О СЕМЕЙСТВАХ ИЗОСПЕКТРАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 2 (2020). С. 28-34.

УДК 512.5

О СЕМЕЙСТВАХ ИЗОСПЕКТРАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

О.Э. МИРЗАЕВ, A.B. ХАСАНОВ

Аннотация. Работа посвящена обратной спектральной задаче об описании всех краевых задач Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с одним и тем же спектром. Такие краевые задачи называются изоспектральными и были изучены в работах E.L. Isaacson, Н.Р. McKean, В.Е. Dahlberg, Е. Trubowitz, М. Jodeit, В.М. Levitan, Y.A. Ashrafvan, T.N. Harutyunvan. В настоящее время имеются разные методы решения обратных спектральных задач: метод оператора преобразования, т.е. метод Гельфанда-Левитана, метод спектральных отображений, метод эталонных моделей и другие. В.А. Марченко показал, что оператор Штурма-Лиувилля на конечном отрезке определяется однозначно по его собственным значениям и последовательности нормирующих констант, т.е. по спектральной функции. U.M. Гельфандом и Б.М. Левитаном были найдены необходимые и достаточные условия восстановления краевых задач Штурма-Лиувилля по их спектральным функциям. Этот метод основан на восстановлении потенциала и краевых условий по спектральным данным с помощью интегрального уравнения Фредгольма второго рода с параметрами. При построении изоспектральных краевых задач Штурма-Лиувилля с заданным спектром п2,п > 0, нами использован метод Гельфанда-Левитана. Основным результатом работы является алгоритм, восстановления семейства краевых задач L = L(q(x),h,H) Штурма-Лиувилля, спектры которых удовлетворяют условию a(L) = {п2 ,п > о} . При этом найденные коэффициенты q = q(x, 7i, 72,.. .),h = h(^1 .. .),Н = Н (j1,j2,...) зависят от бесконечного числа параметров jj,j = 1, те.

Ключевые слова: Задача Штурма-Лиувилля, собственные значения, нормирующие константы, спектральные данные, обратная спектральная задача, интегральное уравнение, изоспектраьные операторы.

Mathematics Subject Classification: 34А55, 34К10, 34К29, 47Е05, 34В10, 34L40

1. Введение

Определение 1.1. Краевые задачи Штурма-Лиувилля

L°y = —у'' = Ху, (0 < ж < п)

(1.1)

у'(0) = 0,у'(п) = 0

и

Ly = —у" + q(x)y = А у, (0 < х < ж)

(1.2)

у' (0) — hy(0) = 0,y' (п) + Ну(ж) = 0

O.E. Mirzaev, A.B. Khasanov, On families of isospectral Sturm-Liouville boundary value

problems.

© мирзаев о.э., xacahob a.b. 2020.

Работа выполнена при финансовой поддержке фундаментального проекта OT-F4 -04(05)Министерство

Инновационного развития Республики Узбекистан.

Поступила 24 октября 2019 г.

О СЕМЕЙСТВАХ ИЗОСПЕКТРАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

29

называются изоспектралъными, если они имеют одинаковые собственные значения, т.е. a(L) = a(L0) = [n2, n > 0} .

Здесь q(x) G С[0, к] - действительная непрерывная функция на отрезке [0, h и Н конечные действительные числа,

В данной работе восстанавливается семейство краевых задач L = L(q(x), h, Н) Штурма-Лиувилля с граничными условиями (1.2), спектры которых удовлетворяют условию a(L) = [Ага}^0 = [n2, п > 0}.

2. Некоторые сведения об обратной спектральной задаче

Рассмотрим следующую краевую задачу

L(q(x),h, Н) = -у" + q(x)y = Ху, (0 <х <ж), (2.1)

у\0) - hy(0) = 0, (2.2)

у'(п) + Ну(ж) = 0, (2.3)

где q(x) G С[0,^\, А - спектральный параметр.

Обозначим через ф(х, X) решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальным условиям

ф(0,Х) = 1,ф' (0,Х) = h. (2.4)

Хорошо известно [3], что решение ф(х,Х) задачи (2.1), (2.4) существует, единственно и для каждого фиксированного х G [0, является целой функцией по А. Кроме того, имеет место интегральное представление

¡•X

ф(х, X) = cos л/Хх + К(x,t)cos y/Xtdt, (2.5)

0

1 Г

К (х,х) = h +- q(t)dt. (2.6)

2 J о

Очевидно, что А) при любом А удовлетворяет граничному условию (2.2). Поэтому собственные значения Xn, п = 0,1, 2,... задачи (2.1)-(2.3) суть корни уравнения

А(Х) = ф' (п,Х) + Нф(п,Х) = 0, (2.7)

а соответствующая собственная функция ф(х, Xn) , п = 0,1, 2,... , Положим

f^'K

an = I ф2(х,Хп)йх. (2.8)

0

Числа ап называются нормировочными числами краевой задачи (2.1)-(2.3). Набор чисел [^п,®п}^=0 будем называть в дальнейшем спектральными данными задачи (2.1)-(2.3).

Теорема 2.1. (|3],[9]J. Для, спектральных данных [Хп,ап}°^= 0 задачи, (2.1)-(2.3) справедливы, равенства,

Vx* = п + — + ^, ап = I + ^; [1п} , Ше 12, (2.9) пк п 2 п

1 Г

с = h + Н + - q(t)dt, (2.10)

20

ф(х,Хп) = cos пх + ^^, |fj < М. (2.11)

п

Хорошо известно, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны и для произвольных функций ¡(х) Е Ь2(0,п) имеет место

/(х) = £ —( Г , Хп)^) ф(х, Хп). (2.12)

«пЛ Л )

Отсюда получим символическое равенство

ф(г ,Хп)ф(х,Хп)

п Лп

п=0

где 6(х) - дельта функция Дирака. В частности, при д(х) = 0 h = 0, Н = 0 имеем

те

v-^ cos пх cos nt , ,.

Е—о— = ^ _,), 2-14)

z— л0

п=0 п

{i :п > 0.

где

0 = j i,n = 0 Лп i 2,п > i.

Теорема 2.2. (В.А. Марченко [1]J. Потенциал q(x) и коэффициепты, h, Н краевой задачи (2.1)-(2.3) определяются однозначно по спектральным данным {Хп,ап}°те=0-

Лемма 2.1. (|2]J. Имеет место тождество

£ ф(х, Хп) cos v^t =0,0 <t<,. (2,16)

п Лп

п=0

Теорема 2.3. (И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан Щ). Ядро К(х, t) оператора, преобразования, (2.5) удовлетворяет интегральному уравнению

¡•Х

К (х, t) + F (х, í)+/ К (х, s)F (s, t)ds = 0, (0 <t<x), (2.17) 0

где

Г i i "I

F(х, t) = ^^ < — cos \[Хпх cos\fXnt--0 cos пх cos nt >. (2.18)

п=0 l ап лп J

Теорема 2.4. (И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан [2],[9]J. Для того чтобы, последовательность вещественных чисел, {Хп, ап}п=0 была, спектральным данным некоторой краевой задачи вида (2.1)-(2.3) с потенциалом, д(х) Е L2(0,i), необходимо и достаточно, чтобы, выполнялись условия (2.9).

Пусть {Хп,ап}сте= 0 удовлетворяют условия (2.9). Построим функцию F(х, t) по формуле

К( х, )

Теорема 2.5. (Щ). При каждом фиксированном х Е (0,i) интегральное уравнение (2.17) имеет единственное решение К(х, t) = Kx(t).

К( х, ) ф( х, Х)

ф( х, Х)

_ф" + д(х)ф = Хф, (0 < х < i), (2.19)

и начальным условиям

ф(0, Х) = 1, ф'(0, Х) = К(0,0) = _F(0, 0) = h, (2.20)

где

qb) = 2—К (х,х). (2.21)

ах

О СЕМЕЙСТВАХ И30СПЕКТРАЛВНВ1Х KPAEBBIX ЗАДАЧ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

31

Хп = п2,п > 0; ап = <

1 Г

Н = с - h --/ q(t)dt. (2.22)

20

3. Алгоритм восстановления изоспектральных краевых задач 1) Пусть

' 2,п > к

ak-i, п = к - 1, . . .-

ai,n = 1, а0,п = 0

где a0,ai,..., ak-i — заданные положительные числа.

Легко заметить, что последовательность [Хп,ап}^=0, определенная равенствами (3.1), удовлетворяет условиям теоремы 2.4. Поэтому существует единственная краевая задача L(q(x), h, Н) = L(a0,а1,..., ак-1) вида (2,1)-(2,3) с коэффициентами

q(x) = q(x,a0,ai,... ,ak-i) G L2(0,n), , ,

h = h (a0 ,а1,... ,ак-1) ,H = H (а0,а1,... ,ак-1). '

В этом случае спектр семейства граничных задач L(a0,al,... ,ак-1) удовлетворяет равенству a(L(a0,al,... ,ак-1)) = [п2,п > 0} . Далее находим коэффициенты (3.2) краевых задач

L(a0,ai,.. .,ak-i)y = -у" + q(x,a0,ai,.. .,ak-i)y = Ху, (3.3)

у' (0) - h (а,0, ai,..., ak-i) у (0) = 0, у' (п) + Н (00, ai,..., ak-i)y (п) = 0. (3.4) Сначала определим F(x,t) по формулам (2.18) и (3.1)

k-1

F(х, t) = ^^ bn cos пх cos nt, (3.5)

п=0

где

Ь =±-±ао = { 2,п > 1

Ьп = ап а0п ,ап =\ 7г ,п = 0. Затем, подставляя (3.5) в интегральное уравнение (2.17), получим

К(x,t) = -F(x,t) - К(x,s)F(s,t)ds = - ^^ bn cos пЬф(х,Хп), (3.6)

J0 n=0

где

fX

ф (x,Xn) = cos пх + / К (x,s)cos nsds. (3.7)

0

Далее, учитывая формулы (2.20) и (2.21), находим

k i

h = h(a0,ai ,...,ak-i) = -F (0,0) = -J^ bn, (3.8)

ni

n=0

k i

q(x) = q(x, a,0,ai,..., ak-i) = -2^2 bn[cos nxip(x, Ara)}'. (3.9)

n=0

Подставляя выражение (3.6) в формулу (3.7), имеем

k-i ( r-x \

ф (х, Хп) = cos пх Ьрф (х, Ар) < / cos nt cosptdt>, 0 < n < к - 1 (3.10)

p=0 J

Отсюда, дифференцируя по х, получим

ф' (х, Хп) = —п sin пх — Ylp—o ЪрФ'(х, Ар) { fp cos nt cosptdt} —

(3.11)

— Ylp-O Ърф(х, Хр) cospx cos nx. Наконец, в вышеуказанных формулах (3.10) и (3.11), полагая х = ж, сначала получим

ф (ж, Хп) = (—1)п — Ьпф (ж, Хп) аП

(-1)п

Затем имеем

к-1

ф' (ж,Хп) = —ЬпО^пФ' (ъ, Хп) — (—1)п ^(—1)рЬрф(ж,Хр)

р=0

п+1 к-1

л (—И

•п

(—1)

ф' (*, хп) = Ы^И (—1)^ (*, хр ). i3-13)

Уп^п р=0

1 + bna',

Подставляя (3.12) в правую часть (3.13), получим

\п+1 к-1

1 + Ьп^°п р=0 1 + Ьра°р'

Из второго граничного условия (3.4) находим

к-1 ,

Ьр

Н = Н (а0, а,1,..., ак-1) = У^ ——р—0. (3.15)

р=0 1 + ьраР

2) Пусть последовательности чисел {Хп,ап}^=Р определены соотношениями

Ап = п2,п > 0, — = \ + , (3.16)

а,п а^ п +1

где гуп удовлетворяет условию

<х

1п

Y^r < ж (3.17)

^п +1 v ;

п Р

и а° определена по формуле (2.15).

Легко заметить, что данная последовательность {Хп,ап\с^=0 удовлетворяет условиям теоремы 2.4. Поэтому существует единственная краевая задача Ь(д(х), к, Н) = ... ,уп,...) вида (2,1)-(2,3) с коэффициентами

д (х) = д (х,^о,^1,...,^п,...) ,к = к (ъ,Ъ,... ,1п,...) ,Н = Н (ъ,1\, ... ,1п,...), (3-18) собственные значения которых равны п2,п > 0, т.е.

а ...,^п,...)) = {п2 ,п > 0} .

Теперь находим коэффициенты (3.18) краевых задач

Ъ, ...,1п,...)у = -у'' + д(х,^0,Ъ,... ,1п,...)у = Ху, 0 <х <ж, (3.19)

у1 (0) — h (1Р,11,..., ...) у(0) = 0, у' (ж) + Н (1р,11,...,1п,.. .)уЫ) = 0. (3.20)

О СЕМЕЙСТВАХ И30СПЕКТРАЛБНБ1Х KPAEBBIX ЗАДАЧ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ... 33

Для этого определим F(x, t) по формулам (2,18) и (3,16)

те

F(х, t) = ^^ ^ 1 cosnx cosnt. (3,21)

Отсюда находим

0 n + 1

п=0

те

h( Ъ, Ъ,..., >уп, ...) = -F (0, 0) = — . (3.22)

^ n +1

п=0

Подставляя (3,21) в интегральное уравнение Гельфанда-Левитана (2,17), получим

те

К (х, t) = — ^^ In ^ cosnt ф(х,\п), (3,23)

п=0

где

¡•X

ф(х,Хп) = cosnx + / К(х, s)cosnsds. (3,24)

0

Известно, что функция ф(х,Х), определенная по формуле (2,5), удовлетворяет дифференциальному уравнению

— ф" + q(x, ъ, Ъ,..., 1п,...)ф = Хф (3.25)

и начальным условиям

ф(0,Х) = 1,ф' (0,Х) = h( Ъ, Ъ,..., 'Уп,...), где коэффициент q(x, j0, jT,... , /уп,...) определяется по формуле

d

q(x,^o,h,..., 7п,...) = 2— (К (х,х)). (3.26)

d х

Теперь, подставляя выражение (3.23) в (3.24), имеем

те X

ф(х,Хп) = cosnx — V^ ф(х, Хк)< cosktcosntdt} . (3.27)

to k + 1 Vo J

х

ф'(x, Хп) = —nsinnx — те=0 к+гф'(x, Хк) { J0X cos ktcosntdt} —

— IXfc=0 к+1ф(х, Хк) cos kx] cos nx. Подставляя x = ж в равенства (3.27) и (3.28), имеем

(—1)п ф(ж,Хп) = ,

^ п+т"п

(— 1)п+1 те гук

ф(ж,Хп)= , —_^ryo к

(3.28)

1 + п+тт-п t0k + 1 + 1к-0

0

Из второго граничного условия (3.20) находим

те

н ^ lт,..., 1п,...) = Y^ 1к

Далее, из (3.23) и (3.26), получим

к=0 к + 1 + 1к-к

q(x, 70,7т,..., '-(п,...) = — 2 V" [^тф^, Хп)]',

n + 1

п=0

где функция ф(x, Хп), n > 0 определена по формуле (3,27),

Таким образом, мы построили семейство граничных задач Штурма-Лиувилля, собственные значения которых совпадают с заданными числами Хп = n2, n > 0,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Марченко В.А. Некоторые вопросы m,eopuu дифференциального оператора второго порядка/ /Труды Москва. Матем. Об. 1, 327-420 (1952).

2. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции// Изв. АН СССР, сер. матем. Москва. 15:4, 309-360 (1951).

3. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы, Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука. 1988.

4. E.L. Isaacson, Е. Trubowitz The inverse Sturm- Liouville problem I// Comm. Pure Appl. Math. 36:6, 767-783 (1983).

5. E.L. Isaacson, H.P. McKean, E. Trubowitz The inverse Sturm-Liouville problem II// Comm. Pure Appl. Math.37:1, 1-11 (1984).

6. B.E. Dahlberg, E. Trubowitz The inverse Sturm-Liouville problem III// Comm. Pure Appl. Math. 1984.37:2, 255-267 (1984).

7. J. Poschel, E. Trubowitz Inverse spectral theory. Nev York: Academic Press. 1987.

8. Савчук A ..\L. Шкаликов А.А. О свойствах отображений связанные с обратными задачам,и Штурма-Лиувилля// Тр. МИАИ. 260, 227-247 (2002).

9. Юрко В.А. Введение в т,еорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит. 2007.

10. М. Jodeit, В.М. Levitan The isospectrality problem for the classical Sturm- Liouville equation// Advances in differential equations.2:2, 297-318 (1997).

11. Y.A. Ashrafvan, T.N. Harutvunvan Inverse Sturm- Liouville problems with fixed boundary conditions. // Electronic Journal of differential equations. 2015:27, 1-18 (2015).

O.iii.m Эркинович Мирзаев,

Самаркандский государственный университет,

Университетский бульвар, 15,

140104, г. Самарканд, Узбекистан

E-mail: [email protected]

Акназар Бекдурдиевич Хасанов, Самаркандский государственный университет, Университетский бульвар, 15, 140104, г. Самарканд, Узбекистан E-mail: [email protected]