Об одном классе непараметрических оценок плотностей вероятности и кривой регрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения

Ya. I. Demchenco

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

ABOUT SOME NONPARAMETRIC ESTIMATIONS OF CURVE REGRESS

The identification problem of multidimensional static processes in the conditions of nonparametric uncertainty is considered. Some new nonparametric estimations of curve regress results of numerical modeling are resulted.

© Демченко Я. И., 2009

УДК 519.8

Я. И. Демченко, А. В. Медведев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОЦЕНОК ПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТИ И КРИВОЙ РЕГРЕССИИ

Рассматриваются новые непараметрические оценки функции кривой регрессии в условиях неопределенности. Приводятся некоторые формулировки соответствующих теорем сходимости.

Пусть О - пространство элементарных исходов - совокупность всех возможных исходов (х) некоторого случайного явления х, а А - алгебра событий (суть подмножеств А в пространстве О). На измеримом пространстве (О, А) определим неотрицательную меру Р(йХ). Нормированную условием Р(Ох) = 1. Триада (О, А, Р(<4)) образует признаковое пространство.

Пусть £ - случайная величина со значениями в пространстве О, £, — независимые наблюдения случайной величины х, р^(х) - плотность вероятности величины £ в точках О(х).

Непараметрическая оценка р£(х) по наблюдениям £■ имеет вид [1; 2]

А (х) = ^ ¿сХс-Чх-X,)), (1)

'=1

где интегрируемая с квадратом функция Ф(») и параметр с. (коэффициент размытости) удовлетворяет условиям сходимости [3], которые имеют место при формулировке нижеприведенных теорем.

Пусть (х, у) - случайная величина со значениями в пространстве О с Яп+1, а р(х, у) - плотность распределения двумерной случайной величины (х, у) - неизвестна. Пусть (хь У1), (х2у2), ..., (х5, у.) - выборка из 5 статически независимых наблюдений двумерной случайной величины (х, у). При аппроксимации неизвестной функции по наблюдениям часто используют регрессию, непараметрическая оценка которой имеет вид [1]

5 п

Iу,ПФс-'(хк -х[))

У.(*,..., хп) = ^г^-. (2)

1ПФ(с-1(хк - хк))

'=1 к=1

Пусть (х, у) - случайная величина со значениями в пространстве Ос Яп+1, х ёП( х) с Я", а р(х, у) - плотность распределения (п + 1)-мерной случайной величины (х, у) неизвестна. Пусть (хь у1), (х2у2), ..., (х5, у.) - выборка из 5 статически независимых наблюдений (п + 1)-мерной случайной величины (х, у).

В случае малого объема выборки и разреженности контролируемых точек в пространстве входных-выходных переменных предлагается использовать непараметрические робастные оценки кривой регрессии по следующим наблюдениям:

5 п N

_ I у п П Фк ((с;1( х - х))

у.(Х^..^ х") = '=', "='N='-, (1)

1ППФ ((с-1( Хj - х))

■=1 j=1 к=1

. п Т

I у,' П1Ф (Сх - х))

Л (х1.....хп) = -, (2)

1П1Ф (О; - 4))

'=1 ;=1 к=1

где N и Т - заданы.

Аналогичный прием используется и для построения оценок плотности вероятности.

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Для приведенных непараметрических оценок плотности вероятности и кривой регрессии по наблюдениям имеют место теоремы сходимости [3]: Теорема 1. Пусть р(х) е L2 липшицируема с

константой а. Тогда

lim„M{||p(х) - ps(х)|| } = 0(*-1,(„с„),c„2).

Теорема 2. Пусть р(х) G L2 липшицируема с константой а. Тогда

lim „

,M{||p(х) - ps(х)|| } = 0(„"1,(„с„)-1,с„2).

Теорема 3. Пусть у(х) G L2 липшицируема и с вероятностью единица: р(х) р 0 "х g W(х). Тогда

lim

М{ у„ (х) - у(х)||l } = 0((„с„)-1, с„2, „-1).

Теорема 4. Пусть у(х) G L2 липшицируема и с вероятностью единица: р(х) р 0 "х g W(х). Тогда

lim„M{||у„ (х) - у(х)||^ } = 0((„с„)-1, с„2, „-1)

Для доказательства теорем сходимости непараметрической оценки плотности распределения используется методика, изложенная в работе [2], а при исследовании сходимости непараметрических оценок кривой регрессии (1) и (2) применены результаты [3; 4].

Библиографический список

1. Parzen, E. On estimation of a probability density / E. Parzen // Ann. Maht. Statistic. 1969. № 3. Р. 854-864.

2. Епанечников, В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности /

B. А. Епанечников // Теория вероятностей и ее применение. 1969. Т. 14, вып. 1. С. 156-162.

3. Медведев, А. В. Свойства непараметрических оценок плотности вероятности / А. В. Медведев // Непараметрические системы адаптации. Новосибирск : Наука, 1983.

4. Надарая, Э. А. Замечания о непараметрических оценках плотности вероятности и кривой регрессии / Э. А. Надарая // Теория вероятности и ее применение. Тбилиси, 1970. Т. 15, вып. 1.

C.139-142.

Ya. I. Demchenco, A. V. Medvedev Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

ABOUT ONE CLASS OF NONPARAMETRIC ESTIMATION OF PROBABILITY DENSITY AND CURVE REGRESS

The article concerned with new nonparametric estimations of regression curve function under uncertainty. There are some enunciations of appropriate convergence theorems.

© Демченко Я. И., Медведев А. В., 2009

УДК 519.68

Н. А. Дунаева

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ТРУБЧАТЫХ СТРУКТУР

Рассматривается методика моделирования многомерных статических объектов трубчатых структур. Предложен метод определения структуры исследуемой области, основанный на методе Монте-Карло.

Одной из важнейших проблем, возникающих при исследовании различных объектов, процессов и систем, является построение моделей этих процессов и систем. Очевидно, что различных объектов, с которыми приходится сталкиваться - бесчисленное множество, и одного универсального

правила для построения моделей не существует. Существуют лишь некоторые обобщения и рекомендации по построению моделей, выделены различные способы построения моделей того или иного типа объектов. Один из способов построения моделей основан на применении непарамет-