Нематричные схемы конденсации на серендиповых элементах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.3

АН. ХОМЧЕНКО

Черноморский национальный университет имени Петра Могилы

Е.И. ЛИТВИНЕНКО

Херсонский национальный технический университет

НЕМАТРИЧНЫЕ СХЕМЫ КОНДЕНСАЦИИ НА СЕРЕНДИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТАХ

В работе на примере конечного элемента бикубической интерполяции конструируются математически обоснованные и физически адекватные серендиповы базисы путем исключения «внутренних» функций бикубического лагранжева базиса. Предложенная мультимодальная схема редукции позволяет устранить внутренние узлы, сохранив неузловые параметры в интерполяционном полиноме. Именно неузловые параметры позволяют управлять интегральными характеристиками конечноэлементных моделей.

Ключевые слова: конечный элемент, базисные функции, интерполяционный полином, нематричные схемы конденсации.

А.Н. ХОМЧЕНКО

Чорноморський нацюнальний ушверситет iменi Петра Могили

О.1. ЛИТВИНЕНКО

Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет

НЕМАТРИЧН1 СХЕМИ КОНДЕНСАЦП НА СЕРЕНДИПОВИХ ЕЛЕМЕНТАХ

У роботi на прикладi сктченного елемента бiкубiчноí iнтерполяцií побудоваш математично обгрунтоват i ф1зично адекватнi серендиповi базиси шляхом виключення «внутрiшнiх» функцш бiкубiчного лагранжева базису. Запропонована мультимодальна схема редукци дозволяе виключити внутрiшнi вузли, при цьому збер^аючи невузловi параметри в iнтерполяцiйному полiномi. Саме невузловi параметри дозволяють керувати iнтегральними характеристиками сюнченноелементних моделей.

Ключовi слова: сктченний елемент, базиснi функцП, iнтерполяцiйний полтом, нематричш схеми конденсаци.

A.N. KHOMCHENKO

Petro Mohyla Black Sea National University

Ye.I. LITVINENKO

Kherson National Technical University

NON-MATRIX SCHEMES OF CONDENSATION ON SERENDIPITY ELEMENTS

In the research by the example offinite element of biquadratic interpolation the mathematically proved and physically adequate serendipity bases are built by means of excluding of "internal" functions of bicubic Lagrange bases. The suggested multimodal scheme of reduction allows to eliminate internal nodes keeping non-nodal parameters in the interpolation polynomial. These are non-nodal parameters which allow to control integral characteristics of finite element models.

Key words: finite element, basis functions, interpolation polynomial, non-matrix schemes of condensation

Введение

Термин «конденсация» в методе конечных элементов (МКЭ) означает снижение размерности системы уравнений при помощи исключения некоторых степеней свободы. Чтобы сократить общее число исходных степеней свободы, редуцированная система уравнений должна быть выражена в терминах заранее выбранных степеней свободы, которые хотят оставить. На конечных элементах высших порядков обычно избавляются от внутренних степеней свободы. Правда, матричный подход, как правило, приводит к физически неадекватным моделям. Поэтому лучше начинать с интегральных характеристик базисных функций. Речь идет о спектре узловых нагрузок, вызванных силой тяжести элемента. Понятно, что это обратная задача, когда по заказному спектру находят базис, реализующий такой спектр. Как известно, обратные задачи решаются неоднозначно, так что у пользователя появляется возможность выбирать. В статье на примере элемента бикубической интерполяции (12 узлов) конструируются математически обоснованные и физически адекватные серендиповы базисы путем исключения «внутренних» функций лагранжева базиса (12 узлов).

Анализ предшествующих результатов, цель работы

Матричная конденсация (редукция) описана в [1, 2]. Нематричные подходы описаны в [3, 4]. В работе [3] преобразование лагранжевых моделей в серендиповы выполнено в терминах узловых нагрузок. Процедура распределения внутренних нагрузок по граничным узлам основана на линейной комбинации вкладов отдельных внутренних узлов. В настоящей работе предложены более простые и понятные схемы конденсации. В статье [4] все внутренние нагрузки сконцентрированы в барицентре элемента. Такая унимодальная схема порождает семейство 13-параметрических моделей. Ниже мы используем мультимодальную схему, позволяющую увеличить число параметров, управляющих формообразованием базисных функций. Цель работы - привлечь внимание разработчиков математического обеспечения к нематричным схемам конденсации.

Основная часть

На рис. 1 показаны схемы исключения внутренних узлов лагранжева КЭ бикубической интерполяции (16 узлов).

СХЕМА А 4 10 9

СХЕМА B

11

121

16 О

Лб1

1 5 6

СХЕМА С

11 о........-о..........0

6

СХЕМА D

12

1

6

11

1

5

базиса:

Рис. 1. Схемы исключения внутренних узлов лагранжева КЭ Для получения серендипова базиса (12 полиномов) мы используем следующие функции лагранжева

N (х, y) = (1 - х) (1 - y) (1 - 9х2) (1 - 9 y2), 256

9

N5 (х, У) = - — (1 - х2) (1 -3 х) (1 - y) (1 - 9 y2),

256

N13 (х, у) = ^(1 - х2)(1 - y2)(1 - 3 х)(1 - 3 y). 256

Остальные функции N¿ (х, y) лагранжева базиса генерируются функциями (1). Достаточно применить осевую и центральную симметрию и перестановку х и у. Все «угловые» функции получаются из

(1)

з

7

2

1

N (х, у), «промежуточные» функции - из N5 (х, у), «внутренние» - из N13 (х, у). Интерполянт записывают так:

16

/(х, у) = £ Ni (х, у) • / , (2)

г = 1

где / - известные значения функции / (х, у) на границе КЭ и его внутренних узлах. Базисные функции удовлетворяют гипотезе Лагранжа:

IX ' = к, 16

Ni (хк, у к) = \_ . I Ni (х, у) = 1. (3)

10, 1 ф к; ,

^ ' ' 1 = 1

В данном случае интерполянт (2) на границах квадрата х = ± 1, у = ± 1 изменяется по закону кубической параболы (бикубическая интерполяция).

Спектр узловых нагрузок от силы тяжести КЭ, как обычно, определяется по правилу интегрального усреднения:

К = Т ДО N1 (х, у) дх ду, (4)

5 Б

где Б - область интегрирования (|х| < 1, |у| < 1), 5 - площадь области Б, у, - нагрузка в узле i. Вычисления по формуле (4) дают:

1 3 9

у,- = —, i = 1,2,3,4; у,- =—, i = 5, 6,..., 12; у,- =—, i = 13,14,15,16.

п 6^' 'г 64,,,, п 64'

Заметим, что классическая задача лагранжевой интерполяции функции одного аргумента легко обобщается на функции двух аргументов путем прямого перемножения коэффициентов Лагранжа (1). В отличие от лагранжевых, серендиповы КЭ не имеют одномерных аналогов. Эта специфическая особенность серендипова семейства вызывает определенные трудности и привлекает внимание заинтересованных специалистов.

Предлагаемые схемы (рис. 1) исключают появление физически неадекватных спектров узловых нагрузок типа модели Зенкевича [5]. Моделирование серендипова базиса почти не нуждается в пояснениях.

Каждая внутренняя функция корректирует три граничных функции. Получение функций N1 (х, у), N5 (х, у) и

N12 (х, у) покажем на модели А.

Выберем физически естественный спектр узловых нагрузок. Например,

у, = 0, i = 1,2,3,4; у^ = -1, i = 5, ...,12. Узловые нагрузки серендипова и лагранжева базисов связаны

8

следующей корректирующей зависимостью:

71 =71 + а • 713; 75 = 75 + Р • 713'; 712 =712 + Р • 713. (5)

В данном случае а = — -1; в = 5.

9 9

Заметим, что а + 2 в = 1. Из (5) следует:

N1 (х, у) = N1 (х, у) — -1- N13 (х, у); N5 (х, у) = N5 (х, у) + 5 • N13 (х, у), - 9 5 9 (6) N12 (х, у) = N12 (х, у) + 5 • N13 (х, у). Подстановка полиномов (1) в (6) дает:

N1 (х, у) = ¿(1 — х )(1 — у )(1 — 3 х)(1 — 3 у) (—4 — 3х — 3 у), 128

— 9 2

N 5 (х, у) = — (1 — х2)(1 — у)(—6 х — у + 1), (7)

64

— 9 2

N12 (х, у) = — (1 — у 2)(1 — х)(—х — 6у + 1). 64

Этих функций достаточно, чтобы получить весь базис модели А.

Если воспользоваться схемой С, получим новый базис с тем же спектром узловых нагрузок:

N1 (х, y) = -L(1 - х)(1 - у)(1 + 3 х)(1 - 3 у) (-4 - 6х - 3 у - 9 ху), 128

— 9 2

N 6 (х, y) = — (1 - х2) (1 - у) (1 + 3х) (1 - 3 у) (2 + у), (8)

128

— 9 2

N12 (х, y) = — (1 - у2) (1 - х)(1 + 3х) (1 - 3 у) (1 + 2х). 64

Этих функций достаточно, чтобы получить весь базис модели С. Аналогично получается модели В и D. Во всех случаях удовлетворяется интерполяционная гипотеза (3), а интерполянт (2) имеет теперь 12 слагаемых. Интересно отметить, что «угловые» поверхности всех моделей в центре КЭ имеют одинаковые

аппликаты Ni (0; 0) = - i = 1,2,3,4. Такое же свойство имеют все «промежуточные» поверхности — 9

Ni (0; 0) = —, i = 5,..., 12. Вдоль границ КЭ все функции изменяются одинаково по закону кубической 64

параболы так, что сохраняется межэлементная непрерывность. Внутри КЭ рельеф поверхности Ni (х, y) существенно зависит от схемы конденсации. Деформация квадратного шаблона в прямоугольный (рис. 1) вызывает нарушения геометрической изотропии базисной функции. Однако это не имеет нежелательных последствий, так как аномалии сглаживаются под действием других функций базиса.

Выводы

Мультимодальная схема редукции позволяет устранить внутренние узлы, сохранив неузловые параметры. Именно неузловые параметры позволяют управлять интегральными характеристиками моделей. При алгебраическом подходе такая возможность исключена.

Список использованной литературы

1. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. - М. : Мир, 1981. - 304 с.

2. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. - М. : Мир, 1984. - 482 с.

3. Литвиненко Е. И. Внутренние моды конечных элементов: преобразование лагранжевых моделей в серендиповы / Е. И. Литвиненко, А. Н. Хомченко // Вестник Херс. нац. техн. ун-та. Вып. 2 (45). -Херсон: ХНТУ, 2012. - С. 205-210.

4. Астионенко И. А. Конечные элементы высших порядков и барицентрическая конденсация / И. А. Астионенко, Е. И. Литвиненко, А. Н. Хомченко // Вестник Херс. нац. техн. ун-та. Вып. 3 (50). - Херсон: ХНТУ, 2014. - С. 208-212.

5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М. : Мир, 1975. - 541 с.