ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ СФЕР НА БЛИЗКИХ РАССТОЯНИЯХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2015 Серия: Физика Вып. 1 (29)

УДК 537.2

Особенности электростатического взаимодействия заряженных сфер на близких расстояниях

Е. Л. Тарунин

Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 email: tarunin@psu.ru

Численно исследовано электростатическое взаимодействие двух проводящих шаров одинакового радиуса. Сила взаимодействия и другие характеристики задачи вычислялись по найденному распределению потенциала, которое находилось из решения конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Построены функции, описывающие поправку к закону Кулона для точечных зарядов как в случае одноименных зарядов, так и в случае зарядов разного знака.

Ключевые слова: электростатика; уравнение Лапласа; потенциал электростатического поля; сила взаимодействия заряженных тел

1. Введение

Закон взаимодействия заряженных проводников на близких расстояниях существенно отличается от закона Кулона для точечных зарядов, размещенных в центре шаров. Исследование этого отличия для проводящих сфер было подробно выполнено в работах [1-3]. Для тел цилиндрической формы подобное исследование выполнено в [5]. В работах [1-3] расчеты были выполнены с использованием емкостных коэффициентов, вычисляемых с помощью бесконечных рядов [4]. В работе [5] вычисления были выполнены на основе решения методом сеток задачи Дирихле для потенциала электростатического поля. Использование для вычисления сил взаимодействия решения уравнения Лапласа в бисферических координатах было выполнено в [6]. В данной работе расчеты выполнены для проводящих сфер, как и в [1-3], но с использованием вычисляемого потенциала электростатического поля. Выполненные расчеты показали как соответствие с результатами [1-3], так

и отличия.

2. Постановка задачи

Варианту алгоритма, результаты которого будут обсуждаться в этой статье, предшествовали еще два варианта. Упоминание об этих отвергнутых вариантах и подробности описания алгоритма

содержатся в работе [7]. Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат решалось во всей области. Цилиндрическая система координат отражает осевую симметрию задачи и позволяет свести трехмерную задачу к двумерной. При этом возникают сложности счета в нестандартных узлах вблизи сфер. Несмотря на это такой вариант расчета признан наиболее оправданным.

Геометрия расчетной области изображена на рис. 1. Расчеты выполнялись с учетом осевой симметрии, поэтому на рисунке изображена лишь половина области.

д_

I г О

И

_

А х1

Рис. 1. Геометрия расчетной области

Параметрами задачи являются: расстояние между центрами сфер Ь=х2 - хь радиусы сфер Яъ Я2 и заряды на сферах Q1, Q2. Расчеты выполнялись в безразмерных переменных, в качестве единицы расстояния был выбран радиус первого шара =1 Постановка задачи предполагает, что взаимодействующие заряды изолированы. Положение внешней границы, на кото-

© Тарунин Е. Л., 2015

рои задавалось нулевое значение потенциала, определялось параметром метода /> 10:

х1=А01 = / +Я2, 02С= /+Я2, АБ=СБ= / +Я2.

(1)

Уравнение Лапласа для потенциала в цилиндрических координатах х, г с учетом симметрии имеет вид

1г ар\ + ар = о.

г дг I дг ) дх2

(2)

В стандартных узлах уравнение аппроксимировалось на квадратной сетке Аг = Ах = к. Соответствующая система уравнений решалась итерационным методом. Особая аппроксимация уравнения (2) использовалась на оси и в узлах с нестандартными шаблонами вблизи шаров. При заданных значениях потенциалов на сферах У51 и У52 из решения задачи Дирихле находилось

распределение потенциала во всей области. При равных значениях модуля потенциалов на сферах У52, У51 (именно этот вариант рассмотрен в

статье) решение задачи дает одинаковые по модулю значения зарядов и не требует решения соответствующей задачи Робена, как это было сделано в [5]. Задание У52 =-У81 приводило к задаче о взаимодействии разноименных зарядов.

По вычисленным значениям потенциалов находились различные характеристики решения: сила электростатического взаимодействия Ж, зависимость радиальной компоненты поля на сферах Ег от полярного угла 5, отношение максимальной радиальной компоненты поля на сфере к минимальной компоненте кЕх и др. Основной характеристикой решения являлось отношение вычисленной силы к силе взаимодействия по закону Кулона к[ = Г0/Г . Величина к[ показывает отклонения силы взаимодействия от закона Кулона для точечных зарядов (при ф > 1 сила взаимодействия меньше Г0, а при к[ < 1 больше). Постановка задачи позволяла также определить электроемкость шаров сформулированной задачи с потенциалами <р1 = 1,

Р2 = 0 •

Основными параметрами, определяющими общее число узлов сетки, служили число интервалов на первом радиусе ЯЫ и параметр

определяющий внешний размер области (см. (1.1)). Максимальное значение индекса к равнялось ЫМЯ, а максимальное значение индекса т равнялось ЫМ. Для хранения всех элементов массива для потенциала V[к, т] требовалось

п = КЫ2 {Ь + 2(К2 + /)ХЯ2 + /)

ячеек оперативной памяти. При типичных значениях параметров задачи и метода (¿=3, ЯЫ=30, / =24) число элементов массива для потенциала электростатического поля п - более миллиона.

3. Метод решения

Аппроксимация уравнения Лапласа (2) на квадратной сетке гк = к • к, хт = т • к в обозначениях школы А. А. Самарского [8] имела вид

- {(гк + к/2)^ - (гк - к/2)^ ) + Vx,x = 0 . (3)

Замена р ^ V сделана из методических соображений для отличия разностного решения от точного решения уравнения (2). После введения обозначений

В1[к] = 0.25(1 + 0.5/к) , В2[к] = 0.25(1-0.5/к) (4)

уравнение (3) записывалось в виде удобном для применения итерационного метода. Для сокращения объема вычислений значения компонент массивов Вг и В2 вычислялись перед началом итераций.

Система уравнений для потенциала электростатического поля решалась методом последовательной верхней релаксации [8, 9].

Первое слагаемое в уравнении Лапласа (2) на оси имеет устранимую неопределенность типа нуль, деленный на нуль. Применение к этому слагаемому правила Лопиталя позволяет выяснить с учетом симметрии, что полная аппроксимация уравнения Лапласа на оси приобретает вид

^ = (4^,т +^+1 + ^0/6 • (5)

Для сокращения общего числа итераций значения потенциала на оси У0,т находились методом скалярной прогонки в предположении, что значения V т

известны. Прогонки осуществлялись для трех участков на оси (перед первой сферой, между сферами и после второй сферы) в предположении, что значения потенциала на концах участков заданы.

Особенности аппроксимации в нестандартных узлах и детали метода описаны в работе [7]. Здесь укажем лишь, что нестандартные узлы были трех типов - граничные, близнецы и узлы при к=ЯЫ.

Итерации подразделялись на внешние т^ц и

внутренние т0. На внешних итерациях вычислялись значения потенциала в нестационарных узлах около сфер. Для контроля за сходимостью значения т0 выводились на экран ПК с заданным интервалом для внешних итераций от 2 до 10. Обычно до т^ц ~ 40 число итераций т0 = ЫМ, а затем

к

убывало до 1. Так, например, при Ь = 3, /и = 10, КЫ = 45, гр8 = 10~13 зависимость числа внутренних итераций т0 от числа внешних итераций

lfull

указана в табл. 1.

Таблица 1. Зависимость числа внутренних итераций т0 от числа внешних итераций

т/мИ

mfull < 30 40 50 60 70 80 > 90

m0 1175 930 279 57 3 2 1

чина равна нулю, например, при изменении функции в виде лесенки.

Для контроля по вычисленным значениям потенциала проверялась погрешность выполнимости теоремы Гаусса, согласно которой должно быть выполнено равенство

§ Еп • ds = 01 + е2. (6)

Относительное отклонение от выполнимости этого равенства оценивалось по формуле

dG = 100(0! + G2 -Qx -ß2)/(2ß1),

(7)

Для интегрального анализа сходимости на экран выводились номера полных итераций m1, m2 (m соответствует номеру, при котором впервые m0 < NM, m2 соответствует номеру, после которого все последующие щ = 1). Так, например, при значениях L = 3, / = 30, RN = 24 полное число итераций = 73424, а номера m1, m2

равны соответственно 40 и 102.

Для дополнительного контроля сходимости итерационного процесса через заданное значение числа полных итераций на экран компьютера выводилось значение SSE (суммы напряженностей на первой сфере). Эта величина быстро стабилизировалась. Приведем в качестве примера изменения этой величины при L = 3.5, / = 30, RN = 24 через 2 шага. Относительная разница (SSE(4)-SSE(2))/SSE(2) была равна 8.98%, а последующие разницы составляли 1.31% и 0.74%. После 50 внешних итераций не изменялись первые 8 значащих цифр величины SSE.

4. Вычисление интегральных характеристик

По вычисленным значениям потенциала V[k, m] находились следующие характеристики решения - радиальные компоненты поля на сферах En1[j], En2[j], заряды на полусферах QL1, QR1, QL2, QR2, полные заряды на сферах -

Q1 = QL1 + QR1> Q2 = QL2 + QR2 , силы f11, f12 ,

f21 , f22 , F1 = f11 + f12 , F2 = f21 + f22 .

Интегральными характеристиками зависимости En1j] служили три величины - kE1 (перепад напряженности на сфере), SEn: (среднее значение) и характеристика гладкости - GladEn. Характеристика GladEn вычислялась суммированием абсолютных значений выхода En 1 j] за пределы интервала от En1j-1] до En1j+1]. Отметим, что эта величина не является полноценной характеристикой гладкости, она дает сигнал лишь о явном (существенном) отклонении от гладкости. Эта вели-

в которой ^, G2 - вычисленные значения потоков напряженности поля (G1 - поток через торцевые поверхности, ^ - поток через боковую поверхность рассматриваемого объема). Эти потоки (интегралы) вычислялись по формуле трапеций с аппроксимацией нормальных компонент напряженности центральными разностями на фиктивных границах, удаленных от внешних границ на 20 узлов пространственной сетки. В типичных расчетах выполнялось неравенство С2 > 3.5^; с ростом Ь и коэффициента / это отношение увеличивалось. Величина йО зависит от погрешностей вычисления потенциала, потоков G1, G2 и зарядов 0 , 02.

Вычислительные эксперименты позволили выяснить, что основная погрешность йС обусловлена погрешностью вычисления радиальных компонент напряженности поля на сферах ЕпЩ, Еп2Щ. Для уменьшения этого источника погрешности было испытано несколько вариантов аппроксимации Еп Щ, Еп 2 [/]. В итоге было выяснено, что наименьшая погрешность вычисления Еп Щ, Еп2Ц] соответствует варианту, в котором значения Еп Щ, Еп 2[/] вычислялись на поверхности сфер удаленных от поверхности шаров на расстоянии ds = к • к немного большем шага пространственной сетки к (к>1). Значения потенциала на этих сферах вычислялось по аппроксимации значений потенциалов в ближайших точках стандартной ячейки.

Подробные вычисления с различными значениями ds = к • к были выполнены при Ь = 3, / = 10, КЫ = 10 . Минимальное значение характеристики отклонения от гладкости О1айЕп=0.0678% было достигнуто при к= 1.15.

При вычислении потенциала на радиусе (К1+кк) была использована коррекция погрешности вычисления односторонней разностью величин Еп2[], Еп2[]. Эта коррекция осуществлялась умножением полученных значений Еп1[], Еп2[] на множитель р = 1 + ds / К . Множитель р вычислялся в предположении, что потенциал вблизи сфер близок к потенциалу для уединенной заряженной сферы. Описываемая коррекция существенно снизила отклонение от выполнимости тео-

ремы Гаусса. Типичные значения йО стали менее одного процента для зарядов одного знака, симметрия решения задачи с зарядами разных знаков при 0 = -02 приводила к й0=0.

Полная сила, действующая на первый шар, равна Г = /11 + /12. Эта сила сравнивается с силой, вычисляемой по закону Кулона

Г = 0102 /(4^2)

с помощью коэффициента к/ = Г0/Г. Таким образом, значения к/ > 1 соответствуют ослаблению силы по сравнению с законом Кулона для точечных зарядов, а значения к/ < 1 соответствуют,

наоборот, увеличению силы.

Кроме вычисления сил по формулам через значения нормальной компоненты поля в ряде случаев использовалось вычисление сил по значению производной от потенциальной энергии Ги = -д Ц дЬ. Потенциальная энергия одного шара вычислялась по формуле и = 01 .

Расчеты при Ь = 3,3 + 0.2 позволили выяснить, что значение силы при Ь = 3, вычисленное обычным способом, отличается от

01(3.2) - 01(2.8) ] 0.4

Рис. 2. Изолинии потенциала при Ь = 3,

К2 = К1

Гц = Уз 2

Для сравнения с изолиниями для одноименных зарядов на рис. 3 изображены изолинии для разноименных зарядов при Ь = 3, К2 = К1, Уз2 = -У31.

на величину менее 0.01%. 5. Результаты решения

На рис. 2 представлены изолинии потенциала для случая расстояния между центрами шаров Ь = 3 при одинаковых радиусах шаров и одинаковых потенциалах. Шаг между изолиниями равнялся одной восьмой от максимального значения. Изображена не вся область решения (левый и правый края отстоят от центров шаров на расстоянии равном трем радиусам). Поэтому в изображенную область не вошли две изотермы. По картине изолиний отчетливо видна симметрия решения относительно середины области. Взаимодействие шаров ослабило напряженность поля в пространстве между шарами. Этот эффект более отчетливо заметен на зависимости радиальной компоненты поля от угла (см. рис. 4). На этом рисунке изображена зависимость Еп (0) для левого шара. Видно, что при малых углах (0 < ж/2) напряженность значительно меньше, чем при 0 > ж/2.

Для сравнения на рисунке изображена горизонтальная линия со значением напряженности, равной напряженности для уединенного шара У = У311(К + Ь). Заметим, что изображенная зависимость в силу симметрии решения совпадает с зависимостью Еп (ж-0) для второго шара.

Рис. 3. Изолинии для разноименных зарядов

при Ь = 3 , «2 = К, Уз2 =-Уз1

Еп

0 90 180

Рис. 4. Зависимость радиальной компоненты напряженности поля от угла 0 для первого шара

Массовым расчетам при произвольных значениях расстояния между шарами предшествовали тестовые испытания при Ь = 3 . Тестовые испытания позволили определить параметры метода КЫ, ц,

которые позволяют получать достаточно хорошие результаты. Расчеты при КЫ = 24 и трех значениях ц дали значения коэффициента к/, указанные в табл. 2

Таблица 2. Значения коэффициента kf

х = 1/и 0.05 0.04 0.03

-kf 1.17746 1.17707 1.17684

f « a+a2(I/¿)2.

(8)

Метод наименьших квадратов позволил получить коэффициенты такой зависимости, представленные в табл. 3.

Таблица 3. Коэффициенты аппроксимации (8)

RN Ao a2 Epsl (RN=20)

10 1.17458 0.29404 0.04%

16 1.17627 0.28624 0.04%

20 1.17641 0.39611 0.054%

24 1.17647 0.38964 0.053%

В последнем столбце таблицы указано относительное отклонение значения к/ от предельного значения при и = ж, соответствующего A0.

Анализ этих данных позволяет утверждать, что погрешность величины kf менее 1% достигается лишь при ¿и > 20.

Серия расчетов при фиксированном значении ¿и = 24 и различных значениях RN позволила установить, что при RN > 24 :

1) модуль коэффициента kf колеблется в пределах от 1.17697 до 1.17712 (иллюстрация этих колебаний представлена на рис. 6);

2) перепад напряженности kEx колеблется около значения 2.8622 с относительной амплитудой около 0.02%;

3) значение суммы потенциалов в граничных точках монотонно растет при увеличении RN, достигая при RN=40 значения 0.08075;

4) величина заряда монотонно растет при увеличении RN, достигая при RN=40 значения 1.05327;

5) величины GladEn (характеристика гладкости) и dG (погрешность отклонения от выполнимости теоремы Гаусса) монотонно убывают при увеличении RN.

Большие значения и и RN приводят к большим затратам машинного времени. Для оценки машинного времени на РС с тактовой частотой 2.1 GHz при и > 20 подходит формула

tPC «1.035-105 -и2 • RN3 мин.

Из этой формулы следует, что при ¿и = 30 и RN=30 время счета составляет 4.2 часа.

На рис. 5 изображены зависимости коэффициента kf = F0/F от 1/ и для трех значений числа интервалов на первом радиусе RN=16, 20 (средняя линия) и 24. Как видно, при ¿и^ж (1/0) зависимость kf от и становится незначительной. При и> 24 зависимости kf (1/ ¿u) хорошо аппроксимируются функцией вида

Рис. 5. Зависимость коэффициента к/ от 1/ л (на графике и ^ ти )

Зависимость коэффициента к/ от числа интервалов на радиусе КМ представлена на рис. 6. Как видно, при ЯЫ > 20 значения к/ стабилизируются около 1.177 (это значение показано на рисунке штриховой линией) с отклонениями от этого значения с относительной амплитудой менее 0.02%

Рис. 6. Зависимость к/ от числа интервалов на радиусе КМ (Ь=3, и= 24)

Анализ результатов, полученных при различных значениях параметров метода КМ и и, позволил выяснить, что наибольшая погрешность решения (в основном, по величине коэффициента к/ ) обязана значениям параметра и < 30 . В справедливости этого утверждения можно убедиться путем анализа результатов для Ь=3, КМ=20 и различных значений и ■ Из анализа этих результатов следует зависимость

-к/ « 1.1756(1 + 0.0306/и). (9)

Отсюда следует, что для получения значений к/ с погрешностью менее 0.1% требуется использовать значения и > 31.

Из итоговых результатов тестирования при Ь=3 следует, что достаточно точные результаты могут быть получены при значениях и и ЯЫ > 24 . Колебания, представленные на рис. 6, позволяют сделать вывод, что не всегда более высокие значения КМ гарантируют более точные результаты. Поэто-

0

□ .04

0

20

30

40

му дальнейшие вычисления при различных значениях расстояния между центрами сфер выполнялись при ЯМ=24, / = 30 или более.

Часть вычислений к[ при L отличных от 3 выполнялась следующим образом. При фиксированном значении ЯМ=24 выполнялся счет для трех значений /(/') =30, 25, 20 (/'=1, 2, 3), затем по экстраполяции линейной зависимости

/ = /0 + a ■ z1, (z1 = 1// )

на значение 2=0 (/ = ю) вычислялись два значения /0 (1, 2), /о (1, 3), полученные для указанных

в скобках номеров расчетов /. Далее полагалось, что

/о = (2/3)■ /0(1,2) + (1/3)■ /о(1,3) .

Оценка относительной погрешности вычислялась по формуле д = 100(/0 - /)/ /1. Найденные уточненные значения к/0 (при уточнении счет выполнялся со значениями параметров метода ЯЫ, и > 24) представлены в табл. 4.

Таблица 4. Значения коэффициента ^

Перейдем к обсуждению зависимости коэффициента отношения сил ^ от расстояния между центрами сфер для случая одноименных зарядов (6162 > 0). Для нахождения аналитической зависимости с двумя параметрами а0 и с в виде

к/+= 1 + а0ехр{- с(Ь - 2)} (10)

использовались 10 значений (отобранные значения были получены для параметров метода ЯМ, //> 30 см. табл. 5).

Таблица 5. Значения коэффициента к/

Функция (10) удовлетворяет асимптотическому стремлению к/ ^ 1 при Ь . Значения параметров этой функции а0 и с находились методом градиентного спуска для минимизации суммы квадратов невязок. Начальные значения параметров равнялись 1, а шаги для их изменения йа и йс -0.00001. Значения параметров аппроксимации а0 « 0.64627, с «1.3239 , найденные после 353700 шагов градиентного спуска, снизили начальную сумму квадратов невязок примерно в 120 раз до

значения 5=0.00553. Зависимость (10) изображена на рис. 8 штриховой линией, крестиками отмечены табличные значения. Как видно, аппроксимация хороша для значений Ь < 3.25, при больших значениях L функция дает заниженные значения (наибольшее отклонение равно -2.2% при L=4). По сумме квадратов невязок, деленной на число использованных табличных значений, следует, что среднее отклонение табличных данных от зависимости (10) - около 0.4%.

Кроме функции (4.4) испытывалась аппроксимация также с двумя параметрами в виде

/+ (Ь) = 1 + а1/ Ь + а2/ Ь2. (11)

Эта функция имеет нужную асимптотику при Ь . Однако получаемые значения коэффициентов имеют разные знаки, что приводит на некотором интервале L к не допустимым значениям к/+ < 1 для зарядов с одинаковыми знаками. Поэтому от этой аппроксимации пришлось отказаться.

Далее обсудим случай притяжения зарядов разного знака. В этом случае электростатическое взаимодействие приводит к значениям отношения сил к/ < 1.

Пример распределения потенциала для этого случая при L=3 приведен на рис. 3.

Рис. 7. Зависимость отношения сил от расстояния между сферами

Важной характеристикой зависимости (10) является значение коэффициента к/ при йЬ = Ь - (Я1 + Я2) = 0, соответствующее случаю соприкосновения шаров. Из зависимости (10) следует, что это предельное значение равно 1+ а0 =1.6462. Счет по программе при L=2 дал

чуть меньшее значение к/+ (2) = 1.6245 + 0.0005 . Линейная экстраполяция на значение йЬ = Ь - (Я + Я) = 0, построенная по двум значениям L=2.1 и L=2.2, дает значение к/+ = 1.6157. Три различных способа вычисления предельного значения к/+ (2) позволяют дать оценку этой величины к/+ (2) «1.6216 с относительной погрешностью менее 0.4%.

L 2.25 2.5 2.75 3.0 3.5 4.0

¥о 1.4478 1.3219 1.2357 1.1771 1.1068 1.0696

L 2.0 2.1 2.2 2.25 2.5

к/ 1.6273 1.5478 1.4789 1.4478 1.3219

L 2.75 3.0 3.25 3.5 4.0

к/ 1.2357 11771 1.1359 1.1068 1.0691

Перейдем к случаю притяжения зарядов разноименного знака. Результаты зависимости к/- (Ь) для этого случая представлены на рис. 8.

Рис. 8. Зависимость отношения сил к/- от

расстояния между сферами в случае зарядов разного знака

Штриховая линия на этом рисунке соответствует аппроксимации полученных результатов с помощью функции с двумя параметрами (х=йЬ):

к/_ (х) = 1 - ехр{- с • х /(1 + Ь • х)}. (12)

Эта функция удовлетворяет двум условиям к/- (0) = 0, к/- (ж) = 1. Параметры аппроксимации находились методом градиентного спуска при начальных значениях с(0)=1, й(0)=0.5 с шагами ей=йе=10~6. Начальная сумма квадратов невязок по 12 точкам уменьшилась за счет градиентного спуска в 146 раз до значения 0.00909. Найденные значения параметров таковы: с=3.3252, Ь=0.7718. Максимальное относительное отличие полученных результатов от функции (4.4) соответствует точке йЬ=0.1.

Асимптотика зависимостей отношения сил при Ь ^ ж одинакова для обоих случаев, но в случае одноименных зарядов стремление к/+ к 1 происходит сверху, а для разноименных зарядов - снизу. Поэтому при достаточно больших расстояниях между сферами (Ь > 4) следует ожидать примерного равенства к/+ + к/_ = 2, или

к/-= 2 - к/+ .

При Ь=4 относительная погрешность связи (7.4) - около 2%.

6. Выводы

1. Реализован метод расчета электростатического поля около двух заряженных шаров на основе решения уравнения Лапласа для потенциала поля. Метод дает полную информацию о распределении потенциала и о его интегральных характеристиках.

2. Расчет показал, что на расстояниях между центрами сфер Ь < 2(Я1 + Я2) закон Кулона для точечных зарядов требует существенной поправки. При уменьшении Ь эта поправка возрастает.

3. Вычисленные поправки к закону Кулона согласуются с расчетом других авторов, полученных другими методами, при Ь=3.\; при L<3 поправочные коэффициенты завышены (при L=2.75 относительное отклонение равно 3.6%), а при L> 3 занижены (при L=4 относительное отклонение равно 5.7%).

4. Найдены приближенные аналитические зависимости для коэффициента поправки к закону Кулона как для зарядов одного знака, так и для зарядов разного знака.

Список литературы

1. Саранин В. А. О взаимодействии двух электрически заряженных шаров // Успехи физических наук. 1999. Т. 169. С. 453-458.

2. Саранин В. А., Майер В. В. Теоретические и экспериментальные исследования взаимодействия двух проводящих заряженных шаров // Успехи физических наук. 2010. Т. 180, № 10. С. 1009-1117.

3. Saranin V. A. Energy, force and field strength in a system of two charged conducting balls // Journal of Electrostatics. 2013. Vol. 71. P. 746-753.

4. Smythe W. R. Static and Dynamics Electricity // McCraw - Hill, New York, 1950.

5. Тарунин Е. Л. Электростатическое взаимодействие заряженных проводников на близких расстояниях // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2013. Вып. 2(24). С. 49-56.

6. Davis M. H. Two charged spherical conductors in a uniform electric field: forces and field strength // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1964. Vol. 17. Р. 499-511.

7. Тарунин Е. Л. Задача электростатики о взаимодействии заряженных шаров на близких расстояниях // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2014. Вып. 3(26). С. 16-27.

8. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

9. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 226 с.

References

1. Saranin V. A. O vzaimodejstvii dvuh jelektricheski zarjazhennyh sharov. Uspehi fizicheskih nauk. 1999, vol. 169, pp. 453-458. (In Russian).

2. Saranin V. A., Majer V. V. Teoreticheskie i jek-sperimental'nye issledovanija vzaimodejstvija dvuh provodjashhih zarjazhennyh sharov. Uspehi fizicheskih nauk. 2010, vol. 180, no. 10, pp. 10091117.

3. Saranin V. A. Energy, force and field strength in a system of two charged conducting balls. Journal of Electrostatics. 2013, vol. 71, pp. 746-753.

4. Smythe W. R. Static and Dynamics Electricity. McCraw - Hill, New York, 1950. 635 p.

5. Tarunin E. L. Electrostatic interaction of charged conducting bodies on small distances. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2013. no. 2(24), pp. 49-56. (In Russian).

6. Davis M. H. Two charged spherical conductors in a uniform electric field: forces and field strength. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1964, vol. 17, pp. 499-511.

7. Tarunin E. L. Zadacha jelektrostatiki o vzai-modejstvii zaijazhennyh sharov na blizkih ras-stojanijah. Vestnik Permskogo universiteta. Serija: Matematika. Mehanika. Informatika. 2014, no. 3(26), pp. 16-27. (In Russian).

8. Samarskij A. A. Teorija raznostnyh shem. M: Nauka, 1977. 656 p.

9. Tarunin E. L. Vychislitel'nyj jeksperiment v zadachah svobodnoj konvekcii. Irkutsk: Irkutskij un-t, 1990. 226 p.

Features of the electrostatic interaction of charged spheres at close distances

E. L. Tarunin

Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm email: tarunin@psu.ru

The electrostatic interaction between two conducting balls was studied by numerical method. The strength of the interaction was found from the potential distribution of the electrostatic field, which is determined by solving the finite-difference equations for the Laplace's equation in cylindrical coordinates. Analytical functions were built for describing the amendment to the Coulomb's law in the case of the same charges, and also for the case of opposite charges.

Keywords: electrostatic; Laplace equation; potential of the electrostatic field; strength of the interaction of charged bodies