Трехмерные локально симметрические (псевдо)римановы многообразия с векторным кручением и нулевым тензором кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия АлтГУ. Математика и механика. 2019. № 4 (108) УДК 514.764.2

Трехмерные локально симметрические(псевдо)римановы многообразия с векторным кручением и нулевым тензором кривизны*

П.Н. Клепиков, Е.Д. Родионов, О.П. Хромова

Алтайскийгосударственныйуниверситет(Барнаул, Россия)

Three-DimensionalLocallySymmetric (Pseudo)Riemannian ManifoldswithVectorialTorsionand Zero Curvature Tensor

P.N. Klepikov, E.D. Rodionov, O.P. Khromova Altai State University (Barnaul, Russia)

Метрическаясвязностьс векторнымкручени-ем(такие известнанкак полусимиетртческоясесз-ность) является однойнз тр^носитктйзх связностзй, описанйыиЭ.мартанси. Даннсясвязность инваст васж^нсрюыеволучае двумерных поверхностей, так как три эеамсюраяметрмресраясрязность яваяасят связностью с векторным кручением.

К. Яно была доказана важная теорема о связи конформных деформаций и метрических связностей с векторным кручением. А именно: риманово многообразие допускает метрическую связность с векторный квучеяием,тензкркривизиыяаторойравен ноею,тогсаитальиотогда, коада омававяатсяван-формношюсиим. Тзмим образнм,возникаен зарсзе об изучении (псевдо)римановых многообразий с ме-тричeемейcвязнocтьюснeктoрныммрвчьнитм,тзм-зеа кийяйтны киткрыз рсвензуею.

Даннаярнботапостящнтл тешениюпас тьсрсн-нойаадартосврчза еяе:омeьиых лисатяво симме-тричесвих многообразий. Hнемeтсro,Iсрмввннтья мнгематическав мoдсьн,нсевoоякщaяеыьмсвяатктм-ензеас яривизныметрниеркойснязности с тскторным кручением в случае локально однородных (псевдо)римановыхмногообразий.

Ключевые слова: (псевдо)римановое многообразие, метрическая связность с векторным кручением, ло-калнно оонородоые моооообрн знд.тензоркртвинды.

БОН 0.14258/izvasu(2019)4-13

Ame^i^ic; connection withvecto rial tor s;on (ako known as h senti-symétrie connecttono isooe oftleoflrreemsm Connertic^t^^ doseribeelby EXortan. Tniiconncct:ionpcans un in^ortantoeolc inflie case of two-dimensional surfaces since, m tMs cese,ony mcttrioconnectinn ss acenssc-^^e^ccw^Wh eestoe^ torsicn.

K. Yano proved an important theorem on the connection of conformal deformations and metric connections with vectorial torsion. Namely, a Riemannian manifold admits a metric connection with vectorial torsion, the curva-tive tensor of which is zero, if and only if it is conformally flat. Tius,the problomof sCedy^^iag tfseudoCRiemannian manifolds with metric connection with vectorial torsion, the curvature éansor of which cs zrso,isarisee.

This .eper tsdcvoteo to oolving ^li^proh^l^m tn^it^^ case od thcee-dcmensionolfocafly oymmeCeic tv^ia^ir^idc.d addittow, a mothnmstical modetis prese^ed idni anewcine to oalcuiaCetheaomponeeLCsof the cdenntore tuencor sC a metricconnnceioo wtthvectorial toaston iтlVeeveccC1ocaПyhomooenoous(cri udo)Riemannian manifolds.

Key words: (pseudo)Riemannianmanifold, metric connection withve ctorial torrienrit caUyhomo^dtou s mcnifolds, ourvataantenior.

1. Введение, определения и постановка метрическую связность V с помощью формулы

задачи. Пусть (M, g) — (псевдо)риманово многообразие. Определим на данном многообразии

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант: № 1831-00033 мол_а).

VxY = VgxY + g(X, Y)V - g(V,Y)X, (1)

где V — некоторое фиксированное векторное поле, X и Y — произвольные векторные поля, Vg — связность Леви-Чивита. Связность V является одной из трех основных связностей, описанных

Э. Картаном в работе [1], и называется метрической связностью с векторным кручением, или полусимметрической связностью (с точностью до направления).

Данная связность играет важную роль в случае двумерных поверхностей, так как в этом случае любая метрическая связность является связностью с векторным кручением [1]. В работах [2-7] изучаются различные аспекты метрических связ-ностей с векторным кручением.

Важная теорема о связи конформных деформаций и метрических связностей с векторным кручением была доказана К. Яно в работе [8].

Теорема. Риманово многообразие допускает метрическую связность с векторным кручением, тензор кривизны которой равен нулю, тогда и только тогда, когда оно является конформно плоским.

Таким образом, возникает задача об изучении (псевдо)римановых многообразий с метрической связностью с векторным кручением, тензор кривизны которых равен нулю. Данная работа посвящена решению поставленной задачи в случае трехмерных локально симметрических многообразий.

2. Предварительные сведения. Тензор кривизны метрической связности V с векторным кручением определяется аналогично общему случаю равенством

R(X, Y)Z = VYVхZ - VхVYZ + V[XIY]Z.

Отметим, что, в отличие от случая связности Леви-Чивита, в данном случае тензор кривизны не обязан удовлетворять алгебраическому тождеству Бьянки. Однако верна

Теорема [9,10]. Пусть (М,д) — (псевдо)ри-маново многообразие с метрической связностью с векторным кручением. Тогда тензор кривизны удовлетворяет алгебраическому тождеству Бьян-

R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, Х)У = 0

тогда и только тогда, когда 1-форма п замкнута (т.е. dп = 0), где п(Х) = д(Х, V) для любого векторного поля X на М.

Исследование кривизны трехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий основывается на следующей теореме, которая была доказана в римановом случае в работе [11], а в ло-ренцевом — в [12].

Теорема. Пусть (М, д) — трехмерное локально однородное (псевдо)риманово многообразие. Тогда либо (М, д) является локально симметричным (относительно связности Леви-Чивита), либо оно локально изометрично трехмерной группе Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой.

Следующий классификационный результат для случая трехмерных (псевдо)римановых локально симметричных пространств был получен в [11,12].

Теорема. Трехмерное локально симметричное (псевдо)риманово многообразие (M,g) локально изометрично

1. (псевдо)римановой пространственной форме R3, S3 или H3 (с нулевой, положительной или отрицательной секционной кривизной соответственно), или

2. прямому произведению S2 х R или H2 х R, или

3. многообразию Уокера (т.е. многообразию с параллельным изотропным распределением) с лоренцевой метрикой g, которое допускает локальную систему координат (ui,u2,u3) такую, что метрический тензор имеет вид

/0 0 1 \

g = ( о е о I ,

\1 0 u2a + U2 в (из) + £(из)/

где е = ±1, a G R, в и £ — произвольные гладкие функции.

Для удобства вычислений мы используем представление локально однородного пространства M = G/H в виде алгебр Ли (подробнее см. [13]). Пусть g — алгебра Ли группы изо-метрий G, h — алгебра Ли подгруппы изотропии H, m — дополнение к h до алгебры g. Пусть dim h = h и dim m = m. Зафиксируем базис {ei,.. .,eh,ui,.. .,um} алгебры g, где {ei} и {щ} — базисы h и m соответственно.

В работе [14] получена классификация трехмерных локально однородных (псевдо)римановых пространств. Далее мы будем использовать нумерацию из этой работы. В частности, из данной классификации следует

Теорема 1. Пусть M = G/H — трехмерное локально однородное многообразие, допускающее локально симметричную (псевдо)риманову метрику. Тогда в алгебре Ли группы G существует базис {ei,..., eh,ui,U2,u}, где {ei} и {щ} — базисы h и m соответственно, такой, что скобки Ли имеют вид, приведенный в таблице.

Таблица для каждого случая также содержит вид инвариантного метрического тензора.

Опишем математическую модель, позволяющую вычислять компоненты тензора кривизны для локально однородных (псевдо)римановых многообразий с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Положим,

[Щ ,uj ]m = Cij [ui,uj ]h

[ei, uj ]m = cij

Cij ek,

cj uk,

ки

Трехмерные локально симметрические (псевдо)римановы пространства

Случай Скобки Ли Инвариантный метрический тензор Ограничения

Пространственные формы

3.5.1 (К3 с рима- новой метрикой) [ei, е2] = е3, [ei, е3] = —е2, [ei, ui] = —U3, [ei,U3] = ui, [e2,e3] = ei, [e2,ui] = —U2, [e2,U2] = ui, [e3,U2] = — U3, [e3,U3] = U2 /033 0 0 \ ( 0 а33 0 1 V 0 0 Q33/ «33 = 0

3.5.2 (S3 с рима- новой метрикой) [ei, e2] = e3, [ei, e3] = — e2, [ei, Ui] = —U3, [ei,U3] = Ui, [e2,e3] = ei, [e2,Ui] = —U2, [e2,U2] = Ui, [e3,U2] = — U3, [e3,U3] = U2, [ui, U2] = e2, [ui, U3] = ei, [U2,U3] = e3

3.5.3 (H3 с рима- новой метрикой) [ei, e2] = e3, [ei, e3] = — e2, [ei, ui] = —U3, [ei,U3] = ui, [e2,e3] = ei, [e2,ui] = — U2, [e2,U2] = ui, [e3,U2] = — U3, [e3,U3] = U2, [ui, U2] = — e2, [ui,U3] = — ei, [U2,U3] = —e3

3.4.1 (R3 с ло-ренцевой метрикой) [ei, e2] = e2, [ei, e3] = — e3, [ei,ui] = ui, [ei,U3] = — U3, [e2,e3] = ei, [e2,U2] = ui, [e2,U3] = U2, [e3,ui] = U2, [e3,U2] = U3 /0 0 —а22\ ( 0 а22 0 I \—«22 0 0 / «22 = 0

3.4.2 (S3 с лорен- цевой метрикой) [ei, e2] = e2, [ei, e3] = — e3, [ei,ui] = ui, [ei,U3] = — U3, [e2,e3] = ei, [e2,U2] = ui, [e2, U3] = U2, [e3, ui] = U2, [e3, U2] = U3, [ui,U2] = e2, [ui,U3] = — ei, U2,U3] = —e3

3.4.3 (H3 с ло-ренцевой метрикой) [ei, e2] = e2, [ei, e3] = — e3, ei,ui] = ui, [ei,U3] = — U3, [e2,e3] = ei, [e2,U2] = ui, [e2, U3] = U2, [e3, ui] = U2, [e3, U2] = U3, [ui, U2] = — e2, [ui,U3] = ei, [U2,U3] = e3

Прямые произведения

1.3.5 (S2 х R) [ei,ui] = —U2, [ei,U2] = ui, [ui,u2] = ei /а22 0 0 \ ( 0 a22 0 I V 0 0 Q33/ «22«33 = 0

1.3.6 (H2 х R) [ei,ui] = —U2, [ei,U2] = ui, [ui,u2] = —ei

Многообразия Уокера

1.1.1 [ei,ui] = ui, [ei,U2] = —U2 / 0 ai2 0 \ ( ai2 0 0 | V 0 0 033/ ai2«33 = 0

1.1.5 [ei,ui] = ui, [ei,U2] = —U2, [ui,U2] = ei

1.8.1 [ei, U2] = ui, [ei, U3] = U2 /0 0 —a22\ ( 0 a22 0 | /—a22 0 a33 \ a22 = 0

1.8.4 [ei,U2] = ui, [ei,U3] = U2, [U2,U3] = ei

1.8.5 [ei, U2] = ui, [ei, U3] = U2, [U2, U3] = —ei

2.21.1 [ei,e2] = e2, [ei,ui] = ui, [ei,U3] = —U3, [e2, U2] = ui, [e2, U3] = U2 /0 0 —a22\ ( 0 a22 0 | \—«22 0 0 / a22 = 0

где ск, Ск и — массивы соответствующих размеров.

Представление изотропии ф на базисных векторах задается равенством (фг)к = (ф =

(Г

^к = 1 ск-~ 1 askcl а; i 2а Utsaji'

/г]

ckj, тогда условие инвариантности метрического тензора а имеет вид:

(■г) • а + а • Фг = 0, i = 1,... ,h,

где (фif — транспонированная матрица.

Компоненты связности Леви-Чивита У 9 выражаются через структурные константы и компоненты метрического тензора:

(Г9)к = 2 (ckj + askс]an + а'Ч],

где У^щ = (Гд)к ик, V® щ = (Г®)к. ик и {д— матрица, обратная к матрице {д^ }.

Пусть инвариантный вектор V 6 т, тогда компоненты метрической связности V с векторным кручением (1) задаются равенствами:

Г] = (Г9 )ki■ + агi Vк - Vsasj ¿kk, г*

(Г9

где Уи1 и = Гкик, Уе1 щ = Гкик.

Компоненты тензора кривизны R можно вычислить с помощью следующей формулы:

R

ijks

(Ггк^jjl ^jk^j + cij^Pk + CijlTk) аР-

k

Rijks = ^(clk + g ctki + g ctik + 2gikVr - ЩVk)

(cjrs + csrj + csjr + 2gjrVs - 2gjsVr)-

-\(jk + gtrctkj + gtrctjk + 2gjkVr - 2ôrVk)

(Cirs + sri sir + 2g ir Vs - 2gisVr)-2 Crj (crks + cskr + csrk + 2grkVs 2grs Vk) +

+ 2 Cij (clks - clsk ),

где Vk = Vsgsk, Cijk = csjgsk, cjk = cjgsk.

Докажем лемму, которую далее будем использовать для упрощения выкладок.

Лемма. Пусть (G/H, g) — локально однородное (псевдо)риманово многообразие с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Тогда условие dn = 0 равносильно

g (V, [X,Y]m)=0, VX, Y e g;

либо в базисе

Vigij cjkt = 0, Vigijj = 0. (2)

Здесь i,j,k,t = 1,... ,m; s = 1,... ,h. Доказательство. Заметим, что

2dn(X,Y) = Xn(Y) - Yn(X) - n([X, Y]) =

= -2n([X,Y ]) = -2g ([X,Y ], V) = = -2g ([X,Y ]m + [X, Y ]h V .

Т.к. V e m и m±h, получаем

dn(X,Y) = -g ([X,Y]m ,V).

Фиксируя некоторый базис {e1,... ,eh,u1,..., um} алгебры g, из данного равенства получаем условие (2).

Следствием предыдущей леммы является Теорема 2. Пусть (G/H, g) — трехмерное локально симметрическое (псевдо)риманово многообразие с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Тогда, если выполнено условие dn = 0, то

• в случаях 2.21.1, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.5.1, 3.5.2, 3.5.3 вектор V равен нулю;

• в случаях 1.1.1, 1.1.5, 1.3.15, 1.3.6 вектор V имеет координаты (0, 0, V3) ;

• в случаях 1.8.1, 1.8.4, 1.8.5 вектор V имеет координаты (V1, 0,0).

Доказательство. Приведем доказательство теоремы для случая 1.1.1, для остальных случаев теоремы 1 доказательство аналогично. В этом случае система уравнений (2) имеет вид

V 1а12 = 0, V 2а12 = 0.

Т.к. а12 =0 в силу ограничений на компоненты метрического тензора, то V1 = V2 = 0.

3. Основной результат. Главным результатом данной работы является следующая

Теорема 3. Пусть (G/H, g) — трехмерное локально симметрическое (псевдо)риманово многообразие с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Тогда если тензор кривизны равен нулю, то

• в случаях 1.1.1, 1.8.1, 2.21.1, 3.4.1, 3.5.1 вектор V равен нулю;

• в случае 1.1.5 вектор V имеет координаты 0,0,± , 1

в случае 1.3.5 вектор V имеет координаты

0,0, ± . 1 = 1 и метрика обязана быть ло-

V V-a22«33 )

ренцевой;

в случае 1.3.6 вектор V имеет координаты 10,0, ± , 1 ) и метрика обязана быть ри-

\ ' ' \/а22«33 j

мановой;

в случае 1.8.4 вектор V имеет координаты

, 0,0^.

«22 ' ' j

В случаях 1.8.5, 3.4.2, 3.4.3, 3.5.2, 3.5.3 тензор кривизны не может быть равен нулю.

Доказательство. Рассмотрим доказательство теоремы для случая 1.8.4, для остальных случаев теоремы 1 доказательство аналогично.

При равенстве нулю тензора кривизны тождество Бьянки автоматически выполняется, следовательно, необходимо dn = 0. Тогда по теореме 2 вектор V имеет координаты (V1,0,0) и уравнение R = 0 имеет вид

((V 1а22)2 - l) а22 = 0.

Так как а22 = 0 в силу условий на компоненты метрического тензора, то V1 = ± .

4. Заключение. В результате проведенных исследований построена математическая модель, которая позволяет вычислять компоненты тензора кривизны локально однородных (псевдо)римановых многообразий с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Кроме того, в работе доказан ряд структурных теорем.

или

Библиографический список

1. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité generalisée (deuxième partie) // Ann. Ecole Norm. Sup.1925. Vol. 42.

2. Muniraja G. Manifolds Admitting a Semi-Symmetric Metric Connection and a Generalization of Schur's Theorem // Int. J. Contemp. Math. Sci. 2008. Vol. 3. No 25.

3. Agricola I., Thier C. The Geodesics ofMetric Connections with Vectorial Torsion // Annals of Global Analysis and Geometry. 2004. Vol. 26.

4. Murathan C., Ôzgùr C. Riemannian manifolds with a semi-symmetric metric connection satisfying some semisymmetry conditions // Proceedings of the Estonian Academy of Sciences. 2008. Vol. 57. No 4.

5. Yilmaz H.B., Zengin F.Ô., Uysal. S.A. On a Semi Symmetric Metric Connection with a Special Condition on a Riemannian Manifold // European journal of pure and applied mathematics. 2011. Vol. 4. No 2.

6. Zengin F.Ô., Demirbag S.A., Uysal. S.A., Yilmaz H.B. Some vector fields on a riemannian manifold with semi-symmetric metric connection // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. 2012. Vol. 38. No 2.

7. Agricola I., Kraus M. Manifolds with vectorial torsion // Dierential Geometry and its Applications. 2016. Vol. 46.

8. Yano K. On semi-symmetric metric connection // Revue Roumame de Math. Pure et Appliquees. 1970. Vol. 15.

9. Barua B., Ray A. Kr. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold // Indian J. pure appl. Math. 1985. Vol. 16, No 7.

10. De U.C., De B.K. Some properties of a semi-symmetric metric connection on a Riemannian manifold // Istanbul Univ. Fen. Fak. Mat. Der. 1995. Vol. 54.

11. Sekigawa K. On some 3-dimensional curvature homogeneous spaces // Tensor N. S. 1977. Vol. 31.

12. Calvaruso G. Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds // J. Geom. Phys. 2007. Vol. 57.

13. Хромова О. П. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию оператора одномерной кривизны на нередуктивных однородных псевдоримановых многообразиях // Известия АлтГУ 2017. № 1(93).

14. Можей Н.П. Когомологии трехмерных однородных пространств // Труды БГТУ 2014. № 6.