CC BY
73
УДК 51 (09)
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ, МАЯТНИК С ВИБРИРУЮЩИМ ПОДВЕСОМ: Н. Н. БОГОЛЮБОВ, А. СТЕФЕНСОН, П. Л. КАПИЦА И ДРУГИЕ
Е. М. Богатое, Р. Р. Мухин
Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова, филиал Национального исследовательского технологического университета «МИСИС» 309516 Старый Оскол, Белгородской обл., мкр. Макаренко, 42 E-mail: e.bogolyubscky@yandex.ru, mukhiny@mail.ru Поступила в редакцию 1.07.2017
В работе прослеживаются главные моменты исторического развития одного из основных методов исследования нелинейных систем - метода усреднения, который понимается как переход от так называемого точного уравнения
d =(^ (е - малый параметр), к усреднённому уравнению
Ц = еХо(Ю + е2Р2 (?) + ... + emPm©
путём подходящей замены переменной.
Анализируется подход Боголюбова-Крылова к проблеме обоснования метода усреднения, основанный на теореме об инвариантной мере.
В работе представлена эволюция взглядов на физический маятник с вибрирующим подвесом, начиная с работ по описанию его простых движений (А. Стефенсон, Г. Джеф-фрис, Н.Н. Боголюбов, П.Л. Капица, В.Н. Челомей и др.) и заканчивая сложными движениями. В последнем случае проявляются различные характерные особенности сложного поведения нелинейных систем - бифуркации, хаотические режимы и т.д. (Дж. Блэкберн, М. Бартучелли и др.). Описывается ряд аналогов маятника с вибрирующей точкой подвеса за пределами классической механики (А.В. Гапонов, М.А. Миллер - локализация частицы в электрическом поле; С.М. Осовец - стабилизация горячей плазмы; В. Пауль, Н. Рэмси, Х. Демельт - удержание частиц в переменном электромагнитном поле).
Важной частью работы являются исторические сведения о Н.М. Крылове, Н.Н. Боголюбове, П.Л. Капице, что позволяет яснее представить мотивацию производившихся исследований, их обусловленность.
Ключевые слова: Метод усреднения, теорема Крылова-Боголюбова об инвариантной мере, маятник с вибрирующим подвесом, маятник Капицы, парадоксы Челомея, уравнение Матье, динамическая устойчивость, бифуркация, динамический хаос.
DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-5-69-87
Образец цитирования: Богатое Е.М., Мухин Р.Р. Метод усреднения, маятник с вибрирующим подвесом: Н.Н. Боголюбов, А. Стефенсон, П.Л. Капица и другие // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, № 5. C. 69-87. DOI: 10.18500/0869-66322017-25-5-69-87
THE AVERAGING METHOD, A PENDULUM WITH A VIBRATING SUSPENSION: N. N. BOGOLYUBOV, A. STEPHENSON, P. L. KAPITZA AND OTHERS
E. M. Bogatov, R. R. Mukhin
Stary Oskol Technological Institute named after A.A.Ugarov, the Branch of National Research Technological University «MISIS» 42, mkr. Makarenko, 309512 Stary Oskol, Belgorod region, Russia E-mail: e.bogolyubscky@yandex.ru, mukhiny@mail.ru Received 1.07.2017
The main moments of the historical development of one of the basic methods of nonlinear systems investigating (the averaging method) are traced. This method is understood as a transition from the so-called exact equation
dx=X
(e is small parameter), to the averaging equation
= EXo© + e2P2© + ... + emPm©
by corresponding variable substitution.
Bogolyubov-Krylov's approach to the problem of justifying the averaging method, based on the invariant measure theorem, is analyzed.
The paper presents the evolution of views on a physical pendulum with a vibrating suspension, beginning with the description of its simple motions (A. Stephenson, G. Jeffreys, N.N. Bogolyubov, P.L. Kapitza, V.N. Chelomey, etc.) and ending with complex movements. In the latter case, various characteristic features of the complex behavior of nonlinear systems is appeared - bifurcations, chaotic regimes, etc., (J. Blackburn, M. Bartuccelli, and others). A number of analogs of a pendulum with a vibrating suspension point outside of classical mechanics are described (A.V. Gaponov, M.A. Miller - localization of a particle in an electric field; S.M. Osovets - stabilization of hot plasma; V. Paul, N. Ramsey, H. Dehmelt - confinement of particles in an alternating electromagnetic field).
An important part of the work is historical information about N.M. Krylov, N.N. Bogolyubov, P.L. Kapitza, which makes possible to more clearly show the motivation of the studies, their conditionality.
Keywords: Averaging method, Krylov-Bogolyubov theorem about invariant measure, pendulum with vibrating suspension, Kapitza pendulum, Chelomey paradoxes, Mathieu equation, dynamic stability, bifurcation, dynamic chaos.
DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-5-69-87
References: Bogatov E.M., Mukhin R.R. The averaging method, a pendulum with a vibrating suspension: N.N. Bogolyubov, A. Stephenson, P.L. Kapitza and others. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 25. Issue 5. P. 69-87. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-569-87
Предварительные замечания
Физика и математика издавна сталкивались с отдельными нелинейными задачами, но их самостоятельное изучение стало уделом науки XX в. Имелось несколько линий развития в исследовании нелинейных явлений - во Франции, Нидерландах, в Великобритании, США, Советском Союзе. В Советском Союзе изучение нелинейных явлений сосредоточилось главным образом в Москве и Горьком (школа
Н. М. Крылов
Мандельштама-Андронова и группа московских математиков) и в Киеве (школа Крылова-Боголюбова). На последней и сосредоточим поначалу наше внимание.
На Украине ещё до 1917 г. был высокий уровень математических исследований, среди которых выделяются классические результаты Харьковской математической школы (А.М. Ляпунов, В.И. Стеклов). В 1902 г. в Киевском университете начал работать ученик П.Л. Чебышева Д.А. Граве, который принёс в Киев высокую культуру и научные традиции Петербургской математической школы [1, с. 16]. Но подлинный расцвет физико-математических наук на Украине начался в 1920-е гг., и одной из главных причин этого следует считать появление школы Крылова-Боголюбова.
Николай Митрофанович Крылов (1879-1955) окончил Петербургский горный институт (1902). Знакомство Крылова с нелинейными системами произошло в 1908 г. на лекциях Э. Пикара, когда Крылов учился в Сорбонне. Огромное влияние на становление Крылова как математика оказал А. Пуанкаре, чьи лекции он также слушал [2, с. 28-29]. Работа Крылова в Академии наук Украины началась в 1922 г. после его переезда в Киев. К тому времени Крылов являлся признанным лидером в области аппроксимации функций, приближённому решению дифференциальных уравнений. С 1923 г. в работе семинара Крылова активное участие стал принимать его аспирант Н.Н. Боголюбов.
Николай Николаевич Боголюбов (1909-1992) очень рано проявил незаурядные математические способности, которые были раскрыты благодаря усилиям его отца, сделавшего всё возможное для развития таланта своего сына. В 1913 г. семья Боголюбова переехала в Киев, а в 1922-1923 г. Боголюбов познакомился с Крыловым, и их плодотворное сотрудничество продолжалось более двух десятилетий. Свою первую научную работу Боголюбов опубликовал в возрасте 15 лет.
Довоенный киевский период деятельности Боголюбова был посвящён математике и её приложениям, среди которых доминирует нелинейная механика - важнейший раздел современной математической физики. Систематическому изложению истории нелинейной механики отведено немало места в литературе [3-6]; кроме того, в диссертации Е.М. Несте-ренко [6] и в обстоятельной работе А.М. Самойленко [5] приведена подробная библиография. В настоящей работе мы коснёмся одного из главных инструментов нелинейной механики - метода усреднения и проиллюстрируем его на примере маятника с вибрирующим подвесом. Маятник с вибрирующим подвесом в настоящее время является одной из важнейших базовых моделей нелинейной механики, и он связан с именами многих выдающихся исследователей. Оказалось, что эта система выходит далеко за рамки простой иллюстрации методов нелинейной
механики. Н- Н- Б°г°любов
Метод усреднения
Для изучения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений широкое применение нашел разработанный А. Пуанкаре и А.М. Ляпуновым метод малого параметра [7-9]. По сравнению с обычными методами теории возмущений этот метод получил строгое обоснование и нашел применение не только для количественного, но и для качественного исследования. Новые потребности приложений, в первую очередь бурно развивавшейся в 1920-е гг. радиотехники, привели к необходимости дальнейшего развития методов решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов создали новые методы исследования нелинейных уравнений, пригодных для изучения не только периодических, но и квазипериодических решений. Этот новый раздел математической физики был ими назван механикой нелинейных колебаний или сокращённо - нелинейной механикой. Первые результаты были опубликованы в Докладах Французской Академии наук в 1932 г. [10] и в серии последующих работ. Полученные достижения были подытожены в двух монографиях Крылова и Боголюбова [11] (1934) и [12] (1937).
Строгое обоснование новых методов было проведено в получившей широкую известность работе Крылова и Боголюбова об инвариантной мере [13] и в фундаментальной монографии Боголюбова «О некоторых статистических методах в математической физике» [14]. Хотя поначалу реакция математической общественности на предложенные новые методы была неоднозначной (в частности, резкую критику они встретили со стороны А.А. Маркова на II Всесоюзном математическом съезде в Ленинграде), работы Крылова и Боголюбова по нелинейной механике в целом имели счастливую судьбу. Свою роль здесь сыграло издание двух упомянутых монографий Крылова и Боголюбова [11, 12] в 1943 г. в Принстоне в вольном переводе С. Лефшеца [15]. Основные идеи метода усреднения в форме, удобной для практических приложений, Боголюбов изложил в работе [16], следуя своей монографии [14]. Обратимся к методу усреднения [14, 16].
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в так называемой стандартной форме, к которой могут быть приведены многие уравнения теории колебаний
-— = гХк (t,xi,...,xn), k = 1, 2,...,n, (1)
dt
или в векторной форме
- = 8X (t,x)
где е - малый параметр, а функции Хк могут быть представлены в виде Хк(г, хх, ...,Хп) = егу1ХкуУ(х1, ...,Хп).
v
Подобным образом можно учесть также члены высшего порядка по е:
= еХк(г,хх, ...,Хп) + е2Ук(г,Хх, ...,Хп) + ...
При ряде не очень жестких ограничений, накладываемых на правые части, уравнение (1) путём замены переменных
х = £ + е^, £) + е2^, £) + ... + етЕт(1,£)
сводится к уравнению
-С
-Ь = гХо(С)+ е2Р2(С) + ... + етРт(С) + ет+1К(Ь, С).
Пренебрегая слагаемым ет+1Я(Ь, С), получаем «усреднённое» уравнение т-го приближения
-с
-С = 8Хс(С) + г2Р2(С) + ... + гтРт(С) (2)
аЬ
Преимущество приближённых уравнений (2) перед точными заключается в том, что их правые части не содержат явно времени Ь. Во многих интересных для приложений случаев оказывается достаточным исследовать более простые усреднённые уравнения (2). Здесь встаёт проблема обоснования метода усреднения, которая главным образом сводится к решению двух вопросов.
1. Нахождение условий, при которых разность между решением точного уравнения (1) и решением усреднённого уравнения (2) при малых значениях параметра е становится сколь угодно малой на больших, но конечных интервалах времени.
2. Установление соответствия между поведением точного уравнения (1) и усреднённого уравнения (2) на бесконечном интервале времени.
Боголюбов показал, что при выполнении некоторых общих условий ограниченности и гладкости, накладываемых на правую часть уравнения (1), когда равномерно по отношению к х существует предел
т
1
lim -1 I X(t,x)dt = X0(x), T J
Т ^
решения первого приближения уравнения (2) сколь угодно мало отличаются от решений уравнения (1) на интервале Ь ~ 1/е, если они совпадают при Ь = 0. Далее Боголюбов установил условия асимптотической устойчивости, близости периодических решений точного и усреднённого уравнений и получил ряд более тонких результатов. Дальнейшее развитие метода усреднения в трудах самого Боголюбова и его учеников выходит за рамки настоящей работы.
Перейдём к вопросу об инвариантной мере, имеющему самое непосредственное отношение к обоснованию метода усреднения.
Теорема Крылова-Боголюбова об инвариантной мере
Роль этой теоремы выходит далеко за рамки обоснования метода усреднения, она занимает важное место в общей теории динамических систем. Данный результат отчётливо характеризует особенности личности Боголюбова как исследователя. Задача о нелинейных колебаниях, вызванная прикладными вопросами, привела к созданию новой главы математической физики - нелинейной механики, которая нашла многочисленные применения в исследованиях по механике, гидродинамике, небесной механике, теории устойчивости, теории космического полёта, теории управления и др. Но Боголюбов пошёл дальше. Он провёл обоснование новых методов по
всем канонам математической строгости, исходя из «первых принципов», что поставило нелинейную механику на прочный математический фундамент и тем самым значительно увеличило ценность этой главы математической физики. Всё это стало возможным благодаря редко встречающемуся многообразию интересов Боголюбова и широте его научного диапазона.
Работа Крылова и Боголюбова по инвариантной мере (1937, [13]) имела счастливую судьбу и быстро получила широкую известность. Статья была опубликована в журнале Annales of Mathematics, который уже тогда, во многом благодаря С. Леф-шецу, имел репутацию журнала с высоким уровнем публикуемых работ. Кроме того, ещё до публикации статьи Крылова и Боголюбова, по этой работе был сделан доклад на очень представительной Первой международной топологической конференции в Москве (1935), где присутствовали практически все виднейшие топологи мира [17].
Понятие инвариантной меры является естественным обобщением интегрального инварианта Пуанкаре. Существование инвариантной меры предполагается при исследовании динамических систем статистическими методами. В этой связи упомянем первую эргодическую теорему - теорему возвращения Пуанкаре, её обобщения Э. Хопфом, устойчивость по Пуассону, эргодические теоремы Биркгофа и фон Неймана. Крылов и Боголюбов в своей работе [13] доказали существование инвариантной меры для широкого класса динамических систем и вследствие этого эргодические методы обрели твёрдую почву.
Крылов и Боголюбов рассмотрели динамическую систему, состояние которой в момент времени t характеризуется точкой P(xi,..., xn) n-мерного евклидова пространства En. Движение этой точки описывается дифференциальными уравнениями
Через Т1? обозначается точка пространства Еп, в которую данная точка перемещается к моменту г, если при г = 0 она находилась в точке Р. Для произвольного множества А из Еп обозначение ТА имеет аналогичный смысл. Боголюбов и Крылов, учитывая возможность распространения на динамические системы с бесконечным числом степеней свободы, перешли к более общему рассмотрению в метрическом и компактном пространстве Я. Мера т является инвариантной, если для любого множества А пространства Я
Крылов и Боголюбов установили, что в компактном фазовом пространстве Я динамической системы существует инвариантная мера. Приведём авторскую формулировку главного результата.
Теорема (Крылова-Боголюбова). Пусть ф - любая нормированная мера в пространстве Я. Тогда последовательность мер
компактна и каждая предельная мера этой последовательности является нормированной инвариантной мерой.
m(TtA) = m(A).
т
0
Далее в работе [13] Крылов и Боголюбов изучили совокупность всех инвариантных мер, допускаемых данной динамической системой.
Физический маятник с вибрирующим подвесом
Метод усреднения Боголюбов продемонстрировал на совершенно нетривиальном примере маятника с вибрирующей точкой подвеса в работе «Теория возмущений в нелинейной механике» (1950) [16]. Боголюбов показал, что у перевёрнутого маятника неустойчивое верхнее положение становится устойчивым, если точка подвеса вибрирует с достаточно большой частотой. Это выглядит парадоксальным. Рассказывали, что ещё в 1942 г., когда научные институты Киева находились в эвакуации в Уфе, в споре с М.А. Лаврентьевым по поводу маятника с вибрирующим подвесом Боголюбов выиграл пари, показав математическое доказательство факта устойчивости верхнего положения [5, с. 113]. Лаврентьев тогда изучал устойчивость полета артиллерийских снарядов, и задачи теории устойчивости входили в круг его непосредственных интересов [18, с. 46].
Но Боголюбов не был здесь первым. Указанная задача была рассмотрена манчестерским математиком А. Стефенсоном в серии статей 1906-1908 гг. [19-22]. Сте-фенсон исходил из уравнения движения маятника с вибрирующим подвесом для случая малых отклонений
d29 (g — at2 sin wt)9
--h —-— = 0 (3)
dt2 + l 0' (3)
нашёл его приближённое решение и привёл условие устойчивости верхнего положения равновесия. Такая же задача рассмотрена в известном пособии Г. Джефф-риса «Методы математической физики» [23]. Уравнение (3) - это известное уравнение типа Матье, встречающееся в теории движения Луны. Его решают с помощью разложения в ряды и используя бесконечные детерминанты. К уравнению Матье в связи с теорией колебаний, к маятнику с вибрирующим подвесом в 19201930-е гг. обращался ряд других исследователей, среди которых Б. ван дер Поль [24], М. Струт [25], П. Хирш [26], А. Эрдейи [27], Э. Ловенстерн [28]. В работе [29] Б. ван дер Поль и М. Струт изучили области устойчивости решений уравнения Ма-тье и привели соответствующие диаграммы. Можно сказать, что это был период накопления фактов, вызревания проблемы, когда публикуемые работы по данному вопросу воспринимаются рутинными и проходят не очень замеченными, поскольку время данной проблемы еще не пришло. История знает немало таких случаев, когда после скрытого, латентного периода одна или несколько ярких работ по-другому высвечивают проблему и привлекают к ней внимание. Так случилось и с маятником с вибрирующим подвесом. А указанными рубежными работами стали работы Н.Н. Боголюбова [16] и П.Л. Капицы [30, 31].
Боголюбов в своей работе [16] совершенно строго решил более общую задачу. Он исходил, в отличие от Стефенсона и Джеффриса, из точного нелинейного уравнения с учётом затухания
d26 , d9 (g — auu2 sin tut) sin 9
dt2 + кш -H— = а (4)
В системе имеется малый параметр е = a/l ^ 1, где a - амплитуда колебаний точки подвеса, l - длина маятника. Сделав замену переменных, Боголюбов привёл
уравнение второго порядка (4) к двум уравнениям первого порядка в стандартной форме (1). Затем, применяя к ним метод усреднения, он получил уравнения первого приближения. После этого Боголюбов исследовал на устойчивость полученное квазипериодическое решение, соответствующее верхнему положению равновесия маятника. Условие устойчивости получилось следующим:
ю > \/2ю0 — , (5)
а
где ю - частота колебаний точки подвеса, юо - собственная частота маятника.
Работы П. Л. Капицы
Отметим, что период с августа 1946 до начала 1955 г. был для Капицы нелегким временем. Он был снят со своих постов и отстранён от всех работ. Но Капица продолжал заниматься физикой в небольшой лаборатории, оборудованной на его даче на Николиной горе. Так что обращение Капицы к работе о маятнике с вибрирующим подвесом было вынужденным. В сборнике воспоминаний о Н.Н. Боголюбове [32] говорится, что идею изучить маятник с вибрирующим подвесом подал П.Л. Капице его сын Сергей. Будучи студентом третьего курса Московского авиационного института в 1945-46 гг., он узнал об эффекте маятника с вибрирующим подвесом на лекции по механике [32, с. 93-94].
В своих работах [30-31] П.Л. Капица не ссылается на своих предшественников, да и вряд ли они были ему известны, и ограничивается лишь ссылкой на книгу Джеффриса [23]. Но приводимое там решение Капицу не удовлетворило, так как предложенный метод был мало пригоден для исследования устойчивости, поскольку ограничивался случаем периодического решения при малых углах 9. Более того, Капица указывает что «красивое и поучительное явление динамической устойчивости перевёрнутого маятника не только не вошло в современные руководства по механике, но даже почти не известно широкому кругу специалистов. Можно предположить, что такое незаслуженное отношение к этому явлению было следствием того, что изучение его связано с решением уравнения Матье; оно производилось бесконечными детерминантами (метод Hill) или специальными функциями, что приводило к решению формального характера, не дающему возможности наглядно описать движение» [31, с. 8].
Сами явления динамической устойчивости были давно хорошо известны. Капица указывает, что при динамическом равновесии наиболее устойчиво то состояние, при котором центр тяжести занимает наиболее высокое положение, соответствующее максимуму потенциальной энергии. В качестве примеров этого принципа можно назвать обычный волчок, движение человека на ходулях, велосипедиста, движение автобуса, локомотива и пр., наиболее устойчивое положение достигается тогда, когда центр тяжести занимает, по возможности, более высокое положение [30, с. 588].
Как и в работе Боголюбова [16], у Капицы имеется тот же самый малый параметр е = a/l и он рассматривает то же уравнение движения (4), справедливое для
П. Л. Капица
любых значений угла 6, но без учёта затухания. Это уравнение Капица обобщил для случая физического маятника, проинтегрировав следующее выражение [30-31]:
d26
M6 = m(l2 + к2) + mlam2 sin mt sin 6,
где m - масса маятника, Мб - момент пары внешних сил, действующих на маятник, к - радиус инерции маятника. Затем Капица произвёл разделения быстрого и медленного движений: угловая частота m колебаний подвеса была намного больше частоты собственных колебаний маятника, так что за один период T = 2nm-1 полного колебания подвеса маятника угол 6 мало отклонялся от некоторого среднего значения ф. Таким образом,
6 = ф + |3.
Затем Капица произвёл усреднение за период T одного полного колебания подвеса и получил уравнение первого приближения для быстрой переменной ф. Таким же путём можно получить и высшие приближения. Полученное им условие устойчивости имеет вид
2a2m2 > 1 + £).
При к = 0 это выражение совпадает с условием устойчивости Боголюбова (5). Капица провёл подробное исследование системы, изучив при различных ситуациях условия равновесия, значения углов наклона стержня к вертикали при равновесном положении, провёл обобщение задачи на случай, когда подвес маятника совершает более сложные периодические колебания, чем гармонические и т.д. Капица не ограничился лишь теоретическим изучением маятника с вибрирующим подвесом, а провёл его экспериментальное исследование и отметил некоторые возможности практических применений. Позднее Л.Д. Ландау со свойственной ему элегантностью предложил несколько иной подход к задаче о маятнике с вибрирующим подвесом, введя понятие «эффективной потенциальной энергии» иэфф, и провёл обобщение на случай систем с любым числом степеней свободы. Положения устойчивого равновесия отвечают минимуму функции иэфф. Рассмотренная им задача о маятнике с вибрирующим подвесом вошла в первый том широко известного курса «Теоретической физики» Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [33].
Имя Капицы, обстоятельность проведённых исследований, публикация в таком журнале, как ЖЭТФ (с 1950-х гг. он стал регулярно переводиться на английский язык) и в широко известном курсе Ландау и Лифшица - всё это способствовало тому, что такая система с необычным поведением, как маятник с вибрирующим подвесом, его динамическая устойчивость приобрели широкую известность. Описываемые явления входят в необъятную область резонансных явлений, краткий обзор которых приведен в монографии В.Г. Широносова [34].
Мы не ставили себе целью дать исчерпывающее описание исторического развития маятниковых систем с вибрирующим подвесом, да это было бы и затруднительно сделать в небольшой по объему статье. Наша задача более скромная -осветить главные события и привлечь внимание к сложности поведения и нетривиальности таких, казалось бы, простых систем. В контексте сказанного в дальнейшем коснёмся лишь самых основных вопросов.
Работа Боголюбова [16] и, особенно, работы Капицы [30-31] (маятник с вибрирующим подвесом нередко называют «маятником Капицы») стимулировали поток
исследований по вибрационной механике (см., например, [35]). К сожалению, работа Боголюбова [16] получила меньшую известность, чем она заслуживает. Эта работа послужила толчком важных исследований В.Н. Челомея о повышении устойчивости упругих систем с помощью вибраций.
В.Н. Челомей (впоследствии ставший крупнейшим специалистом в области ракетно-космической техники) рассмотрел класс упругих систем под действием продольных периодических сил
P = Po + F (wt),
F(wt) = (am cos mwt + bm sin mwt).
m=0
Представляя перемещения системы в виде S = Vф, где V - функция координат системы, Челомей получил для функции времени ф(^ дифференциальное уравнение в линейном приближении
с12ф 0ф 2
ж+2"i+Q2
F(wt) а--
Pk
ф = 0, (6)
где □ - частота собственных колебаний несжатой системы, Рк - критическая статическая сила, п и а - постоянные величины. Применяя к уравнению (6) метод усреднения Боголюбова, Челомей показал, что система будет устойчивой и тогда, когда продольная сила Ро превышает Рк, и нашёл условия устойчивости. Тем самым открылась принципиальная возможность повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций.
Челомей также провёл обобщение задачи на более сложный случай, когда система описывается нелинейным уравнением:
^ + 2n— + Q2 dt2 +2ndt +
F (wt) а--
Pk
/1(Ф) + Ц Ф,^) =°,
где /1 и /2 - нелинейные функции ф и dф/dt, е - малый параметр.
Челомей отметил точное совпадение уравнения движения стержня, возбуждаемого на конце вертикальной составляющей от центробежной силы вращающейся массы, с уравнением малых колебаний маятника с вибрирующим подвесом. При этом колебания маятника в нижнем положении соответствуют колебаниям статически устойчивого стержня (Ро < Рк) и, наоборот, колебания маятника в верхнем положении - колебаниям статически неустойчивого стержня (Ро > Рк) [36].
В дальнейшем Челомей экспериментально продемонстрировал кажущиеся парадоксальными явления, вызванные вибрациями [37]. Вот одна такая система, когда вертикальный прямолинейный стержень был изогнут под действием груза, превосходящего критическое значение Эйлера Ткр.
Под действием продольных вибраций стержень выпрямлялся (рис. 1). Как известно (см., например, [38]), Ткр является бифуркационным значением продольной силы, когда стержень теряет устойчивость по отношению к малым возмущениям. Здесь мы сталкиваемся со случаем, когда с помощью внешнего воздействия появляется возможность управления бифуркациями. Челомей представил установки, демонстрирующие целый ряд парадоксальных явлений, таких как всплывание тяжёлого шара в жидкости (рис. 2) и т.п.
Рис. 1. Повышение устойчивости вертикального нагруженного стержня при действии вибраций, [37]
Fig. 1. Increase of stability of a vertical loaded rod under the action of vibrations
Рис. 2. Всплывание тяжелого шара в вибрирующей жидкости, [37]
Fig.2 The emergence of a heavy ball in a vibrating fluid
И идеи Капицы также получили продолжения в разных направлениях. Оказалось, что существуют аналоги маятника с вибрирующей точкой подвеса в системах за пределами классической механики.
К примеру, А.В. Гапонов и М.А. Миллер изучали вопрос о локализации частицы в электрическом поле. Как известно, потенциал в электрическом поле может достигать максимального или минимального значения лишь на границах области поля. Следовательно, невозможно устойчивое равновесие в поле пробного заряда (теория Ирншоу). Гапонов и Миллер показали, что при наложении высокочастотного поля возможно не только стабилизировать локализацию частицы, создавая одно-, двух- и трёхмерные ловушки для неё, но и ускорять частицы [39, 40]. Полученные результаты имели важное значение для интенсивно развивающихся исследований по ускорительной технике, физике плазмы, масс-спектрометрии. Вот одна из таких работ, на которую результаты Капицы [30, 31] также оказали непосредственное влияние. Для удержания и стабилизации плазменных конфигураций было предложено воздействовать на плазму высокочастотным полем [41]. Для стабилизации Z-пинча использовалось поле H cos mt. Уравнения, описывающие малые радиальные отклонения плазменного шнура относительно положения равновесия, сводятся к уравнению типа Матье
—^ - (A + B cos mt)l = 0. dt2
Здесь ^ - координата границы плазмы, А и В зависят от параметров плазменного
шнура и величины магнитного поля. Был получен критерий устойчивости
ю4 > В2 > 2ю2А,
который полностью согласуется с условием устойчивости (5).
Сложные движения маятника с вибрирующим подвесом
Осознание важности динамической устойчивости в разных областях физики стимулировало подробное изучение такой просто устроенной нелинейной системы, как маятник с вибрирующим подвесом. Особенно усилился интерес к этой системе после обнаружения в ней сложных движений. В этой связи остановимся на работах Дж. Блэкберна с соавторами [42] и М. Бартучелли с соавторами [43, 44]. В работе [42] была поставлена задача строгого и последовательного изучения маятника с вибрирующим подвесом, не ограничиваясь приближениями, на которых основывались предыдущие исследования [16, 20-22, 30, 31, 33]. Первое, что сделали авторы работы [42], они критически рассмотрели ранее использовавшиеся приближения: линеаризованная модель (уравнение Матье), разделение медленного и быстрого движений с усреднением по последним и введение эффективного потенциала.
Пусть подвес совершает вертикальные гармонические колебания yo = b cos mt. Напишем уравнение движения маятника без учета затухания с безразмерными параметрами в обозначениях работы [43]
где ^ = п + 9.
При изучении устойчивости важное значение имеет знак величины а, тогда как изменение величины в означает лишь сдвиг по времени и её знак не оказывает на интересующие нас вопросы никакого влияния. Выбирая в > 0, авторы работы [42] изучили диаграмму устойчивости линеаризованных уравнений (7)-(8) на плоскости ва и нашли, что перевернутый маятник будет находиться в устойчивом состоянии при в = 0.129...0.465. При изучении нижнего положения был получен существенно новый результат - оказалось, что движение маятника будет устойчивым не при всех значениях параметров. Область устойчивости находится между значениями в = 0 и в = 0.450—1.799а. Имеются такие значения параметров, когда области устойчивости верхнего и нижнего положения перекрываются.
Перейдем к приближению разделения медленного и быстрого движений и введению эффективного потенциала. В этом приближении нижнее положение маятника всегда устойчиво [33] в противоречии с результатами, приведенными выше. Метод эффективного потенциала оставляет открытым вопрос о границах устойчивости в верхнем положении. Согласно указанному приближению, увеличение амплитуды колебаний подвеса приводит к расширению потенциальной ямы. Маятник в верхнем
9 + (а — в cos т) sin 9 = 0,
где т = mt, а = g/(lm2), в = b/l.
Затем произведем линеаризацию:
9 + (а — в cos т)9 = 0 — нижнее положение, I + (а + в cos т)| = 0 — верхнее положение,
(7)
(8)
положении оказывается устойчивым при больших отклонениях от вертикали, угол отклонения может достигать ± п/2 при больших в и ю. Этот результат невозможно получить при линеаризованном подходе, так же как невозможно и изучение вращательного режима.
Линеаризованное приближение, разделение движений, эффективный потенциал очень наглядны и удобны, но они дают лишь частичное понимание. Строгое исследование требует привлечения современной теории динамических систем вместе с вычислительным и лабораторным экспериментом.
Для анализа устойчивости верхнего положения маятника Бартучелли и соавторы [44] применили теорию КАМ. Они основывались на том, что приближенная линеаризованная система (без затухания) является интегрируемой гамильтоновой системой. Тогда полную систему можно рассматривать с учетом возмущения. Перейдя к переменным действие-угол, авторы [44] показали, что существует инвариантный КАМ-тор, который под действием возмущения деформируется, но все траектории остаются в ограниченной области - КАМ-тор создает топологическое препятствие для расхождения траекторий. Тем самым, исходя из первых принципов, была доказана устойчивость верхнего положения маятника.
Строгое и последовательное рассмотрение привело к открытию новых явлений в поведении маятника с вибрирующим подвесом. По-видимому, первым к изучению бифуркаций такого маятника обратился М.А. Красносельский с соавторами еще в конце 1960-х гг. [45]. Более подробное изучение провел М. Бартучелли с соавторами [43]. Оказалось, что для величины в существует значение вс, то есть предельное значение амплитуды колебаний подвеса, при превышении которого существует только вращательное движение маятника. При в < вс, но близким к нему, происходит бифуркация образования предельного цикла, и затем возбуждаются колебания с частотой, равной половине частоты вынужденных колебаний [43]. Блэкберн с соавторами назвали такие колебания флаттер-модой. При значении в = вс перевернутое положение становится совершенно неустойчивым, и маятник переходит во вращательное движение. Дальнейшие исследования еще значительнее изменили картину поведения рассматриваемой системы [44]. При а = 0.5 (нижнее положение маятника), начиная с в = 0.55, при увеличении в происходят бифуркации удвоения периода с переходом к хаотическому движению. При значении в^ = 0.64018 движение становится полностью хаотическим. Авторы [44] полагают, что в этом случае имеет место образование странного аттрактора, что подтверждается положительным значением показателя Ляпунова. Для верхнего положения (а = —0.1) характер движения системы также определяется значением в. Здесь в^ = 2.145 и при в < в^ движение системы носит колебательный характер. При вс = 0.623 верхнее положение маятника становится неустойчивым, происходит бифуркация образования предельного цикла, что приводит к флаттер-моде. При дальнейшем росте в колебания исчезают, и остается только вращательный аттрактор. При в > в^ движение становится хаотическим.
Динамические методы для удержания и стабилизации системы частиц стали привлекать пристальное внимание, и здесь были достигнуты впечатляющие успехи. В частности, исследования удержания частиц в неоднородных переменных электромагнитных полях (В. Пауль, Н. Рэмси, Х. Демельт) в 1989 г. были удостоены Нобелевской премии. Так, в ловушке Пауля стабилизация проводится с помощью переменного электрического поля [46, 47]. Такие ловушки дают возможность иссле-
довать даже одиночные изолированные частицы в течение длительных интервалов времени. Высокочастотные колебания создают эффективный потенциал [33], наличие минимума которого обеспечивает устойчивость. Основные идеи здесь те же, что и в теории маятника с вибрирующим подвесом. Однако приближенного рассмотрения (разделение быстрого и медленного движений, эффективный потенциал и т.д.) здесь недостаточно, требуется более строгий подход. Совершенно строго устойчивость для произвольно большого интервала времени определяется на основе теории КАМ. Для неодномерных систем устойчивость значительно осложняется вследствие диффузии Арнольда. Для рассматриваемых систем удержания частиц наложением не очень обременительных условий на потенциал удается удовлетворительным образом обеспечить стабильность положения частиц в ловушке. Это подтверждается и в лабораторных экспериментах [48, 49].
Что же в итоге? В настоящее время рассматриваемая область становится необъятной. Такая просто устроенная система, как маятник с вибрирующим подвесом, все более основательно завоевывает себе «место под солнцем», утверждаясь как одна из базовых моделей нелинейной динамики. Область ее приложений все более расширяется. Укажем лишь два примера. С помощью модели перевернутого маятника изучается бозе-конденсат частиц со спином 1 [50], маятник с вибрирующим подвесом обобщается на систему многих тел [51]. Свойства и самой модели выявлены еще далеко не полно. В данной работе мы постарались представить основные вехи истории изучения маятника с вибрирующим подвесом - как он, поначалу воспринимавшийся как забавный феномен, превратился в важный инструмент исследования нелинейных систем. Если это удалось, авторы считают свою задачу выполненной.
Библиографический список
1. Урбанский В.М. Становление математических исследований в УССР. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киев, 1983. 198 с.
2. Боголюбов А.Н., Урбанский В.М. Школай Митрофанович Крылов. Киев: Шутова думка, 1987. 176 с.
3. Волосов В.М. Метод осреднения в теории нелинейных колебаний // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. Общая и прикладная механика. М., Шука, 1968. С. 115-136.
4. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Асимптотические методы в нелинейной механике// История отечественной математики. Т. 4. Кн. 2. Киев: Шукова думка, 1970. С. 264-290.
5. Самойленко А.М. H.H. Боголюбов и нелинейная механика // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, вып. 5. С. 103-146.
6. Нестеренко E.M. О развитии асимптотических методов нелинейной механики. Дисс. ... канд. физ.-мат наук. М., 1970.
7. PoincaréH. Les methodes nouvelles de lamecanique celeste. V. 1-3. Paris: Gauthier-Villars, 1892-1899.
8. Poincaré H.Memoire sur les courbes definies par les equations differentielles, I-IV // J. Math. Pures Appl., 3 serie, 1881, 7, 375-422; 1882, 8, 251-286; 4 serie, 1885, 1, 167-244; 1886, 2, 151-217.
9. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 472 с.
10. KryloffN. et BogoluboffN. Quelques exsemples d'oscillations non lineares // Comptes Rendus des l'Acad. Sci. de Paris. 1932. Vol. 194.
11. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Новые методы нелинейной механики. М.;Л.: ОН-ТИ ГТТИ, 1934.
12. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937.
13. KryloffN., Bogoliuboff N. La theorie generale de la mesure dans son application a l'etude des systemes dynamiques de la mecanique non lineaire // Ann. Math. 1937. Vol. 38. P. 65-113.
14. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: Изд-во АН УССР, 1945.
15. Kryloff N.M., Bogoliuboff N.N. Introduction to Non-linear Mechanics. Prinseton, NY: Prinseton Univ. Press. 1943.
16. Боголюбов Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике // Сб. трудов Инта строит. Механики АН УССР. Киев. 1950. Т. 14 С. 9-34.
17. Александров П.С. Первая международная топологическая конференция в Москве // Успехи мат. наук. 1936. Вып. 1. С. 260-262.
18. Век Лаврентьева. Новосибирск: Изд-во СО РАН, филиал «Гео», 2000. 456 с.
19. Stephenson A. On a class of forced oscillations // Quart. J. Pure and Appl. Math. 1906. Vol. 37, N148. P. 353-360.
20. Stephenson A. On the stability of the steady state of forced oscillation // Phil. Mag. and J. Sci. Ser. 6. 1907. Vol. 14, N84. P. 707-712.
21. Stephenson A. On induced stability // Phil. Mag. and J. Sci. Ser. 6. 1908. Vol. 15, N86. P. 233-236.
22. Stephenson A. On a new type of dynamical stability // Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. 1908. Vol. 52, N8.
23. Jeffreys H. Methods of Mathematical Physics. Cambridge (C.U.P.). 2nd Edition, 1950.
24. Van der Pol B. Stabiliseering door kleine trillingen // Physica. Bd. 1925. 5. P. 157-162.
25. Strutt M.J. Stabiliseering en labiliseering door trillingen // Physica. Bd. 1927. 7. P. 265-271.
26. Hirsh P. Das Pendel mit Oszillierendem Aufhangepunkt // Z. angew. Math. Mech. Bd. 1930. 10. P. 41-52.
27. Erdelyi A. Über die Kleinen Schwingungen eines Pendels mit oszillierendem Aufhangepunkt // Z. angew. Math. Mech. Bd. 1934. 14.
28. Lowenstern E.R. The stabilizing effect of imposed oscillations of high frequency on a dynamical system // The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 1932. Vol. 13. P. 458-486.
29. Van der Pol B., Strutt M.J.O. On the stability of Mathieu equation // The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 7th series. 1928. Vol. 5. P. 23-28.
30. Капица П.Л.Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса//ЖЭТФ. 1951. Т. 21. Вып. 5. С. 588-597.
31. Капица П.Л.Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. Т. 44. Вып. 1. С. 7-20.
32. Воспоминания об академике Н.Н. Боголюбове. М.: МИАН, 2009. 178 с.
33. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1965.
34. Широносов В.Г. Резонанс в физике, химии и биологии. Ижевск. Изд. Дом «Удмурт. ун-т», 2000/01. 92 с.
35. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994.
36. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // ДАН СССР. 1956. Т. 110. № 3. С. 345-347.
37. Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // ДАН СССР. 1983. Т. 270. № 1. С. 62-67.
38. Богатое Е.М., Мухин Р.Р. О связи между нелинейным анализом, бифуркациями и нелинейной динамикой: на примере Воронежской школы нелинейного функционального анализ // Известия вузов. ПНД. 2015. № 6. С. 74-88.
39. Гапоное А.В., Миллер М.А. О потенциальных ямах для заряженных частиц в высокочастотных полях // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. Вып. 2. С. 242-243.
40. Гапоное А.В., Миллер М.А. Об использовании движущихся высокочастотных потенциальных ям для ускорения заряженных частиц // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. Вып. 3. С. 751-752.
41. Осоеец С.М.Динамические методы удержания и стабилизации горячей плазмы // УФН. 1974. Т. 112. Вып. 4. С. 638-683.
42. Blackburn J.A., Smith H.Y.T., Gronbech-Jensen ^Stability and Hopf bifurcation in an inverted pendulum // Amer. J. Phys. 1992. Vol. 60. P. 903-908.
43. Bartuccelli M.V., Gentile G., Georgin K.V. On the dynamics of a vertically driven damped planar pendulum // Proc. Roy. Soc. Lond. 2001. Vol. 457. P. 3007-3022.
44. Bartuccelli M.V., Gentile G., Georgin K.V. KAM theory, Linstedt series and the stability of the upside-down pendulum // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2003. Vol. 9, № 2. P. 413-426.
45. Бурд В.Ш., Забрейко П.П., Колесое Ю.С., Красносельский М.А. Принцип усреднения и бифуркация почти периодических решений // ДАН СССР. 1969. T. 187, № 6, C. 1219-1221.
46. Osberghaus O., Paul V., Fischer E. Forschungsberichte des Wirschafts und Werker ministeriums. Nardheim Westfalen. 1958. Nr. 415.
47. Пауль В. Электромагнитные ловушки для заряженных и нейтральных частиц. Нобелевская лекция // УФМ. 1990. Т. 160. Вып. 12. С. 109-127.
48. Levi M. Geometry and physics of averaging with applications // Physica D. 1999. Vol. 132. P. 150-164.
49. Levi M., Zehnder E. Boundedness of solutions for quasiperiodic potentials // SIAM J. Math. Anal. 1995. Vol. 26. P. 1233-1256.
50. Gerving C.S., Hoang T.M. and oth. Non-equilibrium dinamics of un unstable quantum pendulum explored in a spin-1 Bose-Einstein condensate // Nature Communication. School of Physics, Georgia 1st. of Tech. 2012. P. 1-6.
51. Citro R., Dalla Torre E. G., D'Alessio L., Polkovnikov A., Babadi M., Oka T., and Demler E. Dynamical stability of a many-body Kapitza pendulum // Ann. of Physics. 2015. Vol. 360. P. 694-710.
References
1. Urbanskii V.M. PhD Thesis. Kiev, 1983 (in Russian).
2. Bogolyubov A.N., Urbanskii V.M. Nikolai Mitrophanovich Krylov. Kiev, Naukova Dumka, 1987 (in Russian).
3. Volosov V.M. Averaging method in the theory of nonlinear vibration. In: Mechanics in USSR for 50 Years. Moscow: Nauka, 1968. P. 115-136 (in Russian).
4. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Y.A. and Lykova O.B. Asimptoticheskie metody v nelinejnoj mehanike. Istorija Otechestvennoj Matematiki. Vol. 4, part 2. Kiev, Naukova dumka, 1970, P. 264-290 (in Russian).
5. Samoilenko A.M. N.N. Bogolyubov and non-linear mechanics. Uspekhi Mat. Nauk. 1994. 299. Vol. 49, N5. P. 103-146.
6. Nesterenko E.M. PhD Thesis. Moscow, 1970 (in Russian).
7. Poincare H. Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste. V. 1-3. Paris: Gauthier-Villars, 1892-1899.
8. Poincare H. Memoire sur les courbes definies par les equations différentielles, I-IV. J. Math. Pures Appl., 3 serie, 1881, 7, 375-422; 1882, 8, 251-286; 4 serie, 1885, 1, 167-244; 1886, 2, 151-217.
9. Lyapunov A.M. The General Problem of the Stability of Motion. Moscow; Leningrad, 1950 (in Russian).
10. Kryloff N. et Bogoluboff N. Quelques exsemples d'oscillations non lineares. Comptes Rendus des l'Acad. Sci. de Paris. 1932. Vol. 194.
11. Krylov N.M., Bogolyubov N.N. New Methods of Nonlinear Mechanics. Moscow; Leningrad: ONTI, 1934 (in Russian).
12. Krylov N.M., Bogolyubov N.N. Introduction to Nonlinear Mechanics. Kiev, 1937 (in Russian).
13. Kryloff N., Bogoliuboff N. La theorie generale de la mesure dans son application a l'etude des systemes dynamiques de la mecanique non lineaire. Ann. Math. 1937. Vol. 38. P. 65-113.
14. Bogolyubov N.N. About Some Statistical Methods in Mathematical Physics. Kiev, 1945 (in Russian).
15. Kryloff N.M., Bogoliuboff N.N. Introduction to Non-linear Mechanics. Prinseton, NY: Prinseton Univ. Press, 1943.
16. Bogolyubov N.N. Theory of perturbations in nonlinear mechanics (in Russian). Coll. sci. works builds. Mechanics Inst. of the Ukrainian Academy of Sciences. Kiev. 1950. Vol. 14. P. 9-34.
17. Aleksandrov P.S. First International topological conference in Moscow. Uspekhi Mat. Nauk. 1936. No.1. P. 260-262 (in Russian).
18. Vek Lavrent'eva. Novosibirsk: SB RAS, 2000 (in Russian).
19. Stephenson A. On a class of forced oscillations. Quart. J. Pure and Appl. Math. 1906. Vol. 37, N148. P. 353-360.
20. Stephenson A. On the stability of the steady state of forced oscillation. Phil. Mag. and J. Sci. Ser. 6. 1907. Vol. 14, N84. P. 707-712.
21. Stephenson A. On induced stability. Phil. Mag. and J. Sci. Ser. 6. 1908. Vol. 15, N86. P. 233-236.
22. Stephenson A. On a new type of dynamical stability. Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. 1908. Vol. 52, N8.
23. Jeffreys H. Methods of Mathematical Physics. Cambridge (C.U.P.). 2nd Edition, 1950.
24. Van der Pol B. Stabiliseering door kleine trillingen. Physica. Bd. 1925. Vol. 5. P. 157-162.
25. Strutt M.J. Stabiliseering en labiliseering door trillingen. Physica. Bd. 1927. Vol. 7. P. 265-271.
26. Hirsh P. Das Pendel mit Oszillierendem Aufhangepunkt. Z. angew. Math. Mech. Bd. 1930. Vol. 10. S. 41-52.
27. Erdelyi A. Uber die Kleinen Schwingungen eines Pendels mit oszillierendem Aufhangepunkt. Z. angew. Math. Mech. Bd. 1934. Vol. 14.
28. Lowenstern E.R. The stabilizing effect of imposed oscillations of high frequency on a dynamical system. The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 1932. Vol. 13. P. 458-486.
29. Van der Pol B., Strutt M.J.O. On the stability of Mathieu equation. The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 7th series. 1928. Vol. 5. P. 23-28.
30. Kapitza P.L. Dynamic stability of the pendulum with vibrating suspension point. Sov. Phys. JETP. 1951. Vol. 21. P. 588-597 (in Russian); see also Collected Papers of P.L. Kapitza, edited by D. Ter Haar, Pergamon, London, 1965. Vol. 2. P. 714-726.
31. Kapitza P.L. Pendulum with an oscillating pivot. Sov. Phys. Uspekhi. 1951. Vol. 44, Iss. 1. P. 7-20 (in Russian).
32. Vospominaniya ob Akademike N.N. Bogolyubove. Moscow, 2009 (in Russian).
33. Landau L. D. and Lifschitz E. M. Mechanics. Moscow: Nauka, 1965 (in Russian); New York, Pergamon, 1976.
34. V.G. Shironosov. Resonance in Physics, Chemistry and Biology. Department of BioMedPhysics, UdSU, Izhevsk, 2001. 92 p. (in Russian).
35. Blekhman I.I. Vibration Mechanics. Moscow: Nauka, 1994 (in Russian).
36. Chelomey V.N. On the possibility of elastic systems stability increase by means of vibrations. DANSSSR. 1956. Vol. 110, No.3. P. 345-347 (in Russian).
37. Chelomey V.N. Paradoxes in mechanics caused by vibrations. DAN SSSR. 1983. Vol. 270, No.1. P. 62-67 (in Russian).
38. Bogatov E.M., Mukhin R.R. The relation between the non-linear analysis, bifurcations and nonlinear dynamics (on the example of Voronezh school of nonlinear functional analysis). Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2015. Vol. 23, No.6. P. 74-88 (in Russian).
39. Gaponov A.V., Miller M.A. Potential wells for charged particles in high-frequency fields. Sov. Phys. JETP. 1958. Vol. 34, Iss. 2. P. 242-243 (in Russian).
40. Gaponov A.V., Miller M.A. Use of Moving High-Frequency Potential Wells for the Acceleration of Charged Particles. Sov. Phys. JETP. 1958. Vol. 34, Iss. 3. P. 751-752 (in Russian).
41. Osovets S.M. Dynamic methods of confinement and stabilization of hot plasma. Sov. Phys. Uspekhi. 1974. Vol. 112, Iss. 4. P. 638-683 (in Russian).
42. Blackburn J.A., Smith H.Y.T., Gronbech-Jensen N. Stability and Hopf bifurcation in an inverted pendulum. Amer. J. Phys. 1992. Vol. 60. P. 903-908.
43. Bartuccelli M.V., Gentile G., Georgin K.V. On the dynamics of a vertically driven damped planar pendulum. Proc. Roy. Soc. Lond. 2001. Vol. 457. P. 3007-3022.
44. Bartuccelli M.V., Gentile G., Georgin K.V. KAM theory, Linstedt series and the stability of the upside-down pendulum. Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2003. Vol. 9, N2. P. 413-426.
45. Burd V.Sh., Zabreiko P.P., Kolesov Yu.S., and Krasnosel'skii M.A., Principle of averaging and bifurcation almost periodic solutions. DAN SSSR. 1969. Vol. 187, N6. P. 1219-1221 (in Russian).
46. Osberghaus O., Paul V., Fischer E. Forschungsberichte des Wirschafts und Werker ministeriums. Nardheim Westfalen. 1958. Nr. 415.
47. Paul V. Electromagnetic traps for charged and neutral particles. Nobel lecture. Sov. Phys. Uspekhi. 1990. Vol. 160, Iss. 12. P. 109-127.
48. Levi M. Geometry and physics of averaging with applications. Physica D. 1999. Vol. 132. P. 150-164.
49. Levi M., Zehnder E. Boundedness of solutions for quasiperiodic potentials. SIAMJ. Math. Anal. 1995. Vol. 26. P. 1233-1256.
50. Gerving C.S., Hoang T.M. and oth. Non-equilibrium dinamics of un unstable quantum pendulum explored in a spin-1 Bose-Einstein condensate. Nature Communication. School of physics, Georgia 1st. of Tech. 2012. P. 1-6.
51. Citro R., Dalla Torre E.G., D'Alessio L., Polkovnikov A., Babadi M., Oka T., and Demler E. Dynamical stability of a many-body Kapitza pendulum. Ann. of Physics. 2015. Vol. 360. P. 694-710.
Богатов Егор Михайлович - родился в Волгограде (1974). Окончил Воронежский государственный университет (1997). После окончания ВГУ работал преподавателем в Воронежской государственной архитектурно-строительной академии и в ВГУ. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (ВГУ, 2000) по специальности «Дифференциальные уравнения». После защиты диссертации работает на кафедре высшей математики Старооскольского технологического института им. А.А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСИС» в должности доцента. Автор учебника «Организация эксперимента» (в соавторстве с В.П. Соловьёвым). Руководитель научного проекта РФФИ по теме «Математическое моделирование процессов теплопереноса в нелинейных периодических двухфазных средах вида газ-металл» (2006-2008). Опубликовал более 30 научных статей по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Имеет сертификат инструктора Wolfram Research Mathematica по обучению пакетам компьютерной математики в странах Восточной Европы. Область научных интересов: математическое моделирование физических процессов в неоднородных средах, история функционального анализа.
309516 Старый Оскол, мкр-н Макаренко, 42
Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСИС» E-mail: embogatov@inbox.ru
Мухин Равиль Рафкатович - родился в Челябинской области (1947), окончил Московский инженерно-физический институт (1976). Защитил кандидатскую диссертацию по химической физике (1991, Институт органического синтеза и углехимии АН Казахстана) и докторскую диссертацию по истории динамического хаоса (2011, ИИЕТ РАН). Автор монографии «Очерки по истории динамического хаоса» (2007, 2012). Область научных интересов: история физико-математических наук. В настоящее время профессор Старооскольского технологического института (НИТУ МИСиС).
309516 Белгородская обл., Старый Оскол, мкр-н Макаренко, 42 Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова, филиал Национального исследовательского технологического университета «Московский институт стали и сплавов» E-mail:mukhiny@mail.ru
