Заряженный математический маятник над проводящей плоскостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 2 (20)

УДК 534.014.2+537.21

Заряженный математический маятник над проводящей плоскостью

Н. О. Балдина, Н. И. Лобов

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Численно исследуется взаимодействие заряженного математического маятника в поле тяжести с бесконечной плоской поверхностью проводника. Электропроводность проводника считается очень большой, в результате чего в любой момент времени его поверхность эквипотенциальна. Задача решается методом электрических изображений. Параметрами задачи являются безразмерный заряд маятника и относительная высота его точки подвеса. Система уравнений, описывающая поведение маятника, решается численно методом Рунге-Кутты-Мерсона с пошаговым контролем точности. Построены фазовые портреты системы при различных значениях параметров задачи. Установлено, что движение маятника остается финитным при большем начальном отклонении его от положения равновесия, чем в случае свободных колебаний.

Ключевые слова: математический маятник, проводник, электрические изображения, фазовые траектории.

1. Введение

В природе и технике достаточно часто встречаются случаи, когда важным является взаимодействие заряженных тел с проводящими поверхностями. Описание таких процессов представляет собой весьма сложную и трудоемкую математическую задачу. Тем не менее бывают ситуации, когда подобное исследование может быть выполнено достаточно просто. Речь идет об использовании метода электрических изображений, см., например, [1, 2]. В настоящей работе методом электрических изображений исследуется движение заряженного математического маятника над бесконечной проводящей плоскостью. Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая поведение маятника, интегрируется численно методом Рунге-Кутты-Мерсона с пошаговым контролем точности вычислений. Построены фазовые портреты системы при различных значениях определяющих параметров задачи.

2. Постановка задачи

Итак, рассматривается задача движения заряженного математического маятника вблизи бесконечной проводящей плоскости в поле тяжести. На движение маятника будет влиять индуцированный

заряд, возникающий на поверхности проводника в процессе движения маятника. Используя метод электрических изображений, можно значительно упростить рассматриваемую задачу, заменив проводящую плоскость зарядом противоположного знака, расположенного на таком же расстоянии от плоскости, что и истинный заряд (I, рис. 1), но в другом полупространстве (II).

и 4 * я I

//77 ) ^////////////

И II

\ ' • -а

Рис. 1. Иллюстрация метода электрических изображений

Будем считать движение маятника квазиста-

© Балдина Н. О., Лобов Н. И., 2012

ционарным процессом. Это возможно, если проводимость проводника достаточно велика. Но тогда можно пользоваться методом электрических изображений, потому что в любой момент времени поверхность проводника будет эквипотенциальной с нулевым электрическим потенциалом. Заряд, помещённый под плоскостью (рис. 2), совершает колебания по тому же закону, что и рассматриваемый маятник.

Рис. 2. Заряженный маятник над проводящей плоскостью

Ограничимся рассмотрением плоских качаний маятника. Запишем уравнение вращательного движения применительно к рассматриваемой задаче:

Jф = —1тд віп(ф) —

—I

(1)

4 (к — I сов(ф))

і(ф)'

ф=—д

і+-

4тд(1 — - сов(ф))2 к

еіп(ф). (2)

В уравнении (2) перейдем к безразмерным переменным. Выбраны следующие единицы измере-

ния: длины - Н, времени - {^д| . Стоит отме-

тить, что выполняется соотношение I Н < 1. Это

следует из того, что длина маятника не может превосходить расстояние от точки подвеса до плоскости. Безразмерное уравнение движения выглядит следующим образом:

ф =

1 + -

А

(і — Ь сое (ф))

віп (ф

(ф).

(3)

Начальные условия таковы:

г = о : Ф = ф0 , ф = ф0.

Задача содержит следующие безразмерные параметры подобия: записаны в безразмерном виде, где введены следующие безразмерные параметры:

А = с]214тдН - безразмерный электрический заряд и Ь = ^Н - безразмерная длина маятника.

Имея в виду численное решение уравнения (3) методами пошагового интегрирования, приведем это уравнение к системе уравнений первого порядка. Введем обозначения:

У1 = Ф, У2 = ф .

Тогда получаем следующую задачу Коши:

У1 = У2 , (4)

У, =

1 + -

А

(1 — Ь сов(у1))2

віп(у1)

і = 0 : у1 = у

у2 = у20 .

Здесь ф - угол отклонения маятника от положения равновесия, т - масса маятника, I - длина маятника, Н - расстояние от точки подвеса до проводящей плоскости, д - ускорение свободного падения. Подставив в (1) величину момента инерции, получаем:

Задача (4) решалась численно, с использованием метода Рунге-Кутты-Мерсона с пошаговым контролем точности.

3. Результаты

Для рассматриваемой системы оказались возможными два вида движения - колебания, которым отвечают замкнутые кривые на фазовом портрете, и инфинитное движение, соответствующее вращению маятника вокруг точки подвеса с переменной скоростью. Как видно из представленных ниже рисунков, при изменении параметров задачи мы не получаем принципиально новых видов траекторий, они лишь деформируются в зависимости от величины параметров.

На рис. 3 показан фазовый портрет системы при следующих значениях параметров задачи А = 0.5, Ь = 0.3. Такая ситуация соответствует случаю достаточно большой удаленности маятника от плоскости даже вблизи положения устойчивого равновесия. В результате электрическое взаимо-

2

Я

2

я

48

Н. О. Балдина, Н. И. Лобов

действие заряда с проводником очень мало. Фазовые траектории практически не отличаются от траекторий незаряженного математического маятника. Кривые 1-5 показывают эволюцию положения маятника при начальной скорости ф0 = 0 и начальном отклонении ф0 = 6 , 4 , 3 , 2 ,

2^13 соответственно. Кривые 6-7 были получены при нулевом начальном отклонении маятника и начальной скорости ф0 = 1, 2 соответственно.

Рис. 3. Фазовый портрет системы, при

значениях параметров: А = 0.5, Ь = 0.3

С приближением заряженного маятника к поверхности проводника их взаимодействие усиливается. Фазовые траектории деформируются, причем сильнее всего изменяются их участки вблизи крайнего нижнего положения маятника. Это показывает фазовый портрет, представленный на рис. 4. Безразмерные параметры задачи теперь таковы: А = 0.5, Ь = 0.6 . Кривые 1-5 получены при тех же начальных данных, что и подобные траектории, показанные на рис. 3. Фазовые траектории, изображенные линиями 6, 7, получены, как и в предыдущем случае, при отсутствии начального отклонения. Вследствие усиливающегося

взаимодействия маятника и плоскости для получения инфинитных траекторий требуется теперь большая начальная скорость, чем при Ь = 0.3: ф0 = 1 (линия 6) и ф0 = 1 (линия 7).

Естественно было ожидать, что с дальнейшим приближением точки подвеса к проводнику деформация фазовых траекторий станет еще более сильной. На рис. 5 показан портрет системы при А = 0.5 , Ь = 0.9 . Циклы 1-6 получены при начальных данных ф0 = 0 и ф0 = 6 , 4, ^ 3,

к/ 2 , 2к/ 3 соответственно.

Рис. 4. Фазовый портрет системы, при значениях параметров: А = 0.5, Ь = 0.6

Рис. 5. Фазовый портрет системы, при значениях параметров: А = 0.5, Ь = 0.9

Электрическое взаимодействие заряда и проводника привело к существенному изменению вида циклов; на последних появляются вогнутые участки. Скорость прохождения вертикального положения (ф = 0) резко увеличилась. Так, при

Ь = 0.3 и ф0 = 6 (кривая 1 на рис. 3) , в нижнем

положении скорость маятника равна ф = 0.5 . При Ь = 0.9 и ф0 = к16 нижнее положение равновесия маятник проходит со скоростью ф = 3.0 . Положение верхнего (неустойчивого) равновесия ф = ±к маятник проходит с медленно меняющейся скоростью.

Рис. 6. Фазовый портрет системы, при

значениях параметров: А = 0.5, ф0 = 0 ,

Ф0 = 2-5

Рассмотрим теперь следующую ситуацию. Зафиксируем заряд (А = 0.5), скорость движения маятника (ф0 = 2.5) при прохождении им положения р = 0 и будем менять его длину. На рис. 6 показаны некоторые фазовые траектории при Ь = 0.9 (кривая 1), Ь = 0.6 (кривая 2), Ь = 0.3 (кривая 3), Ь = 0.1 (кривая 4).

Когда взаимодействие заряда и проводника относительно мало (кривая 4), маятник вращается вокруг точки подвеса с переменной скоростью. Усиление электрического взаимодействия приводит к тому, что маятник подходит к своему верх-

нему положению со все меньшей скоростью, фазовая траектория все больше приближается к сепаратрисе (кривая 3). При дальнейшем увеличении безразмерной длины маятника его движение становится финитным (кривые 2 и 1); маятник совершает колебания около точки р = 0, причем амплитуда колебаний маятника уменьшается.

4. Заключение

Вычисления показывают, что изменение характерных параметров задачи, а именно заряда маятника и его длины, не оказывают существенного влияния на качественное поведение системы. Если параметры системы таковы, что их значения отвечают предельным случаям (маятник вдали проводящей плоскости (ь ^ 0)), то фазовый портрет системы практически тождественен фазовому портрету незаряженного математического маятника в поле тяжести. Усиление электрического взаимодействия может привести к тому, что инфинит-ное движение сменится колебаниями около положения равновесия.

Список литературы

1. Саранин В. А. Метод электрических изображений в задачах и экспериментах. М-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2011. 112 с.

2. Саранин В. А., Майер В. В. Теоретические и экспериментальные взаимодействия двух проводящих заряженных шаров // Успехи физических наук, 2010. Т. 180. № 10. С. 1109-1117.

Charged pendulum above the conducting plane

N. O. Baldina, N. I. Lobov

Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm

The interaction of the charged mathematical pendulum in the gravity of a flat infinite surface of the conductor is numerically studied. Electrical conductivity of the conductor is very large, resulting in at any time the surface of equipotential. The problem is solved by the method of electrical images.

The parameters of the problem are the dimensionless charge of the pendulum and the relative height of the point of suspension. The system of equations describing the behavior of the mathematical pendulum is solved numerically by the Runge-Kutta-Merson with the control accuracy. The phase portraits of the system for different values of the parameters. It is established that the motion of the pendulum remains finite for large initial deviation from the equilibrium position of his, than in the case of free oscillations.

Keywords: mathematical pendulum, the conductor, the electrical image, the phase trajectories.