CC BY
38
Section 8. Mathematics
Преподавание дисциплины «Практикум по решению математических задач» с учетом доминирующего канала восприятия информации приводит к тому, что у студента исчезает боязнь неуспеха, страх перед заданием, ведь он имеет возможность выполнить работу индивидуальным способом, перевести предложенное задание на свой «язык», в рамках тех отношений, которые адекватны его типу восприятия.
Образовательный процесс, выстроенный таким образом, позволит не только усваивать математические дисциплины, учить студента думать, развивать интуицию, воображение, пространственные представления, опираясь на его субъектный опыт, но и создавать атмосферу сотрудничества и сотворчества.
Важно заметить, что материалы диагностического тестирования существенно могут дополнить внутривузовский контроль уровня знаний и умений студентов по дисциплине для проведения дальнейших мониторинговых исследований качества подготовки студентов в образовательном учреждении.
Исследование способов восприятия и обработки информации студентами позволяет осуществить индивидуальный подход к студенту в процессе планирования учебной деятельности таким образом, чтобы добиться максимальной эффективности восприятия и усвоения учебного материала. Перспективы использования результатов диагностики ведущей репрезентативной системы наиболее значимы для повышения эффективности образовательного процесса.
Список литературы:
1. Вересова Е.Е,, Денисова Н. С., Полякова Т. Н. Практикум по решению математических задач. - М.: Просвещение, 1979 г.
2. Башмаков М. И. Уравнения и неравенства/М. И. Башмаков - М.: Наука, 1976.
3. Игольникова С. Е., Зарипов Р. Ю., Зарипова И. Р. Решение тригонометрических уравнений и неравенств повышенной сложности: Метод. пособие КГТУ - Казань, 2000.
4. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Тригонометрия./В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович - М.: Вербум-М, 2000.
5. Андреас С., Андреас А. Базовые техники НЛП. Сердце разума. 50 психологических приемов, которые обязан знать каждый психолог-практик. - М.: Еврознак, 2005.
6. Шугалей Е. Стратегия глазами НЛП. Санкт Петербург, 2000 - 175 с.
7. Киселева, В. П. О педагогической диагностике знаний студентов-первокурсников/В. П. Киселева, В. Г. На-воднов//Современные проблемы профессионального технического образования: материалы международной научно- методической конференции. - Йошкар-Ола: МарГТу 2010. - С. 93-96.
8. Гетало Е. Н. Методические особенности применения технологии нейро-лингвистического программирования при обучении математическим дисциплинам в ВУЗе (на примере аналитической геометрии)//ма-гистерская диссертация, Талдыкорган 2014 г.
9. Абдыкаримова А. Ж., Сеитова С. М. Эффективность организации самостоятельных работ по курсу математического анализа с использованием нейролингвистического программирования//«Путь науки» международный научный журнал, № 1 (11), 2015. С. 12-14.
Schabanowa Galina Ivanovna. Russia, Siberian Automobile and highway Institute (SibADl), Department of mathematics, senior lecturer. E-mail: [email protected]
The study of the inverse Sturm-Liouville problem in the singular case
Abstract: This article examines the issues associated with the reconstruction of the solution of the inverse Sturm-Liouville problem on the half line y>0 the spectral function of the operator in special classes of functions. Between classes of functions containing the desired ratio and the spectral function, set bijection.
Keywords: Sturm-Liouville problem, differention operator, lemma, the spectral function of the operator.
62
The study of the inverse Sturm-Liouville problem in the singular case
Шабанова Галина Ивановна, Сибирский Автомобильно-Дорожный Институт (СибАДИ), каф. Высшей математики, ст. преподаватель. E-mail: [email protected]
Исследование обратной задачи Штурма-Лиувилля в сингулярном случае
Аннотация: В статье исследуются вопросы, связанные с восстановлением решения обратной задачи Штур-ма-Лиувилля на полупрямой y>0 по спектральной функции оператора в специальных классах функций. Между классами функций, содержащих искомый коэффициент и спектральную функцию, установлено взаимно однозначное соответствие.
Ключевые слова: задача Штурма-Лиувилля, дифференциальный оператор, лемма, спектральная функция оператора.
Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля
{ф=Д (y )cp(y Д) (1)
ф(0,Х) = 1, ф (0Д) = 0 (2)
в интервале [0,b ]. r = r (y )> 0; r (y ),q (y )eC1 [0,b ].
Дополним начальные условия (2) граничным условием
ф(Ь,Д) = 0. (3)
Отметим свойство собственных чисел Лпb оператора lq = ——у + q(y): \b > m, где m- наименьшее
t
значение функции
-(у)
в интервале [0,b ],
b = bn, qn (у ) = •
(4)
n = 0,1,2,.... и \,b =Xn (b) [6]. Основные спектральные соотношения для сингулярного оператора lq получим из соотношений в регулярном случае, решая задачу (1)-(2) в интервале [a,b] и устремляя b к бесконечности.
Лемма 1 (о предельной точке спектра оператора lq) Пусть в задаче (1)-(2)
\q(у)при y e[0,bn],
I 0ypyyyy(bn,да),
r (y )eC1 [0,b ], qn (y )eC1 [0,bn ]. Пусть q(y) имеет абсолютный минимум. qmina6c = q (b ) = m < 0; при больших значениях y > b q(y) принимает отрицательные значения и монотонно стремится к нулю:
( 1 ^
q(y) = о —- , у^да. Тогда все собственные числа
сингулярного оператора lq, за исключением быть может Л, положительны и Я = 0 — предельная точка спектра.
Доказательство. Рассмотрим три задачи Штурма-Лиувилля в интервале монотонного возрастания
q(y)-[bk,дд д > bk > b\
1. p"+(X-q (y ))r )y )p(y,X) = 0,
ф{кД) = l, v(bkД) = 0, (5)
(6)
с теми же
Ф {bnД) = 0.
2. ф"+(Л- qHauM (у)) (y)ф(уД) = 0 и
3. д + (Я -qmu6 (у))rmm yyд (у,Я) = 0 условиями (5), (6).
Обозначим собственные значения приведенных выше задач через \,b, yy, hfy Имеет место неравенство [3]
Я«<Я , <Я„(4. (7)
Перейдем к переменной Y = y - bk. Решение задачи 2 в новых переменных имеет вид v(Y, Я ) = cosj (Я- qHam )rmax ■Y. Подчиняя ф{У , Я ) граничному условию (6) ф (bn — bk,Я) = 0, получим соб-
ственные числа
ЯЯ1=-
2 2 П n
-а и, аналогич-
1наим
но, 2.у =
2 2 П n
{bn- k )
(bn - К ) Гтах
- + Чиаиб > П G Z. Из оценки (7)
собственных значений задачи 1
2 2 2 2 п n , П n _ /о\
(bn - bk )2 Д, q- nk (bn - k) rmm ^ ,( )
и теоремы Штурма о разделении нулей следует существование бесчисленного множества собственных значений у исходной задачи, а также предельные соотношения 2.nb ^да,п^да; Xn (b)^да npubn ^0. Если bn возрастает, то \ (b) монотонно убывает. Полагая в (8) г (у ) =1 и учитывая поведение q (у ) при у ^да, усилим неравенство
2 2 п а -s
л
2 2 па
(
(а - bk ) (к - к )2
1
л X,. л -
2 2 па
п 2а2 + s
V Uk
(а - bk )
(а - bk )
bn к бесконечности, получим
Устремляя lim Я . = 0 .
Классы функций
Определение 1. Пусть q (у) удовлетворяет следующим требованиям:
л
а
63
Section 8. Mathematics
1. q(y)e C [0,«)nLi [0>да)> q(y)L1[0,„) ^ M.
функции сг (Я) (т. е. в точках непрерывности сг (Я) )
2. q (у ) имеет абсолютный минимум: [1]. Построим сг(Я) оператора lq с коэффициентом
Чшп.абс = Ч (Ь' ) = m < 0.
q (y )^QM. Вычислим и преобразуем q>n (y ,X).
3. При больших значениях у > b q(y) принимает ^ (у,у) = + _Lfand (у-r)qn (т)рп (r, X)dr =
отрицательные значения и монотонно стремится
( 1 ^
к нулю: q(y) = о , у—»да.
V y J
4. Последовательность элементов линейного нормированного пространства
г s г \ \а(у),если уеГ0,Ь„1,
L [0,да) q (у) = -Pv/' 7 L nJ сходится в
п [ 0,если у <=(bn,да)
Lj [0, да) к элементу этого пространства q (у ) по норме: limqn (y) - q(y) ^) = 0.
n ^да
Совокупность функций q (y) со свойствами 1-4 составляет класс QM.
Определение 2. За класс QM примем множество целых функций класса QM, таких, что q (0) = A > 0.
где
и
•Jx ■
= sm[<5„( У) + dу] .^/иП (X)+v2n (Я) + о(1),
/ип (Я) = 1 —-j= jsim/Xr ■ qn (т)ф„ (т,Я)т
у/Я о 1 ю
v (X) = —j=[codXr-q (r)rn (v,X)dT
yjX о v 7 ny 7 одновременно
в нуль не обращаются.
sinön (Я) = ßn , cosö (Я)= . V"(Я) .
№ (b)+v:w № (л)+у2пщ
Как известно,
Я+”
Ааь (У) = о„ (Я + А)-Сть (Я)= J dаь (Я). (9)
Преобразуем Асть (Я) по определению, учитывая Если последовательность финитных функций (4) формулу для собственных значений
сходится по норме к q(y)е Ll [0,да) и q(у) непрерывна в каждом конечном интервале, то, по первой теореме Хелли, из последовательности соответствующих спектральных функций оператора lq Gl(X),G1(X),...,an (Я),... — монотонных, неубывающих и ограниченных в совокупности на всюду плотном множестве D можно извлечь по крайней мере одну подпоследовательность gu(A),g22(A),. . ,,Gnn (Я),..., сходящуюся в основном к некоторой неубывающей
-Я =П+o f 1
Ая (я)= Е
(10)
'<Я+А Ф„ (уД)2
Е
X 1 , — X ,
n+1 ,b n,b
X
я — я b
n+l ,b n,b
b (С — JXZ У) + 4Kb ) 1J b/n(y ,Xn,b )dy
я<яп b <Я+А , I П ( l
b\ — + o I
b V b ) j
[Cb +Я)
1
1 [я2 (К,b )+v2n (к> )]-**"(^) bcos\2Sn (Я,b) + JI~bb] + 0(1)
(11)
2 - -n- n'~7J 2b -^Tb
В равенстве (9) перейдем к пределу, учитывая
вторую теорему
2 V dX
Хелли.
(11) и
Я+А
lim [ dcb (Я) = lim Ас. (Я) = — 1 —1=-d----------
— Я л ’ b_ Л > л Я 2Я2 (Я)+у\Я)]
Я+А
= J dG (Я). Из последнего равенства выводим диффе-
dg (я) = —
п
Г- 1
[ц2 (я) + 22 (я)]
f iü *S2(Яа?]] ля=dG+dG=
äd——+.
п
р^нциал спектральной функции
dg (Я) = — ■
dX
d*d-
-+G1(K)
п
dd Тогда
п 2dd (X) + v2(X)] п [ц2 (X) + v2(X)] Функции
(Я) =
—d + G j (Я), если Я > 0, п
(12)
0, если Я< 0.
Из определения g и формулы (10) следует:
AGb (я)<Астм е=с+о ^ e^j.
а0,ь (я)- спектральная функция lq с q (у ) = 0, ются непрерывными функциями d = s, т. к. интегра- y е[0,b]' След0■Bательно,
1 ^ 1
ц (Я) = 1 —-j=CndT у Оф (т,ХСт = 1 —1= g1(X'),
\ X о VЯ
V (Я) = —XJcodXr-q (т)(р (r,X)dr =—Xg2(X)
\ X о \Я
явля-
лы g1(X),y2(X) равномерно сходятся при s > р> 0. Приведем dg (Я) к виду
dd
п [ц2(Я) + у2(Я)] п
- ■ dd
и для всех
64
The study of the inverse Sturm-Liouville problem in the singular case
= >0 ц2 (A)+v2(A) > 1. (13)
Функции yi(X), v (h) а1 (А) фактически зависят от аргумента s = -Jx, поэтому
_(s ) = 2 1 -[У (5 ) + У2 (5 )] = CTl (5 )_-' [У (5 ) + V2 (5 )] "
=2. 2sgi (5)- g1(5) - g1(5) п 52 - 2% (5)+gl (s)+g1(5)'
Поскольку er (s) возрастает,
(14)
da (s) =
ds > 0.
(15)
-+0-; (s)
_п
Отметим свойства a^ (s).
1. al (s) непрерывна при s > 0. limOj (s) = 0.
limCT,(s) = lim-2. 2sg'(s)-g2<s>ДМ = -!. (16)
s-»+ *->0+ n S -2sgl (s) + g^s) + g2(s) n
2. al (s) монотонно убывает на сегменте [0,да). В силу (13) и (14) C (s )< 0.
3. а1 (s)- абсолютно непрерывная функция.
2
В силу (15), (13) и (14)--< al (s)< 0. Функции
п
с ограниченной производной составляют класс абсолютно непрерывных функций [5].
4. Любая абсолютно непрерывная функция является функцией ограниченной вариации и имеет абсолютно интегрируемую производную:
Н н)|= = н (sНн = =4 (s)| < С .
0
Лемма 2 (о структуре спектральной функции а (А )) Если q (y ) е QM, то спектральная функция сингу-
лярного оператора
I
а (А) имеет вид (12). Функция ах зависит от аргумента s = у]~Л , является монотонно убывающей и абсолютно непрерывной на интервале [0, да).
Определение 3. Пусть q (y)^QM и а (А) - спектральная функция сингулярного оператора lq. Множество функций а (А) составляет класс а, если:
1. а(А) = lima (А) в основном, т. е. в точках
v ' n^x /
непрерывности а (А).
2. а (А) определяется формулой (12).
3. C7j (s), s =Нл, монотонно убывает в интервале
[0, да).
4. а1 (s) абсолютно непрерывна.
Определение 4. Все спектральные функции класса
а с целой функцией о\ (А) в интервале [0,да) обра-
2
зуют класс а“. а1 (0 ) = lim a(s ) =-.
s ^ 0+ П
Изоморфизм классов функций Лемма 3 (аналитичность а1 (А))
Если q (y )^QM и является целой в интервале [0, да), то соответствующая спектральная функция
оператора lq а(Л^^а и имеет целую функцию CTj(A), А = s2, в интервале [0, да) э А. Обратное утверждение верно.
Доказательство. Формула (14) устанавливает взаимно однозначное соответствие между q(у) и aq (s). Всякую целую функцию в области D можно разложить в степенной ряд ^fnsn, сходящийся во всей области D и обратно, всякая функция, представимая в D сходящимся степенным рядом, является целой. Если q(у)целая функция, то ^(s) и g2 (s) в формуле (14), а также ф(т, s) являются целыми. Функция
f (s ) =-----------— может быть разложена
(s- gi(s)) + g2(s) » n
по степеням s в окрестности точки s = 0. f2 (s ) = £bnsn,
n=0
причем b0 * 0. Функция f (s) = 2% (s) - g](s) - g22 (s) также представима степенным рядом с центром в нуле
f1 (s) = ^ansn. В силу четности Cj(s) ряд Маклорена
n=0
для al (s) содержит только четные степени s.
о) (s)=TfnS2n=Тс* ('^)2n = Ъл-=');
n=0 n=0 n=0
]• ' (i- ci (а) i- (А)
c0 = limc(А),= = lim—=^н = н —---------,...,
А—— 0+ А—— 0+ 1! А—— 0+ 2!
ст1("+1)(А)
,...,cn = lim----, ... — коэффициенты разложе-
А — 0+ n!
ния. al (А) —аналитическая в точке А = 0, т. к. на полупрямой А > 0 она представляется сходящимся степенным рядом [2].
Доказательство обратного утверждения непосредственно следует из схемы восстановления q (у) по известной спектральной функции.
Схема определения q (у)
При решении обратной задачи Штурма-Лиувил-ля И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан [4] исходили из того, что существует функция K(y,x),x < y, такая что
S^-4(y)K(y,x)=d^, <‘7>
dy ox
dK (у, х)
дх
х = 0
( ^ ndK(y,у) = 0, Ч (у ) = 2—^,
(18)
Функция K(y,x) удовлетворяет также и линейному интегральному Уравнению
А
f (у, x ) +JK (у ,r)f (т, x )dr + K (у, x ) = 0 в области
0
х<у. (19)
Функция f (y, x )= I cosily ■cosJXxdaO
существует и непрерывна для всех значений аргументов, если ОДА) ведет себя на бесконечности достаточ-
65
Section 8. Mathematics
но правильно, например, Var [о\ (А)] < да.
Найдем потенциал уравнения (1) по формуле
(18). Определим ядро интегрального уравнения (19),
решая задачу (17)—(18) методом Фурье. Пусть
K (у, x ) = X (x )• У (у ). После подстановки решения
K (y, x) и частных производных второго порядка
в (17) получим равенство, справедливое лишь в том
случае, если его правая и левая части не зависят ни от
x, ни от у, а равны постоянному числу:
Y(y) ( ) Xx(x) „ п тт
- q (у )= v( ^ = -ß, ц> 0. Имеем задачу
Y (у)
X (х)
Штурма-Лиувилля Y”y(y)-q(y)Y(y) = -jjY(y), Y(0) = 1, и задачу Коши Xx (x) + ^X(x) = 0,X(0) = 1,Y (0) = 0. Очевидно, X (x) = cosyf^x. Из граничного условия X (b) = 0 получим собственные значения
(20)
Тогда
'У = \УПь = — ,п = 1,2,3,—
(y, x) = fXn (y )■cos ((~x) = TYn (y )■cos (jnx j.
Подставим Kb (y,x) в интегральное уравнение Воль-терра (19).
Kb (y >x)+fb (y >x )+j!X (y )■
0 ”=1 (21)
)cos((Пут) (т,x)dr = 0.
Интегральный член Ib полученного уравнения можно преобразовать, учитывая связь между собственными числами (20) и собственными числами исходной задачи (1)-(3)
Sn,b =
Jkb =
пп
'° b
г]: Jkb =у[ЙПЬ + ° -
[1
Ib = JIX (У )C0S ((~T)fb (T> X ) =
0 n=1
YYn (y) jcos(Jj0~br)' jcossnT • cossnbx■ dalbdz =
= XY (У )cos*J~^x Jctj (s )jcos 2srdrds
n=l 0 0
= K(y,s)f (r,T)dT. После предельного перехода
0
в (21), устремляя b^да, получим решение интеграль-
- f (У >x)
ного уравнения
K (y,x ) =
(22)
1 + 10f (TT)dT Лемма 4 (формула для определения потенциала)
Потенциал q (у) в задаче (1), (2) на полупрямой у > 0 восстанавливается единственным образом в классе функций QM (QM) по с (А2) ес (а“) формулой q (у) = 2d-[ ./(у’У —] , где
dy 1 + jof (r,r)dr
f (y > y ) = JC0S 2(sy )d^i (s).
0
Лемма 5 (об изоморфизме классов функций) Между классами функций QM и а, QM и G устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Доказательство. Прямое утверждение доказано выше. Пусть теперь и (А)ест (а“). Последовательность решений (21) {b (y,x)} сходится к функции K (у,х) равномерно на множестве 0 < x < у <да,
( b^да ). Для всех k > N (е), всех натуральных p и всех у е[°да) \Kk+p (у>У )-Kk (у>У)<£. Последовательность {b (y, x)} можно дифференцировать почленно в интервале (0, ^ ), Ky (у ) =lim Kb (y )•
b ^да
Функции Kn (y,y) и Kk (y,y), n = k + p, отличаются на константу и имеют равные производные всюду, где эти функции определены:
Чп (у) = Чк (у)>У е [0А]с [°,b„]. Поэтому
чч=|' ':;;:y yYyY «>-*.......................•.
Определим асимптотическое поведение q (у). По лемме 4
q(y) = 2 dK (y ’y > = 2 d -f (y’ r>
dy dy
=2
- fy
1+10f iTT)dT
J 0f {r,r)drj + [ f (y, y)]2
[1+ J 0 f (r,T)drj2
больших
При больших значениях У ( У > b )
s0 So
f (y, y ) = Jcos 2(sy )dGk (s) ~ Jct; (s )ds = <j1(s * )• So = 0
0 0
f 1 Л y
Y e(0>Yo). Y (y) = 01 1 > J/{T,T)dT = о(1).
Vy ) b
(;_ Л l У
-o
Ч(У ) = 2-
(1) У У
= Y
1
У
► да.
[1 + 0 (1)] ^ /
q (0) = 2[V0”ct1 (s)]2 = А > 0. limq (y) = 0_.
y ^да
Из теоремы Вейерштрасса известно: всякая непрерывная на конечном сегменте [0, bn ] функция ограничена на этом сегменте и достигает на нем своей нижней грани m и верхней грани. Спектральные функции класса а, (а“) имеют предельную точку А = 0, следовательно, существует qminабс. = q (b ) = m < 0. Ясно, что q (y) е С1 [0, да )nL: [0,да) и
q(y) =J ;у )l dy=2J 1^0 (y > y )| dy=2 Y ;^M
о 0
в силу свойств K (y,y).
Спектральная функция g (^) сингулярного оператора lq обладает свойствами класса а ( а“) тогда и только тогда, когда потенциал q (у) принадлежит
66
The study of the inverse Sturm-Liouville problem in the singular case
классу QM ( QM). Доказанные леммы могут оказаться ской физики, редуцируемых к обратной задаче Штур-
полезными при решении обратных задач математиче- ма-Лиувилля.
Список литературы:
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Издательство “Наука”, М.1969.
2. Евграфов М.А. Аналитические функции. Издательство “Наука”, М. 1968.
3. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. Издательство “Наука”, М. 1970.
4. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Издательство “Наука”, М. 1969.
5. Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. Издательство “Наука”, М.1968.
6. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. Издательство “Наука”, М. 1979.
67
