УДК 537.29/534.14
Спектр электрокапиллярных колебаний заряженной капли
© И.Н. Алиев МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрены задачи о поверхностных гравитационных и электрокапиллярных колебаниях сильно заряженной сферической капли. Получены волновые спектры. Решение выполнено методом Гамильтона. Проведено сравнение полученных результатов с классическими исследованиями Дж. Рэлея.
Ключевые слова: электродиспергирование капель, поверхностные колебания, функция Гамильтона, электрогидродинамика.
Задача о колебаниях поверхности капли постоянно находилась в поле зрения исследователей. Первым к ней обратился Дж. Рэлей в классической работе [1]. Интерес к рассматриваемой проблеме вновь усилился в 1980-1990-х годах, когда одновременно возникло несколько научных и технических направлений, которые прямо или косвенно были связаны именно с этой задачей, в частности при разработке принтеров каплеструйной печати [2]. В это же время появились экспериментальные работы, в которых была предложена новая модель свечения электродиспергированных капель («Огни св. Эльма») [3]. Именно эмиссия заряженных капель на финальной стадии неустойчивости обусловила возможное приложение обсуждаемого явления к термоядерному синтезу [4]. Довольно подробную подборку публикаций на рассматриваемую тему можно найти в работе [5]. Обзор современного состояния вопроса приведен в [6].
В данной работе подробно рассмотрим вспомогательную задачу о поверхностных колебаниях капли несжимаемой жидкости радиусом Я и плотностью Р0. Решение приведем в форме, отличающейся от общепринятой [7]. Для этого используем функцию Гамильтона. В общем случае она определяется через функцию Лагранжа и обобщенные координаты и импульсы. Рассмотрим случай, когда кинетическая энергия системы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей, а потенциальная энергия не зависит от скоростей и явно от времени, т. е. функция Гамильтона совпадает с полной механической энергией системы: Н = К + и. Для одномерной системы
•2 2 „ „ ац „ ец
с кинетической К = и потенциальной и = энергиями с перенормировкой Q = л[ац функция Гамильтона для одной из мод име-
1 / • 2 2 2 \
ет вид Н = 2((2 + ю 2 ). В случае же суперпозиции колебаний соответственно Н = -2 ^((2/2 + ю 1 • 2 /
Потенциальную (гравитационную) энергию вычислим по аналогии с энергией электрического поля:
и = _ 1 г с р^Ш ',
23 \г _ г'\
где С - гравитационная постоянная; р(г) = р0 +5р(г), р0 - плотность несжимаемой жидкости; 5р( г) = ±Ро-
Введем малое отклонение от изначально недеформируемой сферической поверхности: ^Г, I^ = I) < Я, причем знак при
8р( г) связан со знаком £( п): в точках, где жидкость приподнята над равновесным уровнем, £(п)> 0 и 5р(г ) = р0, и наоборот. В дальнейшем для упрощения выкладок аргумент I не приводится в явном виде. Гравитационная энергия
и = _1 г ^ _ г с р^ ягг _1 г с м^мз. •
21 г _ г'\ 1 г _ г'\ 2* у _ П
Первый интеграл и0 не зависит от деформации поверхности и является энергией недеформируемого шара и постоянной величиной. Запишем далее
и = _! с ^ ##' = _/М гМ г (,
где у(г )= Г. Ср0 (г' - гравитационный потенциал, созданный ис-\г _ г'\
ходным шаром (очевидная аналогия с потенциалом электрического поля). Тогда
Я+с(й)
их = -[бр(й)ЯО Г у (г )т2йт.
Разлагая у (г) в ряд Тейлора вблизи г = Я, получаем
Я
и = - \ й Обр (п) ( у (Я) Я 2С (п) + 2 С2 (П) (г 2 V (г))
г=Я
При выводе использовались следующие соотношения: 1 ^
——(г2у (г)) = (Уу)|г=я _ радиальная компонента потенциала;
Я+С(й) 1
Г г 2йг = — г 1 3
г=Я
Я+С( п
Я
3 ((Я + С(п ))3 - Я 3)« 33Я 2С( п ) = Я2С( п).
Запишем
Щ = -Г йО [Р0 Я 2С (п) V (Я) +1 С2 (п) Р0 Я2 (Уу)
,2 ОЫЛ
Г\г=Я
Г й О1Р0 Я 2С(п С2 (п )Р0 Я2
ОЫ 12
|—+—С \
Я 2
ОЫ Р0 г й о| ЯС(п ) + 2 С2 (п)
Я2
»✓ 4л п3 где Ы = —Я Р0 - масса капли.
Из условия несжимаемости, пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости, получаем
я+С ( 1 Л
0 = Г г2йгйО = ГйО|СЯ2 + -2ЯС2 I; я 1 2 '
Я |с(й )й О = -[С 2 (п )й О. Подставив последнее соотношение в выражение для и, получим
и1 =-ОЫР0 Г й оГ-С 2 (п) + -2 С2 (я)) = 1 ОЫ Р0 /й ОС 2 (п),
тогда
и2 = -2ГО
■т р2 Г
1 , 5р(г )6Р(Г')
г - г
ОЯ+С(п) Я +С(п) Р2й Ой О
йгйг' = -° Г г 2 йг Г г 2 йг' Ой О 2 Л J •' г - г''
О 2СЯ2С(п)Я2С(Я')йОйО' О 2 4С(п)С(и')йШО' 2Р0Г-¡^н-= -ТР0Я Г-г---•
2 г -г 2 J г-г
Разложим деформацию в ряд по шаровым функциям. При этом учтем, что это не только функция координат, но и функция времени, а также то, что разложение ведется в комплексной области, т. е.
= Z (t) Ym (n),
R l,m
где Ym (n) - Y ы (fi) - Y ы (0, Ф) = C(cos0) eL.
Здесь pm (cos0) - присоединенная функция Лежандра; Clm выбира-
ется из условия нормировки, Clm =
i
(2l + l)(l- |m|)!
4л(/ + |m|)!
[8].
Запишем также условие ортонормировки для шаровых функций:
2л л
JYlm (Q)у;т. (Q) dQ = J dфJd0 sin QYlm (0, ф) Y^ (0, ф) = 5Я,5^.
о о
Используя известное стандартное разложение [8] 1 1 ^ 4л
r - r
7\= RZ27~1 Ym (nYL (n),
Rl,m 21 +1
с учетом записанного выше получаем
U = Uo +-GMр0 jdfiRZ am (t) YM (n)RZ аы (t)YL (n) -
lm l'm'
-2GR4p2ZR jdfidfi 'J*-Ylm (n) YL (n ')RZail (tУт (*)R
2 lm R 2l +1 l'm'
xZ a]m" (ty*w (n) = Uo + -GMPoR2ZZ ^^ (t^^ (t) x
l'm" lm l'm'
xjdfiYm (n)yL (n)--2GR5p2ZZ Z(tУм (t)x
2 lm l'm l'm" 2l + 1
xjdfiYm (nym (n)jdfiym (n) Yl (n) =
= Uo + 2 GM Po R2 ZZalm (t Уы (t )8Am -
lm l m
1 оя5-2
2
= и0 +
ОЯ Ро07_7a/ т'(*)а/'т ''(*)б // ' тт // тт'' /от / 'т ' / ''т ' '
2ОЫР0Я2]Га/т ()а/т (/)-2ОЯ5р22а/т (К () :
= и0 +1О уР2 Я5 2 аы ^ )а1т ^)- ^ ОЯ5р2 £ 2^ а/т ( К ()
= и0 + О ^ Я5 ¡а/т ( )а1 ()( 2 -
/т
/т
= и0 +<
о 4^2 Я5 2 а,т (, К, () ^
3 /т 2/ +1
/ -1
Рассмотрим кинетическую энергию. Пусть движение безвихревое, течение потенциальное, поэтому можно ввести потенциал скоростей ф, который также разложим по шаровым функциям:
йС( п) _ дф —— = \г = уп = —; й дг
/
ф = 2 Ьт «Н - I ¥/т (п);
/т 1 Я)
Я2 ат (')Г/т (п) = 2 Ь/т (г)/ (Я / 1 -ЯГ/т (й)\,=я ;
/т /т
Я \т ( ' ) = Ьт ( ') .
При вычислении интегралов в выражении для кинетической энергии воспользуемся теоремой о среднем и вновь при разложении в ряд Тейлора отбросим малые более высокого порядка:
Я +С(п) 2 р Я+С(п) К = Г ну^ = — Г йо Г уу г йг =
Я Я
я+С(
^1 йО |
Р0 ГйО Г дф(г, О) дФ* ( О) „2
Я
Я+С(п
дг
г йг =
Р0-ГйО [ дф(г, О) г2йф = Р0 Г йОЯ2 О)
Я
дг
дг
й ф Г й ОЯ2
дг
ф(Я) =
г=Я
Ай2¡<Ю 2Ьт «[£) Гш (Я)
г=й
[2 ^ )1 (й У-1 й гт(я)
1'т'
Р-й|dQ 2 Ьт к¥т (Я) 2 КС (Я)
у
г=й
[
I
V 1т
[
Л
У V 1'т'
У й2 Ьт (') 2 Ь*'т' (') I'|d^^/т (Я) (Я)
1т / 'т'
= ^Т й2 Ьт (') 2 Ь/'т ' (') I'5 // '5тт ' = ^й2 ^^ (') & ('У =
Ро
/т
/ 'т'
/т
= РТ й2 ¿/т ( 0 й2-ат (О I = РТ й5 2 ¿1т (о(01•
2 /т 1 1 2 /т 1
Функция Гамильтона принимает следующий вид (несущественное постоянное слагаемое П0 опускается):
Н =Р0й52аы ^«)/ + О^р2й52¿т (К ()2•
2 Iт 1 3 Iт 2/ +1
Проведем перенормировку обобщенных координат Л1т = у[^а/т
/ -1
с помощью множителя =
Рой5
тогда
Н = 2 2 ( Л1тЛ1т + Ш 2Л1тЛ1т ),
2 т
2 О 4л 2 й5 / -1 2/ _ 4л 2/ ((-1)
Ш/ = О—р0й--5 = О—р0—^-
' 3 0 2/ +1 Р0й5 3 0 2/ +1
В результате получили спектр поверхностных волн с соответствующими частотами.
Применим рассмотренное решение к следующей задаче: моделируя Землю в виде шара несжимаемой жидкости плотностью Р0 и радиусом й = 6 400 км, приближенно вычислить периоды поверхностных волн. Для упрощения расчета введем ускорение свободного падения, причем, учитывая оценочный характер решения, примем, что оно равно реальному значению:
/
G-
4
тяЯ Ро
R2
G 4 g 2 g 2l (l -1)
-т = mg; G - лро = R; Ш2 =
Период основных (l = 2) колебаний
T = = - = 56оо с.
Ш-
g
Аналогично можно рассмотреть основную задачу о колебаниях в радиальном направлении объемно заряженного шара, так как рассмотренный метод решения применим и в этом случае. Однако задача усложняется следующим обстоятельством. Поскольку в предыдущей задаче силы гравитационного взаимодействия являются притягивающими, а в случае заряженного шара учет только сил электростатического взаимодействия, которые носят отталкивающий характер, согласно теореме Ирншоу, приводит к нестабильности системы. Поэтому необходимо учесть поверхностные силы, связанные с поверхностным натяжением.
Таким образом, рассматривается сферическая капля радиусом R слабовязкой несжимаемой жидкости, на поверхности которой существуют капиллярные волны малой амплитуды, возникающие вследствие теплового движения молекул. Жидкость считается диэлектриком, в = 1, и имеет однородное по объему распределение заряда плотностью р.
К линеаризованной системе уравнений электрогидродинамики добавим соответствующие граничные условия:
ро (I*+(*,у)'*)=^р+;
= о; т(п, V)* + п (т, V)* = о; -(р + Ре ) + 2лп (п, V)* + р& = о.
Здесь, как обычно, ро, у, у =--плотность, коэффициент поверх-
Р
ностного натяжения, динамическая и кинематическая вязкости, р, * - давление и скорость жидкости.
Граничные условия краевой задачи должны выполняться на свободной поверхности: г = Я + £ (^ « R). Давление Лапласа, связанное с искривлением поверхности, в рассматриваемом случае имеет сле-
й 2у 2у 2у 2у „ Д
дующии вид: рд =— =-=---2С • Давление электрического
й г Я + С Я Я2
поля на поверхности заряженной капли определяется выражением из работы [9] (знак минус связан с тем, что электростатическое давление действует изнутри):
4
^ ^ р —кЯ ф _ р =£о Е2 = ео Еф = 8о 6 ф= °Ф =н 3__ =Рф
2 2 Я 2 4к80Я2 Я 8кЯ3 8кЯ3 6 '
4 3
где ф - потенциал поля вблизи поверхности, О = р 3 кЯ _ заряд капли. Тогда можно записать
4 Я3
1 6 1 р 3кЯ
Ре =_ТР^^ = _ТР" 3
6 4к80Г 6 4к80 (Я + С) 188,
После преобразований, аналогичных преобразованиям в задаче о гравитационных колебаниях шара, приходим к дифференциальному уравнению, описывающему временную эволюцию амплитуды капиллярных колебаний капли:
^ + 2а ^ + ю 2С/ = о,
Л2 Ж
где а; - характеристика системы, отвечающая за затухание волн и пропорциональная вязкости. В маловязком приближении частоты примерно равны , для которых получаем следующее выражение:
=^31 ((_ 1)((+2)_^тг^Р Л
-2 - _Л
р0Я3 4 ' 21 +1 380
Р
Ро
Проанализируем полученное выражение. Первое слагаемое - классический результат Дж. Рэлея для частот собственных капиллярных колебаний сферической капли. Второе слагаемое структурно совпадает с результатом, полученным при решении вспомогательной задачи. Знак минус является существенным и, как отмечалось выше, связан с тем, что в предыдущей задаче гравитационные силы - силы притяжения, а для заряженной капли электрические силы - силы отталкивания.
Множитель — тоже физически объясним. В предыдущей задаче гра-Ро
витация, характеризуемая параметром р0, несет двойную функцию:
она связана с силовым фактором, а также отвечает за инерциальные свойства среды. В рассматриваемом же случае эти функции разнесены: за взаимодействие отвечает электростатика, характеризуемая электрической плотностью р, а за инерцию - по-прежнему Р0. Естественно, мы считаем, что силы электрического отталкивания намного больше сил гравитационного притяжения. Поскольку напряженность электрического поля вблизи поверхности играет роль аналога ускорения свободного падения, т. е. Ж = ° =±- р, находят объяснение
й 4лв0й3 3в0
и оставшиеся множители. Из выражения для частот выводим условие устойчивости: ш / > 0.
После несложных преобразований это условие примет вид Q <
<у(/+2)(2/+1)3л:2в0й3. Для основной моды (/ = 2) Q2 <1|"Л2в0й3у,
что отличается от результата Дж. Рэлея множителем (160/3 вместо 64). Это связано с тем, что в рассматриваемой модели в = 1, тогда как в классическом решении в ^ да .
Таким образом, при решении методом Гамильтона комплексной задачи о гравитационно-капиллярных колебаниях сильно заряженной сферической капли получен волновой спектр, учитывающий все приведенные факторы. Этот результат в предельных случаях переходит как в классический, рассмотренный Дж. Рэлеем без электрического поля, так и в результаты, полученные для заряженной капли.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Rayleigh J.W. On the Equilibrium of Liquid Conducting Masses Charged with Electricity. Phil. Mag., 1882, vol. 14, рр. 184-186.
[2] Tomita Y., Ishibashi Y. Fundamental Studies on an Electrostatic Ink Jet Printer. Bull.JSME, 1986, vol. 29, № 257, рр. 3737-3743.
[3] Габович М.Д., Хомич В.А. О некоторых механизмах испускания микрокапель поверхностью расплавленного металла. Письма в ЖТФ, 1987, т. 13, № 11, с. 673-677.
[4] Woosley J.P. Field Injection Electrostatic Spraying of Liquid Hydrogen. J.Appl.Phys, 1988, vol. 21, рр. 4278-4284.
[5] Ширяева С.О. Релаксационные и дисперсионные явления в капиллярных электростатических неустойчивостях и электродиспергирование жидкости. Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Ярославль, 1996, 341 с.
[6] Алиев И.Н., Алтунин В.А. Анализ исследований электрических полей в различных средах и условиях. Инженерно-физический журнал, 2012, т. 85, № 4, с. 881-896.
[7] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Москва, Наука, 1986, 736 с.
[8] Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996, 366 с.
[9] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Москва, Наука, 1992, 661 с.
Статья поступила в редакцию 05.06.2013
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:
Алиев И.Н. Спектр электрокапиллярных колебаний заряженной капли. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 8. URL: http:// engjournal.ru/catalog/fundamentals/physics/906.html
Алиев Измаил Новрузович родился в 1945 г. Д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, академик РАЕН, профессор Академии военных наук. Автор более 100 работ в различных областях физики. e-mail: alievprof@yandex.ru