О некоторых непараметрических оценках кривой регрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

тение отдается альтернативным и нетрадиционным способам получения энергии (например, энергия ветра). Однако особенности российского климата останавливают широкое применение таких энергетических установок. Для обеспечения постоянства работы ветроэнергетических установок необходимо обеспечение постоянного потока воздуха (сжатого газа). Источниками сжатого рабочего тела обычно являются компрессоры, вентиляторы и другие нагнетательные устройства, которые для своей работы требуют затрат электроэнергии. Однако проблему обеспечения сжатым рабочим телом можно решить за счет использования струи выхлопных газов газотурбинной установки, работающей для перекачки газа. Таким образом, существует возможность создать энергосберегающую технологию использования тепловой энергии выхлопных газов ГПА.

Применение данной технологии повысит общий КПД установки за счет попутной регенера-

ции тепла выходящих газов. По сравнению с другими способами получения энергии альтернативными методами за счет возобновляемых источников энергии, данная технология отличается простотой конструкции и ее сравнительно невысокой стоимостью.

В настоящее время проводится математическое моделирование процессов протекающих в ветроэнергетических установках с помощью программного комплекса АКБУБ [1], что позволит сократить время, затрачиваемое на доводочные работы, и тем самым ускорить выпуск готовой продукции и снизить ее стоимость.

Библиографический список

1. Батурин, О. В. Расчетное определение характеристик элементарных лопаточных венцов турбины / О. В. Батурин, В. Н. Матвеев. Самара : Самар. гос. аэрокосмич. ун-т, 2007.

A. A. Gorshkalev, S. A. Zhuravlev, A. V. Krivtsov, E. A. Sajgakov Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov, Russia, Samara

GAS VORTICAL WIND-DRIVEN POWER SAVING PLANT FOR THE ELECTRICAL SUPPLY OF DRIVE GAS BLOWER

Nowadays gas-turbine installations are widely used to transfer gas on highways. But for maintenance of their work the electric power is required. A task to create a power saving technology for maintenance an electric drive of a gas blower with the electric power was set. For maintenance of a constancy of work wind-energetic installations the presence of a constant stream of air is necessary. There is a possibility to create a power saving up technology of usage of thermal energy of exhaust gases gas blower.

© Горшкалев А. А., Журавлев С. А., Кривцов А. В., Сайгаков Е. А., 2009

УДК 519.8

Я. И. Демченко

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

О НЕКОТОРЫХ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОЦЕНКАХ КРИВОЙ РЕГРЕССИИ

Рассматривается задача идентификации многомерных статических процессов в условиях непараметрической неопределенности. Приводятся некоторые новые робастные непараметрические оценки кривой регрессии и результаты численного моделирования.

Во многих прикладных исследованиях свойств и характеристик реальных процессов важным является восстановление соответствующих стохастических зависимостей по результатам наблюдений входных-выходных переменных объекта. На практике чаще всего используется предварительная параметризация (выбор модели с точностью до параметров) с последующим его оцениванием.

В условиях непараметрической неопределенности в качестве априорной информации принимаются качественные свойства исследуемого процесса, в частности однозначность истинных характеристик последнего, т. е. у(?) = F(x(t), X ()).

Пусть у) - случайная величина со значениями в пространстве Ос Rn+1, а p(x, у) - плотность распределения двумерной случайной величины

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

(х, у) неизвестна. Пусть (хь уО, (ху), • ••, (х*, у*) -выборка из 5 статически независимых наблюдений двумерной случайной величины (х, у). При аппроксимации неизвестной функции по наблюдениям часто используют регрессию, непараметрическая оценка которой имеет вид [1]

Ту,Пф(сЛхк -хК))

у* (*,..., хп) = -, (1)

ЕПф(с"(Хк - х))

,=1 к=1

где Ф(-) - интегрируемая с квадратом функция, которая удовлетворяет условиям [2]; с* - коэффициент размытости, параметр, который удовлетворяет условиям [2].

Оптимизация по с* проводится путем минимизации критерия:

1 *

с*) = - Т(Уj- у*( х. ,с))2 ® т1п'

где , ф j. (2)

В случае малого объема выборки и разреженности контролируемых точек в пространстве входных-выходных переменных предлагается использовать непараметрическую робастную оценку кривой регрессии по следующим наблюдениям:

у*(х1,..., хп) =

Ту ПФ^ - х)) +Ф2(с-1(ху - х>))) +Фз(С-1(ху - х>)))) = ,=1 )=1_

ТПф^х - х))+ф!(с;1(х). - х))+Фз(С-1(х;. - х)))

,=1 )=1

(3)

где колоколообразные функции имеют следующий вид [3]:

Ф1 =

|1; если |х - х,| < С, I 0; если |х - х.\ > С,

Ф 2 =

С,

1; если — < х - х < С,

2 и»

1 I I < с, —; если х - х < —

2 1 4 2

0; если |х - х^ > С,

(4)

Фз =

С,

1; если — < х - х < С, 2 \ И »

. (5)

0; если |х - х^ > С, и если |х - х^ > С,

Для оценки (3) получены следующие результаты моделирования (см. рисунок).

На рисунке представлены графики сравнения оценок кривой регрессии, где * = 30, У (х,., С*1, С*2, С*3) - оценка кривой регрессии (3) с использованием колоколообразных функций Ф1, Ф2, Ф3; у - выборка; /(х1) - истинная зависимость; У1( х1, С*1) - оценка кривой регрессии (1) с использованием колокообразной функции Ф1; У2(х,, С*2) - оценка кривой регрессии (1) с использованием колокообразной функции Ф2 . Как видно, оценка кривой регрессии (3) дает лучшие результаты.

Библиографический список

1. Надарая, Э. А. Замечания о непараметрических оценках плотности вероятности и кривой регрессии / Э. А. Надарая // Теория вероятности и ее применение. 1970. Т. 15, вып. 1. С. 139-142.

2. Медведев, А. В. Адаптация в условиях непараметрической неопределенности / А. В. Медведев // Адаптивные системы и их приложение. Новосибирск : Наука, 1978.

3. Гутшмидт, В. А. О непараметрическом моделировании динамических систем в условиях непараметрической неопределенности / В. А. Гут-шмидт, Я. И. Демченко, А. В. Медведев // Компьютерное моделирование 2008. : тр. Междунар. науч.-техн. конф. СПб., 2008. С. 184-189.

О 0.5 1 15 2 к,

Ошибка: 0,12

Ошибка: 0,14

Графики сравнения оценок кривой регрессии

Ya. I. Demchenco

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

ABOUT SOME NONPARAMETRIC ESTIMATIONS OF CURVE REGRESS

The identification problem of multidimensional static processes in the conditions of nonparametric uncertainty is considered. Some new nonparametric estimations of curve regress results of numerical modeling are resulted.

© Демченко Я. И., 2009

УДК 519.8

Я. И. Демченко, А. В. Медведев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОЦЕНОК ПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТИ И КРИВОЙ РЕГРЕССИИ

Рассматриваются новые непараметрические оценки функции кривой регрессии в условиях неопределенности. Приводятся некоторые формулировки соответствующих теорем сходимости.

Пусть О - пространство элементарных исходов - совокупность всех возможных исходов (х) некоторого случайного явления х, а А - алгебра событий (суть подмножеств А в пространстве О). На измеримом пространстве (О, А) определим неотрицательную меру Р(йХ). Нормированную условием Р(Ох) = 1. Триада (О, А, Р(<4)) образует признаковое пространство.

Пусть £ - случайная величина со значениями в пространстве О, £, — независимые наблюдения случайной величины х, р^(х) - плотность вероятности величины £ в точках О(х).

Непараметрическая оценка р£(х) по наблюдениям £■ имеет вид [1; 2]

А (х) = ^ ¿сХс-Чх-X,)), (1)

'=1

где интегрируемая с квадратом функция Ф(») и параметр с. (коэффициент размытости) удовлетворяет условиям сходимости [3], которые имеют место при формулировке нижеприведенных теорем.

Пусть (х, у) - случайная величина со значениями в пространстве О с Яп+1, а р(х, у) - плотность распределения двумерной случайной величины (х, у) - неизвестна. Пусть (хь У1), (х2у2), ..., (х5, ух) - выборка из 5 статически независимых наблюдений двумерной случайной величины (х, у). При аппроксимации неизвестной функции по наблюдениям часто используют регрессию, непараметрическая оценка которой имеет вид [1]

5 п

Iу,ПФс-'(хк -х[))

у.(*,..., хп) = ^г^-. (2)

1ПФ(с-1(хк - хк))

'=1 к=1

Пусть (х, у) - случайная величина со значениями в пространстве Ос Яп+1, х ёП( х) с Я", а р(х, у) - плотность распределения (п + 1)-мерной случайной величины (х, у) неизвестна. Пусть (хь у1), (х2у2), ..., (х5, у.) - выборка из 5 статически независимых наблюдений (п + 1)-мерной случайной величины (х, у).

В случае малого объема выборки и разреженности контролируемых точек в пространстве входных-выходных переменных предлагается использовать непараметрические робастные оценки кривой регрессии по следующим наблюдениям:

5 п N

_ I у п П Фк ((с;1( х - х))

у.(Х^..^ х") = '=', "='N='-, (1)

1ППФ ((с-1( Хj - х))

■=1 j=1 к=1

. п Т

I у,' П1Ф (Сх - х))

Л (х1.....хп) = -, (2)

1П1Ф (О; - 4))

'=1 ;=1 к=1

где N и Т - заданы.

Аналогичный прием используется и для построения оценок плотности вероятности.