CC BY
30
УДК 519.632.4
А. Н. ХОМЧЕНКО
Чорноморський нащональний ушверситет iMeHi Петра Могили
О.1 ЛИТВИНЕНКО
Херсонський нацюнальний техшчний унiверситет
ПРО СЕРЕНДИПОВ1 ПОВЕРХН1, ЯК1 УТВОРЮЮТЬ С1МПСОНОВ1 Т1ЛА
У po6omi вперше cependmoei полтоми, eidoMi з методу сктченних елементiв, розглядаються як noeepxHi, з яких можливо утворювати клинoпoдi6нi сiмпсoнoвi тша. 1снуе 6езлiч таких серендипових поверхонь, а це означае, що в задачах повузлово'1 локалнацп навантаження eid одинично'1 масово'1 сили заметь формули Ньютона-Котеса можна використовувати наближену формулу Омпсона. Отриманi результати суттево поповнюють модельний ряд dмпсонових тл
Ключoвi слова: сiмпсoнoвi тта, серендипoвi поверхт, серендипoвi елементи, формула Ньютона-Котеса, правило ампсона.
А. Н. ХОМЧЕНКО
Черноморский национальный университет имени Петра Могилы
Е.И. ЛИТВИНЕНКО
Херсонский национальный технический университет
О СЕРЕНДИПОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ, КОТОРЫЕ СОЗДАЮТ СИМПСОНОВЫ ТЕЛА
В работе впервые серендиповы полиномы, известные из метода конечных элементов, рассматриваются как поверхности, из которых можно моделировать клиноподобные симпсоновы тела. Существует бесконечное множество таких серендипових поверхностей, а это означает, что в задачах поузлового распределения единичной массовой силы вместо формулы Ньютона-Котеса можно использовать приближенную формулу Симпсона. Полученные результаты существенно пополняют модельный ряд симпсоновых тел.
Ключевые слова: симпсоновы тела, серендиповы поверхности, серендиповы элементы, формула Ньютона-Котеса, правило Симпсона.
А. N. KHOMCHENKO
Petro Mohyla Black Sea National University
О.1. LITVINENKO
Kherson National Technical University
ON SERENDIPITY SURFACES WHICH CREATE SIMPSON BODIES
For the first time the serendipity polynomials known from finite elements method are considered in the work as surfaces from which one can model sphenoidal simpson bodies. There are plenty of such serendipity surfaces and this means that in the problems of per-node distribution of unit mass force instead of Newton -Cotes formula it is possible to use proximate Simpson formula. The received results essentially replenish model range of simpson bodies.
Key words: simpson bodies, serendipity surfaces, serendipity elements, Newton -Cotes formula, Simpson
rule.
Вступ
Серендипов1 поверхш - це фшггш полшом1альш функци двох аргуменпв. Кожна функщя Nj (x, y) асоцшеться з розрахунковим вузлом «i» на границ сшнченного елемента-нос1я. У класичнш задач1 ввдновлення функци f (x, y) за вщомими вузловими аплшатами fi функци Ni (x, y) називають базисными (функщями впливу), а в метод1 сшнченних елеменпв (МСЕ) - це функци форми. Задача локал1заци у вузлах навантаження на сшнченний елемент (СЕ) ввд одинично! масово! сили передбачае обчислення об'ему тша, що мютиться м1ж серендиповою поверхнею i площиною нос1я. Об'ем зазвичай обчислюють подвшним штегруванням Ni (x, y). Ми спробували обчислювати об'ем наближено за правилом Омпсона i виявили, що в багатьох випадках можна отримати точне значення. Так1 тiла називають ампсоновими.
Аналiз попередшх публжацш, мета роботи
Формулу параболiчних трапецш з 1743 р. називають формулою Омпсона, хоча рашше вона була отримана Кавал'eрi (1639 р.) i Грегорi (1668 р.) Автори статтi [1] наводять сучасне формулювання i доведения теореми Омпсона, а також дають означення сiмпсонова тiла. Неважко переконатися, що до перелiку сiмпсонових тiл належать призма, трашда, зрiзана пiрамiда, цил1ндр, конус, зрiзаний конус, куля та кульовий сегмент. У роботi [1] доведено, що призматоид також е сiмпсоновим тiлом. А це, в свою чергу, означае, що до ампсонових тiл належать клиноподiбнi тша, що обмеженi площинами. З ще! точки зору цiкаво протестувати клиноподiбнi тiла, що обмеженi поверхнями, особливо поверхнями вищих порядкiв.
Мета дослщження
Мета роботи - довести, що сiмпсоновi тiла можна конструювати iз серендипових поверхонь. Здаеться, що з цього боку серендиповi полiноми ще не розглядалися. В роботi розглядаються СЕ вiд першого до п'ятого порядку включно. Зауважимо, що на вщмшу вiд прихильник1в матричного аналiзу, ми побудували базис (i не один) елемента п'ятого порядку без використання внутршшх вузлiв. На елемент четвертого порядку це було зроблено рашше [2-3]. Треба тдкреслити, що тестування правилом Сiмпсона витримують як стандартш серендиповi поверхнi [4-6], так i альтернативнi [7].
Основна частина
Нагадаемо, як виглядае правило Омпсона на iнтервалi [а,Ь]:
j f (x) d
x = ■
b - a
(f (c) + 4 f (c) + f (b)), де c =1 (b + a).
(1)
Якщо /(х) = ^(х) - площа поперечного перерiзу тiла, що метиться м1ж опорними площинами х = а та х = Ь , то за формулою (1) обчислюють об'ем тша.
Шдкреслимо, що полшоми не вище третього порядку - це той клас функцiй /(х), для якого формула (1) е квадратурою з нульовим залишком.
На рис. 1 зображеш серендиповi елементи, що розглядаються в робоп.
7
4 10 9 3
11
12
СЕ першого порядку (Linear element)
11
16
10
15
13
СЕ четвертого порядку (Quartic element)
СЕ другого порядку (Quadratic element)
СЕ третього порядку (Cubic element)
8 14
4
11 19 20ф 12
1
10 18
17
9
3
8 16 15
5 13 14 6
СЕ п'ятого порядку (Quintic element)
Рис. 1. Серендипов1 сюнчент елементи
6
4
3
4
3
8
8
6
7
1
2
5
6
1
2
4
3
7
2
1
2
5
6
Подготовлений читач зверне увагу на вщсутшсть внутршшх вузлiв на СЕ Риайс i Quintic. Вважаеться, що без внутршшх вузлiв неможливо побудувати базис на елементах четвертого i п'ятого порядков. Це негативний наслвдок метода обернено! матрицi, який багато роив пануе в МСЕ. Але, якщо скористатися будь-яким нематричним методом, можна обмежитись тiльки граничними вузлами. Саме так ми сконструювали базисш функци (серендиповi поверхнi) СЕ четвертого i п'ятого порядков. Базиснi функци, незалежно вiд порядку СЕ, повиннi задовольняти наступним умовам штерполяцшно! гшотези:
яАхк,ук)=['г=*: Мн1(х,у)=1, (2)
[0, / Ф к, {=1
де i - номер функци, к - номер вузла, М - ильисть вузтв СЕ. Порядок СЕ на одиницю менший илькосп вузлiв на сторонi квадрата (рис. 1).
Щоб скористатися формулою Сшпсона, важливо правильно обрати паралельнi опорш площини. Виявляеться, що для тш, утворених серендиповими поверхнями, кращий вибiр х = ±1 або у = ±1. Це суттево спрощуе обчислення, особливо на СЕ вищих порядив. На цих елементах виникае необхвдшсть розв'язувати задачу на найменше та найбшьше значення функци N\ (х,у), щоб визначити опорш площини г = а i 7 = Ь. При цьому область в «середньому» перерезi г = с може мати складну конфiгурацiю в залежносп вiд рельефу поверхнi. У вах випадках ми користуемося опорними площинами у = ±1, а на СЕ вищих порядив не розглядаемо «кутовЬ> поверхнi N1 (х, у), I = 1,2,3,4, щоб не порушувати умови теореми Омпсона.
Порiвняння результапв подвiйного iнтегрування N1 (х,у) та наближено! оцiнки iнтеграла за Омпсоном почнемо з елементiв 1-го порядку. Тут лише «кутова» поверхня i вона мае вигляд [1,4-6]:
N1 (х,у ) = 4 (1 - х)(1 - у),
аналогiчно N1 (х, у) для / = 2,3,4.
Подвшний iнтеграл на вс випадки мае вигляд:
1 1
I =ЦNi (х,у)ёхёу. (3)
-1-1
З геометрично! точки зору (3) - це алгебра!чна сума об'емiв над ноаем i пiд носiем поверхш
N (х,у).
Результат (3) ми порiвияемо з оцшкою Сiмпсона (1), де використовуеться три (навиъ двi) площi паралельних перерiзiв.
Ввдповвдна формула мае вигляд:
1 = 2 (6 ^ + I 5» + 6 5) ■ (4)
де 5-1 = 5 (х,-1), 5" о = 5" (х, 0), 5^1 = 5" (х, 1) - площi у ввдповщних перерiзах. Вузли розподiленi по периметру квадрата рiвномiрно, тому достатньо протестувати лише тi поверхнi Ni (х, у), яи асоцшються iз стороною у = -1, -1 < х < 1. Для моделi 1-го порядку - це N1 (х, у), для моделей другого i третього порядив - це N5 (х, у), для моделей четвертого i п'ятого порядив - N5 (х, у) i N13 (х, у).
Для лшшно! моделi формули (3) i (4) дають однаковi результати: об'ем тша V = 1 куб.од. Це означае, що тшо, яке утворене поверхнею Ni (х, у) i квадратним носiем, е ампсоновим. Особливий характер лшшно! моделi забезпечуе точний результат також за правилом трапецш (два перерiзи 5- i 51) i навiть за правилом центрального штегрування (один перерiз 5 о).
Для СЕ другого порядку достатньо навести поверхш N1 (х,у) i N5 (х,у) [3-5]:
N (х,у) = -(1 - х)(1 - у)(- 1 - х - у),
4 1 / \ (5)
N5 (х, у) = - (1 - х 2 )(1 - у) .
Нагадаемо, що ми тестуемо лише «иром!жш» поверхнi. «Кутова» поверхня N1 (х, у) наведена для того, щоб читач мав повне уявлення про базис СЕ.
Щкаво зауважити, що на СЕ другого порядку поверхш N1 (х,у) i N5 (х,у) утворюють тша Омпсона.
Наведемо характерш поверхнi СЕ третього порядку [4-6]:
N1 (х,у) = -2(1 - х)(1 - у)(-10 + 9 (х2 + у2 )),
32 9/ \ (6)
N5(х,у) = —(1 - х2)(1 - у)(1 -3х).
Тестування свiдчить, що «пром1жш» поверхнi утворюють сiмпсоновi тiла. Читач може самостшно зробити висновок щодо «кутових» поверхонь.
Характерш функци стандартного базису СЕ четвертого порядку (17 вузлiв) мають вигляд [5, 6]: Nl(x,y) = 12(1 - х)(1 - у)(- 4х(х2 -1)- 4у (у2 -1) + 3ху),
'5(х,у) = -4(1 -х")(1 -у)^х" -2х}
N5 (х,у ) = 1 (1 - х2 )(1 - ух2 - 2 х ) , 5(х,у ) = 2 (х2 -1)(1 - у х2 + 4 у ^
N13 (х,у ) = 2 (х2 -1)(1 - у )| х2 + -4. N17 (х,у) = 1 - х2 )(1 - у2 ) .
471
В цьому випадку «тест Омпсона» витримують як «иром!жш» поверхнi N1 (х, у) i N5 (х, у), так i центральна поверхня («дута» мода) N17 (х,у). Стосовно «дуто!» моди треба зауважити, що у формул! Омпсона результативно працюе лише один перерiз (середнш), але формула дае точний об'ем тша.
Щкаво протестувати характерш поверхш нестандартного базису СЕ четвертого порядку (16 вузл1в): N (х, у) = (1 - х)(1 - у)(12 + 32х + 32у + 27ху - 20 (х3 + у3)),
N5 (х,у) = ^(1 - х2)(1 - у) (16х2 - 8х - 3у - 3), (8)
N13 (х,у) = (1 - х2 )(1 - у) (- 40х2 + у +11).
Нестандартш «иром1жш» поверхнi N5 (х,у) i N13 (х,у) також витримують «тест Омпсона». Як вшомо [2, 3, 7], на СЕ вищих порядков юнуе безл1ч альтернативних поверхонь N1 (х,у). Це означае, що юнуе безлiч ампсонових тш, утворених цими поверхнями. Наириклад,
Nl(x,У) = (1 - х)(1 - у)(80х(1 - х2)+ 80у (1 - у2) + 99ху + 33х + 33у + 33),
240 (9)
N13(х,у) = ^(1 - х2)(1 - у) (-160х2 + 9у + 49).
Ч3\х,у) = —Ц- х -
Нам не вшомо жодного джерела, яке б мютило iнформацiю про Ршйю. Цей елемент заслуговуе на особливу увагу. ашл!з схеми Паскаля свщчить про те, що для метода обернено! матриц необх1дно повернути деяк1 внутршш вузли лагранжево! верси елемента п'ятого порядку. Нагадаемо, що лагранжевий Ршийс мае 16 внутршшх вузл!в. Стандартний базис серендипово! верси може складатися !з 21 або 25
поверхонь Nj (x,y). Ми скористалися лише граничними вузлами (рис. 1) i сконструювали дешлька нестандартних базиав. Один iз таких базиав мае вигляд:
Ni(x, y) = Т^Т (1 - x )(1 - y)(25 (x2 + y2 )- 26 )(25( x + y + l)2- 9),
1536
N5 (x,y)^T7^ 1 - x2 )(1 - 25 x2 )(1 - y)(5x + y - 2), (10)
1536
N13(x,y) = 758(1 - x2 ) (25x2 - 9) (1 - y) (5x -1).
«Пром1жш» поверхш N5 (x, y) i N13 (x, y) моделi Quintic витримують тестування правилом Омпсона. Новi базиси елементiв Quartic i Quintic привертають особливу увагу. Експерименти свiдчать, що при фжсованш кiлькостi параметрiв M, швидк1сть p-збiжностi вища за швидк1сть h-збiжностi. Саме цей факт стимулюе пошуки нових базиав СЕ вищих порядков [5, 6].
Висновки
1снуе безлiч серендипових поверхонь, як1 утворюють клиноподiбнi сiмпсоновi тiла. Це означае, що в задачах повузлово! локалiзацп навантаження вщ одинично! масово! сили замiсть формули Ньютона-Котеса можна використовувати наближену формулу Омпсона. Отриманi результати суттево поповнюють модельний ряд сiмпсонових тiл.
Список використаноТ лiтератури
1. Кукуш О. Г. Призмато!д та його об'ем / О. Г. Кукуш, Р. П. Ушаков // У свт математики. — Том 8. — Вип. 2.— К.: ТВ1МС, 2012. — С. 46-50.
2. Астюненко 1.О. 1нтерполяцшна процедура Тейлора для побудови базиав серендипових ск1нченних елеменпв: модифiкацiя /I.О.Астiоненко, О.1.Литвиненко, А.Н. Хомченко // Матер. мiжн. наук. конф. "1нтелект. системи прийняття рiшень i проблеми обчислюв. штелекту". — Т. 1. — Херсон: ХНТУ, 2009.
— С. 9-12.
3. Хомченко А.Н. Чи потрiбний 17-й вузол серендиповому елементу 4-го порядку? / А. Н. Хомченко, С. О. Камаева // Вестник Херсонского нац. техн. ун-та. - № 2(35). — Херсон: ХНТУ, 2009. - С. 455-461.
4. Ergatoudis I. Curved isoparametric «quadrilateral» elements for finite element analysis / I. Ergatoudis, B.M. Irons, O. C. Zienkiewicz // Int. J. Solids Struct. — # 4. 1968. — P. 31-42.
5. Akin J. E. Finite Element Analysis with Error estimators / J. E. Akin. — Elsevier, Butternorth-Heinemann, 2005. —477 p.
6. Onate E. Structural Analysis with the Finite Element Method, vol. 1 / E. Onate. — Springer Netherlands, 2009.
— 495 p.
7. Хомченко А. Н. Некоторые вероятностные аспекты МКЭ / А. Н. Хомченко. — Ивано-Франк. ин-т, 1982.
— 9 с. — Деп. В ВИНИТИ 18.02.82, № 1213.
