Управление двойным математическим маятником при помощи вибрации точки подвеса Текст научной статьи по специальности «Физика»

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2041-2042

2041

УДК 531.539

УПРАВЛЕНИЕ ДВОЙНЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ МАЯТНИКОМ ПРИ ПОМОЩИ ВИБРАЦИИ ТОЧКИ ПОДВЕСА

© 2011 г. П.О. Буланчук

Московский физико-технический институт

Bullpav@yandex.ru

Поступила в редакцию 24.08.2011

Исследуется движение двойного математического маятника с периодической вибрацией точки подвеса. Цель работы - нахождение управляющих параметров колебаний, необходимых для стабилизации маятника в заданном положении. Аналитически получено решение для случая вибраций вдоль выделенного направления. Численно найдена область положений, в которой положение маятника будет устойчивым.

Ключевые слова: двойной маятник, маятник Капицы, маятник Стефенсона, маятник с вибрирующей точкой подвеса, оборотный маятник, стабилизация маятника.

Рассматривается движение двойного математического маятника с периодической вибрацией точки подвеса. Вибрации осуществляются вдоль выделенного направления, определяемого вектором с. Величина |с| выбирается равной среднеквадратичной скорости точки подвеса.

Положение равновесия

Уравнения Лагранжа для системы записываются в форме

& дЬ — дЬ _ р & Эц Эц

где Е - сила трения (в нашем случае рассматривается только вязкое трение). За обобщенные ко -ординаты берутся углы д. между стержнями и вертикалью (рис. 1).

iB

m

1у 2

+ (-/01 sin 01 - /02 sin 02 + Г у)2)

и = -mgl(2cos 91 + С0892). (2)

Здесь г х и гу скорости точки подвеса вдоль осей х и у соответственно, т — масса каждого грузика, I — длина стержней. С помощью метода усреднения [1, 2] из выражений (1) и (2) выводится выражение для эффективной потенциальной энергии маятника:

и(01,02) _ mgl X

СО8(201 — 20) +1

X

X-

- 2 cos 01 - cos 0

2

- . (3)

-3+СО8(201—202)

Здесь I = (Wa)2lgl, а — амплитуда вибраций, Ж -угловая частота колебаний точки подвеса, 0 — угол между вертикалью и направлением вибрации.

Выражение (3) использовалось для численного нахождения положений равновесия и анализа устойчивости. Для получения аналитических результатов более удобным оказался подход, использующий результаты для однозвенного маятника.

1. С учетом того факта, что грузик в пределе больших частот колеблется вдоль стержня [3 ], были найдены скорости вибраций грузиков А и В по известной скорости точки подвеса О (см. рис. 1).

2. С использованием полученных скоростей вибраций и выражений для потенциальной энергии однозвенного маятника [4] было найдено точ -ное выражение для вектора с:

Функция Лагранжа имеет вид L = K — U, где

m о о

K = у((/01 cos 0! + & )2 + (—/0! sin 0! + ry )2) +

c = 42 l^L R,

(g, T2)/2

аі — l 2 —

(Rl, T2)(Rl, R 2)’ (Rl, R 2) Y (g, R1)

(4)

/2

+ —((/0Lcos 0l + /02 cos 02 + Г,) + (1)

(g, T2)/

(R^ T2)(R1, R 2)

(R1,R2)(g,R2)

/4

откуда можно найти I и 0. Из условия положительности подкоренного выражения в формуле (4) следует, что точки экстремума могут существовать только в области sin02 sin(01 - 02) cos(01 - 02) > 0 (на рис. 2 они обозначены желтым цветом).

в:

/

л -f S / - /

Рис. 2

Устойчивость

С использованием выражения для эффективной потенциальной энергии (3) и с учетом фор-

мулы для положения равновесия (4) были численно получены области устойчивости двойного математического маятник по углам 012 (на рис. 2 обозначены зеленым цветом). В пределах этих областей маятник можно стабилизировать периодическими вибрациями вдоль выделенного направления.

Полученные результаты позволяют составить программу, которая по заданному положению равновесия определяет необходимые управляющие параметры вибрации и вычисляет на основе точ -ных уравнений переход маятника из нижнего положения в заданное положение из области устойчивых состояний.

Список литературы

1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

2. Петров А.Г // Докл. РАН. 2010. Т. 431, №6. С. 762-765.

3. Петров А.Г. // МТТ 2001. №3. С. 19-32.

4. Буланчук П.О., Петров А.Г. // Докл. РАН. 2010. Т. 430, №5. С. 627-630.

CONTROLLING THE MOTION OF A DOUBLE PENDULUM BY VIBRATING THE SUSPENSION POINT

P.O. Bulanchuk

The motion of a double pendulum in a gravity field with arbitrary three-dimensional periodic vibration of the suspension point is considered. The work is aimed at finding the controlling parameters of vibration of the suspension point necessary for the stabilization of a pendulum at an arbitrarily set point. For the case of vibrations along one direction the solution was found analytically. The region of stable equilibrium position is determined numerically.

Keywords: multi-link pendulum, suspension point vibrations, pendulum stabilization, Kapitsa pendulum, Stephenson pendulum, inverted pendulum.