CC BY
37
УДК 004.92 : 519.6
О.1. Литвиненко
МОДИФ1КОВАНА ПРОЦЕДУРА ГЕНЕРУВАННЯ СК1НЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТ1В ЗМ1ШАНОГО ТИПУ
Постановка проблеми. Регулярне сшнченно -елементне розбиття обласп, зазвичай, потребуе велико! кiлькостi сшнченних елементiв (СЕ) для ввдтворення геометричних характеристик реально! конструкцп, але не приводить до суттевого покращення представлення фiзичних полiв, тому для апроксимаци складних поверхонь у методi сшнченних елеменпв (МСЕ) краще використовувати криволтйш скiнченнi елементи. Побудова криволiнiйного елемента вщбуваеться на базi "породжуючого" стандартного елемента за допомогою параметричного воображения. Якщо при цьому перетворення координат i апроксимацiя невiдомих величин здшснюеться однаковими фyнкцiями, то елементи називають iзопараметричними. Перший такий елемент у розрахунках використав Тейг у 1961 р. Попм цю вдею узагальнили i розвинули у 1968 р. Ергатудю, Айронс, Зенкевич [1]. Щкавим класом iзопараметричних елементiв е сшнченш елементи серендипово! сiм'i (ССЕ), яш бiльш придатнi для параметричних перетворень, шж лагранжевi СЕ, бо не мають "зайвих" внyтрiшнiх вyзлiв [2]. При побyдовi базису серендипових СЕ використовують процедуру систематичного генерування базису (метод Тейлора) [3, 4]. Метод Тейлора [5] - дуже простий i ефективний алгоритм побудови базиав одно-, дво- i тривимiрних сшнченних елементiв вищих порядков. На думку Р. Галлагера, iнтерполяцiйна процедура Тейлора: "...элегантный подход к построению специальных функций перемещений с помощью процедуры, включающей суперпозицию отдельных функций перемещений". При вах перевагах традицшна процедура Тейлора генеруе тшьки ставдартш штерполяцшш полшоми, як1 мають певнi недолiки (надмiрна жорстк1сть моделей; вiд'емнi значення навантажень у вузлах; лiнiйчастiсть поверхонь, що утворюють функцп форми).
AH^i3 основних досл1джень та публiкацiй. 1снування альтернативних iнтерполяцiйних полiномiв на серендипових сшнченних елементах (ССЕ) вперше доведено за допомогою нових методiв: ймовiрнiсно-геометричного [6,7,8] та геометричного [9]. Новi методи значно спрощують процедуру побудови базису (не виникае необхвдносл розв'язувати СЛАР ввдповщного порядку на елеменп) i дозволяють отримати альтернативнi моделi ССЕ, у яких вiдсyтнi недолiки, що притаманнi стандартним моделям. Для розв'язання на ССЕ задачi штерполювання з умовами [10] були запропоноваш комбiнований алгебро-геометричний метод [11] та аиалiтичний метод побудови iерархiчних форм базисних функцш [12].
Мета статт - запропонувати модифiкацiю традицшно!' процедури генерування базису за допомогою альтернативних функцш аналгтичного методу побудови iерархiчних форм базисних фyнкцiй i побудувати новi моделi ск1нченних елементiв змшаного типу.
Основна частина. Традицiйна процедура систематичного генерування базису СЕ мае два етапи
1. Побудова "промiжноi" базисно! фyнкцii за допомогою перемноження полiнома Лагранжа вiдповiдного степеня по одному iз напрямiв на лшшний полiном Лагранжа по iншомy напряму.
2. Побудова "кутово!" базисно! функци за допомогою лiнiйноi комбшацп бшншно!' базисно!
Розглянемо бiквадратичний ск1иченний елемент серендипово! сш'!' (ССЕ-8) у природнш системi координат (рис. 1), який вперше у 1970 р. використав Джордан для дослщження двовимiрних
деформацiй i напружень [13]. Ключовi iде!' процедури Тейлора проiлюструeмо на прикладi побудови базису цього елементу [3,4,5] . Спочатку, помноживши ввдповвдний полiном Лагранжа другого степеня
[3,4,5]:
1
/2 Ц):.г2 (0 = 1)
фyнкцiю для пром1жного вузла 5:
4
S
1
7
5
з
б
2
Рис. 1. Серендиповий СЕ- S ( |ï| < 1, \п\< 1 ) Агалопчно будуемо 6a3^Hy функцш для вyзлa 8:
N8 = 1 (l-n2 )l-{).
(2)
Для "кутовоГ фyнкцiï, нaприклaд, для Ni , скорисгаемося лiнiйною комбiнaцieю вiдомоï функцп бiлiнiйноï iнтерполяцiï (рис. 2a)
N&,n) = 1 (1 ï-n)
i "пром1жних" фyнкцiй (1) i (2) (рис. 2б, 2в),
1
Ni(£\)= Nl(^,n)-^ (N5 + N8 ).
(З)
(4)
1 - ,
a) N1 = 1 (1 -ï)(l-n) б) Ni - - N5 1 2 5 в) N1 - 1N5 - 1N8
Рис. 2. Побyдовa бaзисноï функцп N1 нa ССЕ-S зa допомогою методу Тейлорa
Пiсля несклaдних перетворень y формyлi (4) отримуемо функцш стaндaртного бaзисy ССЕ-S:
Nl(ï,n) = 1 (1 - Й(1 - n)(-1 -ï-n). (5)
Узaгaльненi формули стaндaртного бaзисy ССЕ-8 мэють вигляд [2,3,4]:
N, (ï, n) = 1 (l + ï + ПгПШ + nn -1), _
4 (6)
i = 1,2,3,4 ; ïi, \í =±l.
N т) = 1 (i-£2 )i + тт),
: 5,7; т=±1.
Nт) = 1 (l-Т2)(1 + ££), i = 6,8; £
= ±1.
(7)
(8)
Розроблеш спочатку серендиповi елементи мали однакову к1льк1сть вузлiв по рiзним координатним напрямам. Пiзнiше виникла задача: створити СЕ з рiзною к1льк1стю вузлiв на сторонах. Р. Галлагер називае такi моделi "елементи змшаного типу" [4]. 1х використання дозволяе узгоджувати елементи низького порядку в областях, де не передбачаеться рiзко! змши характеристик, з елементами бшьш високого порядку в шших областях. Процедура конструювання "змiшаних" СЕ описана у монографiях американських [14] та украшсько-шмецьких [15] дослiдникiв, яш працювали над проблемою чисельно! реалiзацi! МСЕ. У таблицi 1 автори [14,15] пропонують алгоритм, який дозволяе конструювати елементи, iнтерполяцiйнi функци яких будуть представленi полiномами, як однакового, так i рiзного степеня по кожнш з координат. Зауважимо, що ключова iдея побудови "змiшаних" серендипових елементiв методом Тейлора реалiзуеться у таблиц однiею фразою: " за умови, що вузол i юнуе ".
Табл. 1.
Побудова функцi! форми стандартного штерполяцшного полiнома ССЕ
з кшьшстю вузлiв ввд 4 до 8 за умови, що вузол i iснуе (рис. 2)
i = 5 i = 6 i = 7 i = 8
n = 1 (i-£)(i-т) -1 N5 2 5 - 2 N8
N2 = 1 (i+i)(i-т) -1 N5 2 5 - 2 N6
N3 = 1 (i+£)(i+т) - 2 N6 -1 n7 2 7
N4 = i (i-£)(i+т) -1 n7 2 7 - 2 N8
N5 = i (i-£2 )(i-т)
N6 = i (i-т2 )(i *!)
N7 = i (i-£2 )(i+ тТ
N8 = i (i-v2 )(i-£)
Як вiдомо, базис бшвадратичного СЕ мае суттевий недолiк: наявшсть ввд'емних значень у повузловому розподш рiвномiрноl масово! сили. Цей недолш обумовлений саме використанням стандартних полiномiв на ССЕ-8, бо для сличенного елемента вузлова доля рiвномiрно! масово! сили визначаеться як штегральне середне функци форми:
Pi = JfrN (£,v)d£dv.
у = .
1
(9)
4
ю
При використанш стандартних штерполяцшних полiномiв (6)-(8) на ССЕ уникнути цих недолЫв i отримати додатний розподш рiвномiрноl масово! сили неможливо. На цей факт звертае увагу один iз засновник1в методу ск1нченних елеменпв О. Зенкевич у монографп [2].
Поставимо за мету модифiкувати штерполяцшну процедуру Тейлора за допомогою функцш форми аналiтичного методу [12], яш для бiквадратичного елемента мають вигляд:
ы, = 1 (1+^+ъъХ-1+Ы + т+к (1 - - т)),
г = 1,2,3,4; , ъ =±1.
К, =1 (1 -£)(1 + ЪЪ)Т(1 + £)-1 к(1 + #1 , г = 5,7; ъ=±1.
(10)
2
2
N = 1 (1 + + п)- 1 K(1 + -£■£)], i = 6,8; £=±1.
(11)
(12)
Отриман базиснi функци вiдповiдають BciM властивостям, яш притаманнi функцiям форми в МСЕ [2,10].
Використовуючи модифжоваш функцп форми аналiтичного методу (10)-(12) можна генерувати безлiч нових елементiв з регулярним i нерегулярним розташуванням вузлiв (табл. 2). Наявнiсть керуючого параметра K дозволяе для кожно! конкретно! задачi обирати базис бiквадратичного СЕ, який найкращим чином буде ввдповвдати умовам задачi, що розв'язуеться.
Табл. 2.
Побудова функцп форми модифiкованого штерполяцшного полшома ССЕ
з кiлькiстю вузлiв ввд 4 до 8 заумови, що вузол i icnye (рис. 2)
i = 5 i = 6 i = 7 i = 8
N1 = 4 ( -Й(1 -п) -1 N5 2 5 - 2 N8
N2 = 4( +^)(1 -п) -1 N5 2 5 - 2 N6
N3 = 4( +Й(1+п) - 2 N6 -1 n7 2 7
N4 = 4 ( -^)(1+п) -1 N7 2 7 - 2 N8
N5 = 2( )(1 -п)[1 - 1 d п
N6 = 2( -п2 )(1- K(1
n7 = 2( )(1 + п)[1 - K 0-п)]
n8 = 2( -п2 )(1 -^1 - K d+й]
Кшьюстъ вузлiв на границ ск1нченного елемента може змiнюватись вщ 4 до 8. На рис. 3-8 показаш можливi варiанти розташування вузлiв СЕ.
4
1
3
9- Л -1
4
2
4
»- Л -1
»-л 4 »-<
1
5
3
2
Рис. 3. СЕ (4 вузла)
4 3
8
1
р- Л
4
5
2
Рис. 4. СЕ (5 вузлiв)
4 7
5
3
V-« Л 9-1
к- 4 к 1
2
Рис. 5. СЕ (6 вузлiв)
4 7 3
1
5
6
2
Рис. 6. СЕ (6 вузлiв)
4 7 3
8
5
6
2
Рис. 7. СЕ (7 вузлiв)
Рис. 8. СЕ (8 вузлiв)
На рис. 9-11 наведена вiзуалiзацiя функцш форми "змiшаного" сличенного елемента з лшшно-квадратичною штерполящею (формули (13)-(18)), який зображено на рис. 5 [16,17] .
1
1
Ni = 1 (1 — 4 -1X1—ц)(— 1—i—I +K (1+I)(l+1)), (i3)
N 2 =l (1 S +I)(l—?Xfe)+ k (1—i)(l + 1)), (i4)
N3 =1 (1 4 +I)(1+1), (i5)
n 4 =l (1 S I + lX(2l) + K (1 + |)(l — 1)), (i6)
N 5 =1 (1 2 I — l((l + l) — 1K(1 + |)(l + 1)] , (i?)
Ns =1 (1 2 Il—vil (1 + 1)—1K(1+ |)(l+ 1)], (iS)
Рис. 9. Графш Nl (K = О) Рис. 10. Графж N5 (K = 0) Рис. 11. Графк N3 (K = О)
Вузли не обов'язково повинш розтaшовyвaтися на серединi сторони сшнченного елемента, але включения таких вyзлiв до елементу потребуе перебудови промiжноï базисно1' функци. Розташування "несерединних" вyзлiв на сторонi СЕ мае певш обмеження.
Велике значення при чисельнш реaлiзaцiï МСЕ мае отримання фyнкцiй форми рiзних СЕ за допомогою принципу "виродження" [14,15], який полягае y злиттi дек1лькох вyзлiв в один вузол. При цьому елемент змiнюе геометричну форму. Наприклад, на площинi квадрат перетворюеться y трикутник. Трикутний елемент з постшною деформaцiею (рис. 13) можливо отримати з чотирикутного бiлiнiйного елемента (рис. 12) за допомогою простого сумщення вyзлiв 1 i 4. Для лшшного трикутного елемента
(рис. 13) отримаемо нaстyпнi фyнкцiï форми Q * [i5]:
Q * = N3, Q * = N1 + N4, причому Q. * = L. *
-3
Q** = N2
де Ni = 1 (1 + ||)(l + 11 ) (i = 1,4) - функци форми бшншного СЕ (рис.
(i9)
12),
L * - барицентричш координати трикутника (i = 1,з), L^* + L^* + L* = 1 (рис. 13).
4
p- -1
1
о I
t > _1
з
3'
2
о I
2
Рис. 12. ССЕ-4
1*
Рис. 13. Трикутний СЕ з лшшною штерполящею
1
4
7
3
8
6
3*
5
Рис. 14. ССЕ-8
2
"Ч о 4
Рис. 15. Трикутний СЕ
2*
4*
з квадратичною штерполящею
На рис. 15 показано трикутник з квадратичною штерполящею, який отримано при злит вузлiв 1, 4 i 8 на бшвадратичному ССЕ (рис. 14).
Зауваження. Використаш на рис. 13 i 15 системи нумераци вузлiв викликанi необхвднютю збереження едино! природньо! системи координат для квадратного i трикутного елеменпв.
Для квадратичного трикутного елемента (рис. 15) функци форми записуються наступним чином:
О* — К2 + АК, 04* — К6 - 2 АК,
О2* — ы3 + Ак , о5* — ы7, (20)
б3* = к+N4+ы8, б6* = N5,
де АК = — (1 -)(1 -Щ2) - коригуюча функщя [15], 8
N (г = 1,8) - функцi! форми ССЕ-8 (формули (10)-(12) при К — 0). Автори [14,15] зауважують, що треба слвдкувати, щоб новi функцi! форми трикутного СЕ були геометрично iзотропними i збер^алась С0 - гладкость апроксимаци. Це досягаеться коригуванням функцiй форми бшвадратичного СЕ для вузлiв 2,3,6 доданком АК (рис. 15).
Перевiрка показуе, що для трикутного елемента з квадратичною штерполящею (рис. 15) маемо:
О * = ъ * (2Ъ * -1), * = 4 ъ * ъ *,
О * = Ъ * (2Ъ2 * -1), О * = 4 Ъ? * Ъ *, (21)
О * = ъ3 * (2Ъ3 * -1),
О * = 4 Ъ * Ъ *
* = 4 Ъ, * Ъ„ *,
^6 13
де - Ъ *, Ъ*, Ъ * - барицентричнi координати трикутника, Ъ * +Ъ*+Ъ* = 1. Перетворення координат 4 щ до трикутних координат наведено у формулах (22) ( рис. 16).
Ъ* = 1 (1+£)(1 -щ),
Ъ2* — 1 (1 + й(1 + щ), Ъз*=2(1 '
4 = 1 - 2Ъ
щ =
Ъ^ * — Ъ^ * Ъ^ * + Ъ *
(22)
Ъ * + Ъ^* + Ъ^ * — 1,
Таким чином, завдяки принципу "виродження", ввд застосування спещальних спiввiдношень у трикутних координатах можливо ввдмовитись i при розв'язаннi двовимiрних задач теорi! пружностi використовувати формули (19) або (20) [15].
«г
1
1
Висновки та перспективи подальших дослвджень. У po6oTi 3anp0n0H0BaHi HOBi "змгшаш" елементи, як отриманi за допомогою використання модифiкованого методу Тейлора на б^адратичному ск1нченному елементi серендипово! ам'1. Цiкавим е поширення запропонованих процедур для конструювання просторових СЕ.
Л1ТЕРАТУРА:
1. Ergatoudis I. Curved isoperimetric "quadrilateral" elements for finite element analysis / I. Ergatoudis, B.M. Irons, O.C. Zienkiewicz // Internat. J. Solids Struct., —№ 4. —1968. — P. 31-42.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. — М.: Мир, 1975. — 541 с.
3. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О.Зенкевич, К. Морган.— М.: Мир, 1986. — 318 с.
4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. — М.: Мир, 1984. — 428 с.
5. Taylor R.L. On the completeness of shape functions for finite element analysis /R.L. Taylor // J. Num. Meth. Eng. — V.4. — № 1. — 1972. — P. 17-22.
6. Хомченко А.Н. Метод конечных элементов: стохастический подход / А.Н. Хомченко. — Ивано-Франк. ин-т нефти и газа. — Ивано-Франковск, 1982. — 7 с. — Деп. в ВИНИТИ 15.10.82, №5167.
7. Хомченко А.Н. Некоторые вероятностные аспекты МКЭ /А.Н.Хомченко. — Ивано-Франк. ин-т нефти и газа. — Ивано-Франковск, 1982. — 9 с. — Деп. в ВИНИТИ 18.03.82, № 1213.
8. Хомченко А.Н. О вероятностном построении базисных функций МКЭ / А.Н.Хомченко. — Ивано-Франк. ин-т нефти и газа. — Ивано-Франковск, 1982. — 5 с. — Деп. в ВИНИТИ 21.10.82, №5264.
9. Хомченко А.Н. Геометрия серендиповых аппроксимаций / А.Н. Хомченко, Е.И. Литвиненко, П.И. Гучек // Прикл. геом. и инж. графика. — К. : Будiвельник, 1996. — Вып. 59. — С. 40-42.
10. Попов Б.А. Приближение функций для технических приложений / Б.А. Попов, Г.С.Теслер. — Киев: Наукова думка, 1980. — 352 с.
11. Астионенко И.А. О серендиповых элементах с естественным спектром узловых нагрузок /И.А. Астионенко, Е.И. Литвиненко, А.Н. Хомченко // Геом. та комп'ютерне моделювання. Зб. наук. пр. — Вип. 17. — Харшв: ХДУХТ, 2007. — С. 97-102.
12. Хомченко А.Н. Новый подход к построению базисов серендиповых элементов /А.Н. Хомченко, Е.И. Литвиненко, И.А.Астионенко // Геом. та комп. моделювання. Зб. наук. праць. — Вип. 23. — Харшв: ХДУХТ, 2009. — С.90-95.
13. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. — М.: Мир, 1981.— 216 с.
14. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов./ К. Бате, Е. Вильсон. — М.: Стройиздат, 1982.— 448 с.
15. Сахаров А.С. Метод конечных элементов в механике твердых тел. / Под. общей редакцией А.С. Сахарова, И. Альтенбаха. — К.: Вища школа, 1982.— 480 с.
16. Литвиненко Е.И. Математические модели и алгоритмы компьютерной диагностики физических полей: дисс. кандидата техн.н.: 05.13.06 / Елена Ивановна Литвиненко — Херсон, 1999. — 172 с.
17. Астюненко 1.О. Багатопараметричш серендиповi елементи змшаного типу // Вестник Херсонского нац. техн. университета. Выпуск 2 (45). - Херсон: ХНТУ, 2012. - С. 30-34.
ЛИТВИНЕНКО Олена 1вашвна - к.т.н., докторант кафедри вищо! математики та математичного моделювання Херсонського нацюнального техшчного ушверситету. Науковi штереси:
- математичне моделювання та шформацшш технологи в природничих i техшчних науках, методи i моделi вщновлення функцш, принцип барицентричного усереднення.
