектрическое полупространство и линейный заряд - диэлектрический цилиндр электрическое поле системы точечный заряд - диэлектрический шар нельзя представить в виде суперпозиции полей заряда и конечного числа зарядов-изображений. Однако, используя специальные методы, можно найти потенциал поля такой системы в виде бесконечного ряда [3]. Зная потенциал, нетрудно найти энергию и силу взаимодействия.

В настоящей работе проведено теоретическое и экспериментальное исследование взаимодействия точечного заряда (в эксперименте малого шарика) и диэлектрического шара, которое позволило выявить ряд особенностей.

2. Теория

Конспективно изложим решение задачи о нахождении потенциала в системе точечный заряд - диэлектрический шар, аналогичное приведенному, например, в [3].

Пусть в среде с диэлектрической проницаемостью е находятся точечный заряд ц и диэлектрический шар радиуса Я с проницаемостью е2 . Будем искать решение уравнения Лапласа для потенциалов в сферических координатах, считая, что оно не зависит от угла ф . Тогда решение можно представить в виде ряда по полиномам Ле-жандра. С другой стороны, решение для потенциала в точке М (рис. 1) имеет вид

ф = **.

Е г,

(1)

Чтобы удовлетворить граничным условиям требуется представить это решение также в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра. Для этого запишем

1 = 1(1 + а2 - 2а соьв)-1/2, а = - . г I I

(2)

Рис. 1. Расположение координат и точки наблюдения

1 1

-1 I

1 + а соь в + а (— соь в--) +.

2 2

(3)

В скобках видны три первых полинома Лежандра Р0, р, р, поэтому

=Е ± {г1 р- <сов.

(4)

Если г > I, то в разложении (4) г и I надо поменять местами.

Решение для потенциала поляризованного шара вне и внутри его представим в форме

Ь

= Е-ПГГ Р (сов =

Ф, =Ёс«г"Р„(соьв).

(5)

Общий потенциал поля вне шара, но вблизи его поверхности теперь представляется в виде

= ф„ +Ф

(6)

При этом в (4) переменная I имеет смысл расстояния от центра шара до точечного заряда. Для определения постоянных Ьи, си используем следующие граничные условия:

фе (г = Я) =ф (г = Я) ,

дф

г ое

д г

дф д г

(7)

Будем считать, что точка М находится внутри воображаемой сферы радиуса I. Тогда а < 1 и выражение (2) можно разложить в ряд Тейлора:

Постоянная с нас интересовать не будет, а для постоянной Ь можно получить следующее выражение:

кд(Е2 — е ) пЯ2"+1

Ь = —

п ;п+1

Е [е (п +1) + ПЕ2 ]

(8)

п=0

п=0

Теперь для потенциальной энергии взаимодействия заряда и шара получаем

W = ■

(r = l, в = 0) =

kq2(s2 -s1).

nR2

2s1 n=o l2n+ 2[s1(n +1) + ns2]

(9)

Для силы, действующей на заряд, имеем

dW

Fl =-

F =-

dl '

kq1(s2 -Si)

sx R2

(n + 1)n ( R

n=0 K(n +1) + ns2] ^ l

(10)

Покажем, что предел

соответствует ре-

зультату для силы в случае проводящего изолированного шара. В случае для суммы получаем

V (n +1)_ 2 3 4 5

5 = ^ 2n+3 = "7 + "7 + + "71

R

(11)

Здесь учтено, что слагаемое с п = 0 согласно (10) выпадает. Преобразуем ряд (11) к виду

„ 2 ( 3/2 2 5/2

5 = 7 1 + — +7 + —

(12)

Сумму, стоящую в скобках, можно записать в виде:

5 = (1 + ay + (a + b)y2 + (a + 2b)y3 +...) ,

У = F

3 A 1

a = — , b = — . 2 2

(13)

Сумма такого ряда известна [5, с. 13], она равна

5 = 1 + ay +(b - a) y 2 = 1 +

1 (1 - y )2

3x2 - 2 2(x2 -1)2

(14)

Окончательно, с учетом (10)-(14) и простых преобразований, можно получить выражение для силы взаимодействия точечного заряда с изолированным проводящим шаром (см., например, [6], с. 53).

F =-

kq2 (2x2 -1)

1R X (x2 -1)2

(15)

При s2 > sx имеем силу притяжения, при обратном неравенстве реализуется отталкивание.

Поскольку потенциал фе является внешним по отношению к заряду, то множитель 1/2 в правой части выражения для потенциальной энергии требует некоторого пояснения. Малое изменение потенциальной энергии заряда равно dW = qdфе. Для зарядов, индуцированных зарядом q , имеем ф = const • q . Интегрирование дает

W = const • q2 /2. Этот вывод имеет общий характер [4, с. 246].

В воздухе можно положить sx = 1.

Результаты расчетов силы в зависимости от расстояния между зарядом и центром шара показаны на рис. 2. Сила измеряется в единицах Fc = kq2 / R2, расстояние - в единицах R . Линии 1, 2 - расчет по формуле (10) для значений s2 = 2, 5, линия 3 - расчет по формуле (15). В расчете по формуле (10) в сумме удерживалось 100 слагаемых (проверочные расчеты с удержанием 150 слагаемых практически не меняли результата). Расчет производился в пакете Mathcad. Видно, что все три прямые параллельны. Это означает, что соответствующие зависимости отличаются постоянным множителем, зависящим от диэлектрической проницаемости шара. В частности, сила, действующая на точечный заряд со стороны парафинового шара, в 4 раза меньше, чем таковая со стороны такого же проводящего шара (в диапазоне параметров, показанных на рис. 2).

Рис. 2. Зависимости силы взаимодействия заряда и шара от расстояния от заряда до центра шара в логарифмической шкале и безразмерных единицах

3. Приближенная формула

Для нахождения постоянного множителя рассмотрим поляризованный шар радиуса R и с ди-

n=1

l

x =

1

электрической проницаемостью е . Напряженность поля поляризованного шара вне его равна

(

Е =к

к = -

3 (рг)г — рг1

Але,,

(16)

Здесь р - дипольный момент шара, Я - радиус шара. В проекции на полярную ось, на которой расположен точечный заряд, имеем

Е =— ^ = 13

(17)

где I - расстояние от центра шара до заряда. Рассмотрим случай, когда I >> Я , в этом случае поле точечного заряда можно считать однородным. Тогда для дипольного момента шара получим [1, с. 88]

с ростом расстояния от заряда до шара. Тем самым в большинстве практически интересных случаях вместо громоздкой формулы (10) можно использовать простую приближенную формулу (21).

0,2?

0,2

0,15

0,1

0,05

1 1 1 1-Х 1 1 = 1,1

2-Х = 1.3

з-л: = 1,5

-

- -

| 1 | | I

10 1? 20 2?

Я

Рг =-~Т

Е- 1

Е0« — Я

Е- 1 ^ Ц

к и + 2 ) и + 2 ) I

Сила, действующая на заряд, равна ка2 (е- 1 ^ 1

Р = аЕг = I—1 -.

Я I е + 2 ) х

(18)

(19)

Выражение для силы (15) на больших расстояниях также имеет асимптотику 1/ х5, поэтому можно предположить, что искомый постоянный множитель равен

^ Е -1Л

ЧЕ2 + 2 )

(20)

А для силы, действующей на точечный заряд со стороны диэлектрического шара вместо громоздкой формулы (10) можно записать простую приближенную формулу

(а) _ _к01 (2Х2 - 1)

Р1

Т>2 3 / 2 -.42

Я х (х -1)

Е2 - 1

че2 + 2

(21)

Вычислим относительную ошибку, даваемую приближенной формулой:

3 =

И1 -| р И1

(22)

Рис. 4. Зависимость относительной ошибки при использовании приближенной формулы для расчета силы от диэлектрической проницаемости шара при разных расстояниях от заряда до центра шара

4.Заряженный шар

Предположим теперь, что диэлектрический шар равномерно заряжен до заряда Q, имеющего тот же знак, что и точечный заряд. В подобном случае проводящего шара к силе (15) добавляется куло-новская сила взаимодействия заряда шара, расположенного в его центре, с точечным зарядом [6]. В свете изложенного в пункте 3 логично в случае диэлектрического шара добавить кулоновскую составляющую к силе (21). Тогда получим

Р (а) = -Г®

кц (2х2 -1)

(

Р а = -

а

а = —

Я2 х3(х2-1) kqQ

Е2-1

V Е2 + 2,

Л

кзЯ_

Я2 х2

1-

а (2 х -1)

( .

х(х2 -1)2

1

V Е2 + 2 )

(23)

На рис. 4 представлен график зависимости относительной ошибки от диэлектрической проницаемости шара при различных значениях расстояния от заряда до центра шара. Видно, что при е2 > 2 и х > 1,5 относительная ошибка, даваемая приближенной формулой (21), менее 10 % и уменьшается

Q

Видно, что при малых а сила имеет характер силы отталкивания, а с увеличением этого параметра меняет знак, становясь силой притяжения. Критическое значение параметра а дается выражением

1

2

22 Я х

Рис. 5. Нейтральные кривые. Ниже кривых область действия силы отталкивания, выше - притяжения

Рис. 6. Нейтральные кривые для х = 2 (1) и х = 3 (2). Ниже кривых область действия силы отталкивания, выше - притяжения

/2 1Ч2 f x( x —1)

(2 x2 — 1)

s2 + 2 e2 — 1

(24)

На рис. 5, 6 изображены нейтральные кривые на плоскостях (х, а) и (е2, а) для е2 = 2, 5, да (рис. 5, кривые 1, 2, 3 соответственно), и для х = 2, 3 (рис. 6, кривые 1, 2 соответственно). Область ниже кривых соответствует действию силы отталкивания, область выше кривых - силы притяжения.

5.Заключение

В пределе бесконечно большой диэлектрической проницаемости шара сила взаимодействия стремится к силе взаимодействия точечного заряда с проводящим изолированным шаром.

Для диэлектрических проницаемостей шара е> 2 и расстояний от заряда до поверхности шара более половины его радиуса вместо громоздкой формулы с бесконечным числом слагаемых можно использовать простую приближенную формулу для силы взаимодействия точечного заряда и изолированного проводящего шара с дополнительным множителем равным (е -1)/(е + 2) с погрешностью, не превышающей 10 %.

Если диэлектрический шар равномерно заряжен зарядом того же знака, что и точечный, то с помощью приближенной формулы можно найти области параметров, внутри которых сила имеет характер силы отталкивания, и области параметров, внутри которых она имеет характер силы притяжения.

Список литературы

1. Муниров В. Р., Филиппов А.В. Взаимодействие диэлектрической макрочастицы с точечным зарядом в плазме // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2012. Т. 142. Вып. 3. С. 594-602.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. С. 61.

3. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 540 с.

4. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Сборник задач по электродинамике. М.: Наука, 1970. 246 с.

5. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973. С. 13.

6. Саранин В. А. Метод электрических изображений в задачах и экспериментах: монография. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012. 53 с.

References

1. Munirov V. R., Philippov A. V. Interaction of a dielectric macroparticle with a point charge in plasma. JETP, 2012, vol. 115, no. 3, pp. 527 - 534. DOI: 10.1134/S1063776112080146.

2. Landau L. D., Lifshits E. M. Eletrodinamika sploshnih sred (Electrodynamics of continuous media). Мoscow: Nauka, 1982. P. 61 (In Russian).

3. Stratton J. A. Electromagnetic Theory, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1941.

4. Batygin V. V., Toptygin I. N. Sbornik zadach po elektrodinamike (Collection of problems electro-

dynamics). Moscow, Nauka, 1970, p. 246 (in Russian).

5. Dwight H. B. Tables of integrals and other mathematical data, New York: The Macmillan Company, 1961, p. 13.

6. Saranin V. A. Metod elektricheskih izobrazheniy v zadachah i eksperimentah (Method of electrical image in problems and experiments). Moscow -Izhevsk, Publ. "Regular and Chaotic Dynamics", 2012. 53 p. (in Russian).

Просьба ссылаться на эту статью в русскоязычных источниках следующим образом:

Саранин В. А. О силе взаимодействия точечного заряда с диэлектрическим шаром // Вестник Пермского университета. Физика. 2021. № 4. С. 58-63. doi: 10.17072/1994-3598-2021-4-58-63

Please cite this article in English as:

Saranin V. A. About force of interaction of a point charge with a dielectric ball. Bulletin of Perm University. Physics, 2021, no. 4, pp. 58-63. doi: 10.17072/1994-3598-2021-4-58-63

Сведения об авторах

1. Владимир Александрович Саранин, доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры физики и дидактики физики, Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко, ул. Первомайская, 25, Глазов, 427621

Author information

1. Vladimir A. Saranin, Doctor of the Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of Physics Department of Korolenko Glazov State Pedagogical Institute, Pervomaiskaya str. 25, Glazov, Russia, 427621