О СИЛЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ С ПЛАСТИНАМИ ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 3 (21)

УДК 537.2

О силе взаимодеиствия заряженной частицы с пластинами плоского конденсатора

В.А. Саранин

Глазовский государственный педагогический институт, 427621, Глазов, ул. Первомайская, 25

Получены выражения для силы взаимодействия заряженной сферической частицы с пластинами плоского незаряженного и заряженного конденсаторов. Показано, что в случае взаимодействия частицы с одноименно заряженной пластиной возможно как отталкивание, так и притяжение частицы. Произведен анализ часто используемого для этого случая приближения точечного заряда. Установлены границы его применимости.

Ключевые слова: сила электростатического взаимодействия, заряженная частица в конденсаторе.

1. Введение

Задача о взаимодействии заряженной микрочастицы с пластинами плоского конденсатора имеет прикладное значение, например, в плане исследования движения электрона в поле отклоняющих пластин электронно-лучевой трубки; кроме того, она представляет интерес и с научно-методической точки зрения. Большое прикладное значение имеет также задача о движении макроскопических заряженных частиц в поле плоского конденсатора [1]. В полной постановке такие задачи сопряжены с определенными трудностями, связанными с учетом бесконечного числа электрических изображений заряда в каждой из пластин. В работе [2] на основе функций Грина было получено точное решение для силы, действующей на заряженную частицу, находящуюся между пластинами плоского конденсатора в пределе точечного заряда; в [3] для аналогичной задачи простым методом подсчета зарядов-изображений получено решение в виде бесконечного ряда и была рассмотрена задача о силе, действующей на заряженный шарик, находящийся вблизи одной из пластин плоского конденсатора. На основе решения был сделан вывод о невозможности применения приближения точечного заряда в некоторых случаях в рамках данной задачи. С учетом этого представляется необходимым глубже изучить этот вопрос и сравнить полученные решения.

2. Точечный заряд внутри незаряженного конденсатора

Рассмотрим сначала точечный заряд q внутри незаряженного конденсатора (рис. 1). Пластины

конденсатора будем считать бесконечно протяженными (либо конечными, но заземленными в случае незаряженного конденсатора), это обеспечивает полные изображения зарядов в пластинах q¡ [3].

1 2

• • • •

+ Ч121 -Чц "Ч12 +Ч„2

И

0 X

Рис.1. К задаче о точечном заряде внутри плоского конденсатора

На рис. 1 обозначены , - изображения первого порядка заряда q в первой и во второй пластинах соответственно, q112 - изображение второго порядка во второй пластине (источник этого изображения - изображение q11 ), q121 - изображение второго порядка в первой пластине (источник - изображение ^), остальные изображения не показаны. Таким образом, имеем бесконечное число зарядов-изображений, которые взаимодействуют с зарядом q . Нетрудно, однако, убедиться в том, что расстояния от заряда q до изображений второго порядка и q121 одинаковы и равны 2Н, поэтому эти изображения не дают вклада в результирующую силу, действующую на

© Саранин В. А., 2012

заряд q. Таким образом, с точностью изображений первого порядка получаем

х) = kq2 -

1

1

(2 х)2 (2(И - х))2

kq И(И - 2х) _ 1 1 т, k = 4 х (И - х)2 4ле0

(1)

Выражая расстояние х в единицах И, получим для силы в первом приближении следующее вы-

ражение:

Р 0)( х) = - I 1 - 2х

Р (х) 4И21 х2(1 - х)2

(2)

порядка,

р (3) =-

х 4И2

2 (

3(1 - 2 х)

(1 + х)2(2 - х)2

(3)

Здесь х вновь измеряется в единицах И .

Можно также показать, что изображения четвертого и всех четных порядков не дают вклада в силу, действующую на заряд. Для изображений пятого порядка получаем

р (5) =- ^

5(1 - 2 х)

4И I (2 + х)2(3 - х)2

(4)

В результате по индукции можно записать точное выражение для силы, действующей на заряд, размещенный между двумя бесконечными проводящими пластинами [3]:

Рх (х) = -

\щ 2(1 - 2 х)

4И

2

2п -1

^ (п -1 + х)2(п - х)2

(5)

-^(п -1 + х)2(п - х)2

рг = /в (х) = -|

81И пх

+ 2 х2 Т'(1 - х), (7)

2) =

г'( 2)

Г( 2)

Найдем положения изображений третьего порядка. Их источниками являются изображения второго порядка, т. е. и qш. Нетрудно показать, что расстояние от изображения в левой пластине 1 до заряда q равно 2(И + х), а от изображения q121 в правой пластине 2 до заряда q -2(2И - х) . Тогда результирующая сила, действующая на заряд q со стороны изображений третьего

Здесь 2) - пси-функция Эйлера, Г(х) - гамма-функция. Расчет силы по приведенным формулам (6), (7) в МаШСАБ дает / (0.4) = 0.5819 с удержанием 10 слагаемых в сумме (6) и /в (0.4) = 0.5823 по формуле (7). При удержании 50 слагаемых в (6) получаем / (0.4) = 0.5823 , т.е. результат, практически совпадающий с расчетом по формуле (7). Таким образом, формулы (6), (7) дают альтернативные точные решения для силы, действующей на точечный заряд, расположенный между пластинами плоского незаряженного конденсатора. На рис. 2 изображена зависимость величины нормированной силы, действующей на заряд, в зависимости от безразмерного расстояния от него до одной из пластин.

1 —

/

0,9 0,8 0,7 0,6 г. в 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

ОД 0,2 0,3 0,4 0,5

При этом номер порядка изображения совпадает с числителем дроби в сумме, т.е. равен 2п -1, п = 1,2,3, ...да . Удобно нормировать эту силу на силу, действующую на заряд вблизи только одной из пластин (тогда имеется одно изображение). Эта сила равна р = kq2/4И2х2 (здесь х в единицах И ). Тогда нормированная сила

рг = (х) = -х2 (1 - 2х)2 , 2п-1--. (6)

Рис. 2. Зависимость нормированной силы, действующей на заряд со стороны пластин, от безразмерного расстояния от заряда до одной из пластин

Поскольку при х ^ 0,5 сила стремится к нулю одинаково по (2) и по (5), трудно понять, насколько хороши первое и последующие приближения. Для того чтобы оценить ошибку различных приближений, введем относительную ошибку 5, вычисляемую по формуле

5=

Р - Р

(2п-1)

п = 1, 2, 3,

(8)

В работе [2] на основе построения функций Грина для нормированной силы, действующей на заряд со стороны пластин, было получено следующее выражение:

В качестве точного решения примем величину силы Р при 50 слагаемых ряда (5).

Величина ошибки зависит от расстояния от заряда до пластины х и достигает максимального значения при х = 0.5 . Зависимость относительной ошибки от координаты иллюстрируется рис. 3. Цифрами 1, 2, 3 показаны ошибки первого, третьего и пятого порядков приближений соответственно. Видно, что уже первое приближение дает

2

п

да

п

ошибку, не превышающую 5 % во всем диапазоне параметров.

б

0,04 -0,03-

0,02

видно, в первом и третьем случаях частица будет притягиваться к пластине в результате эффектов электрической индукции, во втором, как было сказано выше, она отталкивается. Отметим, что все сказанное относится к случаю, когда среда, в которую помещена вся система, является идеальным диэлектриком. В противном случае даже при контакте частицы и пластины их потенциалы не равны и возможно притяжение частицы к пластине [3, 5].

0

0,01 -

0 од 0,2 0,3 0,4 X

Рис. 3. Зависимость относительной ошибки разных приближений от безразмерного расстояния до одной из пластин. Кривые 1, 2, 3 соответствуют первому, третьему и пятому порядкам приближений

Если конденсатор заряжен, то результирующая сила, действующая на точечный заряд,

К = ЧЕХ + ¥х (х). (9)

Наибольший интерес представляет случай, когда Ех > 0, тогда в ситуации, изображенной на рис. 1,

сила внешнего поля и сила изображений конкурируют, т.е. направлены противоположно. При этом из условия Ях = 0 всегда можно указать расстояние 0 < х0 < 0.5 от заряда до пластины, меньше которого результирующая сила является силой притяжения.

3. Сферическая частица внутри незаряженного конденсатора

Как уже говорилось, задача о взаимодействии проводящей сферической частицы (твердого шарика или капли) с одной из пластин плоского конденсатора имеет большое прикладное значение [1] и решалась многими авторами различными методами [3-6]. Однако во всех упомянутых работах, кроме [3], рассматривался случай, когда частица получает заряд от пластины конденсатора, имея вблизи пластины такой же потенциал, как и пластина. В работах [3, 7] показано, что два проводящих одноименно заряженных шара, находящиеся вблизи друг от друга, всегда отталкиваются, если их потенциалы равны или, по крайней мере, близки. В противном случае на близких расстояниях между шарами сила может иметь характер силы притяжения. Очевидно, что аналогичная ситуация возможна и в случае частицы с произвольным зарядом, оказавшейся вблизи пластины конденсатора. Действительно, рассмотрим три случая: 1) частица имеет некоторый заряд ^, а пластина заземлена и имеет нулевой потенциал; 2) частица и пластина заряжены и имеют равные потенциалы; 3) пластина заряжена и имеет потенциал, отличный от нуля, а частица не заряжена (рис. 4). Оче-

I II III

+

'3 © + © + о

+

о

Ф,«Ф2 <7:

Рис. 4. Три известных случая взаимодействия заряженного шарика с проводящей пластиной. В областях I и III реализуется притяжение шарика к пластине, в области II - отталкивание

Таким образом, представляет интерес найти величины параметров системы, при которых состоится переход из области II в области I и III (рис. 4). Для решения задачи применим метод электрических изображений (МЭИ) для двух проводящих заряженных шаров, помещенных в диэлектрическую среду с проницаемостью е, радиусы которых сильно различаются. Как показали расчеты, представленные в [3, 7], при соотношении радиусов шаров, равном 100, сила взаимодействия шаров на близких расстояниях с погрешностью, не превышающей 1%, совпадает с силой взаимодействия заряженного шарика и бесконечной проводящей плоскости [4]. С другой стороны, взаимодействие проводящего заряженного шара с незаряженной проводящей плоскостью подобно взаимодействию двух одинаковых противоположно заряженных шаров, один из которых является изображением второго [8]. В свою очередь, такое взаимодействие на расстоянии более четырех радиусов между центрами шаров можно с погрешностью менее 10 % заменить взаимодействием точечных зарядов [там же].

Рис. 5. К постановке задачи о взаимодействии заряженного шарика с незаряженными пластинами конденсатора

Исходя из сказанного, рассмотрим задачу о взаимодействии заряженной сферической частицы радиуса с пластинами незаряженного конденсатора, расположенными на расстоянии И = 16Л[ друг от друга. Левую пластину заменим поверхностью проводящей сферы радиуса К2 = 100^, изображение частицы в правой пластине будем считать точечным зарядом. Тогда результирующая сила, действующая на частицу, будет

Рк (у) = Р, (I) -

4(И - у / 2)2

(10)

2

рс>

(11)

Здесь щ12 - заряды шаров, ^ - потенциальные

коэффициенты, которые выражаются через емкостные по формулам [9]:

11 22 12

11 22 12

,22 = (12)

С22

Для емкостных коэффициентов проводящих шаров (сфер) известны явные выражения [9]:

да

сп =уъЬр2ЬЬпр + -1)р]Л

п=1

(13)

С12

У = £

I

х=

х(1 + у) £.....V к1 + к2

да

С22 =У У 8ЬпР +у 8Ь(п - 1)р]":.

п=1

Емкостные коэффициенты выражены здесь в единицах (Я1 + Я2) / k . Параметр р связан с безразмерным расстоянием между центрами шаров х соотношением

сЬр =

х2(1 + у)2 -(1 + У2) 2у

(14)

В результате выражение для потенциальной энергии (11 ) можно привести к виду

W =

2 Кх

а* С^ ^ 2 I С2'

С11С22 - С12

а = (15)

q^

Выражение для силы получается дифференцированием (15) по расстоянию между центрами шаров х. В единицах РСт = Ьщ\ / ^2 оно может быть

где Р1 (I) - сила взаимодействия двух сфер, I -расстояние между их центрами.

Потенциальную энергию и силу взаимодействия проводящих сфер (шаров) можно записать так [9]:

W(1) = Т^п + + Щ22522) ,

представлено в форме

дw х(1+у) у л Р (х) =--=--^-• /I с* ,СЛ I . (16)

' дх 2у р Ч * * )

Здесь посредством / обозначена производная по в от выражения, стоящего в (15) в квадратных скобках. Выражение для нее и для производных от емкостных коэффициентов можно найти в [3], и здесь они не приводятся ввиду громоздкости.

Следует отметить, что задача о силе взаимодействия двух проводящих заряженных шаров также решалась авторами различными методами [3, 9-12]. Одной из особенностей этой задачи является то, что ряды в (13) и последующих формулах плохо сходятся на малых расстояниях между шарами. Для улучшения сходимости применяются различные методы, в основном сводящиеся к выражению гиперболических функций через убывающую экспоненту ехр(-пР). Такой метод суммирования рядов был применен для расчета силы, например в [8]. В более поздней работе автора [7] для расчета силы применялось прямое суммирование рядов (13) и им подобных в пакете МаШСАБ, которое показало хорошее совпадение как с ранними вычислениями в [8], с некоторыми результатами других авторов [10-12] (с которыми возможно сравнение), так и с экспериментальными измерениями силы [7]. Приведем пример.

Расчет силы взаимодействия шаров с Я2 /р = 100, щ /щ = 100 при х = 1.0002 методом, изложенным в [8], дает Р /РСя! « 140.27 , расчет в МаШСАЭ с удержанием 100 слагаемых в суммах (13) дает Р /РСт « 140.28 (РСт - максимальная сила, вычисляемая в кулоновском приближении). Поэтому вычисления, результаты которых излагаются ниже, были произведены прямым суммированием рядов в МаШСАЭ. Отметим, что выбор пакета МаШСАЭ для вычислений в данном случае не является принципиальным.

Итак, вычисление энергии и силы производилось в МаШСАБ с удержанием не менее 100 слагаемых в бесконечных суммах (13), (16) (проверочные расчеты с удержанием 200 слагаемых показали, что результаты различаются менее чем на 1 %). Поскольку радиусы шаров сильно различаются, то уже при отношении зарядов а = 10 напряженность поля у поверхности большего шара (у пластины конденсатора) в 1000 раз меньше напряженности поля у поверхности частицы, т.е. практически можно считать конденсатор незаряженным. Результирующая сила (10) нормировалась аналогично тому, как это было сделано выше, для этого правая часть (10) делилась на /4у2. Вместо расстояния х использовалось расстояние у между поверхностью пластины и центром частицы, выраженное в единицах ее радиуса:

у = х + (х - 1)у .

(17)

С

С

22

2

«и =

512 =

2

2

Нормированная сила вычисляется по формуле

/я (У) = 4y2 F (x) -

4 У2

(16 - y / 2)2

(18)

далеко друг от друга. Единица измерения силы в (16) преобразовывалась к виду кд^

^ R22(1 + RJR )2 " ^

(19)

где у выражено в единицах К, ах связано с у соотношением (17). Результат расчета представлен на рис. 6 кривой 2. Кривая 1 соответствует расчету по первому приближению МЭИ для точечного заряда между пластинами конденсатора, расположенного в центре частицы. Видно, что, во-первых, кривая 1 практически идентична кривой на рис. 2, во-вторых, расхождения в величине силы начинаются примерно су = 4 и становятся существенными вблизи левой пластины.

где Е - напряженность поля у поверхности большего шара (у плоскости). Вместо расстояния между центрами шаров х использовалось расстояние между поверхностями тел (величина зазора) £ в единицах Щ . При этом имеем соотношение

S и (x -1)R2.

я

(20)

Считалось, что сила взаимодействия тел обращается в нуль (или потенциальная энергия имеет максимум) практически при их соприкосновениях, если она равна нулю при х = 1.0002, что соответствует £ = 0.02 (при х = 1 знаменатели рядов (13) обращаются в ноль). Результаты расчетов представлены на рис. 7. Сплошной кривой показана величина силы при соприкосновении шара и плоскости. Как видно из графика, отталкивание шара от плоскости реализуется лишь в диапазоне параметров 0,37 <§< 1,21, внутри которого потенциалы тел близки или равны. Максимум силы достигается при равных потенциалах, т.е. при условии, соответствующем зарядке шара от плоскости [3-7]:

E2R1 kqx

1

1,645

= § и 0,608 .

(21)

Рис. 6. Зависимость нормированной силы, действующей на заряженную частицу, расположенную между пластинами незаряженного плоского конденсатора, от безразмерного расстояния до одной из пластин. Кривая 1 - приближение точечного заряда

4. Сферическая частица внутри заряженного конденсатора

Поскольку конечные размеры частицы существенны только вблизи одной из пластин, дальнейшее рассмотрение задачи с заряженными пластинами конденсатора проведем для случая, когда заряженная частица расположена вблизи одной (левой) одноименно заряженной пластины. При этом пластину вновь заменим сферической поверхностью большого радиуса Щ = 100Щ .

Так как при сильно различающихся по размеру телах их заряды становятся несопоставимыми, вместо отношения зарядов а в расчетах использовался параметр % = дЩ2/ дЩ = Е2 / Е, по сути, равный отношению напряженностей поля на поверхности шаров в случае, когда они расположены

0.8 0.6

0.4

^ 0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

.1 : / / « п '! ш 1 1 1 \ 1

! ' \ и 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

Ег/Е^

Рис. 7. Зависимость безразмерной силы, действующей на шарик, от отношения напряженностей поля у поверхности тел

Величина силы при этом равна F = 0.832qE [37]. Укажем, что именно полученное ранее соотношение (21) делает параметр § естественным параметром, отвечающим за переходы из областей I, II, III в соседние. Следует также отметить, что с дальнейшим уменьшением x границы интервала I-III сближаются, вырождаясь при x = 1 в линию равного потенциала тел § = 0.608 .

На рис. 8 показаны зависимости безразмерной силы, действующей на частицу, от безразмерной величины зазора между частицей и плоскостью

для различных отношений напряженностей. Кривые 1, 2, 3, 4 соответствуют £ = 0.608; 0.37; 5; 0.1. Видно, что с увеличением зазора, как и следовало ожидать, значения всех сил стремятся величине

выше - отталкивания. Прямые линии 3, 4 соответствуют пределу точечного заряда Очень часто маленькую заряженную частицу внутри плоского конденсатора заменяют точечным зарядом. В этом случае при сближении реального заряда с одноименно заряженной пластиной в результате наличия в пластине электрического изображения всегда найдется расстояние, начиная с которого сила отталкивания сменится силой притяжения. Учитывая взаимодействие только с одной из пластин и принимая в (9) предел точечного заряда, запишем Рх (£) = /4Б2. Тогда можно получить условие притяжения заряда к пластине в виде

4S2 E

> 1.

(22)

Рис. 8. Зависимость безразмерной силы, действующей на шар, от безразмерного расстояния от центра шара до плоскости

На рис. 9 в логарифмическом масштабе показана зависимость величины безразмерного зазора S0, при котором сила, действующая на частицу, обращается в нуль от отношения напряженностей. При этом q = E / E = £_1 и соответствующая кривая 1 относятся к области I на рис. 7. Кривая, отмеченная как 2, относится к области III на этом же рисунке. По сути, эти кривые можно назвать нейтральными. Выше кривых сила имеет характер силы отталкивания, ниже - притяжения. С увеличением параметра £ начинает выполняться

приближенное равенство £(S0) « q(S0) так, что нейтральные кривые практически сливаются, однако затем, начиная примерно с £ = 50 , они вновь расходятся. Заметим, что равновесие частицы на нейтральных кривых неустойчивое - потенциальная энергия в этих местах имеет локальный максимум.

Рис. 9. Нейтральные кривые. Ниже кривых сила имеет характер силы притяжения,

Оно может быть преобразовано к виду

S < S0Г) = 0,5VC (23)

для левой области (т.е. области I на рис. 4),

S < S(ш) = 0,5,/щ (24)

для правой области (т.е. области III на рис. 4). Правые части неравенств (23), (24) показаны на рис. 9 прямыми 4 и 3 соответственно. Отчетливо видно, что предел точечного заряда достаточно хорошо начинает выполняться для левой области I при ^ > 100 и S > 5 (для оценки области действия как сил притяжения, так и отталкивания). Тогда как для правой области III (рис. 4) предел точечного заряда практически неприемлем в плане оценки границы области действия сил притяжения. Из рис. 8 также видно, что на больших расстояниях от частицы до пластины (величина зазора, по крайней мере, больше 5 радиусов частицы) сила отталкивания практически такая же, как для точечного заряда.

Список литературы

1. Остроумов Г.А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей: Физические основы электрогидродинамики. М.: Наука, 1979. 320 с.

2. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 712 с.

3. Саранин В. А. Метод электрических изображений в задачах и экспериментах: Изд. 2-е, испр. и доп. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012. 128 с.

4. Лебедев Н.Н, Скальская И.П. Сила, действующая на проводящий шарик, помещенный в поле плоского конденсатора // Журнал техн. физики.

1962. Т. 32, № 3. С. 375-378.

5. Шутов А.А. Заряд и сила, действующая на сферическое тело у плоского электрода в поляризующейся среде // Журн. техн. физики. 2003. Т. 73, № 6. С. 9-16.

6. Гладкий С.Л. Тарунин Е.Л., Ясницкий Л.Н. Применение метода фиктивных канонических областей в задачах электростатики // Вестник Пермского университета. Сер.: Физика. 2011. Вып. 3 (18). С. 96-102.

7. Саранин В.А, Майер В.В. Теоретические и экспериментальные исследования взаимодействия двух проводящих заряженных шаров // УФН. 2010. Т. 180, № 10. С. 1109 - 1117.

8. .Саранин В.А. О взаимодействии двух электрически заряженных проводящих шаров // УФН. 1999. Т. 169, № 4. С. 453-458.

9. Смайт В. Электростатика и электродинамика.

10. М.: Иностр. лит., 1954. 604 с.

11. Davis M.H. Two charged spherical conductors in a uniform electric field: forces and field strength // Quart. Journ. Mech. and Applied Maht. 1964. Vol. 17, pt. 4. P. 499-511.

12. Гращенков С.И. О силе электростатического взаимодействия между двумя проводящими шарами//Журнал техн. физики. 2011. Т. 81, вып. 7. С. 13-17.

13. Kolikov K., Ivanov D., Krastev G., Epitropov Y., Bozhov S. Electrostatic interaction between two conducting spheres/Journal of Electrostatics. 2012. Т. 70. С. 91-96.

About force of interaction of the charged particle with plates of the plane capacitor

V. A. Saranin

Glazov State Pedagogical Institute, Pervomayskaya St., 25, 427621, Glazov

Expressions for force of interaction of the charged spherical particle with plates of the flat not charged and charged capacitor are received. It is shown, that in case of interaction of a particle with the same charged plate probably both pushing away, and an attraction of a particle. The analysis of approach of a point charge often used for this case is made. Borders of its applicability are established.

Keywords: force of the electrostatic interaction, the charged particle in the capacitor.