ДИНАМИКА ОДНОИМЕННО ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДЯЩИХ ШАРОВ ВБЛИЗИ ИНВЕРСИИ СИЛЫ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ОТТАЛКИВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2017

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 1(36)

УДК 531.3

Динамика одноименно заряженных проводящих шаров вблизи инверсии силы электростатического отталкивания

Е. Л. Тарунин

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, Букирева, 15 8(342) 2 396 409

Обнаруженная ранее автором инверсия силы отталкивания одноименно заряженных тел порождает вопрос: как эффект инверсии силы скажется на динамике заряженных проводников? В статье проанализирована задача о колебаниях и счетом показано, что инверсия силы приводит к асимметрии колебаний.

Ключевые слова: электростатика; индукция зарядов в проводниках; закон Кулона; метод Робена; задачи Дирихле для потенциала поля.

DOI: 10.17072/1993-0550-2017-1-41-43

Введение

В работах [1-5] были найдены критические расстояния L„ между одноименно заряженными сферами, при которых сила отталкивания становится равной нулю, а при дальнейшем сближении сфер меняется на силу притяжения. Было показано, что критическое

расстояние зависит от отношения радиусов сфер R2/ R1 и отношения зарядов на сферах ql/ q2. Примеры зависимости относительной силы электростатического взаимодействия двух шаров от расстояния между центрами сфер для трех отношений радиусов приведены на рисунке. В качестве единицы расстояния принят радиус меньшего (первого) шара.

Отношение силы электростатического взаимодействия к силе отталкивания соответствующих точечных зарядов одноименно заряженных сфер в зависимости от расстояния между центрами сфер

По вертикали на рисунке указано от- талкивания, вычисленной по закону Кулона ношение электростатической силы к силе от- для соответствующих точечных зарядов

--К = 41 • 02 1 4же0^ .

© Тарунин Е. Л., 2017

Е. Л. Тарунин

Как видно, при больших расстояниях между сферами отношение сил стремится к -1. Значениям расстояний больше критического соответствует ослабленная сила отталкивания, а значениям расстояний меньше критического соответствует сила притяжения. Приведенные зависимости соответствуют равным зарядам на проводящих сферах q1 = q2. Влияние отношения зарядов на критическое расстояние было исследовано в [5]; показано, что при q1 < q2 (номер 1 относится к шару с меньшим радиусом) критическое расстояние увеличивается, а при q1 > q2 уменьшается.

Результаты [1-5] были получены путем решения методом сеток трех задач Дирихле для потенциала поля. Две вспомогательные задачи позволяли определить по методу Робе-на [6] потенциалы на сферах при задании зарядов на них, а в третьей задаче определялись характеристики электрического поля.

Возникает естественный вопрос - как скажется обнаруженная инверсия силы на динамике заряженных проводящих тел? Для ответа на этот вопрос требуется критическое рассмотрение соответствующих задач динамики [7] - движение в поле центральных сил, задача Кеплера, упругое столкновение тел, рассеяние тел, колебания.

В данной статье лишь упоминаются ожидаемые эффекты в задачах динамики. Более подробно рассмотрена задача о колебаниях, так как ожидаемая асимметрия колебаний может быть использована для экспериментального определения критических расстояний в зависимости от отношения радиусов шаров, отношения зарядов, а также от формы проводящих тел. Для более полного ответа на вопросы об эффектах динамики заряженных проводников потребуются детальные вычислительные и лабораторные эксперименты.

В задачах о движении заряженных проводников следует ожидать необычные эффекты лишь в тех случаях, когда расстояние между телами приближается к критическому L = Л,. Так, например, в задаче облета малой частицы вокруг большой при прицельных расстояниях р > Л, ситуация будет близка к классической задаче о движении тел при отталкивании [7].

Однако при р < р, < Л, ситуация резко изменится, так как частица войдет в зону, в которой сила отталкивания сменится на силу

притяжения. В этом случае последует соединение частиц. Критическое прицельное расстояние р будет зависеть от отношения радиусов, отношения зарядов и от начального импульса. Определение этих зависимостей планируется в дальнейшем.

Сделаем критическое замечание об используемом допущении - мгновенной перестройке силы электростатического взаимодействия. Время перестройки наведенных зарядов в проводнике вероятно мало, но все равно оно конечно. Поэтому желательно обнаружить ситуации, в которых можно будет оценить скорость перестройки индуцированных зарядов, и в дальнейшем учесть соответствующие эффекты.

Экспериментальное подтверждение полученных в [1-5] значений критических расстояний между сферами может быть подтверждено путем обнаружения асимметричности колебаний на расстояниях, близких к критическому Л,.

В данной статье проанализированы результаты решения задачи о колебаниях двух тел в случае, когда сила, возвращающая тела к равновесному расстоянию, различна для положительных и отрицательных отклонений. В качестве колебательной системы может быть выбрана ситуация математического маятника или колебание тел, связанных упругой силой. С математической точки зрения эти задачи одинаковы.

Рассмотрим подробнее математическую постановку задачи о малых колебаниях заряженных проводников. Предполагается, что два шара связаны между собой упругой силой и силой кулоновского электростатического взаимодействия. Для упрощения задачи полагаем, что координаты второго тела зафиксированы и поэтому требуется определить зависимость от времени лишь координаты одного (первого) тела.

Уравнения свободных колебаний первого тела имеют вид

тх + k (х ) х = 0. (1)

Полагаем, что равновесному значению координаты х = 0 соответствует критическое расстояние между сферами. Для зависимости коэффициента k (х ) вблизи Л можно использовать простые аппроксимации

k (х) = ^ = k{) (1 - ¡лх) при х > 0,

k(х) = k2 = ^ (1 + ц) при х < 0 . (2)

Динамика одноименно заряженных проводящих шаров вблизи инверсии силы

В этих формулах коэффициенты /и1, /и2 выражены в долях величины k0, которая соответствует возвращающей силе в случае не заряженных тел. Вычислительные эксперименты [1-5] обнаружили различные значения коэффициентов ¡л1, ¡л2 и, следовательно, k2. Так, например, при отношении радиусов R2 / R1 = 2 отношение k2/ k1 около 1,2.

Используя закон сохранения энергии для амплитуд колебаний х1, х2, находим простую формулу для отношения амплитуд колебаний:

D = х,/х2 = (3)

V1 - М

Отсюда видно, что при значениях ¡л1, ¡л2 близких к единице отношение амплитуд колебаний велико и поэтому легко может быть обнаружено. Так, например, при ¡Л1 = ¡л2 = 1/5 отношение амплитуд составляет около 1,225, а при ¡и1 = /и2 = 3/5 это отношение равно 2.

Вывод

Показано, что значения критических расстояний между заряженными телами, обращающих в ноль силу отталкивания одноименно заряженных проводящих шаров, могут быть сравнительно просто подтверждены в лабораторных исследованиях путем обнаружения асимметрии свободных колебаний. Кроме того, в этих экспериментах может быть выяснено и влияние геометрии заряженных проводников (например, эллипсов).

Высказана гипотеза о конечной скорости перестройки индуцированных зарядов.

Список литературы

1. Тарунин Е.Л. Задача электростатики о взаимодействии заряженных шаров на близких расстояниях // Вестник Пермского унта. Математика. Механика. Информатика. 2014 . Вып. 3(26). С. 16-27.

2 Тарунин Е.Л. Особенности электростатического взаимодействия заряженных сфер на близких расстояниях // Вестник Пермского университета. Физика. 2015. Вып. 1(29). С. 52-59.

3 Тарунин Е.Л. Инверсия силы Кулоновско-го отталкивания одноименно заряженных шаров на близких расстояниях // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. ун-та. 2015. Вып. 47. С. 120-144.

4 Тарунин Е.Л. Коррекция силы Кулонов-ского отталкивания заряженных шаров на близких расстояниях // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. ун-та. 2016. Вып. 48. С. 152-173.

5 Тарунин Е.Л. Преобразование силы отталкивания одноименно заряженных сфер при близких расстояниях между сферами в силу притяжения // The scientific heritage (Budapest Hungary). Vol. 1, № 3. 2016. Physics and Mathematics. P. 91-97.

6 Ильин В.Л. Численные методы решения задач электростатики. М.: ФМ, 1989. 336 с.

7 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики: кн. 1. Механика. Электродинамика. М.: Наука, 1961. 271 с.

The dynamics of charged conducting balls near the inversion of the force of electrostatic repulsion

E. L. Tarunin

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia 8(342) 2 396 409

Inversion of the repulsive force of two charged balls that has been revealed by the author before leads to another question: how the inversion effect will influence the dynamics of charged conductors. In the paper, the problem of oscillations is investigated and it is shown that the inversion of force causes the asymmetry of oscillations.

Keywords: electrostatic; induction of charges in conducting bodies; Coulomb's law; Robin method; Dirichlet problems for the potential of the electrostatic field.