CC BY
14
УДК 514.76
А. В. Буку шее а1
Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Россия bukusheva@list.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2930-1697 doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-7
О геометрии многообразий Кенмоцу с И-связностью
Рассматривается многообразие Кенмоцу с заданной на нем М-связностью. Из интегрируемости распределения многообразия Кенмоцу следует, что М-связность относится к классу четверть-симметрических связностей. Среди М-связностей выделяется класс связностей, адаптированных к структуре многообразия Кенмоцу. В частности, доказывается, что М-связность сохраняет структурный эндоморфизм ф многообразия Кенмоцу тогда и только тогда, когда эндоморфизмы N и ф коммутируют. Выводится формула, выражающая М-связность через связность Леви-Чивиты. Находятся коэффициенты связности Леви-Чивиты и М-связности многообразия Кенмоцу в адаптированных координатах. Исследуются свойства инвариантов внутренней геометрии многообразия Кенмоцу. К инвариантам внутренней геометрии относятся: тензор кривизны Схоутена; 1-форма Т, порождающая распределение Б; производная Ли g = 0 метрического тензора g вдоль векторного поля £; тензорное поле Р, компоненты которого в адаптированных координатах выражаются с помощью равенств =дпГ^ ■
Поле Р названо в работе тензор Схоутена — Вагнера. Доказывается, что тензор Схоутена — Вагнера внут-
1
Поступила в редакцию 13.03.2019 г. © Букушева А. В., 2019
ренней связности многообразия Кенмоцу равен нулю. Находятся условия, которым удовлетворяет эндоморфизм N определяющий метрическую К-связность. В завершение работы приводится пример многообразия Кенмоцу с метрической К-связностью, сохраняющей структурный эндоморфизм ф.
Ключевые слова: многообразие Кенмоцу, внутренняя связность почти контактного метрического многообразия, К-связность многообразия Кенмоцу.
1. Введение. В последние годы становится заметной тенденция исследовать геометрию почти контактных метрических многообразий, наделенных связностями с кручением [3; 6—10]. При этом почти одинаковый интерес представляют многообразия как с метрическими связностями, так и с неметрическими. Наиболее часто рассматриваются четверть-симметрические многообразия, находящие применение в теоретической физике [7]. Совсем недавно стали появляться работы, посвященные изучению почти контактных метрических многообразий с К-связностью [3; 6; 8]. К-связность VN определяется на почти контактном метрическом многообразии, наделенном внутренней связностью V и эндоморфизмом N: О ^ О гладкого распределения О, как единственная связность на многообразии М, удовлетворяющая следующим условиям [6]:
1) V N У еГ(О), 2) V N! = 0, 3) V1!у = [|, у ] + ^,
4) VУу = Vуу, хеГ(ГМ), у,уеГ(О).
У ^
Если V — метрическая связность, то связность VN характеризуется следующими условиями [6]:
1) 5(х,у) = 2ю(х,у)| + г,{х)^-т}(у)М, х,у,у еГ(?М);
2) V N Я (у,у) = 0, у, у,у еГ( О);
3) V11 = 0, х еГ(ТМ);
4) VУт = 0, х еГ(ТМ).
Задавая соответствующим способом эндоморфизм М, можно получить известные ранее классы М-связностей:
B
1. Связность Бежанку V с нулевым эндоморфизмом N = 0.
Связность Бежанку VB связана со связностью Леви-Чивиты V с помощью формулы
Vр = V2у - т( х )V- т(у^ + (р + с)( х,у)£.
2. Связность Танака — Вебстера VTW, определяемая как единственная связность, удовлетворяющая следующим условиям:
1) VTWТ = 0,
2) VTWi = 0,
3) VTW g = 0,
4) 5 (х, у) = 2ю( х, у)|, 1, у еГ(Б),
5) 5(£, рх) = -рБ(£, х), х е Г(TM).
Связность VTW совпадает с М-связностью в случае, когда N = С.
3. Связность Схоутена — ван Кампена V5k определяется равенством V у = (V хУЬ) ^ + (V хУУ )у. Связность Схоутена —
ван Кампена является М-связностью для случая, когда С - ф.
Многообразия Кенмоцу, составляющие интересный для исследования класс почти контактных метрических многообразий, характеризуются особым строением внутренних инвариантов [6; 11; 12]. В частности, в настоящей работе доказы-
вается, что тензор Схоутена — Вагнера [6] для многообразия Кенмоцу обращается в нуль. N-связность в ряде случаев оказывается предпочтительнее связности Леви-Чивиты. По-видимому, основное преимущество N-связности заключатся в выполнении следующего условия: VN у е Г(D), где X е Г(ТМ),
у е r(D). Несомненно, что сравнение эффективности использования разных классов N-связностей для описания геометрии многообразий Кенмоцу представляет интерес как с точки зрения приложения полученных результатов в теоретической физике, так и с точки зрения внутренней логики развития геометрии контактных метрических многообразий.
Находятся условия, при которых N-связность сохраняет структурный эндоморфизм многообразия Кенмоцу.
1. Основные сведения из геометрии многообразий Кенмоцу. Почти контактным метрическим многообразием называется гладкое многообразие M нечетной размерности n = 2m + 1, m > 1, с заданной на нем почти контактной метрической структурой ^ M ,%,r,p, g ) [1; 2]. Здесь, в частности, r — 1-форма, по—>
рождающая распределение D: D = ker r, ^ — векторное поле,
порождающее оснащение D распределения D: D = span(%). Гладкое распределение D будем называть распределением почти контактного метрического многообразия. Имеет место
разложение TM = D © D^. Почти контактное метрическое многообразие называется нормальным, если выполняется условие
Np + 2dj ® I = 0,,
где Ny(X,y) = [px,py] + p2[X,у]-p[pX,у]-p[X,py] — тензор Нейенхейса эндоморфизма ф. Нормальное почти контактное метрическое многообразие называется многообразием Кенмоцу, если dj = 0, d Q = 2jaQ [11; 12]. Будем использо-
вать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивиты тензора g: V, Г^. Имеет место следующая теорема [12].
Теорема 1. Почти контактное метрическое многообразие М является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда (Vхр(у = —т(у)рх —g(х,ру)£.
Для многообразий Кенмоцу также выполняются следующие условия [12]:
^хТ)у = g(х,у) — Т(х)Т(У), £ = 2(g — т ® Т).
Карту К(ха) (а, в, у = 1, ..., п; а, Ь, с = 1,..., п - 1) многообразия М будем называть адаптированной к распределению Б, если 8п = £ [4; 5; 9]. Пусть Р: TМ ^ Б — проектор, определяемый разложением TM = Б Ф Б^, и К (ха) — адаптированная карта. Векторные поля Р(8а) = еа =8а —Гп8п порождают распределение Б: Б = &рап(еа). Мы будем активно использовать неголономное поле базисов (еа) = (еа, 8п). Непосредственно проверяется, что \еа, еь ] = 2®ьа8п. Условие
£ е кег о влечет справедливость равенства 8пГп = 0. Пусть
К(ха) и К'(ха ) — адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:
ха = ха
(х0'}, хп = хп' + хп (ха'(.
Преобразование компонент допустимого тензорного поля ^ в адаптированных координатах подчиняется следующему за-
Я а'
п п ¿а »а АЬ' а' м' 8х кону [11]: ^ = Аа'Аь^' , где Аа =--.
8ха
Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные dntfr являются компонентами допустимого тензорного поля. Заметим, что обращение в нуль производных dntfr не зависит от выбора адаптированных координат.
Пусть у: D ^ D — эндоморфизм, определяемый равенством о>( x, y ) = g (iyx, y ).
Имеет место следующее предложение [6].
Предложение 1. Коэффициенты связности Леви-Чивиты почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид
fЪс = 2gad fagcd + ecgbd _ edgbc),
f n = « _ с Гb = гb = cb + b fn = fa =0 ab ~ ba Lab 1 an ~ 1 na ~ La r a > 1 na ~ 1 nn ~ u>
r—1 1 ,-^a da¡-I с bc
где Cab = 2dngab, Cb = g Cdb, ^a = g ®ab.
Для многообразия Кенмоцу в адаптированных координатах получаем: Cab = gab, сЪ = 8ъа , «¿a = 0, Ч/(а = 0
Таким образом, в качестве следствия предложения 1 получаем предложение 2.
Предложение 2. Коэффициенты связности Леви-Чивиты многообразия Кенмоцу в адаптированных координатах имеют вид
fI = 2gad (%gcd + ^cgbd _^dgbc), f ab =_gab,
f b = f b = cb f n = f а = о f an =f na =°a, f na =f nn = 0.
Определим на многообразии M N-связность V N, полагая [6]: VNy = Vxy _l{x)Vyl _ 7?(y)V^^ + (« + c)(x,У)l + T7(x)Ny.
Предложение 3. Ненулевые коэффициенты связно-
сти VУ, заданной на почти контактном метрическом многообразии М, имеют вид Ос, =Гс,, Ос, = ^. Г аЬ аь' пЬ Ь
Внутренней линейной связностью V на многообразии с почти контактной метрической структурой [2; 6; 9] называется отображение V: Г(Б) хГ(Б) ^Г(Б), удовлетворяющее следующим условиям:
1) ^х+/2у= № + ,
2) V х/у = (х/) у +/V ху,
3) Vх (у + 2) = Vху + V!2,
где Г( Б) — модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определяются из соотношения
' ' 8ха' У7 т^с ^ ТТ ла -> ла' ил
УеаеЬ = аЬес. Из равенства еа = Ааеа', где Аа =--, сле-
а 8ха
дует формула преобразования для коэффициентов связности: ГсаЬ = А-а АЬ А^Гсаь' + Асс'еаА'с . Кручение внутренней линейной связности 5 по определению полагается равным 5 (х, у) = VxУ — Vyx — Р[ х, у]. Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем 8с, = Гс, — Гс .
аЬ аЬ Ьа
М-связность VN определяется с помощью следующего равенства [6]. На почти контактном метрическом многообразии существует единственная связность V с нулевым кручением такая, что V xg (х, у) = 0.
Назовем связность V внутренней метрической связностью. Коэффициенты внутренней метрической связности
находятся по формулам Г1с = 1gad (eьgcd + ecgЬd — edgЬc).
Следуя В. В. Вагнеру [6], под внутренней геометрией почти контактного метрического многообразия М будем понимать геометрические свойства М, которые зависят только от параллельного перенесения, определяемого внутренней связностью, и от оснащения Б ^. К основным инвариантам внутренней геометрии мы относим тензор кривизны Схоутена Я, дифференциальную форму с = dr|, производную Ли С = Ь^
метрического тензора g вдоль векторного поля £ и тензорное поле Р, компоненты которого в адаптированных координатах [6]
представлены в виде pacd=8пГ°ай. Тензорное поле pacd
назовем тензором Схоутена — Вагнера.
Теорема 2. Тензор Схоутена — Вагнера внутренней связности многообразия Кенмоцу равен нулю. Доказательство. Используя равенство
1 „ ad, 2'
ТЪс = ~^ (eЬgcd + есШ — edSЬc)
получаем: 2gaeГac = еЬёсв + есёЬв — евёЬс.
Продифференцируем обе части последнего равенства по хп. Используя Ь^ = 2^ — г® г) или, в адаптированных координатах, 8 ngaь = 2 gaь, получаем:
4 gaeГaъc + 2 gae8 п Г°Ьс = 2(^се + ecgЬe — eegЬc ).
Отсюда следует, что 8п ГЪс = 0.
3. Многообразие Кенмоцу с ^связностью. Используя предложение 2 и формулу Ь^ = 2(g — г ® г), получаем
Предложение 4. М-связность VУ выражается через связность Леви-Чивиты с помощью следующего равенства:
V= Vху + г(х)Уу + (g + г ® г)(х,у)1 — г(у)х — Г(х)у.
Последнее равенство можно переписать в виде
VNy = Vxy + Г (X)Ny + C(x,y)l - r(y)x - r(x)y,
где Cab = gab, Can = 0, Cnn = 2
Предложение 5. Ненулевые компоненты тензора кривизны K(x,y)z связности VN в адаптированных координатах принимают следующий вид:
Kdb = Rdb , Kdb =-VbNd.
abc abc' nbc b c Здесь RCad — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [6]: Ribc = 2e[ard]c + 2Г[^|е|Г1 ]c.
Найдем условия, при которых связность VN является метрической связностью. В адаптированных координатах равенство VN g = 0 переписывается в виде:
VNg = e g —rd g — Гd g = 0
Vc gab = ecgab Г cagdb Г cbgad = 0,
V Ш gab = ô ngab — Nagcb — Nbgac = 0. Учитывая, что для многообразия Кенмоцу ôngab = 2gab,
из последнего равенства получаем 2 gab = Ncagcb + Nbcgac.
Тем самым убеждаемся в справедливости следующего предложения.
Предложение 6. N-связность VN является метрической тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство: 2gab = Nagcb + Nb)gac.
Найдем ограничение на эндоморфизм N, при котором
связность VN сохраняет структурный эндоморфизм многообразия Кенмоцу. Рассмотрим равенство
уПФФ = 5пфФ + МЬсй -НсафЬс = 0.
Учитывая, что многообразие Кенмоцу является нормальным почти контактным метрическим многообразием, убеждаемся в справедливости следующего предложения.
Предложение 7. Ы-связностъ УN сохраняет структурный эндоморфизм ф многообразия Кенмоцу тогда и только тогда, когда эндоморфизмы N и ф коммутируют:
N Фа - №ауЪс = 0.
Последнее равенство выполняется, в частности, если N = ф.
В завершение работы приведем пример многообразия Кенмоцу с метрической К-связностью, сохраняющей структурный эндоморфизм ф.
Пример. Определим на пространстве Я3 структуру многообразия Кенмоцу, полагая, что в канонических координатах
2 2
(х,у,2) выполняются равенства = g22 = е , gзз = 1,
5 5 5 5 5 5
Ф— = —, Ф— = —, Ф— = 0, д=—, г] = а,2.
5х 5х 5у 5х 5г 52
Нетрудно проверить, что связность У с коэффициентами Г°аЪ = 0, гПа = Nac = ¿>а является метрической К-связностью, сохраняющей структурный эндоморфизм ф.
Список литературы
1. Букушева А. В. О геометрии слоений на распределениях с финслеровой метрикой // Изв. Пензенского педагогического университета им. В. Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2012. № 30. С. 33—38.
2. Букушева А. В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 58—63.
3. Букушева А. В., Галаев С. В. Геометрия почти контактных ги-перкэлеровых многообразий // Диф. геом. многообр. фигур. 2017. Вып. 48. С. 32—41.
4. Галаев С. В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21, № 3. С. 551—555.
5. Галаев С. В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, № 3. С. 263—272.
6. Галаев С. В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, № 3 (59). С. 53—63.
7. Гордеева И. А., Паньженский В. И., Степанов С. Е. Многообразия Римана — Картана // Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. 2009. Т. 123. С. 110—141.
8. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov. Ser. III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Vol. 4 (53), № 2. Р. 13—22.
9. Galaev S. V. Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39, № 1. P. 71—76.
10. Golab S. On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections // Tensor (N. S.). 1975. Vol. 29. P. 293—301.
11. Kenmotsu K. A. Class of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1972. Vol. 24. P. 93—103.
12. Pitis G. Geometry of Kenmotsu manifolds. Brasov, 2007.
A. Bukusheva1 1 Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., Saratov, 410012, Russia
bukusheva@list.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2930-1697 doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-7
On geometry of Kenmotsu manifolds with N-connection
Submitted on March 13, 2019
A Kenmotsu manifold with a given N-connection is considered. From the integrability of the distribution of a Kenmotsu manifold it follows that the N-connection belongs to the class of the quarter-symmetric connec-
tions. Among the N-connections, the class of connections adapted to the structure of the Kenmotsu manifold is specified. In particular, it is proved that an N-connection preserves the structure endomorphism q> of the Kenmotsu manifold if and only if the endomorphisms N and q> commute. A formula expressing the N-connection in terms of the Levi-Civita connection is obtained. The Chrystoffel symbols of the Levi-Civita connection and of the N-connection of the Kenmotsu manifold with respect to the adapted coordinates are computed. The properties of the invariants of the interior geometry of the Kenmotsu manifolds are investigated. The invariants of the interior geometry are the following: the Schouten curvature tensor; the 1-form ] defining the distribution D; the Lie derivative
L^g = 0 of the metric tensor g along the vector field <H; the tensor field P with the components given with respect to the adapted coordinate system by the formula Pcd = dnTc d. The field P is called in the work the
LA-LA LALA
Schouten — Wagner tensor. It is proved that the Schouten — Wagner tensor of the interior connection of the Kenmotsu manifold is zero. The conditions that satisfies the endomorphism N defining the metric N-con-nection are found. At the end of the work, an example of a Kenmotsu manifold with a metric N-connection preserving the structure endomorphism q> is given.
Keywords: Kenmotsu manifold; interior connection of an almost contact metric manifold; N-connection of an Kenmotsu manifold.
References
1. Bukusheva, A. V.: On the geometry of foliations on distributions with Finslerian metric. Izv. Penz. Pedagog. Univ. (Ser. fiz.-matem. i tekhn. nauki). 30, 33—38 (2012) (in Russian).
2. Bukusheva, A.V.: Nonlinear connections and internal semi-pulverization on a distribution with a generalized Lagrangian metric. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 46, 58—62 (2015) (in Russian).
3. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: Geometry of almost contact hyper-kähler manifolds. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 48, 32—41 (2017) (in Russian).
4. Galaev, S. V.: Smooth distributions with admissible hypercomplex pseudo-Hermitian structure. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 21:3, 551—555 (2016) (in Russian).
5. Galaev, S. V.: Admissible hypercomplex structures on distributions of Sasakian manifolds. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform. 16:3, 263—272 (2016) (in Russian).
6. Galaev, S. V.: Generalized Wagner's curvature tensor of almost contact metric spaces. Chebyshevskii Sbornik, 17:3 (59), 53—63 (2016) (in Russian).
7. Gordeeva, I. A., Panzhensky, V.I., Stepanov, S.E.: Riemann — Cartan manifolds. Itogi nauki i tekhn. Sovrem. Math and its app. Theme reviews. Мoskow. 123, 110—141 (2009) (in Russian).
8. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: Almost contact metric structures defined by connection over distribution. Bulletin of the Transilvania University of Brasov, Ser. III: Mathematics, Informatics, Physics. 4(53):2, 13—22 (2011).
9. Galaev, S. V.: Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures, Lobachevskii Journal of Mathematics. 39:1, 71—76 (2018).
10. Golab, S.: On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections, Tensor (N. S.), 29, 293—301 (1975).
11. Kenmotsu, K. A.: Qass of almost contact Riemannian manifolds, Tohoku Math. J. 24, 93—103 (1972).
12. Pitis, G.: Geometry of Kenmotsu manifolds. Publishing House of Transilvania University of Brasov, Brasov (2007).
