О ГЕОМЕТРИИ СУБРИМАНОВЫХ η-ЭЙНШТЕЙНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

С. В. Галаев1

1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Россия [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1129-7159 doi: 10.5922/0320-4796-2019-50-9

О геометрии субримановых п-Эйнштейновых многообразий

На субримановом многообразии контактного типа

рассматривается связность с кручением, названная в работе ^-связностью. ^-связность является частным случаем М-связности. На субримановом многообразии ^-связность определяется с помощью эндоморфизма у: О ^ О распределения О, названного в работе структурным эндоморфизмом. Эндоморфизм у однозначно задается следующими соотношениями: у/% = 0, а>( х, у) = § (ух, у), х, у еГ(О). Если распределение

субриманова многообразия интегрируемо, то ¥-связ-ность относится к классу четверть-симметрических связностей. Доказывается, что ^-связность является метрической связностью тогда и только тогда, когда структурное векторное поле субримановой структуры киллингово. Выводится формула, выражающая ¥-связ-ность через связность Леви-Чивиты субриманова многообразия. Вычисляются компоненты тензоров кривизны и тензоров Риччи ^-связности и связности Леви-Чивиты. Доказывается, что если субриманово многообразие является п-Эйнштейновым многообразием, то оно является п-Эйнштейновым многообразием и относительно ^-связности. Обратное выполняется лишь при

Поступила в редакцию 13.03.2019 г. © Галаев С. В., 2019

условии, что след квадрата структурного эндоморфизма ¥ является константой, не зависящей от точки многообразия. Статья заканчивается теоремой, утверждающей, что сасакиево многообразие М является п-Эйнштей-новым многообразием тогда и только тогда, когда М — П-Эйнштейново многообразие относительно ¥-связно-сти.

Ключевые слова: субриманово многообразие, внутренняя связность, ^-связность, п-Эйнштейново многообразие.

Введение

Субримановым многообразием контактного типа называется гладкое многообразие М, оснащенное субримановой

структурой (м,%,), g), где ) и % — 1-форма и единичное

векторное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения В и В^. Субриманово многообразие является естественным обобщением почти контактного метрического многообразия. Вместо структурного эндо-

2 т

морфизма ф такого, что р = —1 + ) ® %, на субримановом многообразии естественным образом определяется эндоморфизм у: В ^ В распределения В, названный в настоящей работе структурным эндоморфизмом и определяемый равенствами у/% = 0, а>(х,у) = g(ух,у), х,у еГ(В). В работе рассматривается линейная связность с кручением £(х,у),

названная ^-связностью и однозначно определяемая следующими условиями:

1) £(х,у) = 2®(х,у)% + )(х)уу-)(у)ух, х,у,2 еГ(ГМ);

2) уУГg(у),Т) = 0, х,у,2 еГ(В);

3) У\ % = 0, х еГ(ТМ);

4) УХ] = 0, х еГ(ТМ),

где У — внутренняя связность субриманова многообразия.

Понятие п-Эйнштейнова многообразия введено Окумурой [11]. п-Эйнштейновым многообразием названо многообразие Сасаки с тензором Риччи г, имеющим следующее строение: г = а§ + Ъ]®], а, Ъ е Я. Позже понятие п-Эйнштейнова многообразия было перенесено на более широкий класс почти контактных метрических многообразий [12]. В настоящей работе изучаются п-Эйнштейновы субримановы многообразия. Приводится описание таких многообразий в терминах ¥-связ-ности.

Определение и основные свойства Т-связности

Пусть М — гладкое многообразие размерности п с заданной на нем субримановой структурой (М,%,], §, О), где ] и —>

% 1-форма и единичное векторное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения О и О ^. Внутренней линейной связностью У [1—3] на субрима-новом многообразии называется отображение У: Г( О )хГ( О) —^ Г (О), удовлетворяющее следующим условиям:

1) У/1Х+/2У= № + /2Уу,

2) У х/У = (х/ )у + /У хУ,

3) У х ( У +1 ) = У хУ + У &,

где Г(О) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению О). Известно [6; 7], что на субримановом многообразии существу -

ет единственная внутренняя связность V с нулевым кручением такая, что V £g (х, у) = 0. Кручение внутренней линейной

связности £ по определению полагается равным

£(х,у) = V;У - VyX -P[х,у],

где Р: ТМ—>В — проектор, определяемый разложением ТМ = В © В1.

Карту К(ха) (а, в, у = 1, ..., п; а, Ь, с = 1, ..., п - 1) многообразия М будем называть адаптированной к распределению В, если 8п =% [9]. Векторные поля Р(8а) = еа = 8а -Г^8п порождают систему В: В = 8рап(еа). Таким образом, мы имеем на многообразии М неголономное поле базисов (еа) = (еа, 8 п) и соответствующее ему поле кобазисов

(ёха,) = ©п = ёхп + Гп^ха). Непосредственно проверяется, что [еа,еь ] = 2®ьа8п. Условие %е кег о влечет справедливость равенства 8пГ^ = 0. Пусть К(ха) и К'(ха ) — адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

ха = ха (ха'), хп = хп' + хп (ха').

Пусть V — связность Леви-Чивиты и ГД — ее коэффициенты. В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 1. Коэффициенты связности Леви-Чивиты субриманова многообразия в адаптированных координатах имеют вид

Г°аЬ =Г°аЬ, ГПаЬ = СЬа - СаЬ,

Гь =ГЬ = СЬ +шЬ Гп = Га =0

1 ап 1 па ^а^га? 1 па 1 пп

где

Гйс = 2gad (gcd + ecgbd - edgbc)

b bc ta = g ®ac ,

Cab = "2 ^ ngab, Ca = g Cac •

Коэффициенты связности V^ обозначим символами G^. Предложение 2. На субримановом многообразии существует единственная линейная связность V^ с кручением S(x, У), однозначно определяемая следующими условиями:

1) S(x,у) = 2©(x,y)| + r(x)ty-|(y)t*, x,у,z еГ(ТМ);

2) VNg(У,z) = 0, x,у,z еГ(D); Vty = V;y, x,у еГ(^);

3) Vt 1 = 0, x еГ(ТМ);

4) Vf r = 0, x еГ(ТМ).

Доказательство. Из предположения существования связности докажем ее единственность. Получим явное выражение

для коэффициентов G^ связности V^ в адаптированных координатах. Условия 1), 2) определяют коэффициенты

Gbc = 2gad (bgcd + ecgbd -edgbc). Из Условий 3) 4) следует справедливость следующих равенств:

r^a r^n r^a r^n r^n r^n n Gbn = Gan = Gnn = Gab = Gnb = Gnn = 0

Повторно используя условие 1), получаем, что G¡¡a = ta. Что и доказывает единственность. Определим теперь отлич-

ные от нуля коэффициенты связности У С, положив

°Ьс = 2§а(! ^Ьёеё + ееШ - её§Ье) °Па = ^^^ • Непосредственно проверяется, что определяемая тем самым связность удовлетворяет условиям 1) — 4). Предложение доказано.

Теорема 1. Линейная связность УС, заданная на субрима-новом многообразии, метрическая тогда и только тогда, когда Ь^ = 0.

Доказательство. Из предложения 2 следует, что УС^аЬ = 0. Вычислим УСgaь. Имеем:

У<С§аЬ = 5ngaЬ - С^сЬ + С^ас =

= ^аЬ +gCd®dagcЬ +gCd®dЬgac =

= 5 ngаЬ + ааЬ + ®Ьа = 5 ngaЬ. В дальнейшем будем полагать, что выполняется равенство

5 ngaЬ =

Используя адаптированные координаты, убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 3. Для связности Леви-Чивиты У и ¥-связ-

ности УС выполняется следующее соотношение:

УСу = У ху -п(.х )У уЛ-п(.у )У хЛ + ®(х, У )£ + л(х)СУ.

Пусть Я(х, у) 1, (х,у) 1, х,у, 2 е Г(ТМ), — тензоры кривизны связностей У, УС соответственно.

Вычислим необходимые для дальнейшего ненулевые компоненты тензоров Л( х , у) 1, ^ (х, у)1. Имеем:

В-аЬс = ^аЬс + С<аасЬ + С^ас,

Яапс дпаас + ус аеа,

^Ъп = 2У[a¥b], ЯпсЪ = КПсЪ = -УсХЪ,

К<й = яй

аЪс аЪс

Здесь Я^с = 2е[аГЪ]с + 2Гйа|е|ГЪ]с — компоненты тензора кривизны Схоутена [10], определяемые равенством

Я (х, у ) 1 = Ух Уу1 -У у Ух1 -УР[ х, у ] 1 -Р [б [ ^у ], 1 ],

б = I - Р.

Заметим, что д паас = 0, так как йа = 0.

Пусть г(х, у), к(х, у) — соответствующие тензорам Я( х, у) 1, К (х, у) 1 тензоры Риччи. Назовем субриманово многообразие п-Эйнштейновым многообразием, если выполняется равенство

г = а§ + Ъ]®г, а, Ъ е Я.

Теорема 2.

1. Пусть М — субриманово ц-Эйнштейново многообразие, для которого выполняется равенство

г = а§ + Ъ] ® ].

Тогда М — ц-Эйнштейново многообразие относительно связности УХ. При этом выполняется равенство

к = а§ - аг®].

2. Пусть М — субриманово ц-Эйнштейново многообразие относительно связности УХ. Тогда если 1г(у2) = Ъ, Ъ е Я, то М — ц-Эйнштейново многообразие. При этом выполняется равенство

г = а§ + (Ъ - а)г ® ].

Доказательство. Вычислим компоненты тензоров Риччи к, г в адаптированных координатах. Имеем:

гас = кас, Гап = Гпа = -УЬ СЬ, Гпп = Са с< ,

кап = 0, кпа = -УЬС0Ь, кпп = 0.

Пусть М — субриманово п-Эйнштейново многообразие, для которого выполняется равенство Г = ag + Ь] ® Отсюда следует, что

Гап = Гпа =-У ЬСЬ =0.

В этом случае из полученного выше равенства кпа = -УьС< следует, что кап = кпа = 0. В свою очередь, воспользовавшись равенством кпп = 0, мы можем записать верное числовое равенство кпп = ag (5п, 5п) - а] (5п )](5п). Что и доказывает первую часть теоремы.

Пусть М — субриманово многообразие, являющееся п-Эйн-

штейновым многообразием относительно связности УС:

к = ag + а]®].

В этом случае кпа = -У ЬСа = 0. Отсюда следует, что Гап = Гпа =-У ЬСЬа =0.

2

Если ¿г(с ) = Ь, Ь е Л, то справедливо следующее равенство:

Гпп = Ь = <0? (5п, 5п ) + (Ь - а)] (5п Ж5п ).

Так как Гас = кас, окончательно получаем Г = а? + (Ь - а)] ®

Тем самым теорема доказана.

Пример. Пусть М — многообразие Сасаки. В этом случае у = -р, где ф — эндоморфизм, удовлетворяющий равенствам

р = 0, р = -1 + ]ор= 0.

Справедливыми также являются равенства К (у2) = -2т = -(п -1), Урр= 0.

Теорема 3. Сасакиево многообразие М является ц-Эйн-штейновым многообразием тогда и только тогда, когда М— ц-Эйнштейново относительно ¥-связности.

Замечания.

1. В работе [4] введено понятие многообразие Схоутена — Эйнштейна как такого почти контактного метрического многообразия, для которого выполняется следующее условие:

г(х, у) = Л?(х, у), х, у еГ(В) Ле Я,

где г (х, 2) = ¿т (у ^ Л(х, у)2), х, у, 2 еГ(В) — тензор Схоуте-на — Риччи.

Там же была доказана теорема, указывающая на принципиальное значение внутренних инвариантов для геометрии почти контактных метрических многообразий.

Теорема. Пусть М — К-контактное метрическое многообразие, тогда:

1) если М — многообразие Сасаки, то оно является многообразием Схоутена — Эйнштейна;

2) если М — многообразие Схоутена — Эйнштейна, то оно является ц-Эйнштейновым многообразием тогда и только тогда, когда Уср0 = 0.

2. ^-связность Уу представляет специальный класс ^связ-ностей [8]. Задавая надлежащим образом эндоморфизм N: В ^ В, получаем следующие классы ^связностей для случая почти контактных метрических многообразий:

в

1) связность Бежанку У с нулевым эндоморфизмом N = 0.

Бежанку [8] определяет связность УВ на почти контактном метрическом многообразии с помощью формулы

У Ву = У ху - ](х )У - г( у )У + (а + с) (, у)%.

В адаптированных координатах отличными от нуля ком-

т^Ва гтВ

понентами Г п связности У являются

РТ

т^Ва т-^а 1 ай . , , \

ГЪс =ГЪс = 2§ (сй + есШ -ей§Ъс).

В случае многообразия Сасаки тензор кривизны связности Бежанку совпадает с тензором кривизны Схоутена. Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической. Так как УШ§аЪ =дп§аЪ, то метричность связности Бежанку эквивалентна К-контактности контактной метрической

структуры. К-связность УN на многообразии с почти контактной метрической структурой с заданным эндоморфизмом N: О — О может быть определена с помощью равенства

У ^у = У Ву + г( х) щ;

2) связность Танака — Вебстера определяется как единственная связность, удовлетворяющая следующим условиям:

1) уШ] = 0,

2) УШ% = 0,

3) Утг § = 0,

4) 5(х,у) = 2а(х,у)|, х,у е Г(О),

5) 5(|, рх) = -р5(|, х), х е Г(ТМ).

Связность является ^связностью в случае, когда

N = С;

3) связность Схоутена — ван Кампена У^к определяется с помощью равенства У £ку = (У ¿ук )к + (У ¿уУ У, где ук = Ру,

уу = Оу. Непосредственно проверяется, что связность Схоутена — ван Кампена является ^связностью для случая, когда

N = С - р;

4) ф-связности исследовались в работе [5]. Для К-контакт-ных метрических пространств ф-связность совпадает со связностью Схоутена — ван Кампена.

Список литературы

1. Букушева А. В. О геометрии слоений на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Пензенского педагогического университета им. В. Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2012. № 30. С. 33—38.

2. Букушева А. В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 58—62.

3. Букушева А . В. Изометрические преобразования продолженных почти контактных метрических структур с метрикой полного лифта // Диф. геом. многообр. фигур. 2016. Вып. 47. С. 39—47.

4. Букушева А. В. О геометрии многообразия Схоутена — Эйнштейна // NovaInfo.Ru. 2018. Т. 1, № 92. С. 6—10.

5. Букушева А. В., Галаев С. В. Геометрия почти контактных ги-перкэлеровых многообразий // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2017. Вып. 48. С. 32—41.

6. Галаев С. В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21, № 3. С. 551—555.

7. Галаев С. В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, № 3. С. 263—272.

8. Галаев С. В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, № 3 (59). С. 53—63.

9. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov. Ser. III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Vol. 4 (53), № 2. P. 13—22.

10. Galaev S. V.Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39, № 1. P. 71—76.

11. Okumura M. Some remarks on space with a certain contact structure // Tohoku Math. J. 1962. Vol. 14. P. 135—145.

12. Sparks J. Sasaki — Einstein manifolds. Surveys in differential geometry. Vol. XVI : Geometry of special holonomy and related topics. Somerville, MA, 2011. P. 265—324.

S. Galaev1 1 Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., Saratov, 410012, Russia

[email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1129-7159 doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-9

On geometry of sub-Riemannian п-Einstein manifolds

Submitted on March 13, 2019

On a sub-Riemannian manifold of contact type a connection Vy with torsion is considered, called in the work a ^-connection. A connection is a particular case of an N-connection. On a sub-Riemannian manifold, a ^-connection is defined up to an endomorphism у: D ^ D of a distribution D, this endomorphism is called in the work the structure endomorphism. The endomorphism щ is uniquely defined by the following relations: y/% = 0, c(x,y) = g(yx,y), x,y еГ(D). If the distribution of a sub-Riemannian manifold is integrable, then the ^-connection is of the class of the quarter-symmetric connections. It is proved that the connection is a metric connection if and only if the structure vector field of the sub-Riemannian structure is integrable. A formula expressing the

^-connections in terms of the Levi-Civita connection of the sub-Riemannian manifold is obtained. The components of the curvature tensors and the Ricci-tensors of the ^-connection and of the Levi-Civita connection are computed. It is proved that if a sub-Riemannian manifold is an n-Einstein manifold, then it is also an n-Einstein manifold with respect to the ^-connection. The converse holds true only under the condition that the trace of the structure endomorphism Y is a constant not depending on a point of the manifold. The paper is completed by the theorem stating that a Sasaki manifold is an n-Einstein manifold if and only if M is an n-Einstein manifold with respect to the Y-connection.

Keywords: sub-Riemannian manifold, interior connection, Y-connection, n-Einstein manifold.

References

1. Bukusheva, A. V.: On the geometry of foliations on distributions with Finslerian metric. Izv. Penz. Pedagog. Univ. (Ser. fiz.-matem. i tekhn. nauki). 30, 33—38 (2012) (in Russian).

2. Bukusheva, A. V.: Nonlinear connections and internal semi-pulverization on a distribution with a generalized Lagrangian metric. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 46, 58—62 (2015) (in Russian).

3. Bukusheva, A. V.: Isometric transformations of a prolonged almost contact metric structures with the complete lift metric. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 47, 39—47 (2016) (in Russian).

4. Bukusheva, A. V.: Geometry of the Schouten-Einstein manifold. NovaInfo.Ru. 1:92, 6—10 (2018) (in Russian).

5. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: Geometry of almost contact hyperkahler manifolds. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 48, 32—41 (2017) (in Russian).

6. Galaev, S. V.: Smooth distributions with admissible hypercomplex pseudo-Hermitian structure. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 21:3, 551—555 (2016) (in Russian).

7. Galaev, S. V.: Admissible hypercomplex structures on distributions of Sasakian manifolds. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform. 16:3, 263—272 (2016) (in Russian).

8. Galaev, S. V.: Generalized Wagner's curvature tensor of almost contact metric spaces. Chebyshevskii Sbornik. 17:3(59), 53—63 (2016) (in Russian).

9. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: Almost contact metric structures defined by connection over distribution. Bulletin of the Transilvania University of Brasov, Ser. III: Mathematics, Informatics, Physics. 4(53):2, 13—22 (2011).

10. Galaev, S. V.: Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures, Lobachevskii Journal of Mathematics. 39:1, 71—76 (2018).

11. Okumura, M.: Some remarks on space with a certain contact structure. Tohoku Math. J. 14, 135—145 (1962).

12. Sparks, J. Sasaki — Einstein manifolds. Surveys in differential geometry. Vol. XVI. Geometry of special holonomy and related topics. Int. Press, Somerville, MA, 265—324 (2011).