Влияние вращательных вибраций на поведение математического маятника Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 2 (20)

УДК 534.014.2

Влияние вращательных вибраций на поведение математического маятника

Н. И. Лобов, Е. А. Носова

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Численно анализируется поведение математического маятника, плоскость колебаний которого совершает вращательные вибрации. Параметрами задачи являются амплитуда и частота вибраций плоскости колебаний, а также коэффициент трения. Уравнение движения интегрируется методом Рунге-Кутты-Мерсона с контролем точности. Построены фазовые портреты маятника при различных значениях параметров задачи и отображения Пуанкаре. Обнаружены достаточно сложные режимы движения маятника, в том числе колебания около нового положения равновесия, которое непрерывно смещается в плоскости качания.

Ключевые слова: математический маятник, вращательные вибрации, фазовые портреты, отображение Пуанкаре.

1. Введение

Математический маятник является весьма простой системой, удобной для анализа. Существует большое количество работ, в которых исследуется влияние различных факторов на его поведение. К числу таких факторов можно отнести осевые вибрации (маятник Капицы), вращение плоскости качания (регулятор Уатта) и т.д. У обычного математического маятника есть несколько режимов поведения, фазовый портрет системы достаточно прост. На фазовой плоскости есть положения равновесия, область финитного движения, при котором фазовая траектория является циклом, область инфинитного движения, при котором маятник совершает обороты вокруг точки подвеса. Участки с финитным и инфинитным движением на фазовой плоскости разделены сепаратрисой.

Действие на маятник различных сил может привести к существенной коррекции его поведения. Так, например, при осевых вибрациях точки подвеса может измениться положение устойчивого равновесия; в случае интенсивных вибраций устойчивое равновесие соответствует перевернутому положению маятника. Первое объяснение этого факта принадлежит П.Л.Капице.

В случае вращения плоскости качания маятника (регулятор Уатта) тип фазового портрета системы также может меняться. При большой угловой скорости вращения появляются две новых точки

равновесия маятника, соответствующие фиксированному отклонению маятника относительно линии подвеса. И в этом случае возможно финитное движение маятника, он совершает колебания около той или другой новой точки равновесия.

Ранее, на конференциях студентов Пермского университета сообщались результаты исследований поведения математического маятника при вращении точки подвеса по вертикальному и горизонтальному эллипсам [1, 2].

При эллиптических вибрациях точки подвеса в вертикальной плоскости с увеличением частоты ее колебаний маятник совершает многооборотный цикл, затем движение маятника становится подобным движению свободного математического маятника с небольшой периодической модуляцией скорости. Ещё большее увеличение частоты колебаний точки подвеса приводит к появлению чрезвычайно сложного фазового портрета.

При движении точки подвеса в горизонтальной плоскости поведение маятника иное. Если угловая скорость движения точки подвеса невелика, то стационарный угол отклонения монотонно возрастает с ростом вибрационного ускорения. С увеличением угловой скорости могут существовать три режима, из которых первый соответствует почти горизонтальному отклонению маятника, второй -близок к первому. В третьем случае маятник занимает вертикальное положение.

© Лобов Н. И., Носова Е. А., 2012

В настоящей работе рассматривается поведение математического маятника в случае, когда плоскость его качания совершает вращательные вибрации относительно линии подвеса.

2. Постановка задачи

Рассматривается поведение математического маятника, плоскость колебаний которого совершает вращательные вибрации. Примером такого маятника может быть шарик, скользящий без трения по круговому обручу. Обруч совершает колебательные вибрации вокруг своего вертикального диаметра (рис. 1).

I

ё = — g sin ё + А2ш2 sin ё cos ё sin2 wt. (3)

l

В уравнении (3) перейдем к безразмерным переменным. Выберем в качестве единицы измере-

I I \V2

ния: длины - l, времени - 1l д I . Тогда уравнение принимает вид:

ё = — sin ё + A2Q2 sin ё cos її sin2 Qt.

(4)

Здесь П - безразмерная частота вращательных колебаний. В данных единицах период собственных малых колебаний математического маятника равен .

Если принять во внимание, что в реальной системе всегда есть диссипация, то уравнение (4) необходимо модифицировать. Считая силу трения пропорциональной скорости движения маятника, запишем окончательно уравнение движения в следующем виде:

ё = — sin ё + А2П2 sin ё cos ё sin2 П t — kё. (5)

Уравнение движения содержит три безразмерных параметра: А - амплитуда вращательных вибраций, П - циклическая частота вибраций, k - безразмерный коэффициент жидкого трения.

Запишем уравнение движения в виде системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого введем обозначения:

Vi = ё, y2 = ё.

(6)

Окончательно система уравнений, описывающая поведение маятника, выглядит так:

(7)

Рис. 1. Математический маятник; вращательные вибрации плоскости качания

Функция Лагранжа такой системы имеет вид:

ml2ё2 ml2 sin2 їїф2 L =----------+ - ^

2

2

(1)

—mghl(l — cosё|.

Здесь l - длина подвеса маятника, д - ускорение свободного падения, ё - угловое смещение маятника в плоскости качания, р - угол поворота

плоскости качания (р = A cos wt|.

Уравнение Лагранжа позволяет получить следующее уравнение движения:

ml2ё — ml2 sin ё cos ёр2 + mgl sin ё = 0 . (2)

Подставляя выражение для р, получаем:

y2 = — sin y + А2П2 sin щ cos щ sin2 nt — ky2 .

Система уравнений (7) интегрировалась численно методом Рунге-Кутты-Мерсона с пошаговым контролем точности. По результатам расчетов строились фазовые портреты системы и отображения Пуанкаре в широком диапазоне изменения параметров А , П.

3. Результаты

Ниже на рисунках показаны на плоскости угол - угловая скорость, фазовые траектории и отображения Пуанкаре. Представленные результаты получены при начальном смещении маятника р0 = 0.3 , начальной скорости ё0 = 0, безразмерном коэффициенте трения k = 0.0001 и двух значениях частоты вращательных вибраций П = 0.5 ,

1.0. Отметим, что такое значение циклической частоты вращательных вибраций соответствует появлению добавочной силы, которая периодически меняется с частотой (и удвоенной частотой соответственно) собственных малых колебаний маятника.

При малой амплитуде вращательных вибраций поведение маятника слабо отличается от случая свободного маятника. На рис. 2 показан фазовый портрет системы (вверху) и отображение Пуанкаре (внизу) при П = 0.5 , А = 0.1. Маятник совершает почти гармонические колебания с частотой свободных колебаний и медленно убывающей амплитудой.

При увеличении интенсивности вибраций поведение маятника качественно не меняется, но амплитуда изменения углового отклонения и соответствующей скорости медленно нарастают. Такая картина наблюдается при увеличении амплитуды вращательных вибраций до А и 1.5.

При дальнейшем усилении вибрационного воздействия картина становится несколько иной. На рис. 3 показаны фазовые портреты при П = 0.5 , А = 1.5 (вверху) и А = 2.0 (внизу). Видно, что колебания маятника становятся существенно негармоническими.

С дальнейшим увеличением амплитуды А поведение маятника еще более усложняется.

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0.4

3

0.2

-0.2

-0.4

3

0.8

3

0.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-0.4

-0.8

3

-0.8

-0.4

0.4

0.8

0

0

0

0

0

0

Рис. 2. Фазовые портреты (вверху) и отображения Пуанкаре (внизу). П = 0.5 , А = 0.1

Рис. 3. Фазовые портреты при П = 0.5 , А = 1.5 (вверху) и А = 2.0 (внизу)

0.4

3

-1

3

3

0.2

-0.2

-0.4

3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

Рис. 4. Фазовый портрет(сверху), отображение Пуанкаре(снизу) при О = 0.5 ,

А = 2.5

На рис. 4 показан фазовый портрет системы (сверху) и отображение Пуанкаре (снизу) при А = 2.5. Безразмерная частота по-прежнему 0 = 0.5 . Установившееся движение маятника выглядит очень сложным, фазовая траектория соответствует многооборотному циклу. Колебания маятника являются существенно негармоническими, амплитуды изменения координаты $ и скорости качаний маятника различны на разных стадиях такого многооборотного цикла. Отметим, что движение маятника по-прежнему финитное, причем колебания (в целом) осуществляются относительно исходного положения равновесия.

При частоте вибрационного воздействия, равной удвоенной частоте свободных малых колебаний маятника (О = 1), наблюдается несколько иное поведение системы.

0.3

І

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3 і— -0.4

-0.2

0

0.2

3

0.4

Рис. 5. Фазовый портрет(сверху) и отображение Пуанкаре(снизу) при П = 1.0 ,

А = 0.1

Если амплитуда вращательных вибраций мала, то колебания маятника, как и раньше, затухают. Сказанное иллюстрируют фазовый портрет (вверху) и отображение Пуанкаре (внизу), показанные на рис. 5 (П = 0.5 , А = 0.1).

При амплитуде вибраций большей А и 1.5 поведение системы становится качественно иным.

Это иллюстрируют рис. 6 и рис. 7, приведенные ниже. Фазовые портреты получены при одних и тех же значениях параметров; П = 1.0, А = 1.6 . На начальных стадиях процесса (рис. 6) траектория маятника "раскручивается", при этом среднее отклонение маятника от вертикали нарастает, изменяясь от р и 0.25 до р и 0.7 .

2

0

0

2

2

0

2

0.6

$

4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

$

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Рис. 6. Фазовые портрет (сверху) и отображение Пуанкаре (снизу) при П = 1.0 , А = 1.6

0.6 р

0.2

-0.2

-0.4

-0.6

$

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 7. Фазовый портрет при А = 1.6

По истечении некоторого промежутка времени (см. рис. 7) увеличение амплитуд смещения и скорости сменяется на их уменьшение, при этом среднее отклонение маятника от вертикали начинает уменьшаться. Далее все повторяется.

Как было сказано выше, представленные результаты получены при одних и тех же начальных данных, не изменялась и величина безразмерного коэффициента трения. При таких исходных параметрах задачи колебания свободного математического маятника затухают. Были изучены и иные режимы движения (движение по сепаратрисе, ин-финитные движения), но в данной работе не приводятся.

4. Заключение

В работе рассмотрено влияние вращательных вибраций плоскости качания на поведение математического маятника. Построены фазовые портреты и отображения Пуанкаре при некоторых значениях безразмерных параметров задачи.

Напомним, что при колебаниях точки подвеса маятника в вертикальной плоскости, стационарные режимы существуют уже при малых интенсивностях вибрационного воздействия [1]. В нашем случае даже при большой амплитуде вращательных вибраций и малой диссипации, колебания маятника затухают. Ситуация достаточно необычная. Только при относительно большой амплитуде вращательных вибраций колебания перестают затухать, при этом фазовый портрет становится очень сложным. Чем больше частота вибраций, тем меньше амплитуда вибраций, при которой затухание отсутствует.

Список литературы

1. Ковалевская К. С. Динамика маятника в вибрационном поле с вертикальной плоскостью эллиптической поляризации / Четырнадцатая зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Пермь, 2005. С. 160.

2. Солдатова Л. С. Поведение маятника в вибрационном поле с вертикальной плоскостью эллиптической поляризации / Четырнадцатая зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Пермь, 2005. С. 277.

1

0

Effect of rotational vibrations for the behavior of the pendulum

N. I. Lobov, E. A. Nosova

Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm

Numerical analysis the behavior of the simple pendulum, which plane of oscillation performs rotational vibration. The parameters of this problem are the amplitude, plane of oscillation vibration frequency and the friction coefficient. Equation of motion integrates by the Runge-Kutta-Merson with the accuracy control. Phase portraits of the pendulum are constructed for different values of problem parameters and the Poincare map. Found rather complex modes of motion of the pendulum, including the fluctuations around a new equilibrium position, which is continuously shifted in the plane of oscillation.

Keywords: simple pendulum, rotational vibration, phase portraits, Poincare map.