Бифуркационные свойства электростатических осцилляторов Текст научной статьи по специальности «Физика»

PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES

Bifurcation properties of electrostatic oscillators Saranin V. (Russian Federation) Бифуркационные свойства электростатических осцилляторов Саранин В. А. (Российская Федерация)

Саранин Владимир Александрович /Saranin Vladimir - доктор физико-математических наук, профессор,

кафедра физики и дидактики физики, Глазовский государственный педагогический институт им. В. Г. Короленко, г. Глазов, Удмуртская Республика

Аннотация: теоретически исследованы возможные сценарии движения заряженного шарика на пружине в электрическом поле различных источников. Показано, что во всех случаях у шарика имеются положения устойчивого равновесия, около которых возможны его колебания. С увеличением заряда шарика система достигает точки бифуркации: положения равновесия исчезают, становится возможным только апериодическое движение шарика.

Abstract: possible scenarios of movement of the charged ball on a spring in electric field of various sources are theoretically investigated. It is shown that in all cases the ball has stable equilibrium positions about which its oscillations are possible. With increase in a charge of the ball the system reaches points of bifurcation: equilibrium positions disappear, becomes possible only aperiodic ball movement.

Ключевые слова: заряженный шарик на пружине, электростатический осциллятор, точка бифуркации.

Keywords: charged ball on a spring, electrostatic oscillator, point of bifurcation.

В магнитостатике хорошо известна задача о взаимодействии двух параллельных проводов с током, один из которых прикреплен к двум пружинам и может совершать колебания. С увеличением силы тока система проходит через точку бифуркации: положения равновесия провода на пружине исчезают, и колебания становятся невозможными [1]. Аналогичная ситуация может иметь место и в электростатике.

Под электростатическими осцилляторами будем понимать колебательную систему, в которой колеблющееся тело электрически заряжено и взаимодействует с другими зарядами или электрическими полями. При этом будем считать скорости, ускорения и масштабы элементов системы таковыми, что можно пренебречь всеми электромагнитными эффектами и решать соответствующие задачи в электростатическом приближении. Некоторые свойства электростатических осцилляторов, в том числе бифуркационные, рассмотрены в работах [2-5]. Основу настоящей работы составляют задачи, не вошедшие в указанные публикации и не публиковавшиеся ранее.

Сначала рассмотрим колебательную систему, состоящую из двух противоположно заряженных шариков массой Ш , из которых нижний жестко закреплен, а верхний прикреплен к пружине

жесткостью k (рис. 1). Будем считать, что во всей области движения деформация пружины подчиняется закону Гука, шарики представим точеными зарядами, взаимодействующими по закону

Кулона. В начальный момент времени верхний шарик удерживается на расстоянии L от нижнего, и пружина не деформирована. Затем его отпускают, и он начинает движение. Для описания характера

движения шарика запишем его потенциальную энергию при смещении на величину X , считая ее равной нулю в начальном положении:

^ kX2 keq2 keq2 1

W(X) = ~mgX + — - iT ke (i)

'0

2 (L - X) L e 4лб 0

Рис. 1. Два заряженных шарика, верхний прикреплен к пружине и может двигаться Для уменьшения числа параметров приведем выражение для потенциальной энергии к безразмерному виду. Для этого выберем, например, за единицу измерения длины Ь , а за единицу измерения потенциальной энергии к!! /2. В безразмерном виде выражение (1) запишется так:

Ж(х) = -2Ох + х2 - д2 -1 ^ > (2)

1 - х

О = тк, д2 = ^ х = кЬ д кИ Ь

Теперь выражение для потенциальной энергии содержит всего два параметра О ид2 . Выберем О = 0,1 (как будет показано ниже - выбор этого параметра не имеет решающего значения) и построим графики зависимости потенциальной энергии шарика от координаты. Они показаны на рис. 2 для значений д2 = 0,15; 0,2; 0,25 (кривые 1, 2, 3 соответственно). Видно, что у кривых 1, 2 есть

по два локальных экстремума, соответствующие положениям устойчивого (минимум) и неустойчивого (максимум) положениям равновесия шарика. На кривой 3 нет локальных экстремумов.

Рис. 2. Зависимости потенциальной энергии верхнего шарика от его координаты. Кривым 1, 2, 3 соответствуют д2 = 0,15; 0,2; 0,25

Какова же возможная динамика верхнего шарика в соответствии с тремя полученными зависимостями? Для простоты предположим, что сопротивление движению шарика мало, будем считать также, что в начальный момент времени шарики заряжены как было сказано, и шарик

начинает движение из положения X = 0. Тогда при д2 = 0,15 верхний шарик дойдет практически

до уровня Ж = 0 с координатой х ~ 0,5 и в конце своего движения остановится в положении

равновесия в точке с координатой х ~ 0,22. При д2 = 0,2 и малом трении шарик преодолеет

10

потенциальный барьер (локальный максимум) и столкнется с нижним шариком. При достаточно большом трении шарик может в конце своего движения остановиться в положении равновесия

х « 0,3 . Наконец при

д2 = 0,25 верхнего шарика ждет неизбежное столкновение с нижним. Теперь представляет интерес выяснить, при каком значении параметра Я2 теряется

положение устойчивого равновесия, то есть исчезает локальный минимум потенциальной энергии. Для того найдем выражение для силы, действующей на верхний шарик. Сила равна производной от энергии по координате:

К =

дЖ дх

(3)

Будем измерять силу в единицах к!/2, а координату по-прежнему в единицах Ь . Тогда из (2) и (3) получим

я2

К = 20 - 2х + ■

(1 - х)2

(4)

В равновесии, то есть в точках локальных экстремумов производная равна нулю и К = 0 . Получающееся из этого условия уравнение относительно X - кубическое. Решение его найти не просто, поэтому для дальнейшего анализа выразим в этом уравнении я 2 . Получаем

я2 = 2(1 - х)2( х - О).

(5)

Так как О ^ х ^ 1 и в крайних точках этого интервала Я2 обращается в ноль, то где-то в указанном промежутке значение Я2 должно достигать максимума. Найдем это положение, взяв

производную от правой части (5) и приравняв ее к нулю. Получим

хт = '

1 + 20 ^2 8

3 Я = 27(1 - 0)3

(6)

График зависимости х(Я2), построенный по (5), показан на рис. 3. Видно, что при

д2 < д2 = 0,216 имеются два решения уравнения (5) (или К = 0), соответствующие устойчивому (нижняя ветвь) и неустойчивому (верхняя ветвь) положениям равновесия шарика. Точка Ь с координатами (Я^ , хт ) является точкой бифуркации - она разделяет область параметров, где есть положения равновесия от области, где их нет.

Рис. 3. Положение точки бифуркации (Ь) на плоскости (д2, х )

Покажем теперь, что сила тяжести не играет никакой роли в характере движения верхнего шарика. Для этого сделаем следующие преобразования выражения для силы (4):

у = х - О, Р* = -2 У +

е2

(1 - О - у)2

= -2 у +

е2/(1 - о)2

= (1 - О)

(

2 =

(1 - 2)2

У ^_

1 - О 1 - О

- 22 +

е 2/(1 - о) (1 - 2)2

зл

(7),

х - О

Сделаем единицей измерения силы величину кТ^ / 2(1 - О) и введем новый управляющий параметр е 2 = е 2 /(1 - О)3, тогда получим

Р =-2 2 + -

(~2

(8)

(1 - 2)2

В перенормированных переменных выражение для силы в точности совпадает с выражением для силы (4) при О = 0, что соответствует отсутствию сил тяжести. Интересно отметить, что

бифуркационное значение нового управляющего параметра равно ет = (2/3)3/2 [2].

Заметим также, что если вместо нижнего шарика расположить горизонтально заземленную проводящую пластину, то изложенное выше решение задачи о движении верхнего шарика практически не изменится, поскольку в пластине будет сформировано электрическое изображение шарика.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из жестко заземленной проводящей сферы, внутри

которой имеется малый по сравнению с радиусом сферы Я шарик с зарядом Ц , прикрепленный к

непроводящей пружине жесткостью К, работающей как на сжатие, так и на растяжение, и способный двигаться вдоль тонкого диэлектрического стержня, проходящего через его центр (рис. 4).

Рис. 4. Заряженный шарик на пружине внутри проводящей заземленной сферы

Действием силы тяжести пренебрежем. В центре сферы шарик находится в равновесии. При

смещении от центра на величину I на него будет действовать возвращающая сила со стороны пружины и электростатическая сила со стороны электрического изображения, возникающего в сфере. Если считать шарик точечным зарядом, то электростатическая сила при этом равна [6]

2

РЕ1 =

Кч2

х

22

Я2 (1 - х 2)

х = ■

_ Я

а результирующая

К=-КЯх+

Кч2

х

2\2

Я2 (1 - х2)

(9)

Для уменьшения числа параметров запишем силу в единицах КЯ, то есть фактически приведем выражение для силы к безразмерному виду

ъ =- х+д2

х

д2=Кч

(10)

(1 - х2)2 ~ КЯ3

В случае малых колебаний х << 1 имеем следующее уравнение движения шарика

тх

К

=-(1 - д2) х.

Отсюда частота колебаний шарика равна

ю

V

К

-(1 - д о

(11)

(12)

т

Видно, что колебания возможны только при выполнении условия д < 1.

Для того чтобы выяснить что происходит при произвольных х , найдем потенциальную энергию шарика, используя соотношение

Р, =-

дЖ

дг

1 дЖ Я дх

Вычисляя интеграл от силы (2), получим

Ж (х) =

кЯ гг

2Я

х2 + д:

1 -■

1

(13)

\Л

1 - х2

(14)

V V 1 х /у

Постоянное слагаемое в правой части (14) добавлено для того, чтобы в положении равновесия потенциальная энергия была бы равна нулю. На рис. 5 представлены графики зависимости

потенциальной энергии шарика в единицах кд2 / 2Я от величины смещения шарика от центра

сферы. Кривым 1, 2, 3 соответствуют д2 = 0,1; 0,5; 1,1. Видно, что при д2 < 1 шарик имеет три положения равновесия (два неустойчивые) и может совершать колебания около дна потенциальной ямы х = 0 , а при д2 > 1 он уйдет в соприкосновение со сферой. Из этого заключения следует, что

значение параметра д2 = 1 соответствует точке бифуркации.

Рис. 5. Зависимости потенциальной энергии шарика от величины его смещения от центра сферы. Кривым 1, 2, 3 соответствуют д2 = 0,1; 0,5; 1,1

Поскольку потенциальные барьеры конечной высоты, то в случаях, когда шарику в положении равновесия придают некоторую начальную скорость, он может преодолеть барьер и уйти в соприкосновение со сферой. При соприкосновении со сферой весь заряд шарика переходит на нее, и в конечном итоге при наличии трения шарик возвращается в положение равновесия.

Далее рассмотрим систему, состоящую из проводящего шара радиуса Я , подключенного к

источнику постоянного напряжения и > 0 и маленького шарика, имеющего заряд 4 > 0,

прикрепленного к непроводящей пружине жесткостью К , работающей как на сжатие, так и на растяжение (рис. 6). Шарик будем считать точечным зарядом, находящимся в условиях невесомости. В

начальный момент времени пружина не деформирована, и шарик находится на расстоянии _ от центра шара, который выберем за начало оси х .

Рис. 6. Заряженный шарик на пружине около проводящей сферы, подключенной к источнику напряжения На шарик будут действовать две силы: сила со стороны заряда шара, равного Ц = иЯ / К, сила со стороны заряда-изображения в шаре, равного = -4Я /1 и расположенного на расстоянии

Я2 /1 от центра шара [5]. В результате шарик может двигаться. Пусть в некоторый момент движения его координата равна х . Тогда результирующая сила, действующая на шарик, равна

р = ( 1

Я2

ах

Л

х

(х2 -1)2)

а = 41. (15) 42

Здесь и далее координата измеряется в единицах Я . Видно, что с увеличением а сила меняет знак при некоторой координате х , становясь силой притяжения, это происходит при выполнении равенства

а = (х2 -1)2 . (16)

хг\

Зависимость а от хо изображена на рис. 7.

Рис. 7. Линия нулевой силы. Выше кривой на шарик действует сила притяжения, ниже — отталкивания

Для качественного описания характера движения шарика найдем его электростатическую потенциальную энергию, которая связана с силой соотношением

Г =-дЖЕ

Ядх

(17)

Интегрирование выражения для силы (15) дает

ЖЕ =

к^2

(

Я

1

а

1

---+ .

а

х 2(х2 -1) Ь 2(! -1)

Ч=-

Я

(18)

Два последних слагаемых в скобках являются постоянной интегрирования и выбраны в таком виде для того, чтобы потенциальная энергия обращалась в нуль в начальном положении шарика. Полная потенциальная энергия с учетом пружины может быть записана в форме:

Ж =

КЯ2

2

(Ь - х)2 +

д

а

2

1

а

а

1

, ---+ ■ ,

2(х2 -1) Ь 2(Ь -1)

Л

2 2kql

д2 =

КЯ3

(19)

Потенциальная энергия, вычисляемая в единицах КЯ /2, зависит от трех безразмерных параметров: начальной координаты Ь , заряда шарика на пружине д , заряда шара а .

Исследование поведения потенциальной энергии в зависимости от величин этих параметров дает следующие результаты. Выберем, например, Ь = 3 . Для такого значения Ь нулевому значению силы соответствует а^ = 2,4 (рис. 2). На рис. 3 показана зависимость потенциальной

энергии шарика от координаты при а = 2,2 < а3 . Кривым 1, 2 соответствуют д2 = 100 и

д22 = 150. В этом случае имеются два положения равновесия: неустойчивое и устойчивое,

около которого возможны колебания верхнего шарика из начального положения. При этом пружина работает на сжатие.

х

0,2

0

- 0,2

0,4

L = 3 1 / i

1 / i 1 \ 2 I 1

1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

X

Рис. 8. Зависимости потенциальной энергии шарика от его координаты при L = 3, а = 2,2 < аз ■ Кривым 1, 2 соответствуют Q2 = 100, 150

На рис. 9 изображены зависимости потенциальной энергии от координаты шарика при а = 10 >а3. Кривым 1, 2, 3 соответствуют значения Q = 10 и Q2 = 12 Q2 = 15 . Здесь

локальные экстремумы, соответствующие положениям равновесия, имеются только на кривых 1, 2. (При возможных колебаниях верхнего шарика около локальных минимумов пружина будет растянута). Следовательно, в данном случае опять имеется точка бифуркации, которой соответствует параметр бифуркации Q «13. Вообще говоря, в данной постановке задачи имеется бифуркационная поверхность, каждой точке которой соответствуют определенные значения трех параметров Q, L, а ■

0,2

>L

-0,2

-0,4

jf 1 = 3

W 1

1,5 2 2,5 3 3,5 4

X

Рис. 9. Зависимости потенциальной энергии шарика от его координаты при ^ = 3, X = 10 > ■ Кривым 1, 2 соответствуют ^2 = 10, 12, 15

Литература

1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.

2. Саранин В. А. Электростатические осцилляторы // УФН., 2012. Т. 182, № 7. С. 749-758.

3. Саранин В. А. Электростатические маятники: эксперимент и теория // Физическое образование в вузах, 2012. Т. 18. № 4. С. 119-132.

4. Saranin V. A. About behaviour of electrostatic pendulum near conducting or dielectric plates / V. A. Saranin // Journal of Electrostatics, 2014. V. 72. № 4. P. 235-241.

5. Саранин В. А. Метод электрических изображений в задачах и экспериментах: монография. М. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012.

6. Саранин В. А. О взаимодействии проводящих сфер в неконцентрическом сферическом конденсаторе // Физическое образование в вузах, 2015. Т. 21. № 3. С. 141-150.

Quantum lattice in multi-time space Gibadullin A. (Russian Federation) Квантовая решетка в многовременном пространстве Гибадуллин А. А. (Российская Федерация)

Гибадуллин Артур Амирзянович / Gibadullin Artur — студент, кафедра физико-математического образования, факультет информационных технологий и математики, Нижневартовский государственный университет, г. Нижневартовск

Аннотация: статья посвящена дискретно-непрерывным временным пространствам. Именно в них формируется квантовая решетка.

Abstract: the article is devoted to discrete-continuous temporal spaces. Therein quantum lattice is formed.

Ключевые слова: временное пространство, многовременное пространство, спин, квантовые свойства, квантовая решетка, хронон.

Keywords: temporary space, multi-temporal space, spin, quantum properties, quantum lattice, chronon.

Мультитемпальная модель предусматривает как дискретные, так и непрерывные временные пространства [4], [6]. Временные пространства (temporal spaces, time spaces, tempal spaces) состоят из множества времен, поэтому для них приемлемо название многовременные (many-times, manytimes, multitemporal, multitempal, manytemporal, set-times, settimes, settemporal, settempal etc). Для них уместен вариант «Timespace» супротив «spacetime», поскольку время в них на первом месте, и вся геометрия строится на понятии времени [12], [13]. Каждое из этих названий отражает суть или свойство обозначаемого ими пространства.

На непрерывном времени можно выделить дискретное время. На дискретном времени, в отличие от непрерывного, существуют два момента, между которыми нет других моментов, их можно назвать соседними, а расстояние между ними принять за квант метрики (единицу), так как оно неделимо [5]. Если расстояние между моментами равно двум, то между ними есть только один момент дискретного времени, в роли которого может выступать бесконечное множество моментов непрерывного времени. Так появляется неопределенность [8]. Дискретные времена формируют квантовую решетку (сетку) на непрерывном временном пространстве. Ей свойственны неопределенности в положении дискретных моментов, ограниченные величиной кванта метрики

[10]. Момент, из которого состоит время - хронон (квант времени). Не следует путать с таким же словом, употребляемым в других значениях [15].

Полученная сетка приводит к появлению дискретной материи с квантовыми свойствами, а затем и жизни [7]. Квантовой решеткой обусловлены спин, четность и прочие дискретные характеристики. Она ответственна за возникновение взаимодействий и зарядовую делимость [9],

[11]. Определяет геометрию Вселенной [2], [3]. Приводит к связанному состоянию стабильных элементарных частиц в атомах [1].

Рассматриваемое пространство является дискретно-непрерывным. Кроме квантовых свойств у материи (дискретного подпространства) есть и волновые свойства, проявляющие себя через дифракционные решетки [14].