О сходимости одного класса непараметрических оценок кривой регрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных.

Найденное новое поле скоростей имеет вид где

V, =|Çv1cos е-^ (v +v2 )ssin 0j cos е- sin 0=^^-, cos 0 = ^ , s = — p - kx -^ 1 - y2.

-( v1 + V2 )s cos 0-v2 sin sin 0,

V- = ( 2k ( Vi +V2 )scos 0-V2sin 0j cos 0- Высш. шк., 1969.

- cos 0--1 (v1 + v2 )s sin sin 0,

Библиографические ссылки

1. Соколовский В. В. Теория пластичности. М. :

2. Предельное состояние деформированных тел и горных пород / Д. Д. Ивлев [и др.]. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008.

O. V. Gomonova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Krasnoyarsk, Russia NEW VELOCITIES FIELD FOR PRANDTL SOLUTION

It is constructed a new velocities field for 2-dimensional ideal plasticity equations which can be used for a description of a thing layer material pressing between rough and rigid plates.

© roMOHOBa O. B., 2010

УДК 519.8

Я. И. Демченко

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

О СХОДИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОЦЕНОК КРИВОЙ РЕГРЕССИИ

Рассматривается задача идентификации многомерных статических процессов в условиях непараметрической неопределенности. Приводятся некоторые новые робастные непараметрические оценки кривой регрессии и краткая схема доказательства сходимости.

Задача идентификации дискретно-непрерывных процессов тесно связана с восстановлением функции регрессии по наблюдениям. Необходимость исследования новых непараметрических оценок кривой регрессии возникает в связи с тем, что на практике нужно работать с малым количеством наблюдений в выборке входных-выходных статистически независимых переменных процесса (хь у1), (х2, у2), ..., (х5, у5), где 5 - объем выборки, в которых присутствуют сгущения, выбросы и разреженности. В этом случае известные оценки регрессии [1] дают недостаточно хорошие результаты, и поэтому предлагается использовать новые непараметрические оценки кривой регрессии [2]:

Уs (x) =

Е-№( ^- ) + ®2( ^ ))

i=1 С С,

Е(ф1(

Х + Ф2(^-%

(1)

С

С

фs (x); интегрируемые с квадратом ограниченные четные дельтообразные функции Ф1(Сл-1(х - xt)), Ф2(С;'(х-Xj)) и параметр Cs (коэффициент размытости) удовлетворяют условиям сходимости [1] и:

lim C;1Fi(C;1( X - X,.)) = S( X - X,.),

s

lim С;'ф 2 (С- (X - X,.)) = 5 (x - Xl).

(2)

где знаменатель - оценка плотности распределения вероятностир(х) > 0 - р5(х) с точностью до ¿■"'С-1; числитель с точностью до 5_1СГ1 обозначим оценкой

Для непараметрической оценки кривой регрессии по наблюдениям ул. (х) (1) имеет место следующая теорема. Пусть у(х) дважды дифференцируема и с вероятностью единица р(х) > 0 "х х), а функции Ф1(С5-1(х-х1)), Ф2(С-'(х-х1)) и параметр С5 удовлетворяют условиям сходимости (2) и свойству

С-1 I ]+Ф2 [^])^х = 1, тогда:

°<Х> I Ч J I Ч 0

ИшМ{(у(х) -у1 (Х))2} = 0 , "Х £Й(Х) .

Доказательству теоремы предпошлем лемму.

Решетневские чтения

Оценка у, (x) в условиях теоремы является асимптотически несмещенной.

Для доказательств воспользуемся тождеством, предложенным в [1].

Произведя простые преобразования, можно показать, что:

M{j (x)}

M{y,(x)} = гтл '' + o(x, C,). (3) M { ps ( x)}

Используя схему доказательства, изложенную в [1], нетрудно показать, что:

limM{p,(x)} = p(x), limM{j,(x)} = j(x), (4) а также:

limM{p,2(x)} = p2(x), limM{ j?(x)} = j2(x), (5)

где p(x) - плотность распределения; j(x) = p(x)у(x); у(x) - значения выходной переменной процесса.

Воспользовавшись выражениями (3) и (4), получим limM{у, (x)} = у(x). Таким образом, лемма доказана.

С учетом леммы и выражения (5), имеем следующее: limM{у,2(x)} = у2(x). Таким образом, теорема

доказана.

Аналогично выглядит доказательство теоремы для оценки кривой регрессии типа оценки у, (x) (1), когда

вместо суммы двух функций Ф1

œ х-х, ^

V с, ,

+ф.

œ х-х ^ V с, /

имеем сумму n функций

Ф1

œ х^ ^

V с- /

+ф.

œ х^ ^

V с- /

+...+ф.

œ х^ ^

V с- /

где n > 2 и все n функций удовлетворяют условиям

сходимости (2) и свойству C-1 j Е Ф,

W(x) j=1

œ х^ ^

V с- у

dx = 1.

Теорема приведена для оценки кривой регрессии ул. (х) (1), когда х - скалярная величина. В случае, когда х - вектор размерности к, оценка кривой регрессии выглядит как

Е и П (Fi(

x • x ■ x • x • j j )+Ф2 ( ^ ))

и-( x ) =

,=1 j=1

с

с

ЕП (Ф1(

x • x ■ x • x • j j )+Ф2 ( ^ ))

-. (6)

,=1 j=1

с

с

Доказательства для ys (x) (6) имеют такую же схему, что и для оценки ys (x) (1).

При исследовании методом статистического моделирования были получены результаты работы известной оценки кривой регрессии [1] и оценки ys (x) (1) в условиях малого объема выборки и наличия в ней сгущений, выбросов и разреженностей. Ошибка аппроксимации оценивалась с помощью квадратичного критерия. Оценка ys (x) (1) дает лучшие результаты.

Библиографические ссылки

1. Надарая Э. А. Непараметрические оценки кривой регрессии // Некоторые вопросы теории вероятностных процессов / АН Груз. ССР 1965. Вып. 5. С. 56-68.

2. Demchenko Ya. I., Medvedev A. V. Some non-parametric estimation in identification problems for stochastic systems // Probability Theory, Mathematical Statistics And Their Applications, science articles collection. Vol 3. Minsk : RIVSh, 2010. Р. 86-91.

Ya. I. Demchenko

Siberian state aerospace university named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

TO CONVERGENCE OF ONE CLASS OF NON-PARAMETRIC ESTIMATIONS OF REGRESSION CURVE

An issue of multidimensional static identification processes in non-parametric uncertainty conditions is viewed. Some new robust non-parametric estimations of regression curve and a short scheme of convergence proof are presented.

© Демченко Я. И., 2010