О сферическом отображении поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.731, 514.752

О СФЕРИЧЕСКОМ ОТОБРАЖЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ Vp Ер+2

В.А.ЕСИН

Белгородский государственный университет e-mail: [email protected]

В работе рассматривается сферическое отображение поверхности V ^ E +2 с помощью орта данной нормали и распределение, инвариантно связанное с таким отображением.

Ключевые слова: сферическое отображние, аффинная связность.

Присоединим к поверхности V е Ер+2 подвижной репер

к = (Xег>еЛ (Л= 1,-,р;а, Р,Г = Р + 1,Р + 2)

где орты еі принадлежат касательному пространству Тх (V р ) в точке х є V р, а векторы еа образуют ортонормированный базис нормальной плоскости Ы2 (х). Инфини-тезимальные перемещения такого репера определяются уравнениями

йх = аге, йег =ф^е] +<е„, йеа=югаег +оваев (1.1)

Продолжая систему аа = 0 дифференциальных уравнений поверхности, получим

а =щ ^ фц=ьа) (1.2)

где Щ - второй основной тензор поверхности. Функции /у = ее і - компоненты метрического тензора, у'г - контравариантные компоненты этого тензора. При этом

йУг3 = Угк®) + У , йУ" = -У & а І - У (1.3)

Дифференцирование тождеств егеа = 0 и еаер = 5ар приводит к соотношениям

< +ГЬ<= 0, ав+®;= 0 (1.4)

Пусть на Vp е Ер+2 задано поле нормальных векторов п . Орт ер+2 репера направим по п ,тогда форма а р+2 будет главной [1]:

<12 = с га а (1.5)

а величины Ьгр+, Ь^2 будут координатами двухвалентных тензоров.

56 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ^ № 13 (53) 2008

Ковектор о, задает распределение, которое обозначим А р-1

Рассмотрим гиперсферическое изображение Ур поверхности Ур с Ер+2 с помощью орта вр+2 данной нормали. Имеем

^р+2 = Фр+2 е, +<++2 ер+1 = (.-Г'1ЪТ е, + 0кер+1)фк = Ъкфк

где Ък - векторы, касательные к линиям фк гиперсферического изображения У р. Векторы Ър+2 = ер+2, Ьр+1 = о,Ъ'р>+2е, + ер+1 образуют ортогональный базис нормальной плоскости гиперсферического изображения Ур (здесь Ьр+2Ь;р+2 = 5'к). Таким образом, на поверхности возникает векторное поле %р+2 = о,Ър+2ек. Аналогично можно рассмотреть векторное поле <^р+1 = о,Ър+1ек .

Пусть а а = еа +£а . Плоскость, натянутую на векторы аа, обозначим N 2 (х) (оснащение N 2( х)).

Отнесем поверхность У р с Ер+2 к реперу Я = (х, е,, аа ). В этом репере

йе, =6^, +в’аа = (в! +ва-ОкЬ%)е1 +ва-еа (1.6)

С другой стороны в репере Я

йе, = ф!е, +^еа (17)

Из (1.6) и (1.7) в частности следует, что

в!=Ф>-^аокЪк=ш! - ъ^ф'. (1.8)

Связность на Ур, индуцируемая оснащением N2 (х) будет эквиаффинной тогда и только тогда, когда Dв1i = 0 [з]. С учетом (1.8) это приводит к равенству

D(ЪftЪk:оkФt) = D(2оtФt) = 0 (1.9)

Но (1.9) означает интегрируемость распределения А р-1. Таким образом справедлива

Теорема. Аффинная связность на Ур с Ер+2, индуцируемая оснащением

N 2 (х), будет эквиаффинной тогда и только тогда, когда распределение А р-1 вполне интегрируемо.

Для поверхности У2 с Е4, отнесенной к сопряженной сети ( Ъ132 = Ъ142 = 0)

имеем

Е = c b11 e + c b22 e = —— e +—— e E = c b11 e + c b22 e = —— e +—— e

^3 cib3 ei + c2b3 2 ,3 e1 + , 3 e2, E4 c1b4 e1 + c2b4 e2 , 4 e1 + 4 e2

b11 b22 b11 b22

Векторные поля %3 и %4 задают на У2 сеть (%3,%4). Тогда сложное отношение

Ъ3 Ъ 4

Ж = (£,£, е,, е2) = Ъ^

b^l

Ясно, что W=-1 тогда и только тогда, когда

ЪХ + ЪХ = 0 (1.10)

Но (1.10) означает, что е3 и е4 являются главными направлениями присоединенной кривой [4] поверхности У2 с Е4. Таким образом, справедлива

Теорема. Сеть (%3, %4) будет гармонической для сопряженной сети поверхности У2 с Е4 тогда и только тогда, когда векторы е3, е4 имеют главные направления относительно присоединенной кривой.

Список литературы

1. Базылев В.Т. Геометрия дифференцируемых многообразий.- М., Высшая школа, 1989, 222с.

2. Есин В.А. К геометрии распределений на УР ^ Е р+2 . Тезисы сообщений 9 всесоюзной геометрической конференции. Кишинев, 1988, с.112-113.

3. Норден А.П. Пространства аффинной связности.- М., Наука, 1976, 432с.

4. Фаликова И.Д. О некоторых сетях на поверхности V в Е4 . Ученые записки МГПИ, Москва, 1977, с197-211.

ABOUT SPHERICAL MAPPING OF THE Vp ¿ . SURFACE

V.A.ESIN

Belgorod State University e-mail: [email protected]

In this work a spherical mapping of the V ^ E + 2 surface is considered by mean its unit normal vector and distribution invariantly related with this mapping.

Key words: spherical mapping, affine connectivity.