CC BY
8
УДК 514.765
О секционнойкривизнеметрических связностей с векторным кручением*
Е.Д. Родионов1, В.В. Славский2, О.П. Хромова1
'А лтайскийгосударственныйуниверситет(Барнаул,Россия) 2Югорский государственный университет (Ханты-Мансийск, Россия)
On Sectional Curvature of Metric Connection withVectorialTorsion
E.D. RodionoV, Slavskf.O.P.Khromova1
'Altai State University (Barnaul, Russia) 2Yugra State University (Khanty-Mansiysk, Russia)
Исследованиюполусимметрическихсвязностей, илиметрических слязезстейсвекворнымир^ением, на римсносых мныгоофсеиях пвсвкщеныра^ло:^--поямаскмртмкыв. Дс^^ь^л^^п0 лнп сввзностеж явлнетсяод-ннм изерен основнынлешов, (ст1^]с^1т]^1ят^. К^]етаном, и ¡«подит нртложеипе в совреметной с^1ле]ек<г,
линиир тензор» кривизпы д^киз^е^йсвол1^1РТ1^л: из^авись К. вно, друнемжмаеимаеиоеми.В чостно-сти, р. тнoBыосдвргзaро важсвятео^ыг о соязивон-формных деформаций и метрических связностей с векторным кручением. А именно: риманово многообразие допускает метрическую связность с векторным кручением, тензор кривизны которой равен нулю тогда и только тогда, когда оно является конформно плоским. Хотя тсчсориривизны пoлycпммeтpичeткойcряnпосги об-ллдает меныцрмкиcлoмепммeеpкмпо сраосениюсо соязмлcтяюЛeви-Ыивитыы oднатевееещeмоокro опре-дoлшъпoнятиeиектирннoРнривизны лотем слсчае. Есосвтсепжсоязникаег воквовсЛот лисиивекциоштой ктивнзны илятcиммттpичeснлйгвягнocти и сеюыионноП кривизмыевязномти ЛевигЧчвклы.
Р-теярлбота е^е^о^^енле^ос^^^о!^ инею этлговзяжв-ст,овтврыагалщмлмеобтнднмыендсстатажсл1еусловия дянлягп ад 6-0-3:0^0™^ кййPигньIпoлyгиммeснпчe-спотсоя-ности и сгщионной кривизны связно стпЛеви-Чиятоы.Пocтнрокынeесилиaлоныe примпрыпо-йтим-мeвмитяcкитеыцлнocтeй, иотда э тояозможно.
Ключевые слова: секционная кривизна, метрическая связность, векторное кручение.
DOI 10.14258/izvаsu(2020)1-21
Pi^^ersof msny matfipmati danssee dsvo ted to thestudy nfsermsymmetnc connccttoosoc metric connections nrthvestortort.on onRiemannian manifolds. hpis t°)e ofconnectivrty icone ofphe thrnamoin typss chiKsvered hyE. Ca^l^aisdnd findsitecppHcationmmederophy^cr, ceome^try, ancUo^k^ of manifolds. GsosliiicHnes ond therurvatnne tensorof pgiven connecfion were staetitd IsyLAgeEola, K. Yano, andother matheryatci^iahs. In^aticular,KyYansi pronedoo m^ors^np Asmem ^n"^0^^ chnaestihOEf sonfopmpltteformotionsendmeMc connections with vector torsion. Namely: a Riemannian manifold admits a metric connection with vector torsion and the curvature tensor being equal to zero if and only if it is conformally flat. Although the curvature tensor of a hemisymmetric connection has a smaller number ofsnmmetrtes compnpedto the Lrri-Civita cornettios, E isstillpoisiO1tto define tsfe ponceptna seetiee^al phr^atuen intУisease. Tdtp nuerttonncturrilydrises nbnnllPentfforencebetwyenthe ceetionaicbrvotdre paalpmisymmetetc cpnкeePipn yndthe sectioyal curvctupsofonevf-Cinita cadneftion.
Thf paper Уdevotenio them udy oflGtsysne, and She aulhorsaiodthereceasceo anG sкfftcient yoe^titions Tor thsrectionid cusootucr of she remilymmeteic fonnsotioGto coincide wit h ^ lectionalfoiGcti.ire oftfia tevi-Civito oonneclion.m(sn-trivipiexamhfes oahpmfrymmorricconnsfttons are constructed when pos sible.
Key words: sectional curvature, metric connection, vectorial torsion.
1. Введение. Мекрпчесипе тоысняткп а oсикярнмй иримснпсй (псы пянуспййекрпчесипе
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант: № 1831-00033 мол_а).
анязяканр) янляиюная кдлтм тз нрих калкнлрх нтпкн, кнкирнух Э. Ктинтлкм [4], г лтхкдтн пвтлкжияри с акниимиллкй фтзтки, сикминитр г нкпклкстр млксккбитзрй [2-5]). В чтанякант,
К. Яно установлено, что риманово многообразие допускает метрическую связность с векторным кручением, тензор кривизны которой равен нулю тогда и только тогда, когда оно является конформно плоским [7]. И. Агрикола исследовала вопрос о поведении геодезических линий полусимметрических связностей при конформных деформациях исходной римановой метрики [4,8].
Хотя тензор кривизны полусимметрической связности обладает меньшим числом симметрий по сравнению со связностью Леви-Чивиты (римановой связностью), однако все еще можно определить понятие секционной кривизны в этом случае [9-11]. Естественно, возникает вопрос об отличии секционной кривизны полусимметрической связности и секционной кривизны связности Леви-Чивиты.
В настоящей работе найдены необходимые и достаточные условия для совпадения секционной кривизны полусимметрической связности и секционной кривизны связности Леви-Чивиты. Построены нетривиальные примеры полусимметрических связностей, когда это возможно. Кроме того, приведена математическая модель, позволяющая вычислять секционную кривизну метрической связности с векторным кручением через секционную кривизну связности Леви-Чивиты в случае локально однородных (псев-до)римановых многообразий.
2. Метрические связности. Пусть (псев-до)риманово многообразие (М, д) допускает линейную связность V. Определим на М тензор кривизны R(X, Y )г = V Y V х г — V х V Y г + V[XY ] г и положим R(X,У,Z,U) = д(П(Х,У)г,и) для любых векторных полей X, Y, г, и на М. Напомним, что тензор кривизны обладает следующими симметриями:
R(X,Y )г = —R(У,X)Z (1)
для любой линейной связности, и
R(X, У, г, и) = —R(X, У, и, г) (2)
для любой метрической связности, т.е. для связности, удовлетворяющей условию Vд = 0.
Определим на М секционную кривизну в направлении линейно независимых векторов X и Y
К (XV ) =
R(X, У, X, Y)
д(Х, Х)д(У, Y) — (д(Х^))2 '
(3)
Покажем, что данное определение корректно для любой метрической связности.
Пусть а, в, X, у 6 К. В силу линейности тензора кривизны выполняется:
R(аX + вУ, XX + уУ, аХ + вУ, XX + уУ) = а^(Х, X, аX + вУ, XX + /У) + ауЛ^, У, аX +
вУ,XX + уУ) + вXR(У,X,аX + вУ,XX + уУ) + вуR(У,У,аX + вУ,XX + уУ). Исходя из (1), первое и последнее слагаемое в данной сумме тривиальны. Далее, используя линейность тензора кривизны, заключаем R(аX + вУ,XX + уУ,аX + вУ,XX + уУ) = а^Ху^^, У, X, X) + а2у2R(X, У, X, У) + авХуЛ(X, У, У, X) + аву2R(X, У, У, У) + авX2R(У, X, X, X) + авХу^(У, X, X, У) + в2X2R(У, X, У, X) + в2XуR(У, X, У, У). Принимая во внимание (2), имеем R(аX + вУ, XX + уУ, аX + вУ,XX + уУ) = (а2 у2 — авXу)R(X,У,X,У) + (авХу — в'2X2)R(У,X,X,У). Отсюда, применяя (1), получаем R(аX + вУ, XX + уУ, аX + вУ, XX + уУ) = (ау — вX)2R(X,У,X,У).
Нетрудно проверить, что g(аX + вУ, аX + вУ)д(XX + уУ, XX + уУ) — (д(аX + вУ,XX + уУ ))2 = (ау — вX)2(g(X,X)g(У,У) — (д^У ))2). Таким образом, K(аX + вУ, XX + уУ) =
_R(aX+|ЗY,\X+vY,aX+|ЗY,\X+vY)_
д(ах+^,ах+^ )д(\Х+^У,\Х+рУ )-(д(аХ))2
= _(аЦ-13\)2Щх,^х^)_ = КX У) что
доказывает корректность определения (3).
3. Связности с векторным кручением.
Пусть (псевдо)риманово многообразие (М, д) допускает метрическую связность V с векторным кручением, т.е. связность вида
VхУ = VgхУ + д(X, У^ — д(У, УX,
(4)
где V — некоторое фиксированное векторное поле, X и У — произвольные векторные поля, Vg — связность Леви-Чивита на М.
Замечание 1. Связности с векторным кручением также называют полусимметрическими связностями (с точностью до направления V).
Замечание 2. Поскольку связность (4) является метрической, то определение (3), как было замечено выше, для нее корректно.
Нетрудно проверить (см. подробнее [8]), что тензор кривизны связности (4) определяется формулой:
R(X,У )г = Rg (X,У )г + V —
д(У,г^дх V + (д(У, г)\у |2 — дV V, г) — д(У, у Ы^г)^ — Ш,г)\у |2 — V, г) — д^^, г))У + (д(У, V м^^) д(XV )д(У,г)^, где Rg (XV )г — тензор кривизны связности Леви-Чивита, IV|2 = д(У^).
Тогда для секционной кривизны (3) будет выполнено
К (XV) = кд (XV )+-
а(X, У, X, У)
д^^Ы^У) — Ш,У ))2'*
(5)
где Кд (X, У) — секционная кривизна относительно связности Леви-Чивита, и
а(Х, У, X, У)
|Х 12д(Уду V,У)
У 12д(У9хV, X) - —д(Х, У){д(УдхV, У) +
д(ЧяуЪХ)\ + ^12[д(Х,У)2 - IX121У |2] +
IX 12д(У,У )2 - 2д(Х,У )д(У,Х)д(У,У) +
1УI2д(У^)2.
Ясно, что совпадение кривизн К(X, У) = Кд(X,У) равносильно условию
^ У, X, У) = 0.
(6)
Пусть {е1, е2,..., еп} — локальный базис, и X = х-е-, У = уез, V = vkek, а(е-,ез,ек,ег) =
агу , g(ei,ej
дз, Vgi ез
(Г )к ек, где
(Гд )ц ек — символы Кристоффеля 2 рода связности Леви-Чивита Уд, и i,j,k,t = 1, 2,..., п. Тогда (6) примет вид:
0 = х-хгу3уааЦгв = х-хгу3ув {(Гд)?к дгдр8 +
(Гд)Рк дз*дРг] - д-г [(гд)рГк дре + (гдр дРг] +
+V1 (ды[дцдтв - д-гдзе] + [д-гдзкд^ - 2д3дкгд^ + дзед-к дг1)}.
Данное равенство имеет место в двух очевидных случаях.
1) гок =0, что соответствует тривиальности векторного поля V, определяющего связность с векторным кручением. И как следствие влечет совпадение связностей V и Уд. Этот случай не представляет интереса.
2) Это обнуление выражения, стоящего в фигурных скобках, т.е. выполнение равенства вида
(гд)Ррк д-гдре +(гд)рк дзедрг] - д-г[(гд)рк дре +
+(гд)рк дрг] + ^ЫАдздге - д-гдзе]) + (7)
+vl([giгдзкдеь - 2дздыдеь + дзед-кдн) = 0.
4. Пример. Пусть далее М = G — группа Ли с левоинваринтной римановой метрикой и алгеброй Ли 0. Фиксируем базис е1,... ,еп лево-инваринтных векторных полей в 0 и положим
[е-,е3] скз ек, д(е-,е3) дз, сЦе ск gkе,
где ск — структурные константы алгебры Ли, дз — компоненты метрического тензора.
Компоненты связности Леви-Чивита Vg выражаются через структурные константы и компоненты метрического тензора:
(Г )к = 1д (с-3е - с3е- + се-3 ) ,
где VI.ез = (Гд)к ек и {д-3} — матрица, обратная к матрице {д-з }.
Таким образом, зная структурные константы алгебры Ли группы G и компоненты метрического тензора, мы можем решать систему (7) относительно компонент векторного поля V, определяющего связность V.
Пусть далее п = 3. Соответствующая классификация трехмерных групп Ли получена Дж. Милнором в [12]. Если G — унимодулярная группа Ли, то система равенств (7) не имеет нетривиальных решений.
Пусть G — трехмерная неунимодулярная группа Ли, 0 — алгебра Ли группы G, (-, ■)) — скалярное произведение на 0, соответствующее некоторой левоинвариантной римановой метрике на группе Ли G. Тогда в 0 существует положительно ориентированный ортонормированный базис {е1, е2, е3} такой, что [12]:
[еье2] = ае1 + ве2, [е1,е3] = ^2 + 6 ез,
[е2, е3] = 0,
где а + 6 = 2.
Используя указанный базис, записываем систему (7):
ам1 + (V3)2 = 0, 6v1 + (V2)2 = 0, (а + 6 + v1)v1 = 0
и находим ее решение, отличное от тривиального:
V = {-2, ±^26, 4 - 26},
где 6 € [0, 2] — структурная константа неунимо-дулярной алгебры Ли G.
Полученное векторное поле V определяет метрическую связность с векторным кручением, для которой секционная кривизна совпадает с секционной кривизной относительно связности Леви-Чивита, т.е. имеет место
К(X,У) = Кд(X,У), но VхУ = VgхУ.
5. Заключение. В результате проведенных исследований найдены нетривиальные условия для совпадения секционных кривизн относительно связностей с векторным кручением и Леви-Чивита в случае однородных пространств. Кроме того, получена метрическая связность с векторным кручением, отличная от связности Леви-Чивита, для которой секционная кривизна совпадает с секционной кривизной относительно связности Леви-Чивита.
Библиографический список
1. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (deuxième partie) // Ann. Ecole Norm. Sup. 1925. Vol. 42.
2. Schouten J.A. Ricci-Calculus.An intro-dustion to tensor analisis and geometrical Application Springer-Verlag. Berlin-Cottingen-Heidelberg, 1954.
3. Ivanov S., Parton M., Piccinni P. Loccaly conformal parallel G2- and £prn(7)-structures // Math. Res. Lett. 2006. Vol. 13.
4. Agricola I. The Srni lectures on non-integable geometries with torsion // Arch. Math. 2006. Vol. 42.
5. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с V-связностью // Изв. Сарат. ун-та. 2015. Т. 15. Вып. 3.
6. Паньженский В.И, Климова Т.Р. Контактная метрическая связность на группе Гейзенбер-га // Изв. вузов. Матем. 2018. № 11.
7. Yano K. On semi-symmetric metric con-
nection // Revue Roumame de Math. Pure et Appliquees. 1970. Vol. 15.
8. Agricola I., Kraus M. Manifolds with vectorial torsion // Differential Geometry and its Applications. 2016. Vol. 46.
9. Barua B., Ray A. Kr. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Rieman-nian manifold // Indian J. pure appl. Math. 1985. Vol. 16, No 7.
10. De U. C., De B. K. Some properties of a semi-symmetric metric connection on a Rieman-nian manifold // Istanbul Univ. Fen. Fak. Mat. Der. 1995. Vol. 54.
11. Manuraj D. Manifolds Admitting a semi-symmetric metric connection and a generalization of Shur's theorem // Int. J. Contemp. Math. Scientes. 2018. Vol. 3, No 25.
12. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups. // Advances in mathematics. 1976. V. 21.
