Об одном классе гиперраспределений Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 181

MSC 58C35

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЙ

В.А. Есин

Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, г.Белгород, 308007, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Найдены критерии интегрируемости специального гиперраспределения Др-1 на подмногообразии Vp евклидова пространства Ep+2.

Ключевые слова: подмногообразие, внешнее дифференцирование, гиперраспределение, аффинная связность.

К подмногообразию Vp С ЕР+2 присоединим подвижной репер

Я = (х,вк,ва), (г,3,к = 1,... ,р; а, в, 7 = Р + 1,Р + 2) ,

где орты вк принадлежат касательному пространству ТХ(УР) в точке х Є Vp, а векторы еа образуют ортонормированный базис нормальной плоскости Ж2(х). Инфинитезимальные перемещения такого репера определяются уравнениями

ііх = шквг, йвг = ш, в, + шава, йва = ша вг + в@.

Дифференцируя систему ша = 0 уравнений подмногообразия внешним образом и применяя лемму Картана, получим

ш? = ъаз ш Щ = 60:).

Здесь 6а,- — второй основной тензор подмногообразия, т, = вквj — компоненты метрического тензора, 7і7 — контравариантные компоненты этого тензора. При этом

= Тікш° + Т7кшк , = — 1%кшк — 1^кш%к ■

Дифференцирование тождеств вква = 0 и вавв = $ав приводит к соотношениям

/ .к і *,кі, ,а п , ,в і , ,а п

ша + 1 шк = 0 ша + шв = 0.

Рассмотрим на Vp С ЕР+2 гиперраспределение ДР-1. В дальнейшем подвижной репер Я = (х,вк,ва) выбираем таким образом, чтобы ва Є ДР-1(х), а вР ортогонально Др-1(х) а,Ъ = 1,...,р — 1). В этом случае условием интегрируемости распределения ДР-1 является интегрируемость уравнения шР = 0.

Поскольку

БшР = шаЛша = шаЛ7>Ь = іОьшаЛшь,

(здесь тОь — коэффициенты аффинной связности) то это условие равносильно симмет-

Р

ричности тензора УаЬ-

182 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30

Определим на Vp С Ep+2 поле линейного оператора F (fj), полагая

Ft = Vt6p = VtJa б p = ti Vei 6p = tiYjek = fik ti 6k.

Рассмотрим ограничение этого оператора на Ap-1, то есть оператор

f(fa), (fa = Ypab).

Дифференцируя тождества eaep = 0, получаем

Ypc + YpcYab = 0,

то есть

Yac = fс Yab.

Из последних равенств заключаем, что справедлива следуюшая теорема.

Теорема 1. Гиперраспределение Ap-1 вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда оператор f (fa) симметричен.

В работе [3] показано, что гиперраспределение Ap-1 инвариантно связано со сферическим изображением Vp нашего подмногообразия. Поле двумерных нормалей к Vp индуцирует на Vp аффинную связность V. Там же показано, что эта связность V будет эквиаффинной тогда и только тогда, когда гиперраспределение Ap-1 будет вполне интегрируемым. Таким образом, справедлива следуюшая теорема.

Теорема 2. Для подмногообразия Vp С Ep+2 следующие утверждения равносильны:

1. Гиперраспределение Ap-1 вполне интегрируемо.

2. Связность V эквиаффинна.

3. Оператор f (fa) симметричен.

Литература

1. Базылев В.Т Геометрия дифференцируемых многообразий j М.: Высшая школа, 1989. -222 с.

2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, Т.1 j М.: Наука, 1981. -344 с.

3. Есин В.А. К геометрии распределений на Vp С Ep+2 j j Кишинев: Тезисы 9 Всесоюзной геометрической конференции, 1988. - C.112-113.

ON THE CLASS OF HYPERDISTRIBUTIONS

V.A. Esin

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. It is found the integrability criterium of the special hyperdistribution Ap-1 on the submanifold Vp in euclidian space Ep+2.

Key words: submanifold, exterior differentiation, hyperdistribution, affine connection.