CC BY
25
УДК 519.6
1.О. Астшненко
БАГАТОПАРАМЕТРИЧН1 СЕРЕНДИПОВ1 ЕЛЕМЕНТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКУ
Постановка проблеми. Серендиповi скiнченнi елементи (ССЕ) були створеш в 60-х роках минулого столiття в зв'язку з застосуванням перетворення довiльного чотирикутника в стандартний квадрат з наступним застосуванням iзопараметричноl апроксимаци. ССЕ можна отримати iз вiдповiдного лагранжевого скiнченного елемента (ЛСЕ) шляхом усунення внутрiшнiх вузлiв. Першi (стандартнi) моделi були отримаш за допомогою пiдбору полiномiв, як задовольняють iнтерполяцiйнiй гiпотезi типу Лагранжа [1]. Алгебрачний метод обернено! матриц та геометричний метод Тейлора привели до тих же полiномiв [2]. Зважаючи на те, що стандартш ССЕ мають певнi недолiки, пошуки альтернативних базисiв продовжились.
Аналiз попереднiх публшацш. Для конструювання нестандартних базисiв ССЕ були розроблеш нестандартнi подходи. На початку 80-х рошв був запропонований метод ймовiрнiсно-геометричного моделювання [3], оснований на геометричнш ймовiрностi. Пiзнiше для побудови базиав серендипових елементiв був використаний геометричний метод [4]. Для розв'язання на серендиповому СЕ задачi iнтерполювання з умовами, був запропонований комбшований алгебро-геометричний метод [5].
В стандартних моделях серендипових апроксимацiй шльшсть ступенiв вiльностi iнтерполяцiйного полiному дорiвнюe кiлькостi вузлiв П на СЕ. Саме це унеможливлюе варiацiю гхтх властивостей. Алгебро-геометричний метод дозволяе отримувати "позавузловГ параметри, к1льк1сть ступенiв вшьносп (к1льк1сть параметрiв) в iнтерполяцiйному полiномi може вiдрiзнятися вiд кiлькостi вузл1в СЕ, що дозволяе керувати штерполяцшними якостями та обчислювальними властивостями моделей. В загальному випадку к1льк1сть параметрiв в iнтерполяцiйному полiномi може змшюватись вiд
мшмально! - П (шльшсть вузл1в на серендиповому СЕ) до максимально! - (п + 1)2 (к1льк1сть вузлiв на вiдповiдному лагранжевому СЕ). Для елементiв 2-го i 3-го порядков iснування цих закономiрностей доведено в [6]. Модел1 ССЕ четвертого порядку з шльшстю параметрiв в iнтерполяцiйному полiномi ввд 16 до 24 наведенi в [7-10].
Мета статт - за допомогою комбшованого алгебро-геометричного методу [5] побудувати iнтерполяцiйний пол1ном для ССЕ четвертого порядку, в якому шльшсть параметрiв дорiвнюе 25, тобто шлькосл параметрiв вiдповiдного лагранжевого елемента.
Основна частина. Лагранжевий СЕ четвертого порядку наведено на рис. 1. 1нтерполяцшний полшом цього елементу мае 25 параметрiв (рис. 2), що вщповщае кiлькостi вузл1в штерполяцп.
1
13
12
5
6
11
7
010
2
1
£ л
£2 £л л1
£3 £2л л л3
£4 г2 2 г 3 4 £ л £ л л л
£лл г3 2 г2 3 г 4 £ л £ л л
>-4 2 я-3 3 >-2 4 £^л £ л £ л
г4 3 ¡-3 4 £ л £ л
е4 4 £ л
Рис. 1 Лагранжевий СЕ четвертого порядку
£< 1; |л|< 1.
Рис. 2 Схема Паскаля для полшома з 25-ма параметрами
Серендиповий сшнченний елемент четвертого порядку в локальнш системi координат - це квадрат розмiром 2х2 (|<£ < 1, \л\ < 1), на границ якого регулярно розташоваш 16 вузлiв (рис. 3) та система вщповвдних функцiй форми. В альтернативних полшомах к1льк1сть параметрiв зб№шуеться порiвняно зi
стандартним за рахунок так званих "позавузлових" (або "прихованих") параметрiв. Це забезпечуеться появою доданк1в бiльш високих степенiв i дозволяе суттево змiнювати властивостi iнтерполяцiйного полiнома. Назвемо таю штерполяцшш полiноми "багатопараметричними".
140
150
160
6 1
13
12
5
6
11
7
010
О
2
Рис. 3 Серендиповий СЕ четвертого порядку
||< 1; Щ< 1.
В загальному випадку апроксимуючий полiном ССЕ-16 мае вигляд:
16
<Р=Е NiUi,
г=1
(1)
де N - функцiя форми, що вщповвдае вузлу г на СЕ (г = 1,16), и\ - вузлове значення шукано! функци у вузлi г.
Функци форми N1 повиннi мати наступш властивостi (умови типу Лагранжа):
N(I, щ ) = б1к, (2)
де 5гк - символ Кронекера, г - номер функци, к - номер вузла; а також повинна виконуватись умова вагового балансу [11]:
16
Е N 1щ)=1.
(3)
г =1
Крiм того, функци форми N1(|, щ) забезпечують неперервнiсть на границi: якщо вузол г належить конкретнiй сторонi квадрата, то функщя N1 (|, щ) вздовж ще1 сторони змiнюеться за законом
параболи четвертого порядку.
Вузлова доля навантаження при повузловому розподiлi рiвномiрноl масово! сили визначаеться подвшним iнтегралом по обласл с ск1нченного елемента вiд ввдповщно! функци форми, зважено! з поверхневою щiльнiстю у:
р, =¡¡}Ni г = 1,16.
(4)
Для однорщно1 пластинки у = 0,25 .
При розв'язуванш обернено1 задачi можемо з самого початку визначитись, у якому виглядi будуть заданi функци форми N1(|, щ). Щоб отримати iнтерполяцiйний полiном з 25-ма параметрами,
с
використовуючи умову, що вздовж сторони квадрата функци повинш змiнюватись за законом параболи четвертого порядку, запишемо N1(1, щ), N5 (|, щ) та N6 (|, Щ) у виглядi:
N1 (|щ) = к1 (1 -|)(1 + В|3щ2 + В|2щ3 + С|3щ + Сщ3 + £|3 + +
+ Е|2щ + Ещ 2 + Щ + Нщ +1); (5)
N5 (|щ) = к5 (1 -|2 )(1 -щ)(| + 2 + VI + щ1); (6)
N6 (|щ) = кз (1 -I2 )(1 -щ)(ж|2щ3 + щ1). (7)
Для знаходження невiдомих коефщенпв складемо систему алгебрачних рiвнянь, використовуючи гшотезу Лагранжа (2) та iншi властивостi функцiй форми (к - номер вузла):
' N1(4 ,щ ) = 1, к = 1;
N1(1 щк ) = 0, к = 5,6,7,14,15,16;
Я1 щк = р;
со 4
N5 (| ,щ ) = 1, к = 5; N5 (| щк ) = 0, к = 6,7;
< И1 ^5(|к,Пк= Р5; (8)
с 4
N6 (| ,щ ) = 1, к = 6;
N6 (| щк ) = 0, к = 5,7;
Я1 ^ (|к щк = Р6; с 4
4р + 8р5 + 4Р6 = 1; 4к1 + 8к5 + 4к6 = 1
Прирiвнюючи в системi (8) подвiйнi штеграли до змiнних р^ (4), отримуемо функци форми у
виглядi виразiв, як1 залежать вiд цих змшних, тобто розв'язуемо обернену задачу з параметром.
Шсля розв'язання системи (8) отримуемо несшнченну множину функцш, як1 залежать вiд
довiльних параметрiв р^ , однак, записаш у загальному виглядi, цi функци не задовольняють умовi
вагового балансу (3). 1снуе единий набiр значень вузлових навантажень, при якому ця умова
859 13 37
виконуеться: р =- , р =- , =--. При цих значениях р отримуемо базис,
1 2700 5 270 6 225 1
iнтерполяцiйний полiном якого мае 25 параметрiв:
N1 (Ы = ^(1I -щ)(- 48|3щ3 + 3|3щ2 + 3|2щ3 + 27|3щ + 27|щ 3 - 32|3 -
- 32щ3 - 3|2щ - 3|щ 2 + 3| + 64| + 64щ + 32);
(9)
N
= ^ (1 -£2 )(1 -л%2£2 - 9£л 2 - 7£- 7л - 7)
N6(£,л) = 1 (1 -£2)(1 -л)(4£2л3 -2л-1).
(10)
(11)
Функци форми для шших вузлiв цього базису легко утворюються з (9-11). Лшп нульового рiвня функцп N1(£, л) та сама функц1я зображенi на рис. 4 i рис. 5 вщповщно.
13 12 11 40—-р^О-О-О-ОЗ
14
15
16
010 09
5 6
7
О 2
Рис. 4. Лшп нульового рiвня функцп N(£, л) Рис. 5. Вiзуалiзацiя функцп N(£, л)
Вiзуалiзацiя функцiй N5 (£, л) (рис. 6) та N6 (£, л) (рис. 7) наочно пiдтверджуе , що вздовж сторони квадрата функци змiнюються за законом параболи четвертого порядку.
Рис. 6. Вiзуалiзацiя функцп N5 (£, л)
Рис. 7. Вiзуалiзацiя функцп N6 (£, л)
1
Висновки та перспективи подальших дослщжень. Новий шдхвд до моделювання серендипових апроксимацiй за допомогою комбiнованого алгебро-геометричного метода дозволяе побудувати базиси з керованою к1льк1стю параметрiв iнтерполяцiйного полшома. Саме завдяки цьому методу знайдено единий 25-параметричний базис ССЕ четвертого порядку. Доцшьшсть його використання в розрахунках потребуе перевiрки на модельних задачах.
Перспективним виглядае побудова альтернативних функцiй форми для просторових елемеипв.
Л1ТЕРАТУРА:
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. — М. : Мир, 1975. — 541 с.
2. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. — М. : Мир, 1986. — 318 с.
3. Хомченко А.Н. Некоторые вероятностные аспекты МКЭ / А.Н. Хомченко. - Ивано-Франковск, 1982. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.03.82, №1213.
4. Хомченко А.Н. Геометрия серендиповых аппроксимаций / А.Н. Хомченко, Е.И. Литвиненко, П.И. Гучек // Прикл. геом. и инж. графика. — К.: Будiвельник, 1996. — Вып. 59. — С. 40 - 42.
5. Астионенко И.А. О серендиповых элементах с естественным спектром узловых нагрузок / И.А. Астионенко, Е.И. Литвиненко, А.Н. Хомченко // Геом. та комп'ютерне моделювання. Зб. наук. пр. — Вип. 17. — Харшв: ХДУХТ, 2007. — С. 97 - 102.
6. Астионенко И. А. Многопараметрические серендиповы элементы в 2Б / И. А. Астионенко, П. И. Гучек, Е. И. Литвиненко, А. Н. Хомченко // Вестник Херсонского национального технического университета. — 2010. — Вып. 3 (39). — С. 40 - 47.
7. Хомченко А. Н. Чи потрiбний 17 вузол серендиповому елементу 4-го порядку / А. Н. Хомченко, С. О. Камаева // Вестник Херсонского национального технического университета. — 2009. — Вып.2 (35). — С. 455 - 461.
8. Хомченко А. Н. Геометрия серендиповых полиномов: обратные задачи. / А.Н. Хомченко, Е.И. Литвиненко, И.А. Астионенко // Прикладна геометрiя та iнженерна графжа. М1жв1домчий науково-техн. збiрник. — Вип. 82. — Кшв: КНУБА, 2009. — С. 58 - 63.
9. Астюненко I. О. Неоднозначнють серендипових моделей у задачах наближення функцш двох аргуменлв / 1.О. Астюненко // Вюник Запорiзького нац. ун-ту: Зб. наук. статей. Фiз.-мат. науки . — № 1. — Запор1жжя: ЗНУ, 2010. — С. 25 - 29.
10. Астюненко 1.О. Багатопараметричш штерполяцшш полшоми серендипового елемента четвертого порядку / 1.О. Астюненко // Проблемы информационных технологий. — 2012. — № 02 (012). — С. 29 - 32.
11. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. — М. : Мир, 1979. — 392 с.
АСТЮНЕНКО 1гор Олександрович - к.ф.-м.н., доцент кафедри вищо1 математики та математичного моделювання Херсонського нацюнального техшчного ушверситету.
Науковi штереси:
- методи вщновлення функцш багатьох змшних;
- теорiя серендипових апроксимацш.
