Электростатическое взаимодействие заряженных проводников на близких расстояниях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Серия: Физика Вып. 2 (24)

УДК 537.2

Электростатическое взаимодействие заряженных проводников на близких расстояниях

Е. Л. Тарунин

Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Методом сеток решена задача об отталкивании двух одноименно заряженных проводников в форме цилиндров (шайб). Распределение потенциала вне проводников находилось из решения соответствующей задачи Дирихле. Как и в [1], показано, что при малых расстояниях между телами сила взаимодействия существенно отличается от закона Кулона для точечных зарядов. Показано влияние толщин шайб на силу отталкивания.

Ключевые слова: закон Кулона; метод сеток; задача Дирихле 1. Введение

При сближении заряженных проводников происходит перераспределение зарядов на поверхности проводников. Это перераспределение заряда меняет, в свою очередь, и силу, действующую на проводники. Распределение потенциала электростатического поля находилось конечно-разностным методом. При программировании использовалась версия языка Паскаль АВС, позволяющая использовать массивы большого размера.. В данной работе продолжено рассмотрение взаимодействия заряженных проводящих тел в форме цилиндров (шайб) [4]. В выводах [4] было отмечено, что наличие прямых углов цилиндров не позволяет получать точные результаты, так как известно, что углы являются особенностью, в них повышенная плотность зарядов и высокое напряжение. Поэтому было сказано, что дальнейшие расчеты будут выполняться для проводящих шаров, которые не имеют подобных недостатков. Анализ результатов [4] позволяет считать их во многом правильными, а модель - вполне пригодную для поиска важных зависимостей. В данной работе на модели [4] выяснена роль толщин проводников. В случае шаров это сделать невозможно.

1.1. Постановка задачи и метод решения

Разрез геометрической цилиндрической области изображен на рис.1. Круглые шайбы расположены на оси, проходящей через их центры. Здесь Я1 - радиус первой шайбы, Я2 - радиус второй

шайбы (Я2 > Я1). Толщины шайб равны соответственно £1=х2-х1, £2=х4-х3. Римскими цифрами обозначены области интегрирования. При равенстве радиусов шайб область IV отсутствует.

R3

R2 R1

V

IV

I II

III

x1 x2

x3

x4

x

Рис. 1. Геометрия области

Использованы основные положения электростатики [5], согласно которым свободные заряды на проводящих телах располагаются только на его поверхности, поверхностная плотность заряда на проводнике пропорциональна нормальной составляющей индукции электрического поля:

о = Dn = 8 So En. (1.1)

Здесь s - диэлектрическая постоянная среды, S0 - const (s ~ 8.85-10-12Кл2/(Н • м2). Напряженность электрического поля связана с потенциалом поля соотношением

E = -grad(ф) .

(1.2)

Полный заряд на проводнике вычисляется по формуле

r

0

© Тарунин Е. Л., 2012

Q = { DndS = ее01 EndS = —ЕЕ,dS. (1.3)

Задача решается в безразмерных переменных. Полагается, что Е = 1, Е0 = 1. В качестве единицы расстояния выбран радиус первой шайбы Ю. Расчеты выполняются в предположении осевой симметрии в области цилиндрических координат (х, г). Уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах для потенциала, имеет вид

1 8 8ф 82ф

Аф =--(г—) + —^ = О-

г 8г 8г 8x

(1.4)

Параметрами задачи являются: радиусы шайб R1, R2, толщины шайб L1, L2, расстояние между ближайшими торцами шайб L и заряды на шайбах Q1, Q2. Для расчетов используется квадратная сетка х = i ■ h, гк = k ■ h . Параметрами метода являются: И — шаг пространственной сетки, размеры области, на которой задается нулевое значение потенциала, точность решения уравнения Лапласа итерационным методом. Разностная аппроксимация уравнения Лапласа (1.4) на 5-точечном шаблоне [6-8] имела вид

V[i, к] = (С1[к] • V[i, к +1] + C2[к] • V[i, к -1] + + V[i +1, к] + V[i -1, к])/4.

(1.5)

При записи (1.5) заменено обозначение потенциала (ф^- V). Уравнение приведено к виду, удобному для использования итерационного метода. В целях сокращения затрат машинного времени переменные коэффициенты в (1.5) вычислялись до начала итераций С1[к]=1+0.5/к, С2[к]=1-0.5/к.

Для узлов на оси области для итерирования использовалась формула

V[/,0] = (V[г +1,0] + V[г —1,0] + 4 ■ V[г,1]) /6, (1.6)

которая получается при раскрытии неопределенности типа ноль на ноль предела цт(1 д^) при

г дг

г ^ 0 по правилу Лопиталя. Погрешность использованной аппроксимации уравнения Лапласа -О(И2).

По методу Зейделя, примененного к формулам (1.5), (1.6), определялись предварительные значения V [/, к]. Окончательные значения на (т + 1) итерации вычислялись с использованием идеи поточечной верхней релаксации [7]:

V(т+1)[/,к] = V(т)[г,к] + т ■ (К[/,к] — V(т)[/,к]). (1.7)

Оптимальный параметр верхней релаксации т определялся по формуле [7], зависящей от числа интервалов по осям прямоугольной области интегрирования х5,Я3. Итерации выполнялись с левого

нижнего узла области (i=1, k=1) направо и вверх.

Начальное значение потенциала во внутренних узлах области за пределами шайб равнялось нулю. Итерации прекращались при выполнении неравенства (максимум определялся по всем внутренним узлам области):

max|V[i,к]- V(m)[i,к]| <s = 36h2s0,s0 = 10-10. (1.8)

Задание числа интервалов на радиусе первой шайбы N0 (10 < N0 < 50) определяло шаг пространственной сетки h = 1 / N0 и целочисленные значения индексов для всех граничных значений (напомним, что все расстояния являются относительными по отношению к радиусу первой шайбы R1). Внешние границы области (х = 0, x = x5, г = R3) были отдалены от шайб на расстояние, пропорциональное ц R (ц- множитель, параметр метода). Левая и правая границы области отстояли от ближайшего торца на расстоянии X = ц • кх • R. Параметр кх так же, как и ц, естественно влиял на результаты расчетов. Определение "оптимальных" значений этих параметров выполнялось с помощью вычислительных экспериментов (ВЭ). Основные расчеты выполнялись при значениях ц = 40, кх = 0.6. Задание числа интервалов на радиусе первой шайбы N0 определяло число узлов пространственной сетки n = N0 • ц • (2ц • кх + L1 + L2 + L). При N0=50, L1 = L2=1, L=10n=120000.

В [4] для нахождения потенциалов на шайбах Vs1, Vs2 при заданных значения зарядов решалась так называемая "задача Робена" [8]. В этом случае вначале решались две вспомогательные задачи. Решив третью задачу с вычисленными потенциалами Vs1,Vs 2, определялось распределение зарядов на телах и вычислялась их сила взаимодействия.

В случае равных зарядов и одинаковых размеров шайб (именно такой вариант рассматривается в этой статье) нет необходимости решать вспомогательные задачи. В этом случае задаются произвольные равные значения потенциалов Vs1=Vs2 и решается одна задача.

Опишем формулы вычисления распределения зарядов. С учетом принятых допущений (е=е = 1) поверхностная плотность заряда

3ф. Полный заряд представляем в виде

= E„

8n

суммы трех слагаемых (аналогичные формулы используются для второго заряда) для трех поверхностей при х = х1, х = х2 и г = Я1:

q1=Qx1+Qx2+Qr1.

(1.9)

Производная по нормали вычислялась по разностным отношениям - со вторым порядком аппроксимации О (И2). В одномерном случае аппроксимация со вторым порядком имеет вид

2 V - 0.5 V -1.5 •У0 к

(х 3 (Зх3

(1.10)

Интеграл по поверхности вычислялся по формуле Симпсона с остаточным членом к:

!I(** - кI(/„.4А+м+к

3 к5

К -- (^).

Л 9 и

(1.11)

Так как суммирование в (1.11), согласно формуле Симпсона, идет только для нечетных индексов , число интервалов на интегрируемых участках должно быть четным. При вычислении поверхностных интегралов на торцевых поверхностях элемент поверхности равнялся (Л — 2жтйт — 2жтк .

Элемент силы, действующий на элемент поверхности при х — х1, вычислялся по формуле

I —-0.5 • Е2 • (Л , (Л — 2п • тЬ.

(1.12)

к1 — V Рг

(2.1.)

Р —■

4^2, 4ж(Ь . 0.5 *(4 . Ь2))2

рые располагаются на шайбах с равными значениями радиусов и толщин: К1=К2, Ь1=Ь2. В этом случае параметрами, определяющими значение этого коэффициента, являются расстояние между ближайшими торцами шайб Ь и толщина шайб Ь1.

Плотность распределения зарядов на поверхности проводников пропорциональна нормальной компоненте напряженности поля. В расчетах вычислялась зависимость Еп (5) = а( 5) и строился соответствующий график. Здесь 8 - расстояние от угловой точки первой шайбы (х1,0) до соответствующей точки на шайбе. Зависимость Еп (5) ^ ст(5)

для Ь1=\, 4=1 представлена на рис. 3 . Как видно, локальные максимумы напряженности поля достигаются в углах области. Интегральной характеристикой обсуждаемой зависимости является коэффициент

К —

тах Еп тт Е

(2.3)

Знак "минус" в этой формуле обусловлен тем, что внешняя нормаль к поверхности х — х1 противоположна положительному направлению оси х . Аналогичная формула использовалась для вычисления силы р , действующей на торец шайбы при

х — х2 . В итоге сила, действующая на первую шайбу, вычислялась как сумма р — р . р . Заметим, что сила, действующая на боковую поверхность шайбы (т — К1), не дает вклада в компоненту силы в направлении оси х.

Основное время при расчетах тратится на итерационный метод решения задачи Дирихле. Объем вычислений зависит от числа узлов области и от требуемой точности. Число требуемых итераций до выполнения неравенства (1.8) обычно не превосходило т — 6 ^ N0 (при ^=40, N0=50, т=12 тысяч).

2. Характеристики решения

Основной характеристикой решения задачи является безразмерный коэффициент, определяемый через отношение сил

Значение этого коэффициента увеличивается при увеличении числа интервалов на радиусе N0 (при значениях N0 24,32,44 соответствующие значения к3 = 21.64, 23.99, 26.62). Уменьшение расстояния между шайбами ведет к увеличению этого коэффициента. Интегральными характеристиками распределения зарядов являются доли зарядов на трех поверхностях: Рх1 при х=х1, Рх2 при х=х2 и при г = Ю. При Ь =10, например,

0х1 ~22.07% , дх2 » 21.32% , » 56.62%). Вычислялась также разница долей зарядов на торцевых поверхностях:

(вх — 0х1 - вх 2 ;

(2.4)

которая характеризует взаимное влияние заряженных проводников друг на друга. При сближении шайб эта разница возрастает. Доля заряда на боковой поверхности (т=К1) увеличивается при увеличении толщины шайбы (при Ь=1, например, соответствующие значения при 4=0.5, 1.0, 1.5 равны 53.9, 58.8,81.6%.

3. Результаты расчетов

Рассмотрим вначале результаты расчетов для фиксированного набора параметров

Vs1=Vs2=0.1, К1 — Ь1 — К2 — Ь2 — 1.

(3.1)

Здесь р1 - сила, действующая на первый заряд и вычисленная из решения задачи, а р0 - сила, вычисленная по формуле Кулона в предположении, что заряды сосредоточены в центре шайб:

д1* д_2 = д1* д2 . (2.2)

Коэффициент к показывает относительное отклонение от закона Кулона. Из постановки задачи следует, что этот коэффициент зависит от большого числа параметров. В этой статье рассматривается вариант с равными зарядами, кото-

Этот набор параметров описывает взаимодействие шайб с одинаковыми размерами, на которых задан одинаковый заряд. Расстояние между ближайшими торцами шайб изменялось от 10 до 0.25. Отдельно исследован предельный вариант соприкосновения шайб при Ь — 0.

Обсудим процедуру уточнения результатов расчета для набора параметров (3.1) при Ь — 8 и 1. В табл. 1 и 2 указаны значения коэффициента к1, полученные при использовании различного числа интервалов на радиусе N0 от 24 до 48.

Таблица 1. Значения коэффициента к1 при L=8

к1 1.18778 1.18266 1.17803 1.17384 3 1.17004 1.1180

N0 24 28 32 36 40 X

Таблица 2. Значения коэффициента к] при L=1

к1 1.89955 1.89181 1.88483 1.87852

N0 24 28 32 36

к1 1.8728 1.86759 1.86281 1.78862

N0 40 44 48 X

Как видно, с ростом N0 значения к1 монотонно убывают. Различия к1 для соседних значений в таблице изменяются от 0.43% до 0.32% при Ь=8 и от 0.41% до 0.2% при Ь=1. Предельные значения коэффициента, указанные в последнем столбце, получены с помощью аппроксимации зависимости к (к) полиномом второй степени р (к), построенным по трем наибольшим значениям N0 (к = 1/ N0). Указанная аппроксимация давала предельное значение коэффициента кх и двух коэффициентов с1, с2 :

к (к) = P (к) = к + сх ■ к + с2 • к2.

(3.2)

Любопытно, что главный вклад в погрешность дает слагаемое О(к), а также и то, что коэффициент с при второй степени пространственного шага отрицателен. Значения коэффициентов с1 , с2 позволяют выяснить, что "интервал главной погрешности" вычисления к (к) начинается со значений N0 > 94 при Ь=8 и со значений N0 > 100 при Ь=1. В качестве границы интервала главной погрешности принято условие выполнения неравенства О (к) > 10 • О {к2). Значения параметров

полинома позволяют также оценить значения N0 , обеспечивающие относительную погрешность менее 1% без используемой коррекции. В случае Ь=8 погрешность менее 1% достигается при N0 > 240, а в случае Ь=1 при N0 > 270. В случае Ь=8 соответствующий размер массива для функции тока должен быть более 78 млн. Эти данные свидетельствуют о целесообразности используемой обработки результатов, сокращающей объем вычислений более чем в 40 раз. Укажем, что при N0 = 48 время счета одного варианта на РС ТО-8И1БЛ около 4 ч.

Описанная обработка результатов расчета была использована и при других значениях расстояния между шайбами Ь от 0.25 до 10. Соответствующие результаты представлены в табл. 3. Во второй строке представлены значения коэффициента к1, полученные при наибольшем значении N0 (обычно 40 и 48 для Ь=0.5). В третьей строке указаны предельные значения кх, полученные с помощью аппроксимации полиномом второй степени (3.2).

Таблица 3. Отношения сил при толщинах шайб Ь = Ь = 1.0 и различных Ь

L 10 7 6 5

к, 1.15612 1.17926 1.19157 1.20975

К 1.10434 1.12704 1.13945 1.15740

L 4 3 2 0.5

к1 1.24002 1.29842 1.43615 2.48668

1.18715 1.24419 1.37754 2.36969

Пример распределения потенциала при Ь=1 и значении потенциала на шайбах Vs1=0.1 показан на рис. 2 для левой части половины области. На осях указаны номера узлов. Вторая половина области восстанавливается из соображений симметрии относительно середины между шайбами х = х2 + 0.5Ь. Заметно убывание потенциала по мере удаления от шайбы.

500

400-

300

200-

100

-

.о"'1 '

о о" & У".----------- Q --

1 1 (((Ш-

400

500

600

700

800

Рис. 2. Изопотенциальные линии при L=1

(Vs1=0.1)

Представление о распределении нормальной компоненты напряженности поля e (s) на шайбе

при L = 1 дает рис.3. Заметим, что в силу связи (1.1) такую же зависимость имеет плотность заряда. Здесь s - расстояние (точнее, номер узла) от левой точки первой шайбы (x1,0) до соответствующей точки на шайбе при продвижении по часовой стрелке.

Как видно, максимум а = En достигается вблизи углов. Отношение максимального значения max En к минимальному minEn дается коэффициентом к3 ~ 24. Заметно, что напряженность поля в левом углу значительно больше напряженности поля в правом углу. Для больших значений расстояния между шайбами этот эффект слабее.

Рис. 3. Распределение нормальной компоненты напряженности на первой шайбе

при Ь = 1, Ьх = 1

Перейдем к обсуждению главной зависимости - зависимости коэффициента кх (Ь). В предыдущей работе автора [4] построение этой зависимости при Ь1 = Ь2 = Я1 было выполнено с помощью аппроксимации с тремя и шестью параметрами. В этой работе построение подобной зависимости выполнено с меньшим числом параметров и не только для толщин Ь1 = Ь2 = Я1, но и для других.

Значения коэффициента к (Ь) при Ь1 = Ь2 = Я1 были уже получены в [4]. Укажем причины, которые привели к желанию пересчитать и уточнить эти значения. В [4] вычисления были выполнены при задании ненулевых значений потенциала на внешней границе ("вариант Vg ф 0 "). Значения потенциала на внешней границе при этом вычислялись в предположении, что потенциал вдали от заряженных тел убывает обратно пропорционально расстоянию до их центра. Значения коэффициента к (Ь), полученные в этом случае, оказывались меньше значений, полученных при нулевых значениях потенциала на внешней границе ("вариант Vg = 0"). А так как при увеличении числа интервалов N0 на радиусе значение кх (Ь) убывало (см. табл. 1 и 2), было решено считать значения к (Ь) в варианте Vg ф 0 более точными. Этот вывод правилен лишь частично. Детальный анализ результатов [4] позволил выяснить, что в варианте Vg ф 0 вычисленные значения зарядов немного отличались от заданных. Это отличие обязано тому, что две вспомогательные задачи решались при различных граничных значениях потенциала на внешних границах. Расчеты показали, что обсуждаемое отклонение Ад обратно пропорционально расстоянию до внешней границы (при ¡ц = 40, например, относительное отклонение Ад составляет около 2%). В случае задания нулевых значений потенциала на внешней границе Ад =0. Это обстоятельство послужило первой причиной пере-

счета части расчетов [4]. Вторая причина пересчета обязана тому, что в этой работе вместо трех задач решалась одна, и, следовательно, можно было получать более точное численное решение на более подробной сетке. Заметим, что отличие обновленных результатов от результатов [4] менее 4%.

Перейдем к обсуждению результатов при малых расстояниях между шайбами. Было выяснено, что погрешность вычисления коэффициента к при малых расстояниях между шайбами значительна. Поэтому было решено найти предельное значение этого коэффициента при смыкании шайб, когда Ь = 0 . В этом случае потребовалось внести соответствующие несложные изменения в программу расчета.

Прежде чем обсуждать результаты расчета для шайб при Ь = 0, укажем что в [10, стр. 55-56)] есть обсуждение соответствующего результата с аналитическим решением для шара. Предполагается, что полушария разделены бесконечно узкой щелью (в щели Е = 0). Воспроизведем вывод формул для этого случая в системе 81. Напряженность поля на поверхности шара с зарядом р равна

Е„ = к<2/Я2, (к = = 9 • 109).

(3.3)

Плотность заряда на поверхности шара а = б /4жЯ2, а плотность силы по нормали / = 0.5стЕи. Компонента силы в направлении оси хравна

Р = | /т • С08р) • ^ =

= | / • 2жЯ2 • 8т(р) • со8(р) • ар. (3.4)

Интегрирование по углу ф от 0 до ж /2 дает значение Р = к<б2/(8Я2). По формуле Кулона соответствующее значение силы отталкивания равно Р = кб2 /(4Я2) (расстояние между центрами зарядов на мысленных половинках шара равно Я). Отсюда следует, что отношение сил к = Р 0/ Р = 2.

Задача Ландау допускает обобщение, позволяющее рассмотреть отношение сил для случая произвольных долей шара. Полагаем для определенности, что правая меньшая доля (будем называть ее первой) соответствует значениям угла 0 <р<р <ж /2, а вторая большая доля соответствует значениям угла ф0 < ф < 2п. Величины зарядов на рассматриваемых долях равны (6=61+62):

аз = 2жЯ2а8Ш(Р)• ар = 6(1 -С08(р°)), (3.5)

02 = < - <1 = 4жЯ а-б!

6(1 + СО8(р0)) ' 2 .

(3.6)

Сила отталкивания долей равна

. 81П2(Р0)

Р = }<0 / • ^(р) • аз = жЯ2Еа -

2

kQ2 . 2/ л

8R2

(3.7)

Для подсчета силы отталкивания по формуле Кулона необходимо вычислить центры зарядов долей xl и х2 и расстояние между ними l = xl-х2. Расстояние между центрами зарядов оказывается постоянной величиной

I = х, -х, = *• 81п2(^°)(-

1

1

2

:) = *

1 - СО8(^0)

(3.8)

1 + СОв(^о)

В итоге получаем, что силы р и р зависят от угла фо:

2

(3.9)

ж

8.К2

р = „ ят (юп),

1 о 1)2 \т^0

р = к0-^ = 2р

К2

Однако их отношение постоянно и равно 2. Перейдем к обсуждению результатов для шайб при Ь = 0 . Соответствующие значения отношения сил будем обозначать к (0, р). Пример распреде-

ления потенциала для случая рис. 4.

р = р = К дан на

Рис. 4. Распределение потенциала при Ь=0, Ь=1

Расчеты для соприкасающихся шайб были получены для различных, но равных значений толщин Ь1 = Ь2 от 0.25 до 2.0. Соответствующие результаты расчетов и их обработки указаны в табл. 4.

Таблица 4. Значения отношения сил при Ь = 0

полиномом второй степени (3.2), построенным по трем значениям к1, вычисленным при значениях N0= тахЫО, тахЫО-4, тахЫО-8. В таблице указаны также параметры аппроксимации полиномом второй степени - коэффициенты с1, с2.

Как видно, отношение сил к (0, Ь1) растет при уменьшении толщины шайб. На интервале Ь1 = Ь2 от 0.75 до 1.5 соответствующая зависимость приближенно (относительное отклонение около 2%) описывается формулой

к (0,Ь1) « 39. (3.10)

1 Ь1

При малых значениях толщины шайб (р < 0.5) эта формула дает заниженные значения (при р =

0.5 относительное отличие около 9%).

Подробные расчеты при различных значениях расстояния между ближайшими торцами шайб были выполнены для трех значений толщин р = 1.0 + 0.5. Соответствующие результаты представлены в табл. 5 и 6.

Таблица. 5. Значения отношения сил при Ь=0.5 и различных Ь

Ь 0.5 1.0 1.5 2

к1 3.41436 2.19793 1.172833 1.5049

(N0 = 48)

к 3.345 2.12423 1.69722 1.47389

Ь 3 4 8

к1 1.30958 1.2295 1.137015

(N0 = 48)

к 1.28041 1.20183 1.10936

Таблица 6. Значения отношения сил при различных р Ь1 =1.5 и

Ь 0.5 1.0 1.5 2

к1 1.98834 1.62935 1.44494 134557

(N0= 48)

к1 1.87245 1.54168 1.3701 1.27486

Ь 3 4 8

к1 1.25326 1.21485 1.16975

(N0= 48)

*1 1.18751 1.14986 1.10468

Ь,=Р шахЫ0 к1 (шах N0) с1 с2 к (0, Ь1)

0.25 48 22.0046 76.208 -721.92 20.688

0.50 40 9.02681 33.45 -367.26 8.29513

0.75 40 5.6490 21.76 -164.74 5.2079

1.00 40 4.16081 16.523 -119.69 3.82254

1.50 40 2.80811 11.74 -81.792 2.56573

2.00 40 2.18088 9.433 -64.28 1.98522

В третьем столбце указано значение к1, полученное в счете при N0= тахШ. В последнем столбце таблицы указано асимптотическое значение к (0), полученное с помощью аппроксимации

Во второй строке указаны значения отношения сил при числе интервалов на радиусе N0=48, а в третьей строке указаны значения отношения сил, полученные с помощью аппроксимации полиномом второй степени, построенным по результатам расчета при трех значениях N0=48,44,40. Относительная разница значений отношения сил, указанных во второй и третьей строках, менее 3.3% при Ь1= 0.5 и менее 5.5% при Ь1 = 1.5.

Итоговые зависимости к1 (Ь, р) при трех толщинах шайб Ь1 = 0.5, 1.0, 1.5 удалось описать простой формулой с двумя параметрами к (0, Ь1) и С(П):

+

+

К (L, L1) = f (L, L1) = 1 +

k (0, L1) -1

(3.11)

1 + С(L1) • ^

Согласно этой формуле, предел к (L, L1) при L ^ да стремится к 1, а предел к (L, L1) при L ^ 0 равен к (0, L1), как и должно быть. Значения параметров аппроксимации (3.11) и характеристики отклонения от табличных данных указаны в табл. 7. Во втором столбце таблицы указано т - число использованных для построения аппроксимации (3.11) значений расстояния между ближайшими торцами шайб. Соответствующие значения Ь(1=1,...1т) указаны в третьем столбце. В четвертом и пятом столбцах указаны параметры аппроксимации к (0, L1) и С(Ь1). Параметр аппроксимации С^1) определялся из условия минимума суммы квадратов отклонений

S = £ (f (L1, L) - k (L1, L ))2

(3.12)

При этом корректировалось значение параметра С(Ь1) так, чтобы достигался и минимум максимума относительной погрешности. Значение максимума относительной погрешности указано в последнем столбце таблицы; в скобках указано соответствующее значение расстояния, при котором и достигается это значение.

Таблица 7. Параметры и характеристики аппроксимации (3.11)

LJ=L2 im L(i=1, ...im) К (0 , L1) C(L0

0.5 6 0.5,1,1.5,2,3,4,8 8.3767 5.465

1.0 10 0.5,1,2,3,4,5,6,7,8,10 3.82254 2.606

1.5 6 0.5,1,1.5,2,3,4,8 2.80888 1.915

Li=L2 im L(i=1, ..im) S Dm(L)%

0.5 6 0.5,1,1.5,2,3,4,8 0.2064 11.2 (3)

1.0 10 0.5,1,2,3,4,5,6,7,8,10 0.0394 6.10(3)

1.5 6 0.5,1,1.5,2,3,4,8 0.0119 3.87(0.5)

а

V

T7-

0

1

Рис. 5. Зависимость превышения отношения сил над единицей а=к1 -1 от расстояния L при толщине шайб L1=1.0

Зависимость отклонения (3.11) от 1 для Ь1= 1.0 изображена на рис. 5 сплошной линией. Точками указаны данные из табл. 2 и 3. Согласно зависимости (3.11), при L1=1 отклонение отношения сил от единицы меньше 10% на расстояниях L > 10.45. Отношение сил, равное двум, соответствует р « 0.6994 (в [4] было указано д, « 0.70).

4. Выводы

Методом сеток решены задачи электростатики о взаимодействии заряженных проводящих цилиндров. Основное внимание уделено вычислению коэффициента к1=¥0,/с, равного отношению силы ¥0 , вычисленной по формуле Кулона для точечных зарядов к реальной силе. Параметрами задачи были - расстояние меду ближайшими торцами шайб L и толщина цилиндров L1. В рассмотренном диапазоне параметров отношение сил изменялось от 1 до 8. В итоге вычислительных экспериментов:

• вычислены предельные значения коэффициента к1 при L ^ 0 и обнаружено, что это значение обратно пропорционально толщинам цилиндров.

• найдены аналитические зависимости коэффициента к1 от двух параметров - L и L1.

Список литературы

1.

Саранин В. А. О взаимодействии двух электрически заряженных проводящих шаров // УФН. 1999. Т. 169. С. 453-458. Саранин В. А., Майер В.В. Теоретические и экспериментальные исследования взаимодействия двух проводящих заряженных шаров // УФН. 2010. Т. 180. С. 1109-1117. Саранин В. А. Электростатические осцилляторы // УФН, т. 182, 2012. С. 747-758. Тарунин Е.Л. Взаимодействие заряженных проводников на близких расстояниях // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. №3(21), 2012. С.92-100. Детлаф А.А., Яворский Б.М Курс физики. М.: ВШ, 2001. 384 с.

Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Иркутский ун-т, 1990. 228 с. Ильин В.П. Численные методы решения задач электростатики // М: ФМ, 1989. 336 с. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. 699 с. 10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Теоретическая физика Т. VIII. М.: Наука, 1992. 602 с.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

1=1

Electrostatic interaction of charged conducting bodies on small distances

E.L. Tarunin

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

A force of interaction of two charged conducting bodies was calculated by means of finite-difference method. The bodies had a form of shot cylinders (pucks). The problem has axis symmetry. A potential of the electric field was found from solving of the corresponded Dirichxlet problem. It was investigated mainly the case of interaction of bodes with charges of the same sign. It was shown that the force of interaction for the case of small distances strongly differs (more than 10 times) from the corresponded Coulumb force. It was found the formula that describes the force of interaction of the two adjoined pucks. Also in was obtained the approximation for the force for different distances between bodies and for different thickness of the pucks.

Keywords: Coulom's law; finite-difference method; Dirichxlet problem