CC BY
28Адабиёт:
1. Барномаи таълими синфхои ибтидой. Математика. - Душанбе, 2010. - 63 с.
2. Нумонов М., Эрматова У., Бадалова М. Стандарти тахсилоти ибтидоии фанни математика барои синфхои 1-4 ва рахнамои омузгор. - Душанбе, 2012. - 31 с.
3. Полат Е. С. Педагогические технологии ХХ/ века современные проблемы образования. - Тула, 1997.
4. Бадалова М., Бадалова С., Нумонов М., Х,ок;иев А. Корхои санчишй аз фанни математикаи синфхои ибтидой. - Душанбе, 2011. - 43 с.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦЕЛИ СТАНДАРТА НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ
НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
В этой статье приведены основные цели стандарта начального образования в период обучения. Для каждой цели стандарта для учителей предложены рекомендации, которые способствуют методической подготовке учителей начальных классов.
Ключевые слова: стандарт начального образования, образовательная программа, учебный план, школьный учебник, цель образования, конечный результат, календарный план.
REALIZATION OF STANDARD AIMS OF ELEMENTARY EDUCATION IN TEACHING OF MATHEMATIC
The article examines the main aims of the standard of primary education during the study. For cache purpose to there has bean offered activities that stimulates methodical teaching and learning of the primary classes.
Key words: standard of primary schools, learning program, curriculum, school resources, aim of learning, the final outcome plans.
Сведения об авторе: Бадалова Мавлуда - старший преподаватель кафедры методики начального обучения Таджикского государственного педагогического университета им. Садриддина Айни, e-mail: mavluda-badal@gmail.com
Information about the author: Badalova Mavluda - senior teacher of Method of Primary Classes Teaching Chair in Tajik State Pedagogical University named after S. Aini
УДК 517.956.2
О РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПОСТОЯННЫМИ ОТКЛОНЕНИЯМИ АРГУМЕНТА
Мисоков Г.
Таджикский государственный университет коммерции
На плоскости С рассмотрим уравнение вида и^ + аи(г) + Ъи(г + + си(г + к2) = [(г), (1) где все коэффициенты а,Ъ,с и к1,к2- постоянные, /"^-заданная функция. Случай Ъ,г = к2 = 0 рассмотрены в [1].
Рассмотрим вначале однородное уравнение, то есть когда [(г) = 0,
и2 + аи(г) + Ъи(г + к х) + сш(г + к2) = 0 . (2)
Будем искать частные решения уравнения (2) в виде [2] иг (г) = еЯг, (3) где Я -постоянная.
Подставляя (3) в (1), для определения Я, получим, так называемое характеристическое уравнение
Я + а + Ъея^1 + сея^2 = 0. (4) 10
Характеристический квазиполином Р(Л) = Л + а + ЪеХ}11 + селп2 является целой аналитической функцией, поэтому уравнение (4) имеет бесконечное множество корней на плоскости С
Лемма 1. Каждому корню Лj характеристического уравнения (4) соответствует аналитическая, с периодами Ь1, К2, функция Ф](г) такая, что функция
Ш](г) = Ф](г)ех}2 (5) является решением уравнения (2).
В самом деле, если Лj корень уравнения (4), то функция Ш](г) = ехр(—Л]г) является решением уравнения (2) и удовлетворяет условиям
+ К1) = еА-Е1ш](г),ш](г + Ь2) = е^щ^г). (6) Если д(г)--другое решение (1), класса С1, удовлетворяющая условиям (6), то функция
Ф](г) = е- я^д(г)
является периодической с периодами , К2 и удовлетворяет уравнению Коши-Римана
дФ- -дд -
—1 = —е~х12д(г) + е-х]г — = —(Л + а + Ъеш 1 + се1?12)д(г) = О, дг дг к ] у
так как Л] - корень уравнения (4). ПоэтомуФ](г) - аналитическая функция и имеет
место формула (5).
Линейные комбинации решений
т
£Ф5(г)е**2,
Б=1
где Ф5(г) - аналитические функции с периодами Ь,г, К2 и даже бесконечная сумма
т
к=1
также являются решениями уравнения (2), если написанный ряд сходится и допускает по членное дифференцирование.
Лемма 2. Если X - корень кратности т характеристического уравнения (4), то функции
г ехрЛг, г2ехрЛг,..., гт-1ехрЛг
являются решениями уравнения (4) и конечная сумма
т-1
£ Фк(г)гкех', к=0
гдеФк(г) - аналитические функции с периодами К1,К2, также являются решением уравнения (2).
Действительно. Если ш(г) = гкеХг, то
е-Хг[ш2 — аш(г) — Ъш(г + Ь1) — сш(г + Ь2)] = гкЛ +
к
+кгк-1 — агк — Ъ(г + К1)к—с(г + К2)к = £ с] гк-1р](Л).
]=1
Это выражение получено разложениями (г + К^) , (г + К2) по формуле бинома и использованием того, что коэффициенты связаны с производными р](Л), причем р(0\Л) = р(Л), указанным образом: если Л - корень кратности т, то р(Л) = р(1)(Л) = р(2)(Л) = ■■■ = р(т-1)(Л) = О, а р(т)(Л) * О.
Поэтому функции ш(г) = гкехрЛг при к = 0,1,2,...,т — 1 являются решениями уравнения (2).
Тогда, все функции вида (лемма 1)
ф к (г^е хр яг
Фк - аналитические периодические функции с периодами , к2 и любая их конечная сумма также являются решениями уравнения (2).
Таким образом, если Я £ - корень уравнения (4), имеющий кратность а£ и если ряд
1
^(г)ея ¡2,
1=1
где ^(г) - полианалитические функции степени а £ — 1,[1], то есть полиномы по 2, у которых коэффициенты аналитических функций по г и периодические с периодами к2, сходятся и допускают почленное дифференцирование, то их сумма является решением уравнения (2).
Замечание: следует отметить, что если /ш (Л2/кх) = 0, то аналитические функции соответствующим корнем Я£ уравнения (4) суть однопериодические функции [3], а при / ш ( к2/ к 1 ) ^ 0 - двоякопериодичес-кие функции (то есть эллиптические функции).
Теперь находим решение уравнения (1), при ( ) . Будем искать регулярные решения (1) из класса и от правой части ( )требуем, чтобы была
непрерывной по Гельдеру с показателем а, 0 < а < 1, и /(г + ку) = /(г), / = 1, 2 , то есть ( )
Из леммы 1, 2 и свойства эллиптических функций [ 3], получим
Теорема 1. Пусть /ш ( к2/ кх ) ^ 0 и Я £-корень уравнения (4). Тогда любое регулярное решение уравнения (1) шу, удовлетворяющее условию (6) (даже с учетом кратности Я £) представимо в виде
иг у = суея '2,
где су-произвольная постоянная. Если ряд
00
"с£еЧ( 7)
1
£=1
сходится и допускает почленное дифференцирование, то его сумма является решением уравнения (2).
Пусть теперь X -корень уравнения
Я + а + Ъея^1 + сея^2 = ¿,(8) й-произвольное комплексное число, то есть X является d - точка целой функции р(Я) [3].
Уравнение (8) также имеет бесконечное множество решений [ ]
Обозначим через Г-решетку Г = {ш1к1 + ш2к2,ш1,ш2 — целые), а через Г1-решетку
вида Г1=—Г, П0 = |к1|2/ш (к2/к1), причем /ш(к2/к1)>0, П0-площадь П0
параллелограмма со сторонами -произвольная точка
плоскости (можно взять ).
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда любое регулярное решение уравнения (2) ии у, удовлетворяющее условию (6), представимо в виде
\ с/е- а2 - й2+сл и й е Г1 ,
//(г) — ^
1 0, если й & /1,
шу(г) = ^ у
где су-произвольная постоянная, а постоянная а удовлетворяет уравнениям
ехр(ак1 + й^1) = 1, ехр(ак2 + йк2) = 1. Действительно, если Я£-корень уравнения (8), то отыскивая решения уравнения (2) в виде
шу(г) = ^(г)е-й2+я2
получим, что ^(г) должна удовлетворять уравнению Коши-Римана
= 0'
12
и условиям
гр(г + К1) = еаП1-ф(г),-ф(г + К2) = еаЕ2-ф(г).
Как показано в [4], такие функции представимы в виде ^(г) = с]е-аг, при й Е 11, и ^(г) = 0, при й <£ Гь с]-постоянная, а число а удовлетворяет уравнениям
ехр(—аК1) = ехр(йК1), ехр(—аК2) = ехр(йК2). Такая постоянная а всегда существует, так как, система уравнений
(аК1 + йК1 = 2пт, {аК2 + йК2 = 2тт
всегда имеет решение, где п, т-некоторые целые, и по условию 1т (К2/К1) * 0. Так как уравнение (2) линейное и его общее решение получится как сумма частных решений
т
ш0(г) = £ с]е-аг-й2+х12,при й Е Г1, ]=1
и шй(2) = й ЁГ^ если написанный ряд сходится и допускает почленное
дифференцирование.
При й = 0, считаем, что а = 0 и получим теорему 1. Заметим, что 0 Е Г^ Теперь, чтобы получить решение неоднородного уравнения (1), надо найти какое-нибудь частное решение соответствующему хотя бы одному - корню уравнения (4). Частное решение уравнения (1) будем искать в виде
д ] = ех12-ф(г),( 1 0 )
где ^(г)-искомая функция.
Подставляя (10) в (1) получим, что ^(г) должна удовлетворять уравнению
^2 + й^ = е-х12[(г),(11) и условию двояко периодичности
гР(г + к1)=гр(г),гр(г + к2)=гр(г).(12) Решение задачи (11), (12) при условии, что [(г) удовлетворяет условиям
[(г + К1) = ех^[(г),[(г + К2) = е^ [(г), (13) и [ Е Ьр(&) найдены в работах [4].
Достаточно, найти решение задачи (11), (12) в основном параллелограмме периодов решетки Г = {т1К 1 + т2К2, т 1, т2 — ц ел ы е}, П с вершинами 0, К 1, К 1 + К2, К2. Условия разрешимости задачи (11), (12) зависит от числового значения й [4]. Если й Е Гь то для разрешимости задачи (11), (12) необходимо и достаточно, чтобы
I
е- Л]2+аг+аг [(г)й П = 0,
а
При этом решение задачи (11), (12) представимо в виде
^(г) = е-й^-аг[с] + т^([е-х12+с12+аг)], где с]-произвольная постоянная, постоянная а как в формуле (9), Т^р-интегральный оператор вида
Т<р = —1! р&Ха — г)йсП,
а
((г) - дзета-функция Вейерштрасса [3]. Таким образом, справедлива Теорема 3. Пусть Л]-корень уравнения (8) и й Е Гь [(г) удовлетворяет условию (13) и непрерывно по Гельдеру в параллелограмме П. Тогда для разрешимости уравнения (1) в классе функций С1 необходимо и достаточно, чтобы
JJ/(z)e = 0 у=1, 2, 3„ . .
П
При этом, если ряд (9) сходиться и допускает по членное дифференцирование, то любое решение уравнения (1) представимо в виде
^(z) = (z) + e^'z - d z - azTV(/ е- +dz+az), причем Яу - один из корней уравнений (8), w0(z) - решение однородного уравнения (2), которое имеет вид (9).
Пусть теперь d g 1\. Тогда представляя решение задачи (11), (12) в виде
^(z) = e-dzM(z),
получим, что функция m(z) удовлетворяет неоднородному уравнению Коши-Римана
Mz = F(z)edz,F(z) = e-Ävz/(z),(14)
и условию
M(z + hj = ed^M(z),M(z + h2) = ed^/(z), (15) В этом случае, в силу условия d g Tj, можно найти число /,такое, что функция [4]
M(z) = e^zrc7(F(z)edz-^z), удовлетворяет уравнению (14) и условию (15), где -интегральный оператор вида
1 ff a(t — z — di)
п
(^)-сигма-функция Вейерштрасса [3]. Для чего надо решить систему уравнений
//h 1 + 7 1d 1 = dh 1 , (ш о d Г)| //h2 + 7 2d 1 = dh2 , (ш о d Г) J где 7 1 , 7 2-циклические постоянные 77 у = 2 £ (у),_/' = 1, 2, которые вместе с h 1t h2
удовлетворяют соотношению Лежандра [3], 7 1 h2 — 7 2h 1 = 2 n î.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и d g Г1. Тогда уравнение (1) при любой Aj правой части удовлетворяющее условию (13) имеет, притом, одно единственное решение вида
0/(z) = — ^е^2 - dz+^zTff(/ е- +dz - ^z),( 1 6)
7Г
где постоянные удовлетворяют системе сравнений
// hy + 7yd 1 = dhy(mo d Г),_/ = 1, 2 . Так как корни уравнения (8) бесчисленные, то уравнение (1) имеет бесчисленное множество решений вида (16).
Литература:
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. -М.: Физматгиз, 1995. - 628 с.
2. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -М.: Наука, 1971.- 296 с.
3. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. -М.: Наука, 1968. - 628 с.
4. Сафаров Д. С. Двоякопериодические обобщенные аналитические функции и их приложения. - Душанбе: Дониш, 2012. - 190 с.
О РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПОСТОЯННЫМИ ОТКЛОНЕНИЯМИ АРГУМЕНТА
В работе найдены решения уравнения обобщенных аналитических функций с постоянными коэффициентами и с постоянными отклонениями аргумента.
Ключевые слова: функция, уравнение, решение, аналитический, эллиптический.
ON THE SOLUTIONS A EQUATIONS OF THE GENERALIZED ANALYTIC FUNCTIONS WITHER DEVIATING ARGUMENTS
In the paper a method of finding the solutions a equations of the generalized analytic functions with constant coifittsents and wither deviating arguments is proposed.
Key words: functions-equations- solutions-analytic-elliptic.
Сведения об авторе: Мисоков Гоибшох - соискатель, старший преподаватель кафедры высшей математики и естественных наук Таджикского государственного университета коммерции, e-mail: mghoib01@rambler.ru
Information about the author: Misokov Ghoibsho - resourcher, senior ticher Tajik State University of Comersion
КРИТЕРИИ МИКРОДЕФЕКТНОСТИ ПОЛИМЕРНЫХ ТЕЛ
Кадыров Б. А.
Таджикский государственный педагогический университет имени С. Айни
Наличие различных структур в аморфных полимерах обусловливает существование в таких телах огромного количество возможных микродефектов структур [1, 2]. По сравнению низкомолекулярными кристаллами полимерные кристаллы всегда содержат множество различного рода микродефектов. Принципиальная дефектность кристаллического состояния полимеров проявляется во многих физических свойствах и физико - химических процессах, и поэтому характеристика дефектности черезвычайно важна для понимания комплекса физико -механических свойств полимеров.
Вундерлихом [3] описаны структура полимерных кристаллитов, морфологию дефектов кристаллических полимеров. Наряду с известными для низкомолекулярных кристаллов точечными, линейными и объемными дефектами подробно рассматривает присущие полимерным кристаллам специфические дефекты - резкие изломы макромолекул (кинк - дефекты), концы цепей, молекулярные складки, дефекты, обусловленные нарушениями в химической структуре макромолекул, и др.
Подробно исследовано влияние дефектности полимерных материалов на механические [4], на теплофизические [5], на электрические свойства полимерных материалов и др.
Многие свойства твердых тел зависят не только от природы атомов, из которых они построены, но и от расстояния между ними, или от пор (микродефекты), которые имеются в ных. Понятие пористость которое первоначально было применено для изучения структури пористых материалов: активных углей, силикагелей и др. [3,4,5,6,1,8] Было применено и для исследования пористой структуры полимерных материалов [9,10,11,12].
В работе Тагер с сотрудниками [10] при исследовании пористой структуры полимеров их связивали с плотностью полимерных цепей. Манин, Громов [13] понятие пористость рассматривают как структурную дефектность полимерных материалов и глубоко исследовали вопросы зарождения, развития дефектов на различных структурных уровнях, их влияние на механические, электрофизические и другие свойства полимерных материалов.
Адсорбция в микропорах характеризуется объемным заполнением адсорбционного пространства микропор. Описании и расчете изотерм индивидуальной адсорбции на микропористых адсорбентах достигнуты в рамках теории объемного заполнения микропор (ТОЗМ), развитой М. М. Дубиным с сотрудниками [1,14].
