CC BY
36
УДК 519.3
А. Н. ХОМЧЕНКО
Черноморский национальный университет имени Петра Могилы
И.А. АСТИОНЕНКО
Херсонский национальный технический университет
СЕРЕНДИПОВЫ ПОВЕРХНОСТИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ: ОСОБЕННОСТИ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ
Предложено новое определение стандартного серендипового элемента. Показано, что все «промежуточные» поверхности серендипового элемента - коноиды, а «угловая» поверхность линейно комбинируется из соответствующих коноидов и фрагмента гиперболического параболоида.
Впервые получен серендипов стандартный базис на элементе пятого порядка. Нематричный подход к построению базисов основан на геометрических особенностях стандартных серендиповых поверхностей.
Ключевые слова: серендипов конечный элемент, базисные функции, коноид, гиперболический параболоид, серендиповы поверхности.
А. Н. ХОМЧЕНКО
Чорноморський нацюнальний ушверситет iменi Петра Могили
1.О. АСТЮНЕНКО
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
СЕРЕНДИПОВ1 ПОВЕРХН1 ВИЩИХ ПОРЯДК1В: ОСОБЛИВОСТ1 ФОРМОУТВОРЕННЯ
Запропоновано нове означення стандартного серендипового елемента. Показано, що ва «промiжнi» поверхт серендипового елемента - коноХди, а «кутова» поверхня лiнiйно комбтуеться з вiдповiдних коноШв i фрагмента гiперболiчного параболо'1'да.
Вперше отриманий серендипiв стандартний базис на елементi п 'ятого порядку. Нематричний пiдхiд до побудови базиав оснований на геометричних особливостях стандартних серендипових поверхонь.
Ключовi слова: серендипiв сктченний елемент, базиснi функцИ, коно'1'д, гiперболiчний параболо'1'д, серендиповi поверхнi.
А. N. KHOMCHENKO
Petro Mohyla Black Sea National University
I.O. ASTIONENKO
Kherson National Technical University
SERENDIPITY SURFACES OF HIGHER ORDERS: PECULIARITIES OF FORMING
A new definition of standard serendipity element was suggested. It was shown that all "intermediate" surfaces of serendipity element are conoids, and "angle " surface linearly combines of corresponding conoids and fragment of hyperbolic paraboloid.
The serendipity standard basis on the element of the fifth order is received for the first time. Non-matrix approach to basises building is founded on geometric peculiarities.
Key words: serendipity finite element, basis functions, conoid, hyperbolic paraboloid, serendipity surfaces.
Введение
Известные преимущества p-сходимости перед h-сходимостью в методе конечных элементов по-прежнему привлекают внимание специалистов к серендиповым элементам высших порядков. Одной из причин, препятствующих широкому распространению элементов высших порядков, являются нежелательные внутренние узлы («дутые» моды), которые, как правило, появляются на элементах выше третьего порядка. Наиболее интересны элементы четвертого порядка (Quartic) и пятого порядка (Quintic). Совсем недавно опубликованы первые результаты исследований элемента Quartic. Поиски какой-либо информации об элементе Quintic пока не увенчались успехом. Поэтому настоящая статья посвящается элементу пятого порядка.
Анализ предшествующих публикаций, цель работы
Об элементах серендипова семейства известно уже 50 лет. Напомним, что статья Эргатудиса, Айронса и Зенкевича зарегистрирована в редколлегии журнала [1] в феврале 1967 г. Тогда серендиповы элементы называли изопараметрическими. В некоторых источниках это название сохранилось до сих пор. Об элементах четвертого порядка есть информация в книге [2] и статье [3]. Заметим, что в [2] обнаружена опечатка в таблице базисных функций Q17. Кстати, автору [2] понадобился 17-й узел в центре элемента,
В1СНИКХНТУ№3(62), 2017р., ТОМ 2
МАТЕМАТИЧНЕМОДЕЛЮВАННЯ Ф1ЗИЧНИХI ТЕХНОЛОГ1ЧНИХ ПРОЦЕС1ВIТЕХН1ЧНИХ СИСТЕМ
чтобы сконструировать базис четвертого порядка. Один из ведущих современных специалистов в области конечно-элементарного анализа, автор книги [4] называет элемент Quartic так - «seventeen-noded quartic serendipity rectangle». Как видим, в теории и практике серендиповых аппроксимаций до сих пор сохраняется убеждение о необходимости внутренних узлов на элементах высших порядков. В нашей работе мы попытаемся обойтись без внутренних узлов, чтобы обеспечить безоговорочную принадлежность элемента Quintic к серендипову семейству. Напомним, что одно из определений звучит так: серендипов элемент - это лагранжев элемент без внутренних узлов.
Цель работы - сконструировать на 20-узловом квадратном элементе полиномиальный базис из 20-ти функций влияния (функций формы). Это типичная задача восстановления поверхности fx,y) по известным 20-ти аппликатам в регулярно расположенных граничных узлах интерполяции. Понятно, что в такой постановке нужен нематричный подход, однако перспективы использования традиционного матричного подхода мы вкратце обсудим.
Основная часть
На рис. 1 показан элемент Quintic и соответствующая схема Паскаля.
4 10 18 17 9
3
11 19! 20i 121
8 16 15
7
1 5 13 14 6 2
1
x y
2 2 x xy y
3 2 2 3
x x y xy y
4 3 2 2 3 4 x x y x y xy y
54 3 22 3 45 x x y x y x y xy y
5 4 23 3 24 5 ... x y x y x y x y xy
Рис. 1. Конечный элемент Quintic и схема Паскаля
Узлы интерполяции расположены равномерно на границе квадрата: 1x1 < 1, lyl < 1. Обсудим вкратце возможности решения задачи восстановления функции fx,у) с помощью матричной алгебры. Схема Паскаля и геометрическая изотропия модели диктуют известные ограничения. Возникает необходимость включения внутренних узлов. Если выбрать один внутренний узел в центре квадрата, задача сводится к составлению и решению СЛАУ с матрицей 21*21. Можно выбрать пять внутренних узлов, один из которых в центре квадрата. Для остальных четырех узлов есть две схемы расположения. Узлы можно выбрать в вершинах «большого» квадрата x = ±3/5, у = ±3/5 или в вершинах «малого» квадрата x = ±1/5, у = ±1/5. Теперь приходится составлять и решать СЛАУ с матрицей 25*25. Понятно, что такие элементы пятого порядка уже не относятся к серендипову семейству. Заинтересованный читатель, владеющий процедурой конденсации (редукции), сможет самостоятельно исключить нежелательные внутренние узлы, чтобы получить стандартный Quintic.
Наш подход скорее геометрический, нежели алгебраический. Анализ уже известных моделей серендиповых элементов [2-4] показывает, что основную часть стандартных серендиповых поверхностей составляют коноиды - линейчатые поверхности с одной осью. Эти коноиды ассоциируются с промежуточными узлами носителя. Например, базис второго порядка (Quadratic) наполовину состоит из коноидов. В базисе третьего порядка (Cubic) из 12 поверхностей уже 8 коноидов. Базис четвертого порядка, приведенный в [2,4], нельзя назвать стандартным из-за наличия 17-й поверхности. Кстати, именно внутренний узел искривляет поверхности «промежуточных» коноидов. Внутренний узел и «дутая» мода элемента Quartic - побочный продукт метода обратной матрицы. У нас нет сомнений в том, что на элементе четвертого порядка существует стандартный базис из 16-ти поверхностей, из которых 12 - коноиды. По аналогии можно ожидать, что на элементе пятого порядка (рис. 1) 16 поверхностей из 20-ти - коноиды. Именно такой базис приведен ниже. Сейчас, когда появилось множество нестандартных серендиповых элементов, мы предлагаем еще одно определение стандартного серендипова элемента. Серендипов элемент будем называть стандартным, если все его «промежуточные» поверхности - коноиды, а «угловая» поверхность линейно комбинируется из соответствующих коноидов и фрагмента гиперболического параболоида (Linear element). Коэффициенты линейной комбинации подбираются с учетом требований интерполяционной гипотезы Лагранжа. В нашем случае эти требования имеют вид:
[И = к 20
N (хк, Ук Н' ; IN у )= I [0, i * к; i=1
где i - номер функции формы элемента, к - номер узла. Чтобы составить полное представление о базисе элемента Quintic, достаточно привести уравнения поверхностей N1 (х,у), Ъ5(х,у) и Ъ13(х,у):
Ък У) = ^(1 - х)(1 - У)(384 -125(1 - х2)(3 + 5х2)-125(1 - у2)(з + 5у2)),
аналогично Ni(x, y) для i = 2,3,4;
N5 (x, У) = 15361 - x2 )(25x2 - lb - 5x)(1 - y),
аналогично Ni(x,y) для i = 6,7, ..., 12;
Nl3(x, У) = 76581 - x2)9 - 25x2)(1 - 5x)(1 - У),
аналогично Ni(x,y) для i = 14, ..., 20.
Визуализация поверхностей N1 (x,y), N5(x,y) и N13(x,y) приведена на рисунке 2.
а) N1 (x,y) б) N5 (x,y) в) N 13(x,y)
Рис. 2. Визуализация поверхностей базисных функций конечного элемента Quintic
Как и следовало ожидать, очередной стандартный серендипов элемент имеет физически
53
неадекватный спектр узловых нагрузок от единичной массовой силы. Для «угловой» функции Р1 =--,
288
25 25
для «промежуточных»: Р5 =- и Р13 =-. На эту особенность обратил внимание О. Зенкевич еще в
192 288
1971 г. [5]. Он назвал такой спектр противоестественным. Возможно, это так с точки зрения специалиста по строительной механике. А с точки зрения математики это вполне естественный спектр.
Выводы
Впервые получен серендипов стандартный базис на элементе пятого порядка. Нематричный подход основан на геометрических особенностях стандартных серендиповых поверхностей, которые, как было доказано, конструируются из коноидов и гиперболических параболоидов. Представляет интерес алгебраическое решение задачи восстановления функций на конечном элементе Quintic. Это позволит исследовать влияние внутренних узлов на формообразование поверхностей высших порядков.
Список использованной литературы
1. Ergatoudis I. Curved isoparametric "quadrilateral" elements for finite element analysis / I. Ergatoudis, B. M. Irons, O. C. Zienkiewich // Int. I. Solids Struct. - № 4/ - 1968. - P. 31-34.
2. Akin J. E. Finite Elements Analysis with Error Estimators / J. E. Akin. - Elsevier, ButterworthHeinemann, 2005. - 477 p.
3. Хомченко А. Н. Чи потрiбний 17-й вузол серендиповому елементу 4-го порядку? / А. Н. Хомченко, С. О. Камаева // Вестник Херсонского нац. техн. ун-та. - № 2 (35). - Херсон : ХНТУ, 2009. - С. 455-461.
4. Onate E. Structural Analysis with the Finite Element Method, Vol. 1 / E. Onate. - Springer Netherlands, 2009. - 495 p.
5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М. : Мир, 1975. - 541 с.
