CC BY
194
Бутиков Евгений Иванович
УДК 534
СТАБИЛИЗАЦИЯ ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА (60 лет маятнику Капицы)
Аннотация
В статье приведено наглядное физическое объяснение параметрического резонанса, вызываемого принудительными вертикальными колебаниями точки подвеса маятника. Подробно рассмотрено явление динамической стабилизации перевернутого маятника при быстрых осцилляциях подвеса. Компьютерное моделирование и аналитическое исследование взаимно дополняют и обогащают друг друга, способствуя пониманию сложного поведения маятника.
Ключевые слова: колебания, параметрический резонанс, перевернутый маятник, динамическая стабилизация, критерий устойчивости, эффективный потенциал.
ВВЕДЕНИЕ: ИЗУЧАЕМАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
В этой статье рассматривается обычный жесткий маятник, подвес которого совершает принудительные колебания в вертикальном направлении. Эта сравнительно простая механическая система демонстрирует, в зависимости от частоты и амплитуды вынужденных колебаний точки подвеса, большое число разнообразных видов движения. Некоторые движения представляются весьма необычными и противоречат нашей интуиции.
Когда частота вынужденных осцилля-ций точки подвеса приблизительно вдвое больше частоты собственных колебаний маятника, нижнее положение равновесия становится неустойчивым: амплитуда первоначально сколь угодно малых колебаний маятника начинает прогрессивно нарастать со временем. Это хорошо известное явление называется параметрическим резонансом.
© Е.И. Бутиков, 2010
Интересная черта в поведении жесткого маятника с осциллирующим подвесом заключается в динамической стабилизации перевернутого положения. При достаточно больших значениях частоты и амплитуды осцилляций подвеса приведенный в перевернутое положение маятник не обнаруживает тенденции к опрокидыванию. Более того, при умеренных отклонениях от вертикали маятник стремится к этому перевернутому положению. Если маятник отклонить от вертикали, он будет совершать сравнительно медленные колебания около перевернутого положения на фоне быстрых осцилляций подвеса. Теоретическое предсказание этого удивительного явления впервые было сделано Стефенсоном [1] еще в 1908 году. Физическое объяснение динамической стабилизации перевернутого маятника было предложено академиком Петром Леонидовичем Капицей в 1951 году, выполнившим также и детальное экспериментальное исследование этого явления (см. [2, 3]).
Приведем цитату из статьи Капицы, опубликованной в журнале «Успехи физических наук» [3]:
«Демонстрация явления колебания перевернутого маятника весьма эффектна, быстрые мелкие передвижения, вызванные вибрациями, не заметны на-глаз, поэтому поведение маятника в перевернутом положении производит на зрителя неожиданное впечатление... Если осторожно прикасаться пальцем к стержню маятника и отводить его в сторону, то палец чувствует давление, производимое вибрационным моментом. После ознакомления на опыте с динамической устойчивостью маятника в перевернутом положении трудно не прийти к выводу, что она так же поучительна, как и динамическая устойчивость волчка, и ей также следует занять почетное место в лектории на демонстрациях по механике».
Для демонстрации этого явления можно использовать старую электробритву вибрационного типа, как показано на рис. 1. К вибратору прикреплен удлинитель для увеличения амплитуды осцилляций подвеса маятника. Легкий жесткий стержень маятника соединен с концом удлинителя через шарнир. Корпус бритвы удерживается рукой в таком положении, чтобы вибрация оси происходила в вертикальном направлении. Если стержень маятника привести в вертикальное перевернутое положение, он остается в этом положении до тех пор пока ось вибрирует. Если стержень маятника немного отвести в сторону и отпустить, наблюдаются колебания около перевернутого положения.
Рис. 1. Демонстрация динамической стабилизации перевернутого маятника
Неудивительно, что эта интригующая система (получившая название «маятник Капицы») привлекла затем внимание многих исследователей. Поэтому может сложиться впечатление, что теория явления хорошо разработана (см., например, курс теоретической физики Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [4]). Подробную библиографию исследований на эту тему, насчитывающую сотни наименований, можно найти, например, в монографии И.И. Блех-мана [5]. Однако во всей доступной литературе автору не удалось найти достаточно простое и ясное объяснение стабилизации перевернутого маятника. Это явление несомненно бросает вызов нашей физической интуиции. Главная цель данной статьи - предложить наглядное физическое объяснение динамической стабилизации перевернутого маятника. Мы также сосредоточим здесь внимание на приближенной количественной теории (приводящей к известному представлению об эффективном потенциале для медленного движения маятника), которая может быть развита на основе обсуждаемого здесь подхода к проблеме.
На протяжении последних десятилетий в научной печати регулярно появляются сообщения о все новых чертах в поведении этой простой, но поистине неисчерпаемой системы (см., например, [6-16]). Среди сравнительно недавних открытий можно выделить дестабилизацию (динамически стабилизированного) перевернутого положения маятника при достаточно больших амплитудах вибрации подвеса [6-7]. Эта дестабилизация проявляется как возбуждение так называемой «флаттер»-моды колебаний с периодом, вдвое превышающим период вынужденных осцилляций подвеса. Другое заслуживающее внимания открытие - регулярные и-периодические моды «кивающих» колебаний («multiple-nodding» oscillations) [8].
i
В следующей статье мы покажем, что происхождение «флаттер»-моды1 колебаний тесно связано с обычным параметрическим резонансом, то есть с хорошо известным явлением параметрической неустойчивости неперевернутого маятника. Мы также покажем, что «кивающие» n-пери-одические колебания можно интерпретировать как субгармонические параметрические резонансы высоких порядков. При этом будет получен более точный (и применимый в более широкой области параметров системы) критерий стабилизации перевернутого маятника. Теоретическое изучение дополняется компьютерным моделированием, иллюстрирующим различные экзотические режимы поведения маятника с осциллирующим подвесом [17]. Компьютерную программу, моделирующую маятник Капицы, можно найти на прилагаемом к журналу диске.
2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
Будем для простоты рассматривать маятник в виде легкого жесткого стержня длиной l с грузом (точечной массой) m на конце, считая, что именно здесь сосредоточена вся масса маятника. Сила тяжести mg создает возвращающий момент -mgl sin j, пропорциональный синусу угла отклонения j маятника от положения равновесия. Когда подвес маятника неподвижен, этот момент заставляет отклоненный маятник совершать колебания относительно нижнего положения устойчивого равновесия. Если же подвес принудительно движется с некоторым ускорением, поведение маятника удобно описывать с помощью неинерциальной системы отсчета, связанной с подвесом. Из-за ускоренного движения такой системы отсчета на все тела, наряду с «обычными» силами, действует еще и сила инерции («псевдосила»), направленная противоположно ускорению системы отсчета. Допустим, что подвес осциллирует вдоль вертикали и его координата z(t) изменяется со временем по гармоническому закону с некоторой частотой w и амплитудой a:
z(t) = a coswt или z(t) = a sinwt. (1)
В зависимости от характера решаемой задачи в (1) может оказаться удобным тот или иной выбор начальной фазы осцилля-ций подвеса (выбор начала отсчета времени). Приложенная к грузу маятника сила инерции Fin(t) также зависит от времени по синусоидальному закону:
Fn(t) = -md z(^ = -mz(t) = mm2z(t). (2)
dt2
Эта периодически изменяющаяся сила инерции эквивалентна модуляции силы тяжести. В самом деле, Fin(t) направлена вниз в течение тех интервалов времени, когда осциллирующий подвес находится ниже своего среднего положения, то есть когда z(t) < 0. Это непосредственно видно из выражения (2) для Fin(t), правая часть которого зависит от времени так же, как и z-координата подвеса. Поэтому на протяжении соответствующей половины периода колебаний подвеса действие силы инерции равносильно некоторому увеличению силы тяжести. На протяжении другой половины периода, когда подвес находится выше среднего положения (когда z(t) > 0), сила инерции направлена вверх, что равносильно уменьшению силы тяжести.
Принимая во внимание такое периодическое изменение (модуляцию) эффективной силы тяжести, легко понять причину раскачки маятника при параметрическом резонансе, когда два цикла модуляции происходят на протяжении одного периода собственных колебаний (рис. 2). В самом деле, пусть при движении маятника к положению равновесия от точки наибольшего отклонения (это четверть собственного периода) осциллирующий подвес все время находится ниже среднего положения, то есть z(t) < 0 (что занимает половину периода осцилляций). Благодаря увеличению эффективной силы тяжести маятник придет к положению равновесия с большей скоростью, чем в отсутствие осцилляций подвеса. В момент прохождения маятником вертикального положения движущийся вверх подвес пе-
ресекает свое среднее положение. При движении маятника к точке наибольшего отклонения осциллирующий подвес находится выше среднего положения (7,({) > 0, рис. 2), что, как мы видели, равносильно уменьшению силы тяжести. В результате маятник отклонится на больший угол, чем при неподвижном подвесе. При обратном движении к положению равновесия эффективная сила тяжести опять увеличивается, и маятник набирает еще большую скорость, и т. д. Для наиболее интенсивной раскачки частота принудительных осцил-ляций подвеса должна быть вдвое больше частоты собственных колебаний маятника, и фазовые соотношения должны быть такими, чтобы в моменты прохождения маятником положения равновесия подвес двигался вверх и пересекал свое среднее положение.
Увеличение энергии маятника происходит за счет работы, совершаемой источником, возбуждающим осцилляции подвеса. Размах колебаний растет, если вложение энергии за период превосходит потери из-за трения, то есть когда ампли-
туда принудительных осцилляций подвеса превосходит некоторое пороговое значение. В отличие от обычного резонанса, возбуждаемого прямым воздействием периодической силы и происходящего при совпадении ее частоты с собственной частотой маятника, при параметрическом резонансе трение не в состоянии ограничить рост амплитуды. Размах установившихся колебаний маятника оказывается конечным из-за того, что с ростом амплитуды в этой нелинейной системе возрастает период собственных колебаний. При неизменном периоде осцилляций точки подвеса возрастание собственного периода приводит к нарушению условий параметрического резонанса. Амплитуда начинает убывать, условия резонанса снова восстанавливаются, что опять приводит к росту амплитуды, и так далее. Из-за трения такие переходные биения постепенно затухают, и в конце концов устанавливаются периодические колебания неизменного размаха.
В нижней части рис. 2 слева приведена фазовая траектория резонансной рас-
Рис. 2. График угла отклонения, фазовая траектория (с сечениями Пуанкаре) и траектория груза маятника в пространстве при параметрическом резонансе. Шкала времени проградуирована в периодах принудительных осцилляций подвеса
качки маятника. Сечения Пуанкаре на ней показывают состояние маятника в моменты времени, когда осциллирующий подвес находится в крайнем нижнем положении. В процессе установления колебаний раскручивающаяся фазовая траектория приближается к замкнутой кривой - предельному циклу, соответствующему периодическому процессу, а множество сечений Пуанкаре стягивается к двум неподвижным точкам на фазовой плоскости. Внизу справа на рис. 2 показана траектория груза маятника в пространстве для процесса параметрической раскачки.
Показанные на рис. 2 график и фазовая траектория получены численным интегрированием дифференциального уравнения для угла отклонения ф() маятника с осциллирующим подвесом. В это уравнение, наряду с моментом силы тяжести т8 (8 - ускорение свободного падения), включен момент силы инерции Fin(t), который явно зависит от времени V:
£ а 2
(р + 2уф + (у-—а> со$,Ш)$,тр = 0. (3)
Второй член в (3) учитывает момент силы трения, который в этой модели принят пропорциональным мгновенному значению угловой скорости маятника ф. Постоянная затухания у обратно пропорциональна добротности Q, которую обычно используют для характеристики затухания малых собственных колебаний под
действием вязкого трения: Q = Юо/2у, где (О0 =у[£/1 - частота собственных колебаний предельно малой амплитуды в отсутствие осцилляций подвеса.
Отметим, что колебания около перевернутого положения можно формально описывать тем же самым дифференциальным уравнением (3) с отрицательными значениями 8. Иными словами, в уравнении (3) ускорение свободного падения 8 можно рассматривать как управляющий параметр, изменение которого физически эквивалентно изменению действующей на маятник силы тяжести. Когда этот параметр уменьшается до нуля и дальше в
область отрицательных значений, не зависящий от времени (обусловленный силой тяжести) момент в уравнении (3) сначала обращается в нуль, а затем изменяет знак на противоположный. Подобная обращенная по направлению «сила тяжести» стремится привести маятник в перевернутое положение ф = р, отчего (в отсутствие вибраций подвеса) оно становится устойчивым, а положение ф = 0 - неустойчивым: при 8 <0 верхнее положение маятника в уравнении (3) эквивалентно нижнему положению при положительном значении 8.
3. ДИНАМИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА
Для физического объяснения эффекта динамической стабилизации перевернутого маятника при быстрых осцилляциях подвеса нужно принять во внимание действие на маятник силы инерции, усредненное по периоду этих быстрых осцил-ляций. Согласно формуле (2) сила инерции изменяется со временем по синусоидальному закону, её среднее за период значение равно нулю. Но оказывается, что среднее значение момента этой силы относительно оси вращения маятника отлично от нуля. Именно средний момент силы инерции отвечает за необычное, противоречащее нашей интуиции поведение маятника.
Чтобы было проще понять влияние силы инерции на маятник, забудем на некоторое время о силе тяжести. Начнем наш анализ со случая, когда стержень маятника отклонен в горизонтальное положение, то есть ориентирован под прямым углом у = к/2 к направлению осцилляций подвеса (см. рис. 3 а). Если начальная скорость груза равна нулю, то в инерциаль-ной системе отсчета в отсутствие силы тяжести он будет оставаться на том же уровне, в то время как ось А осциллирует между крайними точками 1 и 2. При этом стержень маятника поворачивается вниз и вверх на небольшой угол, как показано в верхней части рис. 3 а. В неинерциаль-
ной системе отсчета, связанной с осью маятника, это же движение стержня маятника показано в нижней части рис. 3а: груз маятника движется вверх-вниз по дуге и оказывается в крайних точках, когда ось занимает положения 1 и 2. В положении 1 приложенная к грузу сила инерции ^ направлена вверх, а в другом крайнем положении 2 такая же по величине сила направлена вниз. Плечо силы инерции в положениях 1 и 2 одинаково, поэтому момент этой силы, усредненный за период осцилляций оси, равен нулю. Это значит, что в отсутствие силы тяжести такая ориентация стержня маятника (перпендикулярно к направлению осцилляций оси) соответствует положению динамического равновесия (неустойчивому, как будет показано ниже).
Теперь рассмотрим случай, когда стержень маятника в среднем отклонен на произвольный угол у от направления осцилляций подвеса. Пусть ось А перемещается между крайними точками 1 и 2, как показано в верхней части рис. 3 б. В неинер-циальной системе отсчета, связанной с подвесом, груз маятника движется вверх-вниз по дуге, центр которой совпадает с осью А. Груз оказывается в крайних точках, когда ось занимает положения 1 и 2, как показано в нижней части рис. 3 б. Отметим, что мгновенная ориентация стер-
Рис. 3. Силы инерции и действующие на маятник в неинерциальной системе отсчета, в моменты времени, когда осциллирующая ось А находится в крайних положениях 1 и 2 соответственно
жня маятника в момент 1 одинакова в обеих системах отсчета. В момент 2 (как и в любой другой момент) ориентация стержня также одинакова. Когда ось смещена вверх (в точку 1) из своего среднего положения, действующая на груз маятника сила инерции ^ также направлена вверх. В другом крайнем положении 2 сила инерции направлена вниз. Силы инерции ^ и в крайних положениях оси одинаковы по величине, но момент силы инерции ^ в положении 1 больше, чем момент силы инерции в положении 2, поскольку плечо силы ^ больше, чем силы
Это легко видеть из рис. 3 б. Поэтому в среднем за период осцилляций оси сила инерции создает момент, который стремится повернуть маятник вверх, в вертикальное перевернутое положение, в котором стержень маятника ориентирован вдоль направления осцилляций оси. Если бы стержень маятника был отклонен на некоторый (острый) угол от нижнего вертикального положения, то средний момент силы инерции стремился бы повернуть стержень маятника вниз.
Таким образом, момент силы инерции, усредненный по периоду быстрых осцил-ляций оси, стремится установить стержень маятника по направлению принудительных колебаний подвеса. Правая часть рис. 3 б дает предельно простое и ясное объяснение происхождения этого момента. П.Л. Капица (см. [2, 3]) назвал этот ориентирующий момент вибрационным, но в равной мере справедливо называть этот момент инерционныш, потому что его происхождение обусловлено силой инерции, возникающей в связанной с подвесом системе отсчета из-за быстрых осцилляций оси маятника. Именно средний момент силы инерции дает наглядное объяснение существованию двух устойчивых положений равновесия маятника, соответствующих его ориентации вдоль направления колебаний оси. При заданных значениях частоты и амплитуды колебаний подвеса этот средний момент, как и момент силы тяжести, зависит только от угла отклонения маятника. В поле тяжести переверну-
тыи маятник устоичив по отношению к малым отклонениям от вертикали при условии, что средниИ момент силы инерции больше, чем опрокидывающий момент силы тяжести.
4. ПРИБЛИЖЕННАЯ КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА
На основе приведенной выше наглядной картины можно сформулировать ко-личественныи критерии динамическои стабилизации перевернутого маятника в поле тяжести. Быстрые осцилляции подвеса обеспечивают устоичивость перевернутого маятника, если при малых отклонениях момент силы инерции, усредненныИ по периоду осцилляциИ (этот момент стремится вернуть маятник в перевернутое положение), превосходит момент силы тяжести, стремящиИся опрокинуть маятник.
При быстрых осцилляциях точки подвеса движение маятника можно представить, следуя П.Л. Капице [2-3]}, как суперпозицию двух компонент: медленного движения, для которого характерно малое изменение угла ориентации стержня
за период вынужденных осцилляции оси, и быстрого («вибрационного») движения. Можно представить себе наблюдателя, которыИ не замечает мелкомасштабную и малозаметную для глаза вибрационную составляющую этого составного движения (или, по выражению И.И. Блехмана [5], «не хочет замечать»). Если такоИ наблюдатель будет использовать стробоскопическое освещение с интервалом между вспышками, равным периоду осцилляциИ подвеса, он сможет видеть только медленную компоненту движения маятника. Наша основная задача как раз и состоит в нахождении этоИ медленноИ компоненты.
Когда стержень маятника отклонен от нижнего положения равновесия в среднем на угол у, мгновенное значение угла отклонения j(t) из-за принудительных осцилляциИ оси подвержено быстрым синусоидальным колебаниям с частотоИ w около этого среднего значения у = (j(0). Это ясно видно из графиков зависимости угла отклонения j(t) от времени, показанных на рис. 4. Поэтому можно искать мгновенное значение угла отклонения j(t) как сумму медленно изменяющеИся фун-
Рис. 4. Графики угла отклонения w(t) при колебаниях маятника около нижнего и верхнего положений равновесия вместе с графиком z(t) = -acoswt вынужденных осцилляций оси. Графики получены численным интегрированием дифференциального уравнения (3)
кции y(t) и быстрого слагаемого d(t), среднее значение которого равно нулю. Быстрый член S(t) совершает колебания с высокой частотой w принудительных колебаний оси. Как видно из рис. 3 б, угловая амплитуда этих быстрых колебаний пропорциональна синусу среднего угла отклонения у
z(t) l
= y(t) -у sin y cos cot.
j(t) = y(t) + 5(t) = y(t) ■
a
Siny =
(4)
Здесь использовано выражение (1) для мгновенного положения оси z(t), в котором а - амплитуда принудительных колебаний оси, l - длина маятника. Знак второго слагаемого в (4) объясняется тем, что когда ось находится выше своего среднего положения, то есть значение z положительно, дополнительный угол d=-( z/l )siny отрицателен, и наоборот (см. рис. 3 б). Ниже мы получим дифференциальное уравнение для искомой медленно изменяющейся функции y(t), которая описывает движение маятника, усредненное по периоду быстрых осцил-ляций.
Момент силы инерции зависит от ее мгновенного значения maw cos cot (см. (2)) и от синуса угла j . Осцилляции оси приводят лишь к небольшим отклонениям угла j от его среднего значения y (то есть d(t) << 1 для любого t), поэтому для синуса угла j можно написать следующее приближенное выражение:
sinj = sin(y + d)» siny + d cosy . (5) Используя это выражение и считая y практически неизменным на протяжении периода осцилляций оси, находим приближенное значение момента силы тяжести относительно оси маятника, усредненное по периоду быстрых осцилляций оси:
(- mgl sin jj = -mgl( sin(y+ d)) =
= -mglsiny . (6)
Здесь учтено, что среднее значение d(t) равно нулю: (d(t)) = 0. Таким образом, среднее значение момента силы тя-
жести будет таким же, как в случае неподвижного подвеса: второй (осциллирующий) член в выражении (4) для мгновенного значения угла отклонения, будучи умноженным на постоянную (не зависящую от времени) силу тяжести, не дает вклада в средний момент сил. Напротив, при усреднении по времени момента осциллирующей силы инерции вклад первого члена разложения (4) обращается в нуль, но второй член дает ненулевой вклад в средний момент. Так происходит благодаря одинаковой синусоидальной зависимости от времени как 8(t), так и силы инерции Fin(t) (см. (2)):
F„(t)/ sinty+ 8)) =
= -maw2l (aß )cosy siny^ cos2 w/) =
1 2 2 = -—ma w cosy siny =
1 2 2 • ~ = — ma w sin2y. 4
(7)
Здесь учтено, что среднее за период значение квадрата косинуса равно 1/2:
cos2 (Ot^j = 1/2. В случае y ж/2 средний момент силы инерции положителен: когда маятник образует острый угол с направлением вверх, этот момент стремится повернуть стержень маятника в перевернутое положение. Сравнивая правые части выражений (6) и (7), можно найти условие, при котором момент силы инерции, действующий на отклоненный из перевернутого положения маятник, превосходит момент силы тяжести, стремящейся привести маятник в нижнее положение:
а2(2 > 2gl. (8)
Таким образом, перевернутое положение маятника устойчиво, если максимальная скорость та осциллирующей оси
больше, чем скорость ^2gl , которую тело, свободно падающее в поле тяжести, приобретает при падении с высоты, равной длине маятника l. Критерий устойчивости перевернутого маятника (8) можно представить в другой форме, если воспользоваться выражением ( = g/l для часто-
ты малых собственных колебании маятника (в отсутствие осцилляциИ подвеса). Подставляя g = Ш0 в (8), получаем:
a
1
w юп
■ 42.
(9)
Согласно критерию (9), произведение безразмерной относительной амплитуды all и относительной частоты w/wQ осцилляциИ подвеса должно превышать -J2. Например, для маятника длиноИ l = 20 см при частоте вибрациИ оси f = w/ 2n = 100 Гц амплитуда a этих вибрациИ должна превышать 3.2 мм. Для физического маятника критериИ динамическоИ стабилизации перевернутого положения дается такими же выражениями (8) или (9), если в них в качестве l подставлять приведенную длину маятника Ilmd, где I - момент инерции относительно оси вращения, m - масса маятника и d - расстояние от оси вращения до центра масс. Отметим, что критериИ (8) или (9) не зависит от трения.
При малых относительных амплитудах all и высоких относительных частотах w/wQ осцилляциИ подвеса критериИ (9) согласуется с нижнеИ границеИ устоИчи-вости перевернутого маятника, которую можно наИти путем аппроксимации нели-неИного дифференциального уравнения движения маятника (3) уравнением Ма-тье, своИства решениИ которого детально описаны в обширноИ литературе по этоИ проблеме (см., например [8], [9] или [10]). Однако исследования, основанные на уравнении Матье, диаграммах АИнса-Стрэтта и бесконечных детерминантах Хилла, представляются неоправданно сложными для решения данноИ задачи. Кроме того, они не дают ясноИ физическоИ картины динамическоИ стабилизации перевернутого маятника и, что более важно, применимы лишь при малых углах отклонения от вертикали. Напротив, предложенныИ П.Л. КапицеИ подход, основанныИ на разделении быстрого и медленного движениИ маятника, дает очень простое и наглядное объяснение этому неожиданному явлению. Подчеркнем, что он применим лишь при достаточно высокоИ частоте и малоИ амп-
литуде осцилляциИ подвеса, но свободен от ограничения малыми отклонениями маятника.
Для заданных значениИ частоты (О и амплитуды а осцилляциИ подвеса, при которых выполнено условие (8) или (9), можно наИти максимально допустимое значение среднего отклонения маятника от перевернутого положения 0шах = к -у0 , в пределах которого маятник будет возвращаться в перевернутое положение. Для этого достаточно приравнять правые части выражениИ (6) и (7), которые определяют средниИ момент силы тяжести, стре-мящиИся опрокинуть маятник, и средниИ момент силы инерции, стремящиИся вернуть маятник в перевернутое положение:
COS0max =- СОУ0
2gl
2 2 a w
= 2
2
wL
wa
v у
. (10)
Это выражение для допустимого углового отклонения маятника от перевернутого положения справедливо для произвольно больших значениИ у. Чем больше произведение ( а частоты и амплитуды осцилляциИ подвеса, тем ближе к к/2 максимально допустимое отклонение маятника 0щах от перевернутого положения. Если маятник отклонить на угол, меньшиИ 0шах, маятник будет совершать сравнительно медленные колебания около перевернутого положения. Это медленное движение происходит в результате совместного деИствия среднего момента силы инерции и силы тяжести. На медленное движение маятника налагаются быстрые колебания с частотоИ вынужденных осцилляциИ подвеса (рис. 4). Под деИстви-ем трения медленная компонента движение постепенно затухает, и в конце концов маятник устанавливается в перевернутом положении.
Аналогичное поведение маятника наблюдается и при отклонении от нижнего положения равновесия. Но в этом случае частота медленных колебаниИ маятника больше, чем около перевернутого положения. ДеИствительно, ведь в этом случае и средниИ момент силы инерции, и мо-
мент силы тяжести стремятся вернуть маятник в нижнее положение. Поэтому частота таких медленных колебаний выше частоты собственных колебаний маятника в отсутствие вибраций оси. Как отмечал П.Л. Капица, маятниковые часы на вибрирующем основании всегда спешат.
5. ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ДЛЯ МЕДЛЕННОГО ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА
Приближенное дифференциальное уравнение для медленной компоненты движения y(t) в неинерциальной системе отсчета, связанной с осью, можно написать в предположении, что угловое ускорение маятника y(t) в этом медленном движении определяется суммарным моментом N(y) действующих на маятник сил, усредненным по периоду быстрых осцилля-ций оси. Учитывая моменты силы тяжести mg sin y и силы инерции (2), получаем:
2
yy = -W02 sin y
1 a^
2 T2
(O2 cosy siny. (11)
Средний момент сил в правой части (11) рассчитан приближенно в предположении, что медленно изменяющаяся координата у^) «заморожена».
Для наглядности медленное движение маятника у(0 , которое только и видит упоминавшийся выше наблюдатель, не за-
Рис. 5. Графики потенциальной энергии в поле тяжести и (у), потенциальной энергии Ц;п(у), соответствующей моменту средней силы инерции, и полной потенциальной энергии и( у) = 1/1о1( у) для маятника с осциллирующим подвесом
мечающий малых быстрых осцилляций, удобно представлять как движение частицы в эффективном потенциальном поле, описываемом функцией U = U(y), такой, что момент сил N(y) = -dU(y)/dy . Впервые такой эффективный потенциал был предложен Л.Д. Ландау и Е.М. Лифши-цем [4] и впоследствии вводился разными методами в других исследованиях (см, например [11], [12] или [13]). Эффективный потенциал состоит из двух частей: Ugr(y) и Uin(y), описывающих соответственно действие силы тяжести и средней силы инерции:
u (y) = и gr(y) + U in(y) =
1 2 2
= mgl(1 - cosy) + — ma w (1 - cos2y). (12)
Графики Ugr(y) и Uin(y) показаны на рис. 5. Оба графика имеют синусоидальную форму, но период Uin(y) вдвое меньше периода Ugr(y). Их минимумы при y = 0 совпадают, образуя абсолютный минимум полной функции U(y) = Utot(y). Этот минимум соответствует нижнему устойчивому положению равновесия маятника. Но соседний минимум Uin(y) расположен при y = p , где Ugr(y) имеет максимум, соответствующий перевернутому маятнику.
Если выполняется критерий устойчивости перевернутого маятника (8) или (9), полный потенциал U = U(y) (12) имеет (помимо абсолютного минимума при y= 0, соответствующего нижнему положению равновесия) относительные минимумы при y = ±p . Эти дополнительные минимумы соответствуют перевернутому положению маятника. Колебания частицы, захваченной в таком минимуме, описывают поведение маятника в окрестности перевернутого положения.
Медленные колебания малой амплитуды, происходящие вблизи дна каждой из этих потенциальных ям, будут почти гармоническими. Выражения для частот малых колебаний в этих ямах можно найти из дифференциального уравнения (11) для
медленного движения, положив в нем siny»y, cosy» 1 при малых колебаниях около у=0 и siny = sin(n —в)»в, cosy» — 1 при малых колебаниях около у = ±n:
2 1 a2 2
у = —(w0 + 2^2 w )У '
1 a2
в = —(—w02 + 1 О-w2)e .
2l
(13)
Из (13) следует, что частоты ( и ( колебаниИ маятника соответственно
ир
около нижнего (у=0) и верхнего (у = ±к ) положениИ равновесия при малом размахе этих колебаниИ даются следующими выражениями:
w
down
22 a w 2
--V + w02.
2l2 0
22
2 a w 2
=-w "wo
(14)
Склоны мелких дополнительных минимумов имеют меньшую крутизну, чем склоны основного минимума. Поэтому частота ( ир медленных колебаниИ около перевернутого положения ниже частоты ( малых колебаниИ около нижнего по-
аошп
ложения равновесия.
Выражения (14) для частот медленных колебаниИ юир и юаодап иллюстрируются графиками на рис. 4, полученными с помощью численного интегрирования уравнения (3). Для наглядности выбран пример, в котором частота возбуждения (( = 16(, а амплитуда а = 0.153/, так что (а2/2/2(2 = 3.0(2 . В этом случае выражения (14) дают для частоты медленных колебаниИ около нижнего положения значение ®аодап=2ю0, ровно вдвое превышающее собственную частоту. Тогда период медленных колебаниИ Таодап должен быть вдвое меньше периода Т0 собственных колебаниИ маятника в отсутствие осцилляциИ оси. Из рис. 4 видно, что маятник совершает ровно два медленных колебания на протяжении периода Т0, которыИ в этом примере (при (О = 16() составляет
16 периодов Т = 2к( принудительных ос-
цилляциИ оси. Шкала времени на графиках проградуирована в единицах T.
Для частоты медленных колебаниИ около перевернутого положения выражения (14) дают значение wup = 42 w0, то есть период медленных колебаниИ
Tup = T042. Это значение периода также хорошо подтверждается нижним графиком на рис. 4.
Графики на рис. 4 показывают, что медленное движение маятника наиболее сильно искажено высокочастотными колебаниями вблизи краИних отклонениИ маятника. Искажения графиков j(t) сравнительно невелики, когда маятник пересекает положение равновесия. Такое поведение согласуется с выражением (4), согласно которому угловая амплитуда быстрых колебаниИ стержня маятника пропорциональна синусу среднего угла отклонения у, характеризующего медленную составляющую движения.
Если в формулах (14) положить w0 = 0, мы получим выражение для частоты wslow малых медленных колебаниИ маятника с осциллирующим подвесом в отсутствие силы тяжести:
w
slow
42i
(15)
Такие колебания могут происходить около каждого из двух динамически стабилизированных положениИ равновесия, симметрично расположенных в противоположных направлениях на линии осцилляциИ оси маятника. Когда осцилляции оси происходят при наличии силы тяжести, момент силы тяжести добавляется к среднему моменту силы инерции. Резуль-тирующиИ возвращающиИ момент вблизи нижнего положения возрастает, что приводит к увеличению соответствующеИ частоты медленных колебаниИ ((а по сравнению с ®81ода. Вблизи верхнего положения сила тяжести уменьшает сред-ниИ возвращающиИ момент силы инерции, уменьшая тем самым частоту ( ир медленных колебаниИ перевернутого маятника.
2
a
Положения максимумов потенциальной энергии и = и(у) определяются формулами (10). Вершины потенциальных барьеров между соседними ямами соответствуют отклонениям ±у0 (у0 ж/2) от нижнего вертикального положения и
±0шах (0шах < Р2 ) от верхнего (перевернутого) положения (рис. 5). При таких отклонениях средний момент силы тяжести уравновешен средним моментом силы инерции. Однако эти положения равновесия неустойчивы: при малейшем возмущении маятник медленно соскальзывает в одну из потенциальных ям и совершает в ней колебания, двигаясь от одного склона до другого. Форма таких колебаний сильно отличается от синусоидальной: маятник надолго задерживается вблизи вершины потенциального барьера (вблизи максимального отклонения), затем довольно быстро проходит над дном потенциальной ямы и медленно взбирается на противоположный склон перед тем, как начать обратное движение.
Полученные здесь приближенные результаты справедливы при достаточно высокой частоте (О >> (О0 и малой амплитуде а << I вынужденных осцилляций подвеса. Из графика и = и(у) (рис. 5) следует, что нижнее положение равновесия всегда устойчиво, а верхнее перевернутое положение устойчиво, когда на кривой потенциальной энергии и = и(у) существуют дополнительные минимумы при у = ±к , то есть при выполнении условия (8) или (9). Уточненный критерий динамической стабилизации перевернутого маятника,
справедливый в более широкой области параметров, в том числе при сравнительно низких частотах и больших амплитудах вынужденных осцилляций подвеса, будет получен в следующей статье на эту тему.
Как уже отмечалось выше, в определенных интервалах значений параметров системы (интервалах параметрической неустойчивости) нижнее положение равновесия маятника становится неустойчивым: наблюдается явление параметрического резонанса, при наступлении которого малые начальные колебания прогрессивно нарастают. Это никак не вытекает из приведенного здесь исследования, основанного на разложении движения маятника на быструю и медленную составляющие. Дело в том, что параметрический резонанс наступает при таких значениях параметров системы, где это разложение невозможно. В следующей статье будет показано, что и верхнее (динамически стабилизированное) положение тоже может стать неустойчивым: при достаточно большой амплитуде осцилляций подвеса возбуждаются колебания маятника около перевернутого положения с периодом, вдвое большим вынуждающего периода. Эта так называемая флаттер-мода колебаний родственна основному параметрическому резонансу неперевернутого маятника. Подчеркнем, что параметрический резонанс, флаттер-мода и другие сложные примеры поведения маятника имеют место при таких значениях частоты и амплитуды ос-цилляций подвеса, при которых наглядный метод разделения движения на быструю и
медленную составляющие неприменим.
Литература
1. A. Stephenson. On an induced stability. Phil. Mag. 1908, 15, p. 233-236; On a new type of dynamical stability. Mem. Proc. Manch. Lit. Phil. Soc. 1908, 52, p. 1-10.
2. П. Л. Капица. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ, 1951, 21, c. 588-597.
3. П. Л. Капица. Маятник с вибрирующим подвесом. УФН, 1951, 44, 7-20.
4. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика. М.: «Наука», 1988. С. 123-125.
5. И. И. Блехман. Вибрационная механика. М.: «Наука», 1994. С. 95-106.
6. J.A. Blackburn, H. J. T. Smith, N. Groenbech-Jensen. Stability and Hopf bifurcations in an inverted pendulum. Am. J. Phys. 1992, 60, p. 903-908.
7. H. J. T. Smith, J. A. Blackburn. Experimental study of an inverted pendulum. Am. J. Phys. 1992, 60, p. 909-911.
8. D.J. Acheson. Multiple-nodding oscillations of a driven inverted pendulum. Proc. Roy. Soc. London, 1995, A 448, p. 89-95, A pendulum theorem. Proc. Roy. Soc. London, 1993, A 443, p. 239-245.
9. F.M. Phelps III and J.H. Hunter Jr. An analytical solution of the inverted pendulum. Am. J. Phys. 1965, 33, p. 285-295; 1966, 34, p. 533-535.
10. D.J. Ness. Small oscillations of a stabilized, inverted pendulum. Am. J. Phys. 1967, 35, p. 964 -
967.
11. W.T. Grandy Jr., M. Schock. Simulations of nolinear pivot-driven pendula. Am. J. Phys. 1997, 65, p. 376-381.
12. Julia G. Fenn, D.A. Bayne, B.D. Sinclair. Experimental investigation of the «effective potential» of an inverted pendulum. Am. J. Phys. 1998, 66, p. 981-984.
13. E.I. Butikov. On the dynamic stabilization of an inverted pendulum. Am. J. Phys. 2001, 69, p. 755-768.
14. E.I. Butikov. Subharmonic Resonances of the Parametrically Driven Pendulum. Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002, 35, p. 6209-6231.
15. Butikov E.I. Regular and chaotic motions of the parametrically forced pendulum: theory and simulations. LNCS (Springer Verlag) 2331, p. 1154-1169 (2002).
16. M.J. Clifford, S.R. Bishop. Inverted oscillations of a driven pendulum. Proc. Roy. Soc. London, A 1998, 454, p. 2811-2817.
17. E.I. Butikov. Pendulum with the vertically driven pivot. (Computer simulations of nonlinear oscillatory systems) // http://faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear
Abstract
A simple physical explanation is suggested for parametric resonance caused by constrained vertical oscillations of the pivot. The phenomenon of dynamic stabilization of the inverted pendulum whose pivot is constrained to oscillate with a high frequency is considered in detail. A computer program simulating the physical system aids the analytical investigation of the subject in a manner that is mutually reinforcing.
Keywords: oscillations, parametric resonance, inverted pendulum, dynamic stabilization, stability criterium, effective potential.
© Наши авторы, 2010. Our authors, 2010.
Бутиков Евгений Иванович, профессор физического факультета СПбГУ,
