О классификации продолженных Би-метрических структур на субримановых многообразиях с нулевым тензором кривизны Схоутена Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

О КЛАССИФИКАЦИИ ПРОДОЛЖЕННЫХ БИ-МЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР НА СУБРИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С НУЛЕВЫМ ТЕНЗОРОМ КРИВИЗНЫ СХОУТЕНА

© С. В. Галаев

Саратовский государственный университет Россия, 410012 г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

Тел./факс: + 7 (8452) 27 85 29.

Email: [email protected]

Вводится понятие внутренней геометрии субриманова многообразия контактного типа. Под внутренней геометрией здесь понимается совокупность тех свойств субриманова многообразия М, которые зависят только от оснащения D1 распределения D субриманова многообразия, а также от параллельного перенесения векторов, принадлежащих распределению D, вдоль кривых, касающихся этого распределения. Основными инвариантами внутренней геометрии субриманова многообразия М являются: тензор кривизны Схоутена; 1-форма ц, порождающая распределение D, векторное поле порождающее оснащение распределения D. В статье рассматриваются субримановы многообразия с нулевым тензором Схоутена, для которых поле f является киллинговым векторным полем. Такие многообразия разбиваются на два класса в зависимости от того, интегрируемо распределение D, или нет. С помощью внутренней связности, заданной на субримановом многообразии М контактного типа, на распределении D многообразия М как на тотальном пространстве векторного расслоения (D, л, М) определяется почти контактная структура с Би-метрикой, названная в работе продолженной структурой. В результате вычисления значений фундаментального, ассоциированного с продолженной структурой тензора F типа (0, 3), положенного в основу классификации почти контактных Би-метрических структур, исследуется соответствие между геометрией исходного субриманова многообразия и геометрией продолженной Би-метрической структуры. Доказывается, что продолженные почти контактные Би-метрические структуры, соответствующие субри-мановым структурам первого класса, принадлежат всем возможным одиннадцати классам Би-метрических структур. В то же время, продолженные структуры, соответствующие субри-мановым структурам второго класса, принадлежат только одному из одиннадцати классов Би-метрических многообразий.

Ключевые слова: Почти контактная структура с Би-метрикой, субриманово многообразие контактного типа, распределение нулевой кривизны.

Введение

Под субримановым многообразием контактного типа понимается гладкое многообразие М размерности п с заданной на нем субримановой структурой (М, ц, д, В), где: ^ - 1-форма, порождающая распределение В: В = кегц; % - векторное поле, порождающее оснащение В1 распределения В: В1 = Брап(^); д - риманова метрика на многообразии М, относительно которой распределения В и В1 взаимно ортогональны. Мы также полагаем, что ц ({) = 1 и д((,() = 1. Используя конструкцию продолжения [2-4, 7, 8, 10] почти контактных метрических структур, мы определяем на тотальном пространстве В векторного расслоения (В, п, М) почти контактную структура с Би-метрикой, названную в работе продолженной структурой. Свойства продолженной почти контактной структуры с Би-метрикой существенно зависят от свойств исходного субрима-нова многообразия. Почти контактные многообразия с Би-метрикой исследовались в работах [13-15]. В работе [15] предложена классификация таких многообразий в соответствии со свойствами специально определенного для этой цели тензора F типа (0, 3). В соответствии с классификацией Би-метрических многообразий существует одиннадцать классов почти контактных Би-метрических структур. В предлагаемой работе мы ограничиваемся рассмотрением субримановых многообразий с нулевым тензором

Схоутена. Кроме того, мы полагаем, что поле ^ является киллинговым векторным полем. Принятые ограничения на используемые в работе субрима-новы многообразия существенно ограничивают число классов, которым могли бы принадлежать продолженные структуры. В работе доказывается, что продолженные Би-метрические структуры, соответствующие субримановым многообразиям с интегрируемым распределением В, принадлежат всем возможным одиннадцати классам Би-метрических структур, в то время как продолженные структуры, соответствующие субримановым многообразиям с неинтегрируемым распределением В, принадлежат только одному из одиннадцати классов Би-метриче-ских многообразий.

Во втором разделе работы приводятся необходимые для дальнейшего сведения о геометрии суб-римановых многообразий. Определяется внутренняя связность и тензор кривизны Схоутена. Третий раздел содержит основные результаты работы. В этом разделе определяется продолженная почти контактная Би-метрическая структура, обсуждаются вопросы ее классификации.

Субримановы многообразия контактного типа

Пусть М - гладкое многообразие размерности п с заданной на нем субримановой структурой (М, I, ц, д, В), где ^ и % 1-форма и единичное вектор-

ISSN 1998-4812

Вестник Башкирского университета. 2017. Т. 22. №4

937

ное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения В и В1 и связанные соотношением = 1. Внутренней линейной связностью V [1, 5, 6, 8, 9] на субримановом многообразии называется отображение

V: Г(В) х Г(В) ^ Г(В), удовлетворяющее следующим условиям:

1) V ^2,у= + ,

2) V ^ у = (хОу + Г V £у,

3) V/(у + г) = ЧхУ + V ¿1,

где Гф) - модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению В).

Внутренняя связность определяет дифференцирование допустимых тензорных полей [1,6,7]. Вот так, например, определяется производная эндоморфизма ср распределения В: (Vх<р)у = Vх(фу) —

<РФ£У), *,УЕ Гф).

На протяжении всей работы мы используем адаптированные координаты. Карту к(ха) (а,р,у = 1,...,п; а,Ь,с = 1, ...,п — 1; 1,], к = 2п — 1) многообразия М будем называть адаптированной к распределению В, если дп = % [6]. Пусть Р: ТМ ^ В - проектор, определяемый разложением ТМ = В® В1, и к(ха) - адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = ¿а = да — ГЦдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение В: В = Брап(ёа).

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения Vеае ь = Г^ье с. Из

-» ' ^ ' дха'

равенств еа = Аа еа', где Аа , обычным обра-

зом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

рс _ да' дЬ' дс т^с' , дс -> дс' 1аЬ = ла ЯЬ лсПа'Ь' + лс'еалЬ .

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:

Б(х,у) = Vхy — Vуx — Р[х,у],

Я(Х,у)г = Чх^уЯ — Уу^х^ — Чр[Х,у]2 —

^ — [(¿[х,у],г], где = I — Р, х,у,г Е Г(В). Тензор Я(х,у)г носит название тензора кривизны субриманова многообразия. Имеет место

Предложение 1. На субримановом многообразии существует единственная связность V с нулевым кручением, такая, что

V хд(х,у) = 0.

Назовем связность V внутренней метрической связностью. Коэффициенты внутренней метрической связности находятся по формулам

Гьс = \даа(еъ9с<1 + есдЬа — еадЬс).

Наиболее просто устроены субримановы многообразия с нулевым тензором кривизны Схоутена. Многообразия с нулевым тензором кривизны Схо-утена подробно изучались в случае контактного метрического многообразия в работе [11]. В настоящей работе мы рассматриваем субримановы многообразия с нулевым тензором кривизны двух типов: с интегрируемым и, соответственно, неинтегрируемым распределением В. В первом случае выполняется равенство йш = 0.

Продолженные почти контактные Би-метрические структуры

Пусть М - гладкое многообразие нечетной размерности п = 2т + 1,т > 1, с заданной на нем почти контактной структурой (М,^,1],(р,В) где ф -тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, ^ и г] - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, такие, что:

ф^=0,ф2 = —1 + = 0,1]ф = 1.

Если почти контактная структура (М, г], <р, В) согласована с псевдо-римановой метрикой д таким образом, что

д(срх,сру) = —д(х,у) + ч(х)ц(у), где х,у Е Г(ТМ), Г(ТМ) - модуль векторных полей на многообразии М, то структура (М,^,г],(р,д,В) называется почти контактной структурой с Би-мет-рикой, а многообразие М - почти контактным многообразием с Би-метрикой или, Би-метрическим многообразием. Распределение В = кегг] будем называть распределением Би-метрического многообразия, а распределение Б1 = Брап(^) - оснащением распределения В.

Тензорное поле Р(х,у,г) = д^хфду,^), где V - связность Леви-Чивита, введено и названо в работе [15] фундаментальным тензорным полем. В зависимости от строения поля Р выделяются 11 классов почти контактных структур с Би-метрикой. Для нас наиболее интересен класс Р10. Структура (М, Т], ср, д, В) принадлежит указанному классу, если:

Р(х,у,г) = р(^,фу,фг)^(х).

Пусть, теперь В - распределение субриманова многообразия контактного типа. Векторные поля

(.£а = — Га 9п — Гасх &п+Ь, ^п, &п+а) =

определяют [7] на распределении В как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (йха, &п = йха + ГЦйха, ®п+а = йхп+а + ГЦсхп+сйхь) - соответствующее поле коба-зисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[еа,£ь] = 2шЬадп + ХП+ Щшйд-п+с,

3J

JbaL _ ^n+d

Д ГС Я

wnladwn+c,

[£а, д-п+ь] = ГаЬ^п+с,

где Яьай - компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [6, 7]:

КаЬс = 2е[аГЬ]с + 2Г[а\\е\\ГЬ]с

Имеет место

Предложение 2. [7]. Пусть V - внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена И (х, у)г. Тогда, для всех х,у Е Гф) и р Е О имеют место следующие равенства.

[хЬ.у^ = [х,)/]11 — {Р(х,у)рУ, (1)

[хн,1н]^=[х,1]н + {Р(х,р)У, (2) [х\Г] = (?хУУ, (3)

= . (4)

Определим на многообразии О почти контактную структуру (В,], и, А = ц о п,,В), полагая ]хн = ху,]ху = —хн. Здесь п:В ^ М - естественная проекция. Определим, далее, на многообразии М метрику д, подчиняющуюся равенствам:

д(хн,ун) = -д(ху,уу) = д(х,у), д(хк,уу) = д(хн,и) = д(х",и) = 0.

Имеют место следующие предложения.

Предложение 3. Структура (В,],и,А = -ц° п„ д, О) является почти контактной структурой с Би-метрикой.

Доказательство. В соответствии с определением тензоров у, д получаем:

1) д(]хУ1,]уУ1) = д(х\у") = = -д(х,у) = -д(хн,ун);

2) д(]х\]у») = д(хн,ун) = д(х,у) = -д(х",у").

Предложение 4. Пусть V - связность Леви-Чивита на Би-метрическом многообразии О, тогда ее коэффициенты в адаптированных координатах получают следующее представление:

badи

I,.n+d

Vngab,

= -gcdRe

adf'

rn+f

Г c — pc

rab = r ab,

2inb+c_= R

2ГаЬ = 2(ûba

Г Г

^la,n+b uln+b,a

Г n+ c c

r a,n+b r ab,

Г n Г n e n+

^la,n+b uln+b,a ип1асл Heb,

2^n+a,n+b = Vngab,

2ГСП = 2ГСа = gCd(2^ad + dngad),

Г n+ c c n+ d Г n+

2 г пп Vnг ad^ 2rnn ,

geb,

a n

2T c

n

Г n+ c

d e n+ b n+ a, n n, n+ a n d b a

= 2Г °

^ 1 п,п , а

■у^п+с _ прп+с _ ncdя п ^1п+а,п ^1п,п+а ¿/ {JпУad.

Доказательство предложения 4 основано на использовании равенств (1)-(4), а также выражения для коэффициентов связности:

2Г™ = дкт(А19]к + - Акдц +

+^к]9и + + П™,

т,™ пп — 9/,! Пп+с _ пп+с Пп+с _ гс пп + с _ где паЪ = 2шЪа,паЪ = КаЪ ,па,п+Ъ = гаЪ,пап = а рс у.п+Ь ип1аЪл .

Теорема. Пусть М - субриманово многообразие с нулевым тензором кривизны Схоутена и векторным

полем ¡- таким, что Ь-^д = 0. Тогда, если распределение О интегрируемо, то продолженная Би-метриче-ская структура (0,],и,Х = г] °Пъ,д,0) принадлежит всем возможным одиннадцати классам Би-метриче-ских многообразий одновременно. Если, напротив, распределение О не интегрируемо, то соответствующая Би-метрическая структура принадлежит классу Р10 и никакому другому классу не принадлежит.

Доказательство теоремы сводится к вычислению фундаментального поля Р(х,у,г),(х,у,г) Е Г(Ю). В случае интегрируемости распределения О функция Р(х,у,г) оказывается тождественно равной нулю. В противном случае отличными от нуля значениями функции Р(х, у, г) являются следующие:

Р^а-дп+Ъ^п) = Р(ёа,дп,дп+Ь) =

= Р(дп,£а,дп+Ъ) = Р(дп,дп+Ъ,£а) = шаЪ.

что и доказывает теорему.

Заключение

Статья посвящена обсуждению некоторых вопросов, касающихся геометрии распределений суб-

римановых многообразий контактного типа. В отличие от пространства касательного расслоения, распределение D как гладкое многообразие имеет нечетную размерность, что и определяет, в частности специфику его геометрии. Более того, можно показать, что в общем случае определяемая выше продолженная структура Би-метрического многообразия не совпадет с индуцированной структурой, возникающей в случае естественного вложения D с ТМ. Весьма перспективным кажется исследования продолженных структур с точки зрения их использования в теоретической физике [12]. Далее, следует заметить, что, несмотря на частный случай рассматриваемого субриманова многообразия (тензор Схо-утена равен нулю), именно такие многообразия представляют особенный интерес с точки зрения их приложения [7, 11].

ЛИТЕРАТУРА

1. Букушева А. В. О геометрии контактных метрических пространств с ф-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №17(214). Вып. 40. 2015. С. 20-24.

2. Букушева А. В., Галаев С. В., Иванченко И. П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Математика. Механика. 2011. №13. С.10-14.

3. Букушева А. В., Галаев С. В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.

4. Букушева А. В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С.247-251.

5. Букушева А. В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.

6. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №1. С. 16-22.

7. Галаев С. В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал, 2016, Том 57, №3. С. 632-640.

8. Галаев С. В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2015. Т. 15. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3. С. 258-264.

9. Галаев С. В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Изв. Вузов, Математика. - 2017. - №3.-С. 1-10.

10. Галаев С. В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.

11. Галаев С. В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского Государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. №6 (255). Выпуск 46. С. 36-43.

12. Гладуш В. Д. Пятимерная общая теория относительности и теория Калуцы-Клейна // ТМФ, 2003, том 136, номер 3, С. 480-495.

13. Manev M. Tangent bundles with Sasaki metric and almost hy-percomplex pseudo-Hermitian structure // Topics in almost Hermitian geometry and related fields. WorldSci. Publ, Hackensack, NJ. 2005. P. 170-185

14. Manev M. Tangent bundles with complete lift of the base metric and almost hypercomplex Hermitian-Norden structure // C. R. Acad. Bulgare Sci. 2014, no. 3, P. 313-322.

15. G. Ganchev, V. Mihova, K. Gribachev, Almost contact manifolds with B-metric, Math. Balk. N. S. 7(3-4) (1993), 261-276.

Поступила в редакцию 08.10.2017 г.

ISSN 1998-4812

BeciHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2017. T. 22. №4

939

ON CLASSIFICATION OF CONTINUOUS B-METRIC STRUCTURES ON SUB-RIEMANNIAN MANIFOLDS WITH ZERO SCHOUTEN TENSOR

© S. V. Galaev

Saratov State University 83 Astrakhan Street, 410012 Saratov, Russia.

Phone: +7 (8452) 27 85 29.

Email: [email protected]

The notion of the interior geometry of a sub-Riemannian manifold of contact type is introduced. The interior geometry is understood as an assembly of the properties of sub-Rie-mannian manifold M that depends only on equipment D1 of the distribution D as well as on the parallel transport of the vectors from the distribution D along the curves tangent to this distribution. The basic invariants of the interior geometry of a sub-Riemannian manifold M are the following: the Schouten curvature tensor; the 1 -form r defining the distribution D; the vector field f generating the equipment D1 of the distribution D. For considered in the paper sub-Riemannian manifolds with zero Schouten tensor, the vector field % is a Killing vector field. Such manifolds are divided into two classes depending on the integrability of the distribution D. Using the interior connection given on the sub-Riemannian manifold M of contact type, an almost contact structure with a B-metric is defined (it is called in the paper the continuous structure) on the distribution D of the manifold M as on the total space of the vector bundle (D, n, M). The fundamental structure tensor F of the type (0, 3) associated with the continuous structure is computed. This tensor is used for the classification of almost contact B-metric structures. It is shown that the values of this tensor are determined by the invariants of the interior geometry of a sub-Riemannian manifold. The relation between some classes of the interior sub-Riemannian manifolds and of the eleven classes of the extended B-metric structures are studied. It is proved that the continuous almost contact B-metric structures, corresponding to the sub-Riemannian structures from the first class, belong to all eleven classes of B-metric structures. At the same time, the continuous structures corresponding to the sub-Riemannian structures of the second class belong only to one of the eleven classes of B-metric manifolds.

Keywords: B-metric, sub-Riemannian manifold, almost contact structure, zero curvature, distribution.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Bukusheva A. V. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Fizika. No. 17(214). No. 40. 2015. Pp. 20-24.

2. Bukusheva A. V., Galaev S. V., Ivanchenko I. P. Matematika. Mekhanika. 2011. No. 13. Pp. 10-14.

3. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Matematika. Mekhanika. 2005. No. 7. Pp. 12-14.

4. Bukusheva A. V. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya. Matematika. Mekhanika. Informatika. 2014. Vol. 14. No. .3. Pp. 247-251.

5. Bukusheva A. V. Matematika. Mekhanika. 2014. No. .16. Pp. 15-18.

6. Galaev S. V. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya. Matematika. Mekhanika. Informatika. 2012. Vol. 12. No. 1. Pp. 16-22.

7. Galaev S. V. Sibirskii matematicheskii zhurnal, 2016, Vol. 57, No. 3. Pp. 632-640.

8. Galaev S. V. Izv. Sarat. un-ta. Nov. ser. 2015. Vol. 15. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, vyp. 3. Pp. 258-264.

9. Galaev S. V. Izv. Vuzov, Matematika. - 2017. - No. 3.-S. 1-10.

10. Galaev S. V. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2016. Vol. 21. No. 3. Pp. 551-555.

11. Galaev S. V. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo Gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Fizika. 2017. No. 6 (255). Vypusk 46. Pp. 36-43.

12. Gladush V. D. TMF, 2003, tom 136, nomer 3, Pp. 480-495.

13. Manev M. Topics in almost Hermitian geometry and related fields. World Sci. Publ., Hackensack, NJ. 2005. Pp. 170-185

14. Manev M. C. R. Acad. Bulgare Sci. 2014, no. 3, Pp. 313-322.

15. G. Ganchev, V. Mihova, K. Gribachev, Almost contact manifolds with B-metric, Math. Balk. N. Pp. 7(3-4) (1993), 261-276.

Received 08.10.2017.