CC BY
24
Замечание. Из включения (6) Теорема 4 является модифика-следует, что цией одного из результатов рабо-
(<р) Е (V) при X + оо. ты 13
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчи- 3. Haddock J„ Terjeki J. Liapunov-Razumichin в ост и движения // Собр. соч.: В 5 т. М,: Изд-во functions and invariance principle for functional
АН СССР, 1956. T. 2. С. 7 — 264. differential equations // J. Diff. Eqs. 1983.
2, Хейл Дж. Теория функционально-диффе- Vol. 48. P. 95 — 122.
ренциальных уравнений: Пер. с англ. M.: Мир, 1984. 421 с.
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
л
®®®<8>®®®®®®®®®®®®®®<8>®®®<8>®®<8><8>®®®®®<8>®® О РЕШЕНИИ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ ПРИ ЗАДАННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
€ •
В. А. КАРТАШОВ, кандидат технических наук, Н. М. КОЕШОВ, аспирант
рованного ных. в том
В ряде работ, часть которых приведена в прилагаемом библиографическом списке [1 — 8, 10], рассматриваются проблемы напряженно-деформи-
сосгояния неоднород-числе анизотропных, тел, упругие характеристики которых известны. Возможен и обратный подход, когда в целях реализации желательного распределения напряжений отыскиваются необходимые для этого упругие параметры тела. Настоящая статья касается такого рода обратной задачи для неоднородных изотропных тел в случае плоского напряженного состояния.
Заданы
напряжения
СТХ, Оу
т
ху
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям равновесия
дох дт —- +
ôx ду
дТуХ доу
дх ду
0;
(1)
0
и условиям на поверхности
Деформации выражаются формула-
ми
у
а (ах
а (сту
voy);
(2)
Уху = 2 (1 + v) а Тху
Здесь а в а (х,у) — коэффициент деформации (коэффициент податливости) , являющийся функцией координат. Он представляет собой величину, обратную модулю упругости Е-Е (х, у),
т. е.
а
1 Е
(3)
Коэффициент поперечных деформаций V будем полагать не зависящим от координат.
Подставив выражения (2) в уравнение неразрывности деформаций
д2е
дх
2
+
â2ex ду2
(4)
после некоторых преобразований получим следующее дифференциальное
уравнение с частными производными:
что осуществляется, в частности, при
(°у -
д2а
дх
2
. д2а
+ (сх - ГСТу) —2
ду
2(1 + V) гху
д2а
дхду
П-ч)
* (V).
(8)
+
Кроме того, необходимо, чтобы { (?/)
удовлетворяла
+ 2
д (стх + (7у) Э а
Зх
ах
+
+
а (<7Х + ау)
ау
За
ду
ь
/ -ь
М,
(9)
+ а
V2 (ах + где М
дх
изгибающий момент в
+ <7у) = 0.
(5)
Решение этого уравнения даст функциональную зависимость коэффициента деформации (а следовательно, и модуля упругости) от координат, при которой осуществимо заданное напряженное состояние.
В качестве примера рассмотрим изгиб консольной пластинки единичной толщины силой приложенной на конце; ширина пластинки равна 2Ь (рис. 1).
сечении. С учетом
формулу (9)
(6) и равенства у записываем как
1
Ьг,
кхЬ2 (4)44 = и,
-1
откуда
кх
М
Ь2 ¡пИч) йг, ъ2
\
2
1
-1
-1
Подставив эту величину в первую из формул (6) и приняв обозначение
1
Ъ = 5 п*
(10)
-1
получим
о
х Ь2 8
Чп)
(11)
Р и с. 1
Согласно (1)
ат
ау
д о:
"ах
Для нормальных напряжений при- Интегрируя, находим
мем формулы
о,
кх! (ту); Оу = 0.
(6)
х
ух
г 9 <7Х
/ ау + А,
ах
Здесь к — некоторый коэффициент иди, с учетом (11)
пропорциональности; х — расстояние от конца консоли (места приложения силы до рассматриваемого поперечного сечения пластинки; Ку) — функция, характеризующая распределение напряжений сгх по высоте сечения (одинаковая для всех сечений); г] = у/Ь.
Отсутствие продольной силы требует, чтобы
т
У*
^ !*<Я)*1 + АЛ
Постоянная А находится из того условия, что продольные края пластинки свободны от касательных напряжений,
== ± 1 тух = 0. Поэтому при
т. е. при г\
V
(12)
1
получим
А
<ЗР(1)
Ь Б
И» далее,
г
ух
F (?) ].
(13)
Исходя из конструктивно-техноло-гических соображений установим, что а = а (у), v =» const, т. е. упругие свойства вдоль оси неизменны. При этих условиях уравнение (5), становясь
обыкновенным дифференциальным уравнением, принимает вид
к»А+
2
d ?
2
2
df (?) da
d ?
d ?
+ a
d * (?) d ?2
0
(14)
или
d
2
d ?
2
[a f(?)] = 0.
(15)
Решение этого уравнения выражается формулой
аЦ?) = С!? + С2.
Условия задания функции Ну) та-
- 0
КОВЫ, ЧТО при I/
С2 - 0 и
Щ)
0. Поэтому
а = Cj
Ч
Нч)
или, если С
1/Сь
Е = С
LM
(16)
Таким образом, все решение определяется заданием характера статически возможных напряжений сгх, т. е.
функции Ифу удовлетворяющей условиям (7) и (9). После этого благодаря (12) становятся известны касательные напряжения, а формула (15) устанавливает закон изменения модулей упругости, необходимый для обеспечения заданного напряженного состояния.
Для удобства сравнительного анализа при различном задании функции Щ) целесообразно, имея в виду,
Рх а М, из формулы (11) по-
что
лучить
b
2
м
(7,
ш.
S
(17)
В частности, для напряжений крайних волокнах, т. е. при rj 1
в
2
ь_
м
<7x1
т.
S
(18)
Аналогично, воспользовавшись форму-
лой (13), запишем:
_Ь
Q ТУ*
1 S
[F (1) - F (?) ].
(19)
Для касательных напряжений tq на
нейтральной оси
_Ь
Q
о
I S
[F (1) - F (0) ].
(20)
Отношение модуля упругости Е « Е (?) волокна, имеющего безразмерную ординату ? = к модулю упругости Е0
осевого волокна определится согласно (16) как
Е Е
IM
V
(21)
В частности, для модулей упругости Е^
краиних волокон
Е
1
Е0
f(l)
(22)
ношение
В формулы (21) и (22) входит от-
[?Л (?) ^ - о> представляющее собой неопределенность вида 0/0. Для того чтобы раскрытие этой неопределенности по правилу Лопиталя не давало нуль или бесконечность, на функцию К?) накладывается дополнительное условие. Так, непригодна функция
f (?) = ?п при п Ф 1.
Рассмотрим некоторые варианты задания функции ! <?).
1. Примем f (?) = ?. Тоща
Б (?) = ?2/2; Р (1) = 1/2; Б = 2/3.
Подставляя полученные величины в (И), (17), (18), (13), (19), (20), будем
иметь:
о
X
3 2
Qxy . Ь^ Ь2 ' ма*
3
2 ч;
ь2
дгух
1,5; г
ух - 4 ь V1 п
За-?2); ^ то = 0,75.
4
Е
Формула (21) дает |г
1, т. е.
еем дело с пластинкои и; материала. Этому соответ
ствуют и полученные формулы напряжений.
Эпюры величин ^ Е/Ео
показаны на рис. 2 а. Ординаты эпюр ах даны в долях величины М/Ь , тух —
в долях величины (^/Ь, Е — в долях модуля упругости Ео осевого волокна.
а
б
в
Р и с. 2
2. Положим ^77)
Находим Г (7) - -
. л вхп ту*]
8/я2.
После этого согласно (11), (17), (18), (13), (19), (20) получаем:
л^Ох .
о.
л
Ь
2
8 Ь
2 5Ш 2 V Ма*
л
8
2
. Л
2
Ь2
мСТх1
_Ь
ж
2
8
1,23; ТуХ = — сое
л (£
4 Ь
л_ 2
Г>
л
4
л
Ь
сов -Г)\ тгТо
2
£Г
4
0,78
Л
Как известно, (77/вт 7) ^ = о
2
л 2
, . Л
т]/ь 1П у 77
му
формула
о
(21)
2 я
Поэто-
дает
А
Е0
2
тг
. я
' а для краиних волокон
имеем Е1/Е0
2
л
0,64.
Ь2 и ^
Эпюры величин ах, ^ туХ| ^»
относящиеся к этому случаю, приведены на рис. 2 б.
3. Представим функцию Г (77) в следующем виде:
Пч)
1 при 77 > 0; е"17 при 77 < 0.
В этом случае
Б (?)
^-77 при 77 > 0; 77 + е""*7 при 77 £ 0
Очевидно, что Р (-17) = Р (77), в час
0
тности Р (1) = Б (-1) = е- 1, Б = /77
-1
1
(1 - е"^) (177 + / 77 (е*7 - 1) (177 = 1.
о
Далее находим:
а
(е*7 - 1) при 77 > 0;
£х
Ь
2 (1 - е-17) при 77
0;
Ь2
М °х
1 при 77 £ 0; е"*7 при 77 < 0;
ь2
е-1-1,72;
_Ь
д тУ*
(е - с*1) - (1 - т]) при г] 2г 0; (е - с11) + (1 + т}) при ? £ 0;
_Ь
т0 = е - 2 -0,72.
В
данном
случае
1
0-1
Раскрывая эту неопре-
» = 0
деленность типа 0/0 по правилу Лопи-
таля, получим [^/е4 — 1 = о = 1»
вследствие чего формула (21) приводит к соотношению
Е0
1-1
V
/
Для модуля упругости Е[ крайних во локон Е| / Ео ■ е - 1 - 1,72.
Эпюры найденных величин изобра жены на рис. 2 в. 4. Задается функция
Пп)
1 при е ^ 77 < 1; т//е при -е < т] < е; -1 при -1 ^ 77 ^ -е.
Находим:
ш
77 при е < 77 < 1;
772/2е при -е ^ 77 -77 при -1 < 77
е;
Р(1) = Р(-1)- 1;Р(е)-«/2;
1
Б = / 77 (1 77 + / + ; 77(Ч)ё77
2
е
-е
-1
1
2 3
далее, пользуясь соответствующими формулами, поручаем:
Or
m
b2
ма*
ъ
Q ry*
E
E0
b2 (1 -eV3)
2
1
ffo);
„ - при e
1 - e /3
в Si;
-2— при -e < t;
eV3
♦ >
1
1 - e2/3
I -Tj
1
2/3
2
1 - e/2 -7/ /2g
1 - e2/3 1 + ?
емои задаче закона плоских сечении. При соответствии этого закона действительности и отсутствии поперечных нормальных напряжений оу она вытекала бы из него как простое следствие. На самом же деле поперечные сечения консоли из-за наличия касательных напряжений искривляются. Но это не ме-ает продольным деформациям ех быть
пропорциональными расстояниям от нейтральной оси. Сказанное усматривается из уравнения совместности деформаций (4). При ау » 0, напряжениях ах, линейно зависящих от х, и ка-при -е < г] < е; сательных напряжениях, не зависящих
при 1 <х rj
»
при е < 7] < 1;
1 - е2/3
при
от х, входящие в это уравнение
е/т] при г < tj <i 1; 1 при -е £ 7] £ е; -e/rj при -1 £ г] £
и
д Уху
дхду
равны нулю. Следовательно
д2 е
е.
еЕ0.
Для крайних волокон Е1 -
На рис. 2 г изображены эпюры, построенные при е - 0,25.
Формула (16) может навести на мысль о справедливости в рассматрива-
ем
ная
2
0, откуда и вытекает линей-
зависимость е
Это обсто-
х от У-
ятельство было несколько иным способом объяснено для однородных изгибаемых призм еще Сен-Вена-
ном [9].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Болотин В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов // Расчеты на прочность: Сб. статей. Вып. 12. M., 1966. С. 3 — 31.
2. Житков П. Н. Плоская задача теории упругости неоднородного ортотропного тела в полярных координатах // Тр. Воронеж, ун-та. Вып. 27. Воронеж, 1954. С. 20 — 29.
3. Колчин Б. Г. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. Кишинев: Штиинца, 1977. 129 с.
4. Колчин Б. Г., Фаверман Э. А. Теория упругости неоднородных тел. Кишинев: Штиинца, 1977. 217 с.
5. Лехницкий С. Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. M.: Наука, 1971. 240 с.
6. Лехницкий С. Г. Плоская задача теории упругости для среды, обладающей цилиндрической анизотропией с переменными модулями упругости // Инж. журн. 1967. № 1. С. 84 — 87.
7. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. M.: Наука, 1977. 416 с.
8. Ростовцев Н. А. К теории упругости неоднородной среды // ПММ. 1964. № 28, вып. 4. С. 601 — 611.
9. Сен-Веи&н Б. Мемуар об изгибе призм // Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. M., 1961. С. 379 — 494.
10. Тер-Мкртичьян Л. Н. Некоторые задачи теории упругости неоднородных упругих сред // ПММ. 1961. № 25, вып. 6. С. 1120 — 1125.
