Спектр электрокапиллярных колебаний заряженной капли Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.29/534.14

Спектр электрокапиллярных колебаний заряженной капли

© И.Н. Алиев МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассмотрены задачи о поверхностных гравитационных и электрокапиллярных колебаниях сильно заряженной сферической капли. Получены волновые спектры. Решение выполнено методом Гамильтона. Проведено сравнение полученных результатов с классическими исследованиями Дж. Рэлея.

Ключевые слова: электродиспергирование капель, поверхностные колебания, функция Гамильтона, электрогидродинамика.

Задача о колебаниях поверхности капли постоянно находилась в поле зрения исследователей. Первым к ней обратился Дж. Рэлей в классической работе [1]. Интерес к рассматриваемой проблеме вновь усилился в 1980-1990-х годах, когда одновременно возникло несколько научных и технических направлений, которые прямо или косвенно были связаны именно с этой задачей, в частности при разработке принтеров каплеструйной печати [2]. В это же время появились экспериментальные работы, в которых была предложена новая модель свечения электродиспергированных капель («Огни св. Эльма») [3]. Именно эмиссия заряженных капель на финальной стадии неустойчивости обусловила возможное приложение обсуждаемого явления к термоядерному синтезу [4]. Довольно подробную подборку публикаций на рассматриваемую тему можно найти в работе [5]. Обзор современного состояния вопроса приведен в [6].

В данной работе подробно рассмотрим вспомогательную задачу о поверхностных колебаниях капли несжимаемой жидкости радиусом Я и плотностью Р0. Решение приведем в форме, отличающейся от общепринятой [7]. Для этого используем функцию Гамильтона. В общем случае она определяется через функцию Лагранжа и обобщенные координаты и импульсы. Рассмотрим случай, когда кинетическая энергия системы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей, а потенциальная энергия не зависит от скоростей и явно от времени, т. е. функция Гамильтона совпадает с полной механической энергией системы: Н = К + и. Для одномерной системы

•2 2 „ „ ац „ ец

с кинетической К = и потенциальной и = энергиями с перенормировкой Q = л[ац функция Гамильтона для одной из мод име-

1 / • 2 2 2 \

ет вид Н = 2((2 + ю 2 ). В случае же суперпозиции колебаний соответственно Н = -2 ^((2/2 + ю 1 • 2 /

Потенциальную (гравитационную) энергию вычислим по аналогии с энергией электрического поля:

и = _ 1 г с р^Ш ',

23 \г _ г'\

где С - гравитационная постоянная; р(г) = р0 +5р(г), р0 - плотность несжимаемой жидкости; 5р( г) = ±Ро-

Введем малое отклонение от изначально недеформируемой сферической поверхности: ^Г, I^ = I) < Я, причем знак при

8р( г) связан со знаком £( п): в точках, где жидкость приподнята над равновесным уровнем, £(п)> 0 и 5р(г ) = р0, и наоборот. В дальнейшем для упрощения выкладок аргумент I не приводится в явном виде. Гравитационная энергия

и = _1 г ^ _ г с р^ ягг _1 г с м^мз. •

21 г _ г'\ 1 г _ г'\ 2* у _ П

Первый интеграл и0 не зависит от деформации поверхности и является энергией недеформируемого шара и постоянной величиной. Запишем далее

и = _! с ^ ##' = _/М гМ г (,

где у(г )= Г. Ср0 (г' - гравитационный потенциал, созданный ис-\г _ г'\

ходным шаром (очевидная аналогия с потенциалом электрического поля). Тогда

Я+с(й)

их = -[бр(й)ЯО Г у (г )т2йт.

Разлагая у (г) в ряд Тейлора вблизи г = Я, получаем

Я

и = - \ й Обр (п) ( у (Я) Я 2С (п) + 2 С2 (П) (г 2 V (г))

г=Я

При выводе использовались следующие соотношения: 1 ^

——(г2у (г)) = (Уу)|г=я _ радиальная компонента потенциала;

Я+С(й) 1

Г г 2йг = — г 1 3

г=Я

Я+С( п

Я

3 ((Я + С(п ))3 - Я 3)« 33Я 2С( п ) = Я2С( п).

Запишем

Щ = -Г йО [Р0 Я 2С (п) V (Я) +1 С2 (п) Р0 Я2 (Уу)

,2 ОЫЛ

Г\г=Я

Г й О1Р0 Я 2С(п С2 (п )Р0 Я2

ОЫ 12

|—+—С \

Я 2

ОЫ Р0 г й о| ЯС(п ) + 2 С2 (п)

Я2

»✓ 4л п3 где Ы = —Я Р0 - масса капли.

Из условия несжимаемости, пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости, получаем

я+С ( 1 Л

0 = Г г2йгйО = ГйО|СЯ2 + -2ЯС2 I; я 1 2 '

Я |с(й )й О = -[С 2 (п )й О. Подставив последнее соотношение в выражение для и, получим

и1 =-ОЫР0 Г й оГ-С 2 (п) + -2 С2 (я)) = 1 ОЫ Р0 /й ОС 2 (п),

тогда

и2 = -2ГО

■т р2 Г

1 , 5р(г )6Р(Г')

г - г

ОЯ+С(п) Я +С(п) Р2й Ой О

йгйг' = -° Г г 2 йг Г г 2 йг' Ой О 2 Л J •' г - г''

О 2СЯ2С(п)Я2С(Я')йОйО' О 2 4С(п)С(и')йШО' 2Р0Г-¡^н-= -ТР0Я Г-г---•

2 г -г 2 J г-г

Разложим деформацию в ряд по шаровым функциям. При этом учтем, что это не только функция координат, но и функция времени, а также то, что разложение ведется в комплексной области, т. е.

= Z (t) Ym (n),

R l,m

где Ym (n) - Y ы (fi) - Y ы (0, Ф) = C(cos0) eL.

Здесь pm (cos0) - присоединенная функция Лежандра; Clm выбира-

ется из условия нормировки, Clm =

i

(2l + l)(l- |m|)!

4л(/ + |m|)!

[8].

Запишем также условие ортонормировки для шаровых функций:

2л л

JYlm (Q)у;т. (Q) dQ = J dфJd0 sin QYlm (0, ф) Y^ (0, ф) = 5Я,5^.

о о

Используя известное стандартное разложение [8] 1 1 ^ 4л

r - r

7\= RZ27~1 Ym (nYL (n),

Rl,m 21 +1

с учетом записанного выше получаем

U = Uo +-GMр0 jdfiRZ am (t) YM (n)RZ аы (t)YL (n) -

lm l'm'

-2GR4p2ZR jdfidfi 'J*-Ylm (n) YL (n ')RZail (tУт (*)R

2 lm R 2l +1 l'm'

xZ a]m" (ty*w (n) = Uo + -GMPoR2ZZ ^^ (t^^ (t) x

l'm" lm l'm'

xjdfiYm (n)yL (n)--2GR5p2ZZ Z(tУм (t)x

2 lm l'm l'm" 2l + 1

xjdfiYm (nym (n)jdfiym (n) Yl (n) =

= Uo + 2 GM Po R2 ZZalm (t Уы (t )8Am -

lm l m

1 оя5-2

2

= и0 +

ОЯ Ро07_7a/ т'(*)а/'т ''(*)б // ' тт // тт'' /от / 'т ' / ''т ' '

2ОЫР0Я2]Га/т ()а/т (/)-2ОЯ5р22а/т (К () :

= и0 +1О уР2 Я5 2 аы ^ )а1т ^)- ^ ОЯ5р2 £ 2^ а/т ( К ()

= и0 + О ^ Я5 ¡а/т ( )а1 ()( 2 -

/т

/т

= и0 +<

о 4^2 Я5 2 а,т (, К, () ^

3 /т 2/ +1

/ -1

Рассмотрим кинетическую энергию. Пусть движение безвихревое, течение потенциальное, поэтому можно ввести потенциал скоростей ф, который также разложим по шаровым функциям:

йС( п) _ дф —— = \г = уп = —; й дг

/

ф = 2 Ьт «Н - I ¥/т (п);

/т 1 Я)

Я2 ат (')Г/т (п) = 2 Ь/т (г)/ (Я / 1 -ЯГ/т (й)\,=я ;

/т /т

Я \т ( ' ) = Ьт ( ') .

При вычислении интегралов в выражении для кинетической энергии воспользуемся теоремой о среднем и вновь при разложении в ряд Тейлора отбросим малые более высокого порядка:

Я +С(п) 2 р Я+С(п) К = Г ну^ = — Г йо Г уу г йг =

Я Я

я+С(

^1 йО |

Р0 ГйО Г дф(г, О) дФ* ( О) „2

Я

Я+С(п

дг

г йг =

Р0-ГйО [ дф(г, О) г2йф = Р0 Г йОЯ2 О)

Я

дг

дг

й ф Г й ОЯ2

дг

ф(Я) =

г=Я

Ай2¡<Ю 2Ьт «[£) Гш (Я)

г=й

[2 ^ )1 (й У-1 й гт(я)

1'т'

Р-й|dQ 2 Ьт к¥т (Я) 2 КС (Я)

у

г=й

[

I

V 1т

[

Л

У V 1'т'

У й2 Ьт (') 2 Ь*'т' (') I'|d^^/т (Я) (Я)

1т / 'т'

= ^Т й2 Ьт (') 2 Ь/'т ' (') I'5 // '5тт ' = ^й2 ^^ (') & ('У =

Ро

/т

/ 'т'

/т

= РТ й2 ¿/т ( 0 й2-ат (О I = РТ й5 2 ¿1т (о(01•

2 /т 1 1 2 /т 1

Функция Гамильтона принимает следующий вид (несущественное постоянное слагаемое П0 опускается):

Н =Р0й52аы ^«)/ + О^р2й52¿т (К ()2•

2 Iт 1 3 Iт 2/ +1

Проведем перенормировку обобщенных координат Л1т = у[^а/т

/ -1

с помощью множителя =

Рой5

тогда

Н = 2 2 ( Л1тЛ1т + Ш 2Л1тЛ1т ),

2 т

2 О 4л 2 й5 / -1 2/ _ 4л 2/ ((-1)

Ш/ = О—р0й--5 = О—р0—^-

' 3 0 2/ +1 Р0й5 3 0 2/ +1

В результате получили спектр поверхностных волн с соответствующими частотами.

Применим рассмотренное решение к следующей задаче: моделируя Землю в виде шара несжимаемой жидкости плотностью Р0 и радиусом й = 6 400 км, приближенно вычислить периоды поверхностных волн. Для упрощения расчета введем ускорение свободного падения, причем, учитывая оценочный характер решения, примем, что оно равно реальному значению:

/

G-

4

тяЯ Ро

R2

G 4 g 2 g 2l (l -1)

-т = mg; G - лро = R; Ш2 =

Период основных (l = 2) колебаний

T = = - = 56оо с.

Ш-

g

Аналогично можно рассмотреть основную задачу о колебаниях в радиальном направлении объемно заряженного шара, так как рассмотренный метод решения применим и в этом случае. Однако задача усложняется следующим обстоятельством. Поскольку в предыдущей задаче силы гравитационного взаимодействия являются притягивающими, а в случае заряженного шара учет только сил электростатического взаимодействия, которые носят отталкивающий характер, согласно теореме Ирншоу, приводит к нестабильности системы. Поэтому необходимо учесть поверхностные силы, связанные с поверхностным натяжением.

Таким образом, рассматривается сферическая капля радиусом R слабовязкой несжимаемой жидкости, на поверхности которой существуют капиллярные волны малой амплитуды, возникающие вследствие теплового движения молекул. Жидкость считается диэлектриком, в = 1, и имеет однородное по объему распределение заряда плотностью р.

К линеаризованной системе уравнений электрогидродинамики добавим соответствующие граничные условия:

ро (I*+(*,у)'*)=^р+;

= о; т(п, V)* + п (т, V)* = о; -(р + Ре ) + 2лп (п, V)* + р& = о.

Здесь, как обычно, ро, у, у =--плотность, коэффициент поверх-

Р

ностного натяжения, динамическая и кинематическая вязкости, р, * - давление и скорость жидкости.

Граничные условия краевой задачи должны выполняться на свободной поверхности: г = Я + £ (^ « R). Давление Лапласа, связанное с искривлением поверхности, в рассматриваемом случае имеет сле-

й 2у 2у 2у 2у „ Д

дующии вид: рд =— =-=---2С • Давление электрического

й г Я + С Я Я2

поля на поверхности заряженной капли определяется выражением из работы [9] (знак минус связан с тем, что электростатическое давление действует изнутри):

4

^ ^ р —кЯ ф _ р =£о Е2 = ео Еф = 8о 6 ф= °Ф =н 3__ =Рф

2 2 Я 2 4к80Я2 Я 8кЯ3 8кЯ3 6 '

4 3

где ф - потенциал поля вблизи поверхности, О = р 3 кЯ _ заряд капли. Тогда можно записать

4 Я3

1 6 1 р 3кЯ

Ре =_ТР^^ = _ТР" 3

6 4к80Г 6 4к80 (Я + С) 188,

После преобразований, аналогичных преобразованиям в задаче о гравитационных колебаниях шара, приходим к дифференциальному уравнению, описывающему временную эволюцию амплитуды капиллярных колебаний капли:

^ + 2а ^ + ю 2С/ = о,

Л2 Ж

где а; - характеристика системы, отвечающая за затухание волн и пропорциональная вязкости. В маловязком приближении частоты примерно равны , для которых получаем следующее выражение:

=^31 ((_ 1)((+2)_^тг^Р Л

-2 - _Л

р0Я3 4 ' 21 +1 380

Р

Ро

Проанализируем полученное выражение. Первое слагаемое - классический результат Дж. Рэлея для частот собственных капиллярных колебаний сферической капли. Второе слагаемое структурно совпадает с результатом, полученным при решении вспомогательной задачи. Знак минус является существенным и, как отмечалось выше, связан с тем, что в предыдущей задаче гравитационные силы - силы притяжения, а для заряженной капли электрические силы - силы отталкивания.

Множитель — тоже физически объясним. В предыдущей задаче гра-Ро

витация, характеризуемая параметром р0, несет двойную функцию:

она связана с силовым фактором, а также отвечает за инерциальные свойства среды. В рассматриваемом же случае эти функции разнесены: за взаимодействие отвечает электростатика, характеризуемая электрической плотностью р, а за инерцию - по-прежнему Р0. Естественно, мы считаем, что силы электрического отталкивания намного больше сил гравитационного притяжения. Поскольку напряженность электрического поля вблизи поверхности играет роль аналога ускорения свободного падения, т. е. Ж = ° =±- р, находят объяснение

й 4лв0й3 3в0

и оставшиеся множители. Из выражения для частот выводим условие устойчивости: ш / > 0.

После несложных преобразований это условие примет вид Q <

<у(/+2)(2/+1)3л:2в0й3. Для основной моды (/ = 2) Q2 <1|"Л2в0й3у,

что отличается от результата Дж. Рэлея множителем (160/3 вместо 64). Это связано с тем, что в рассматриваемой модели в = 1, тогда как в классическом решении в ^ да .

Таким образом, при решении методом Гамильтона комплексной задачи о гравитационно-капиллярных колебаниях сильно заряженной сферической капли получен волновой спектр, учитывающий все приведенные факторы. Этот результат в предельных случаях переходит как в классический, рассмотренный Дж. Рэлеем без электрического поля, так и в результаты, полученные для заряженной капли.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Rayleigh J.W. On the Equilibrium of Liquid Conducting Masses Charged with Electricity. Phil. Mag., 1882, vol. 14, рр. 184-186.

[2] Tomita Y., Ishibashi Y. Fundamental Studies on an Electrostatic Ink Jet Printer. Bull.JSME, 1986, vol. 29, № 257, рр. 3737-3743.

[3] Габович М.Д., Хомич В.А. О некоторых механизмах испускания микрокапель поверхностью расплавленного металла. Письма в ЖТФ, 1987, т. 13, № 11, с. 673-677.

[4] Woosley J.P. Field Injection Electrostatic Spraying of Liquid Hydrogen. J.Appl.Phys, 1988, vol. 21, рр. 4278-4284.

[5] Ширяева С.О. Релаксационные и дисперсионные явления в капиллярных электростатических неустойчивостях и электродиспергирование жидкости. Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Ярославль, 1996, 341 с.

[6] Алиев И.Н., Алтунин В.А. Анализ исследований электрических полей в различных средах и условиях. Инженерно-физический журнал, 2012, т. 85, № 4, с. 881-896.

[7] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Москва, Наука, 1986, 736 с.

[8] Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996, 366 с.

[9] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Москва, Наука, 1992, 661 с.

Статья поступила в редакцию 05.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Алиев И.Н. Спектр электрокапиллярных колебаний заряженной капли. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 8. URL: http:// engjournal.ru/catalog/fundamentals/physics/906.html

Алиев Измаил Новрузович родился в 1945 г. Д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, академик РАЕН, профессор Академии военных наук. Автор более 100 работ в различных областях физики. e-mail: alievprof@yandex.ru