CC BY
13
Трехмерные метрическиегруппыЛи свееторнымерппением...
УДК 517.765
Трехмерныеметрические группы Ли с векторным кручениеми н^евын тензмром кринхенес*
С.В.Клепикова,И.В. Эрнст
Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
Three-DimensionalMetricLie GroupswithVectorialTorsion and ZeroCurvatureTensor
Sy.Klcpikova,iy.EmsC
Altai State University (Barnaul, Russia)
Последнее времястановится актуальнымизуче-ниетпрлзоичны-мииетрг^1^(^^^ч^елисяузностоми, с^ятич]^]^1^ч[от стяз-Н(^1^Т^иС1^ЛВУ-Чирт-Ч.
ИДетриоесиаяевязность свьи^ор1^1^1^ивеьсниьи л;^(^1^ммиври чеон^5евляз ннеть) ятчж^т^^в: оиьлИ^^з1^^тиь]:^а^^мли)^]чес1^]вд1): связностей.
Свози междулонформнымиятфндмсциямири-м^1^оье^хм^огесбрсзиь ум^тые^1^етямл^и^]зязиясея-мзв с вектодквшеиучеииеммтнихЬыла узианьвлена в ]ра(^с]т^х И. Яно.
Aрмзипч:миы)aнoвoмнoгдoбуедиемoпиPясетмe-тpичecвyюевязиоетьеуеятовнымкpее^eиУIMи т е^^с^рт комвизныкоторой равен нулю, '^огд^б! толисбтосда, коинс дно ямнмтс- ^с^нфнрз^1^о плоским.
Кромедогсбданьеозяязиясоя играеу важнрьд в сл]Рае дн;^]яз]дны)^ ]зв]дв эвьи слу-
чае вюыаямеьДи^оа^^я ыввеность ^яляетсо иврзяо-стяюи
Taпим о^аым, рясмукьев сьдаяь об исляeмуу (псевдосримановых мнoгoрбоззуй и метрияесиой с^^вс^ослвр) с лeктopнымяркоенмем]яeшдороиеиз-нычоео рывраиен иуою.
Дaммзя ра^отоо свящеитрешвн иьыпятт ов тонной зводнивелyнаыдВeумеИиУIX уeевФчecуиx г-^] Ля. Kpюмeтрсo,пpювяьвдcямaеемезючeрыaямовсчр]Hв-зooлпющеяул]чиcрятр комповентытензьра кривое-ныметртчесвоЛсвоснвтти с викторным коляемуеы в синлеeмeтpичecмик груолЛи.
Ключевсв слова: (псевре)римаповое иногоебразке, метрическаясвязностьсвекторнымкручением,груп-пыЛи,твнзор кписеонек
DOII0.14258/izvasu(2019)4-14
Recently, th estu dyc^f(pse ud o)Riemannianmanifolds ^]^th(i^irferentmetr^c;connectic^ns dtf^^re^t lrcm theOenc-Civlta connection brnamoffelcvunt.
m moteicfooneoiion with vectorial tcef^inn (aSso knunn as ;r semiroymmpCricconnectюfdisonfиf tlee often oonssOereO connectiona.
The connection betweentiio conformaldefaeduc^^c^ns offeietdarmmnman^оЫо t^nd matrm oonnfhtions with vectoribltorsion ontecom uns estcCliehed inlhewseks of K.Yanc^.
Namelr(cRremcnшon mhшColb aWmiss ometric ounnehtion witO пшЛогial toroiun, thc cuevature demot ufe^lilcli ir zcro, u^nd only i0 it is conformally flat.
Muteubet, Л1г c<i>nnectiun pbys an Important role 1п the caee ud two-dimensional suoaacet elnce, in Sins caee, anp metric cdnnfotionis e connhdeonwitnvectoriтl огогюп.
Thfet the proWem ofdtudy(pg(psruodlШemanman maniMds duitli meCric conoectюnwCt]rnectosibltorsion, tbc cui'tatare tensorofwhicY ie zeruo is arireh.
Tint pap>sr is^ee^otied (о гоЫп0 tlr^ ртоbko mthecare c^f t]sree-dimenoiknalmotric me oroupo. boaddrtion, a mat]rfmatical шюnrlisdeesenled thrtohows one toaolaulate tbfoomponcntr of tfe cbcvdturetonsdr ofa metiicfoonectiun witli vcctotwl toraonmthe case rfmrtoc Uegroups.
Key words: (pseudo)Riemannianmanifold,metriccomnec-
tion wiihnectrfial tors ion,Lregno ups,crfvatuee tenror.
1. Введение, определения и постановка задачи. Плевр (M, g) — Sфидоня)оуыьмяря ымм■ бддб0ьсуд. Офодыднуы оь ыьммды ымдбддбоьсуу
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант: № 1831-00033 мол_а).
ыдвоумдиилю ирясмдивр V вот фдыдщу оьрдмиврь
VxY = VgxY + g(X,Y)V - g(V,Y)X, (7]
удм V — мдидвдодд Mукиуояоьммяд одивдоодд вд-нд, X т Y — Ф0дусрднрммд рдивдоомд вянс, Vg — ирясмдивр ЛдрутЧурувь. Соясмяивр V мьсмрьдвт лс ыдвоумдиидй иоясмяиврю л рдивдоомы иолям-
Известия АлтГА. Математик а и механика. 2019. № 4 (108)
нием и является одной из трех основных связно-стей, описанных Э. Картаном в работе [1]. Также связность V называют полусимметрической связностью (с точностью до направления).
Данная связность играет важную роль в случае двумерных поверхностей, поскольку любая метрическая связность является связностью с векторным кручением в этом случае [1]. В работах [2-7] изучаются различные аспекты метрических связностей с векторным кручением.
В работе К. Яно [8] была сформулирована и доказана важная теорема о связи конформных деформаций и метрических связностей с векторным кручением.
Теорема. Риманово многообразие допускает метрическую связность с векторным кручением, тензор кривизны которой равен нулю, тогда и только тогда, когда оно является конформно плоским.
Таким образом, возникает задача об изучении (псевдо)римановых многообразий с метрической связностью с векторным кручением, тензор кривизны которых равен нулю. Данная работа посвящена решению поставленной задачи в случае трехмерных метрических групп Ли.
2. Предварительные сведения. Тензор кривизны метрической связности V с векторным кручением определяется аналогично общему случаю равенством:
R(X, Y)Z = VYVxZ — ^хVYZ + V[XlY
Отметим, что, в отличие от случая связности Леви-Чивита, в данном случае тензор кривизны не обязан удовлетворять алгебраическому тождеству Бьянки.
Исследование кривизны трехмерных метрических групп Ли основывается на следующей теореме, которая была доказана в римановом случае в работе [9], а в лоренцевом — в [10].
Теорема. Пусть (М, д) — трехмерное локально однородное (псевдо)риманово многообразие. Тогда либо (М, д) является локально симметричным (относительно связности Леви-Чивита), либо оно локально изометрично трехмерной группе Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой.
Следующая классификация для трехмерных метрических групп Ли была получена в рима-новом случае в статье [11], а в лоренцевом — в [10,12,13].
Теорема 1. Пусть G — трехмерная метрическая группа Ли, тогда соответствующая метрическая алгебра Ли содержится в таблице.
Опишем математическую модель, позволяющую вычислять компоненты тензора кривизны для метрических групп Ли с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. За-
фиксируем некоторый базис {e1,e2,... ,en} в соответствующей алгебре Ли g. Положим,
[ei, ej] = ckjue, (ui, Uj) = gj,
где cj — структурные константы алгебры Ли, gij — компоненты метрического тензора.
Компоненты связности Леви-Чивита V9 выражаются через структурные константы и компоненты метрического тензора:
(Г9 )j = 2 (4 + gsk cj gil + gsk ¿j,
где Vg. ej = (Г9 )j e k и {gij} — матрица, обратная к матрице {gj}.
Пусть инвариантный вектор V £ g, тогда компоненты метрической связности V с векторным кручением (1) задаются равенствами:
rj = (Г9)j + gij Vk — Vsgsj sk,
где Vе^ ej = Гк ek.
Компоненты тензора кривизны R можно вычислить с помощью следующей формулы:
Rijks = (rikrPl — ^jk^il + cCijГРк + CijГРс) gps.
3. Основной результат. Главным результатом данной работы является следующая
Теорема 2. Пусть (G, g) — трехмерная метрическая группа Ли с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Тогда если тензор кривизны равен нулю, то
• в случае U: V = 0 и
1. либо ai =0, а2 = аз;
2. либо а2 = 0, ai = аз;
3. либо аз = 0, ai = а2;
• в случае NU:
1. либо а2 = 1 ± \/1 — a2, ai = аз, V = (—2,0, 0);
2. либо a2 = 1 ± л/1 — ai, a1 = a3,
V=
0,
,V3
где
V3 = j±2y/l — a2 — 2;
в случае А1: V = 0 и
1. либо «1 =0, а2 = аз;
2. либо а2 = 0, а1 = -аз;
3. либо аз = 0, а1 = — а2;
в случае А2: а1 =0, а2 = 0 и V = 0; в случае А3: а1 =0 и
1. либо V = (0,1,1);
2. либо V = (0, —2, —2);
а? V3
ai
Трехмерные метричесюю гр^тпы Лисвектортымкр^ыением.
т аилица 1
Трехмерные метрические алгебры Ли
Случай Скобки Ли Нетривиальные скалярные произведения Ограничения
Риманова метрика
и [в1, е2] = азез, [е1, ез] = —а^е^, [е2, ез] = а1е1 е,е1) = 1, {е2, е2) = 1, (ез, ез) = 1 —
Ми [е1, е2] = (2 — а2)е2 + азез, [е1, ез] = а1е2 + а2ез, [е2, ез] = 0 -
Лоренцева метрика
А1 [е1, е2] = азез, [е1, ез] = —а2е2, [е2, ез] = а1е1 {е1,е1) = —1, (е2, е2) = 1, (ез, ез) = 1 —
А2 [е1, е2] = (1 — а2) ез — е2, [е1, ез] = ез — (1 + а2) е2, [е2, ез] = а1е1 (е1,е1) = 1, (е2, е2) = 1, (ез, ез) = —1 —
Аз [е1, е2] = е1 — а1ез, [е1, ез] = —а1е2 — е1, [е2, ез] = а1е1 + е2 + ез —
А4 [е1, е2] = азе2, [е1, ез] = —а2е1 — а1е2, [е2, ез] = —а1е1 + а2е2 (е1,е1) = —1, (е2, е2) = 1, (ез, ез) = 1 а2 =0
А [е1, е2] = 0, [е1, ез] = а1 sinаз е1 — а2 cos аз е2, [е2, ез] = а1 cos аз е1 + а2 sin аз е2 (е1,е1) = 1, (е2, е2) = 1, (ез, ез) = —1 sin аз = 0, а1 + а2 = 0, а1 ^ 0, а2 ^ 0
В [е1, е2] = 0, [е2, ез е1, ез] = азе1 — а4е2, = а1е1 + а2е2 (е2, е2) = 1, (е1,ез) = —1 а2 = аз
С1 [е1, е2] = 0, [е2, ез е1, ез] = азе1 + а1е2, = а1е1 + а2е2 (е1,ег) = 1, (е2, е2) = —1, (ез, ез) = 1 а2 = аз
С2 [е1, е2] = 0, [е2, ез е1, ез] = а2е1 — азе2, = а1е1 + а2е2 а2 = 0, а1 + аз =0
• в случае А:
1. либо а1 = 0, а3 = ±п/2, V = (±а2, 0,0);
2. либо а1 =0, а3 = ±п/2, V = (0, 0, ^а2);
3. либо а2 =0, а3 = ±п/2, V = (0, ±а1,0);
4. либо а2 =0, а3 = ±п/2, V = (0, 0, ^а1);
5. либо а1 = а2, V = (0, 0, —а1 sm(а3));
• в случае В: а4 = 0 и
1. либо V = (а2 — а3, 0, 0);
2. либо V = (—а2, 0, 0);
• в случае С1: а1 =0 и
1. либо а2 =0, V = (0, 0, а3);
2. либо а3 =0, V = (0, 0, а2);
3. либо а2 =0, V = (0, ±а3, 0).
В случаях А4 и С2 тензор кривизны не может быть равен нулю.
Доказательство. Рассмотрим доказательство теоремы для случая Аз, для остальных случаев теоремы 1 доказательство аналогично.
В данном случае система уравнений R = 0 имеет вид
а2 — 4^3)2 — 4V2 +8 = 0, а? +4V3 + 4^2)2 — 8 = 0, а1У1 + 2V 2V3 + 2V2 — 4 = 0, а?У1 — 2V 2V3 — 2V3 +4 = 0, а2 + 4(V ?)2 + 4V2 — 4V3 = 0,
а^3 + 2V V2 — 2а? =0, а?У2 + 2V1V3 — 2а? =0, а?У3 — 2V1V2 + 2а? + 2V1 = 0, а?У2 — 2V1V3 + 2а1 + 2V1 = 0.
Рассмотрим сумму седьмого и девятого уравнений и вычтем из них шестое и восьмое:
а^2 — V3) = 0.
Если а1 = 0, то V2 = V3 и пятое уравнение примет вид а2 + 4^1)2 = 0. Таким образом, обязательно а1 = 0. Система примет вид:
(V3)2 + V2 — 2 = 0, V3 + (V2)2 — 2 = 0,
V V3 + V2 — 2 = 0,
V V3 + V3 — 2 = 0, (V1)2 + V2 — V3 =0,
V V2 = 0,
V V3 = 0,
V1V2 — V1 =0, V1V3 — V1 =0.
Разность шестого и восьмого уравнений дает V1 = 0, тогда из пятого получаем V2 = V3. Система примет вид (V2)2 + V2 — 2 = 0 и будет иметь решения V2 = 1 и V2 = —2.
Известия АлтГУ. Математика и механика. 2019. № 4 (108)
4. Заключение. В результате проведенных исследований построена математическая модель, которая позволяет вычислять компоненты тензора кривизны метрических групп Ли с метрической связностью с инвариантным векторным
кручением. Кроме того, в работе доказана теорема об алгебраическом строении трехмерных метрических алгебр Ли с векторным кручением и нулевым тензором кривизны.
Библиографическийсписок
1.Cartan E. Sur les Varietes aconnexionaffine et lei theorie de la felativite generalisee (deuxiemeptrtie) // Ann. Ecole Norm. Sup.1925.Vol. 4t
2.MunitpjaG. MenifoMt AnmiCtng a Semi-Symmetric MeteicConnectionanil a Generahzaüonof Schur's Theorem // Int. J. ConEemp.M.th. Sci.200P. Vola. NT25.
S.Agricnk I., Th.or C. The GeodesiciofMetricConncction s wtph Vectoria.Tnrsion d Annais of GlftalAnafyMi and Geomethy. 2t0t. Vel. 26.
4. Mueathan C., ÖzgiinC. Riemanmar AariCntAs wrth p ccmi-symmetriame.ricconnectinA satisfying soice semw^s^mcti. conolitions . .rocee&ngn np tRetRssonGn Acadnn^ of Scieoces. 2108. Vol. 57. No 4.
5. YilmazH.B., Zengin .0., Uysal. S.A. On o SEmi SymmetrioMetrioConnectirn wüsh r Spni^.d ConAititn on a Riomanman MauifoH A1 EueopecTjtAtnel of pure eud applied mathematics. 2011. Vol. 4. No 2.
6. Zengin F.Ö., Demirbag S.A., Uysal. S.A., Yilmaz H.B. Some vectorfields oy a riemannian manifAM w.th sEmi-
symmatric mettc connection // Bulletin of the Iranian Mathcmaticcl Society.20 12.VoL37.No2.
0. Agricola IoKrous M.Navifolds withvEcCorialtorsoon // DierentoalGeometryand V Apclications. 2016. Vol. 46.
8. Yano K. On semi-symmetric metric connection // Revue Roumamo deMa.h. Pure et Ap^iqucvs. 1970.Vol.l.5.
t). Seki°vvo 2o On stmu 0idimE2ck>nrr curnature hrreo^neoies sjjaces // Tensor N. S. 1977. Vol. 31.
C0. Calvatutu G. HomogENEOuo o^i^t^c^i^i^o^tic^n ticree-2imEns1noarLor5na2itn mcm2o0ds2/ J.GEsm.Phys. 0007. Vol 0V
11. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Adnoncee icmathomotics. 19.6. Vau 12
U. I^ctionov E.D., S.avt^V.V.. CM.o.ovaL.N. Lecally conformally homogeneous pseudo-Riemannian spaces // Siberian AOvaanea tn Mathsmatict. 200.. VoC. 17. No 3.
13. Cordero L.A., Pyrkec RE.Leít-invcriaaeLorccCzian mctricoon3-22me2scynal Lio groups b RenV.MoC. 2997. Vo0.!7.
