Исследование обратной задачи штурма Лиувилля в сингулярном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ В

СИНГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ

Шабанова Галина Ивановна

ст. преподаватель, Сибирский Автомобильно-Дорожный Институт

(СибАДИ), каф. Высшей математики, Р/, г. Омск E-mail: galschabanowa2014@yandex. ru

THE STUDY OF THE INVERSE STURM-LIOUVILLE PROBLEM IN THE

SINGULAR CASE

Schabanowa Galina

senior lecturer Siberian Automobile and highway Institute (SibADI), Department of

mathematics, Russia, Omsk

АННОТАЦИЯ

В статье исследуются вопросы, связанные с восстановлением решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полупрямой у > 0 по спектральной функции оператора в специальных классах функций. Между классами функций, содержащих искомый коэффициент и спектральную функцию, установлено взаимно однозначное соответствие.

ABSTRACT

This article examines the issues associated with the reconstruction of the solution of the inverse Sturm-Liouville problem on the half line y>0 the spectral function of the operator in special classes of functions. Between classes of functions containing the desired ratio and the spectral function, set bijection.

Ключевые слова: задача Штурма-Лиувилля; дифференциальный оператор; лемма; спектральная функция оператора.

Keywords: Sturm-Liouville problem; differention operator; lemma; the spectral function of the operator.

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля

lqy = Лг(у)у(у,А), (1) ^(0Д) = 1,^'(0Д) = 0 (2)

в интервале [0,Ь]. г = г (у) > 0; r(y),q(y) Е С1[0,Ь].

Дополним начальные условия (2) граничным условием ф'(Ь,Л) = 0. (3)

d2

Отметим свойство собственных чисел ЛпЬ оператора lq = — +

Ч(у): > т, где т —наименьшее значение функции в интервале [0,Ь], п =

0,1,2,.... и ЛпЬ = Лп(Ь) [6, с.169]. Основные спектральные соотношения для сингулярного оператора lq получим из соотношений в регулярном случае, решая задачу (1)-(2) в интервале [а, Ь] и устремляя b к бесконечности. Лемма 1 (о предельной точке спектра оператора lq)

пусть в задаче (1)-(2) * = ^ ^ = Ц» "Ю JMJ- (4)

г(у) Е C1[0,b],qn(y) Е С1[0,Ьп]. Пусть q(y) имеет абсолютный минимум. Цттабс. = q(b*) = т < 0; при больших значениях у > b* q(у) принимает

отрицательные значения и монотонно стремится к нулю: q(y) = о (— -1),

у ^ ю. Тогда все собственные числа сингулярного оператора lq, за исключением быть может Л0, положительны и Л = 0 —предельная точка спектра.

Доказательство. Рассмотрим три задачи Штурма-Лиувилля в интервале монотонного возрастания q(y) — [bk,bn],bn > bk > b*.

1.q>" + (Л — q(y))r(y)cp(y,,Л) = 09^(Ък9Х) = 1,<р'(Ък,Х) = 0, (5) срг(Ъп,Л) = 0. (6) 2. у" + (Л — qHwM(y))rmax(y)(p(y^) = 0 и 3. ср" +

(л — Цнаиб(У))гтт(У)(Р(У,Л) = 0с теми же условиями (5), (6).

Обозначим собственные значения приведенных выше задач через

ЛИмеет место неравенство Л^ < ЛпЬ < Л® [6, с. 175]. (7) Перейдем к переменной Y = у — bk Решение задачи 2 в новых переменных

имеет вид ф(У,Л) = соб^(Л — Цнаим)гтах -У. Подчиняя ф(У,Л) граничному условию (6) Ьп — Ьк,Л) = 0, получим собственные числа

(1) к2п2 (2) к2п2

Лп* = (Ъп-ЬкУгтах + ч™™ и> аналогично> Л„,Ь = (Ьп-Ь02ГтЫ + Чнаиб, П в г. Из оценки (7) собственных значений задачи 1

п2п2 ^ ~ п2п2

(ьп-ьк)2Гтах + < Хп,ъ < ibn-bkyr^ + nez, (8)

г min

и теоремы Штурма о разделении нулей следует существование бесчисленного множества собственных значений у исходной задачи, а также предельные соотношения ХпЪ — ю,п — ю; Än(b) — ю при bn — 0. Если bn возрастает, то АП(Ъ) монотонно убывает. Полагая в (8) т(у) = 1 и учитывая поведение q(y) при у — ю, усилим неравенство

n2n2-S П2П2 i 1 \ ~ П2П2 i 1\ П2П2+£

(bn-bk)2 < (bn-bk)2 + 0\Т^)< ^ < (bn-bk)2 + 0\Т^)< (bn-bk)2'

Устремляя bn к бесконечности, получим lim Änb = 0+.

Классы функций

Определение 1. Пусть q(y) удовлетворяет следующим требованиям:

1. q(y) Е C1[0,ю) п Li[0,~), l|q(y)HL1[0,„) ^ M

2. q(y) имеет абсолютный минимум: qmin.a6c. = q(b*) = m < 0.

3. При больших значениях у > b* q(y) принимает отрицательные значения и монотонно стремится к нулю: q(y) = о (— -1) ,у — ю.

4. Последовательность элементов линейного нормированного пространства

г гп \ f \ (q(y),ecnu ye[0,bn], ГЛ

Ь1[0,ю) qn(y) = \ / Г1 [ сходится в Ь1[0,ю) к элементу

( 0,если уЕ(Ьп,ю) 1L J

этого пространства q(y) по норме: lim ftqn(y) - q(y)lL1[0M) = 0.

Совокупность функций q(y) со свойствами 1—4 составляет класс QM.

Определение 2. За класс Q% примем множество целых функций класса QM, таких, что q(0) = А > 0.

Если последовательность финитных функций (4) сходится по норме к q(y) Е L1[0, ю) и q(y) непрерывна в каждом конечном интервале, то, по первой теореме Хелли [1, с. 236], из последовательности соответствующих спектральных функций оператора lq а1(Л),а2(Л), ..,ап(А),...— монотонных, неубывающих и ограниченных в совокупности на всюду плотном множестве D можно извлечь по крайней мере одну подпоследовательность ^11(Л),а22(А), ..,апп(А), сходящуюся в основном к некоторой неубывающей

функции <г(Х) (т.е. в точках непрерывности <г(Х)). Построим <(Л) оператора Iq с коэффициентом q(y) Е QM. Вычислим и преобразуем (рп(у,Х).

(рп(У,Х) = cosVly + ^f0sinVl(y — T)qn(T)(pn(T,X)dT = sin[5n(A) +

VJy]

где ^n(X) = f™ sinVAr • qn(T)(pn(x,X)dx и

v-nW = -^f™ cosVAt • qn(r)tyn(T,A)dT одновременно в нуль не обращаются [3,с.269]. siп8п(Х) = . /п(Л\ , cosSn(X) = Vn(X)

Шх+Ш' п Мт+^Ш'

Как известно, А аь(Л) = аь(Л + А) — аь(Л) = й оъ(Х). (9) Преобразуем Аоь (Л) по определению, учитывая формулу для собственных

значений [3, c.270] VK+i,b - = | + о Q). (10)

Z

Аа>а)= Z h^oUII2

A<An>b<A+A

^n+1,b — ^n,b

Z

^n+1,b ^n,b

л<ЛП1Ь<Л+А byß + 0 {fr)) UXn+l,b +

l

1 Vn(Än b)+vn(Än b) ' ' " ^ l[ßn{Xn,b)+Vri(Xn,b)]--,-¡=—— sinjÄn)bbCOS[26n(Än)

2 2b^Än,b

В равенстве (9) перейдем к пределу, учитывая (11) и вторую обобщенную теорему Хелли [1, с. 239].

Lim f*+A d ob (X) = lim Aab(X) = 2 fÄ+A -= f*+A d o(X). Из

последнего равенства выводим дифференциал спектральной функции d о (X) =

2 _dX__ 2 m

n' 27Ä[^2(X)+V2(r)] = П' [iJ^xy+V^x]. ункции

ß(X) = 1- ^ f™ sinVXr • q (т)(р (т, X)dj = 1- ■^g1(X),

V (Л) = ^ соб^Лт • ц (т)ф (г, Л)йт = ^$2(Л) являются непрерывными

функциями ^Л = б, т.к. интегралы д1(Л), д2(Л) равномерно сходятся при 5 > р > 0. Приведем й а (Л) к виду

п1 [^2(Х)+У2(Х)] } п п [^2(Л)+У2(Х)]

2

^ + = \2 + аКХ)] Тогда о{Х) = {пГХ + °1(Х),еСЛи Х > 0, (12) ы J I 0, если КО.

Из определения а и формулы (10) следует: Ааь (Я) < Аа0 Ь(Х) = 2 + 0 (1) .

а0 Ь(Х) — спектральная функция с q(y) = 0, у Е [0,Ь]. Следовательно,

dV!

< 2 • dVJ и для всех X > 0 ß2(Ä) + v2(X) > 1. (13)

п [ß2(X)+v2(Ä)] " п

Функции ß(X), v(X), а1(Л) фактически зависят от аргумента s = Vx,

ПОЭтОМУ ^ = 2 • ^М+УНЯ = 2 • ^„M+rfW+rfW (14)

Поскольку а (5) возрастает, da(s) = [2 + °i(5)] ds > 0. (15) Отметим свойства ö"1(s). 1. öi(s) непрерывна при s > 0. lim o{(s) = 0.

lim al(s) = lim 2-• ^^iii^^2^)-^!^^ =(15)

2. a1(s) монотонно убывает на сегменте [0, ю). В силу (13) и (14) ö"1(s) < 0.

3. о* (s)— абсолютно непрерывная функция. В силу (15), (13) и (14) 2

— ~< &1(s) < 0. Функции с ограниченной производной составляют класс

абсолютно непрерывных функций [5, с. 194].

4. Любая абсолютно непрерывная функция является функцией ограниченной вариации и имеет абсолютно интегрируемую производную:

J0°Vl(s)|ds = IK(s)ll4o,M) = < с.

Лемма 2 (о структуре спектральной функции а (Я))

Если q(y) Е QMß то спектральная функция сингулярного оператора lq

а (Л) имеет вид (12). Функция а* зависит от аргумента s =

VX является

монотонно убывающей и абсолютно непрерывной на интервале [0, ю).

2

Определение 3. Пусть q(y) Е QM и а (X) —спектральная функция сингулярного оператора lq. Множество функций а(Х) составляет класс а, если:

1. а(Х) = lim апп(Л) в основном, т. е. в точках непрерывности а(Х).

2. а(Х) определяется формулой (12).

3. a^s ),s =

VX монотонно убывает в интервале [0, го).

4. аг(s) абсолютно непрерывна.

Определение 4. Все спектральные функции класса а с целой функцией а'(Х)

2

в интервале [0, го) образуют класс аа. а1(0) = lim a'(s) = —.

Изоморфизм классов функций Лемма 3 (аналитичность а'(Х))

Если q(y) Е QM и является целой в интервале [0, го), то соответствующая спектральная функция оператора lq а(X) Е а и имеет целую функцию а'(Х),X = s2, в интервале [0, го) э X. Обратное утверждение верно.

Доказательство. Формула (14) устанавливает взаимно однозначное соответствие между q(y) и а1(s). Всякую целую функцию в области D можно разложить в степенной ряд °nsn, сходящийся во всей области

D

и обратно, всякая функция, представимая в D сходящимся степенным рядом, является целой [2, с.83]. Если q(y) —целая функция, то дг^ид^) в

формуле (14), а также р (т, s) являются целыми. Функция f2(s) = --—z—77-

(s-g1(s))Z+g2(s)

может быть разложена по степеням 5 в окрестности точки s = 0.f2(s) = bnsn, причем Ь0 Ф 0. Функция f1(s) = 2sg1(s) — gl(s) — g%(s) также представима степенным рядом с центром в нуле f±(s) = ^cli=0ansn. В силу четности а'(s) ряд Маклорена для а'(s) содержит только четные степени s.

CnS2n = У Cn(VX)2n = У CnXn = а'(Х);

n=0 'n=0 'n=0

а"(Л) а"1 (X) а!11*1 (X) с0 = Ита1Ш,с1= lim ———,с2 = lim ———,...,cn= lim ---,...—

0 л-о+ 1W 1 л-о+ 1\ 2 л-о+ 2\ л-о+ п\

коэффициенты разложения. сг'(Л) —аналитическая в точке Л = 0, т. к. на полупрямой Л> 0 она представляется сходящимся степенным рядом.

Доказательство обратного утверждения непосредственно следует из схемы восстановления q(y) по известной спектральной функции.

Схема определения q(y)

При решении обратной задачи Штурма-Лиувилля И.М. Гельфанд Б.М.

Левитан [4, с. 418] исходили из того, что существует функция К(у,х),х <

д2К(у,х) г ч д2К(у,х)

у, такая что ——--q(y)K(y, х) = ^ , (17)

дк(у,х)

= 0,Ф) = 2<-»¡ш, (18)

х = 0 оу

дх

Функция К (у, х) удовлетворяет также и линейному интегральному

уравнению f (у, х) + ¡^ К (у, т)/(т, х)йт + К (у, х) = 0 в области х < у. (19)

Функция f(y,x) = ¡^соБ^Лу • соб^Лх йаг(Л) существует и непрерывна

для всех значений аргументов, если аг (Л) ведет себя на бесконечности достаточно правильно, например, Vат[(У1(Л)] < ю.

Найдем потенциал уравнения (1) по формуле (18). Определим ядро интегрального уравнения (19), решая задачу (17)—(18) методом Фурье. Пусть К (у, х) = Х(х) • У (у). После подстановки решения К (у, х) и частных

производных второго порядка в (17) получим равенство, справедливое лишь в том случае, если его правая и левая части не зависят ни от х, ни от у, а

Уу'(У) Г \ Х"(х) ^ п тт

равны постоянному числу: — q(y) = = —/,/ > 0. Имеем задачу

Штурма-Лиувилля Уу(у) — q(y)У(y) = —/лУ(у),У(0) = 1, и задачу Коши Хх(х) + /Х(х) = 0,Х(0) = 1,Х'(0) = 0. Очевидно, Х (х) = соб^/х. Из граничного условия Х'( Ь) = 0 получим собственные значения

^ = = —,п = ■■■■ (20)

Тогда Кь(у,х) = %n=i Уп(У) ' cos(4Kt>x) = %n=i УП(У) • cos (jx) .

Подставим Кь(у,х) в интегральное уравнение Вольтерра (19).

Кь(у,х)+Гь(у,х) + ¡0!^=1¥П(У) • соз(^т)Гь (т,х)йт = 0. (21) Интегральный член 1Ь полученного уравнения можно преобразовать, учитывая связь между собственными числами (20) и собственными числами

исходной задачи (1)-(3) б п>ь = = Т + 0(ь): ^пЬ = ^^пЬ + 0 (1)ш

4 = ¡0 Уп(у) С05(ЛШ:ьт)Гь (Г, х)йт = £п=1 Уп(у) ¡0 СОБ^^^ПЦт) •

00 00 у

¡о ^0Б*п,' ^Ьх

• &Ох Ьйт = ^<°=1Уп(у) СОБ^^Х ¡0 о'^) /0 С052БТйт йБ = К (у, б) ¡у f(т, т)йт. После предельного перехода в (21), устремляя Ь ^ ю,

-f(y,x)

получим решение интегрального уравнения К(у,х) = —у ' —. (22)

1 + Jq j(T,TJUT

Лемма 4 (формула для определения потенциала)

Потенциал q(y) в задаче (1), (2) на полупрямой у > 0 восстанавливается единственным образом в классе функций QM (QM) по а(Х) Е а (аа) формулой

q(y) = гда-г(у'у) = С™2^)^-

Лемма 5 (об изоморфизме классов функций)

Между классами функций QM и а, QM и аа устанавливается взаимно однозначное соответствие. Спектральная функция а (X) сингулярного оператора lq обладает свойствами класса а ( аа) тогда и только тогда, когда потенциал q(y) принадлежит классу QM ( QM).

Доказательство. Прямое утверждение доказано выше. Пусть теперь а (X) Е а (аа). Последовательность решений (21) [Kb (у, х)} сходится к функции K (у, х) равномерно на множестве 0 < х < у < ю, (b ^ ю). Для всех к > N(s), всех натуральных р и всех у Е [0,го) 1кк+р(у,у) — Кк(у,у)1 < 8. Последовательность {Кь(у,х)} можно дифференцировать почленно в интервале (0, го), К'(у) = lim К'(у). Функции Кп(у,у) и Кк(у,у),п = к + р, отличаются

на константу и имеют равные производные всюду, где эти функции определены: qn(у) = qk(у),у Е [0,bk] с [0,bn]- Поэтому qn(у) =

fqÖO Приу bnl „m 1кп(у) — q^W, =0.

С 0 при у Е (bn, ю),

Определим асимптотическое поведение q(y)■ По лемме 4

ч(у) = 2*«Ш = 2±

йу йу

-г (у,у)

2 [1+0 ГШ*Т]2 ■ При

1+0 Г (_т,т)с1т

больших значениях у (у > Ь*) /(у,у) = со52(зу)йа1(5)~ а'^йБ = «К*')^0 = о(У).(у) = о (£) ,%Г(т,т)<1т = о(11ф) = 2 ¡^ =

о (-¿) у — «>■ ** е (0,5о).Ч(0) = 2[Кос°а1(5)]2 = А > 0. lim Ч(у) = 0-■

\ У / у—с

Из теоремы Вейерштрасса известно: всякая непрерывная на конечном сегменте [0, Ьп] функция ограничена на этом сегменте и достигает на нем своей нижней грани ш* и верхней грани. Спектральные функции класса а,

( аа) имеют правую предельную точку Л = 0, следовательно, существует ЦтЫ.ъбс. = Я(Ь*) = ш < 0. Ясно, что ц(у) е С'[0,ю) П Ь'[0,ю) и

\\я(у)\\ь1[0,„) = ¡С\я(у)\йу = 2с\ц(у,у)\йу = 2\Уоса1(5)\ <Мв силу свойств К (у, у).

Доказанные леммы могут оказаться полезными при решении обратных задач математической физики, редуцируемых к обратной задаче Штурма-Лиувилля.

Список литературы:

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Издательство «Наука», Москва.1969. — 400 с.

2. Лаврентьев М.А. и Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. Издательство «Наука», Москва.1973. — 736 с.

3. Левитан Б.М., И.С. Саргсян. Введение в спектральную теорию. Издательство «Наука», Москва. 1970. — 671 с.

4. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Издательство «Наука», М. 1969. — 528 с.

5. Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. Издательство «Наука», М. 1968. — 288 с.

^ сгеа!ес1 Ьу ^ее уетоп

д РооРгеегег

6. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. Издательство «Наука», М. 1979. — 191 с.