Научная статья на тему 'Итерационный способ расчета анизотропной балки на прочность'

Итерационный способ расчета анизотропной балки на прочность Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
223
89
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЕОРИЯ УПРУГОСТИ / АНИЗОТРОПИЯ / ОРТОТРОПНАЯ БАЛКА / МЕТОД ИТЕРАЦИЙ / НАПРЯЖЕНИЯ / ДЕФОРМАЦИИ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Аллахвердов Борис Михайлович, Полинкевич Константин Юрьевич

Предложено описание методики расчета анизотропных балок на прочность, основанной на итерационном способе последовательного удовлетворения условиям равновесия и совместности деформаций. На численном примере приведены результаты, и оценена их близость к решению, полученному точным аналитическим способом. Определены упругие постоянные анизотропного материала в зависимости от направления армирования связующего вещества. Даны характеристики современного углепластика и очерчена область его применения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Iteration method of strength calculation for anisotropic beam

The article offers the method of strength calculation for anisotropic beams, based on the iteractive method of consequent satisfaction of the balance and strain compatibility conditions. Numerical example shows the results and allows to estimate its closeness to the decision, obtained using an accurate analytical method. The article covers the determination of anisotropic elastic constants depending on the binding substance reinforcement lines. It also includes the characteristics of modern carbon-fiber composite and determines its scope.

Текст научной работы на тему «Итерационный способ расчета анизотропной балки на прочность»

Общетехнические задачи и пути их решения

73

зданий / Г. М. Борликов, Э. В. Аринина. - Новочеркасск, 1969.

2. Деформации модельных и натурных резервуаров на слабых грунтах / Р. А. Усманов // Нефтепромысловое строительство. - 1982. -№ 5. - С. 5-7.

3. Расчет оснований зданий и сооружений в упруго-пластической стадии работы с применением ЭВМ / Ю. Н. Мурзенко. - Ленинград : Стройиздат, Ленингр. отделение, 1989. - 135 с.

4. Расчет оснований гидротехнических сооружений / В. А. Флорин. - Москва : Госстрой-издат, 1948. - 188 с.

5. Прочность оснований и устойчивость гидротехнических сооружений на мягких грунтах /

П. Д. Евдокимов. - Москва : Госэнергоиздат, 1956. - 271 с.

6. Решение задачи предельного равновесия с использованием метода конечных элементов / К. Г. Шашкин, В. А. Шашкин, М. В. Дунаева // Развитие городов и геотехническое строительство. - 2011. - № 13. - С. 81-95.

7. Условия моделирования напряженно-деформированного состояния сыпучей среды под жестким штампом. Исследование оснований, фундаментов и гидротехнических сооружений: Труды НПИ. Т. 216. - Новочеркасск, 1970. -С. 12-22.

8. Механика грунтов / Н. А. Цытович. - Москва : Госстройиздат, 1963. - 636 с.

УДК 624.04

Б. М. Аллахвердов, К. Ю. Полинкевич

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

ИТЕРАЦИОННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА АНИЗОТРОПНОЙ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ

Предложено описание методики расчета анизотропных балок на прочность, основанной на итерационном способе последовательного удовлетворения условиям равновесия и совместности деформаций. На численном примере приведены результаты, и оценена их близость к решению, полученному точным аналитическим способом. Определены упругие постоянные анизотропного материала в зависимости от направления армирования связующего вещества. Даны характеристики современного углепластика и очерчена область его применения.

теория упругости, анизотропия, ортотропная балка, метод итераций, напряжения, деформации.

Введение

В работе рассмотрена возможность применения итерационного способа расчета на прочность к анизотропным балкам. Рассмотрен простейший расчет балка на двух опорах, имеющий точное аналитическое решение. Приведено сравнение результатов.

1 Закон Гука для анизотропных материалов

Считая, как это принято в сопротивлении материалов, что при малых деформациях зависимость между деформациями и напряжениями соответствует линейному закону, запишем в общем случае анизотропии обобщенный закон Гука [1]:

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

74

Общетехнические задачи и пути их решения

; _ an°x + а12°у + «13°z + V y1x1 Vx1y1 . П1° _ П1Т .

+ «14T yz + «15Т xz + «16Т xy Ey1 Ex1 ; Ex1 G ’ Ux1 y1

П2° _ П2 т

(1) Ey G„,t'

(3)

Y xy = «61° x + «62° y + «63° z +

+ a.т + т + а,-т .

64 yz 65 xz 66 xy

Здесь a , a12...a66 - упругие постоянные анизотропного материала. В общем случае число различных постоянных равно 21.

В случае плоского напряженного состояния, когда отсутствуют все напряжения на площадке с нормалью по оси z и ортогональные оси x1, y1 повернуты относительно главных осей x, y на некоторый угол а, зависимость (1) принимает вид:

1

V,

'y1x1 П1т

в x1 = — ° x1 -E~ ° у1 + G-------------Х x1y1;

Ex1 Ey1 Gx1 у1

в у1 =--Ег ° x1 + -у- ° у1 + 7^Tx1y1; (2)

Ex1 Ey1 Gx1y1

Приведенные зависимости показывают, что в анизотропных материалах нормальные напряжения вызывают не только продольные, но и сдвиговые деформации, а касательные напряжения могут быть причиной не только появления сдвигов, но и продольных деформаций.

При изучении плоского напряженного состояния анизотропной балки часто можно встретиться с такой задачей: известны упругие постоянные для некоторой системы координат x, y и требуется найти упругие постоянные для новой системы x1, y1, повернутой по отношению к первой на угол а. Для ортотропной балки обычно задаются главные упругие постоянные, однако может оказаться, что пользоваться главной системой координат почему-либо неудобно, и придется производить пересчет упругих постоянных. Модули и коэффициенты для новых осей определяются по формулам [2]:

Y x1 у1

л +П2°°+_!_

J7 x1 J7 y1 r~<

Ex1 Ey1 Gx1 y1

“x1y1’

здесь sx1, г - относительные удлинения (линейные деформации) в направлении действия нормальных напряжений; у -относительный сдвиг (сдвиговая деформация) или величина изменения прямого угла между площадками, на которых действуют соответствующие касательные напряжения; Ех1, Ey1, Gx1y1 - модули упругости и сдвига соответственно; V;1 , - коэффициенты влияния линейной деформации по направлению /1 на линейную деформацию по направлению у1, п;о, - коэффициенты влияния линейной деформации на сдвиговую деформацию по направлению /; р.т, - коэффициенты влияния сдвиговой деформации на линейную деформацию по направлению ., при этом соблюдаются отношения:

1 cos4 а

x1

1

f 1 2v Л

G E

. 2 2 sin4 а

sin а-cos а +-------:

1 у

sin4 а

y1

1

f 1 2v- Л

G E1

* 2 2 cos а /.ч

sin а-cos а +-------; (4)

1 _ 2_+

Gx1y1 G

1 + V1 + 1 + V2 - 1 К E1 E2 G

sin2 2а;

V у1 _ Ex1

V1 1 f 1 + V1 1 + V 2 11

— + 2 — sin 2а

L E 4 1e e2 G J

E

V x1 _ V y1 ■

x1 .

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

75

Л1а= Ex1 Х

sin2 а cos2 а 1 f 1 2v1 cos 2а

Х — —+ — —

г- ™ 1 E1 2 1G E1 J

sin 2а;

Х

cos2 а

~^т

П2а = Ey1 Х

sin2 а

~Е~

1 { -2 [ G

2v,

"i J

cos 2а

sin 2а.

При повороте осей эти упругие постоянные изменяются по (4).

На рис. 1 показаны графики зависимости модуля упругости и модуля сдвига от угла поворота.

3 Итерационный способ расчета анизотропной балки на прочность

2 Выбор актуального материала для численных расчетов

В настоящее время углепластики являются основным классом материалов для вновь создаваемых или модернизируемых летательных аппаратов. Ведущие авиастроительные предприятия, такие как «Боинг» и «Эйрбас», являются основными покупателями углеволокон. Фюзеляжи современных самолетов состоят более чем на 50 % из композитов. Углепластики имеют высокие показатели прочности и жесткости. В дальнейших расчетах предлагается рассмотреть в качестве примера углепластик марки M60J/Epoxy [5], который имеет следующие характеристики относительно главных направлений, связанных с расположением волокон:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

E, = 33,0-104 МПа - вдоль волокон;

Е2 = 0,5886-104 МПа - поперек волокон; V, = 0,32; G12 = 0,3 9 24 1 04 МПа.

Предлагается применить к решению задач исследования напряженного состояния анизотропных стержней итерационный алгоритм уточнения компонент напряжений. Использование итерационного способа расчета НДС для изотропных и многослойных балок с целью уточнения значения напряжений при учете сдвиговых и поперечных деформаций рассматривалось в [3] и [4].

Далее описывается процедура итерационного процесса. Она анализируется на конкретном примере.

Рассматривается анизотропная балка длиной L, высотой h и шириной b на двух шарнирных опорах (рис. 2), загруженная постоянной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q.

Для численных расчетов принимаются следующие значения:

L = 3 м; h = 0,6 м; b = 0,1 м; q = 10 т; а = 30°.

Рис. 1. Полярные диаграммы изменения модулей: а) продольной упругости; б) сдвига при повороте координатных осей для углепластика M60J/Epoxy

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

76

Общетехнические задачи и пути их решения

q = const

h

b

Рис. 2. Расчетная схема с указанием принятых осей координат и направлением главных осей армирования

В поставленной задаче направление оси Х1 балки и направление главных осей армирования пластика углеродистыми волокнами отличаются на угол а = 30°, потому в соответствии с формулой (4) определено значение упругих постоянных:

£ =16739,0 МПа; Ey1= 6984,7МПа; Gx1y1= 5131,9 МПа;" vx1 = 0,26725;

V, 1 = 0,11152; п1о=1,4993; п2о= 0,38373.

В данном примере функции изгибающего момента M(x) = qX (L — x) и продольной

силы N (x) = 0 известны заранее.

1. Первая итерация.

1.1. Примем, что деформации sy (x, у) и Y (x, у) равны нулю.

1.2. Основываясь на гипотезе плоских сечений, деформацию sx задаем в виде:

1.4. Из условий равновесия находим значения функций в0 (x) и х (x):

N (x) = J a x (x, у )dA =

A

h/2

= Ex1b J ((x) + X(x) • у) =

—h/2

= Ex1b ^s0(x) • h = 0 —— s0 (x) = 0; (7)

M (x) = J (a x (x, у) • y)dA =

A

h/2

= Ex1b J ((x) + X(x)• у)• у• dy =

—h/2

= Ex1b • 12 x(x) — x(x) = M (xJ ;

12 Ex1 • Jx1

T b h

здесь J. = b —. x1 12

(8)

S x (x у) = S0( x) + x( x) • y, (5)

где s0 (x) и x (x) - неизвестные функции (s0 (x) можно трактовать как продольную деформацию оси стержня, а x (x) - как кривизну его оси).

1.3. Зная деформации, по линейному закону Гука для изотропных материалов можно перейти к нормальным напряжениям вдоль оси х:

Формула для нормальных напряжений теперь выглядит так, как в сопротивлении изотропных материалов:

a x(x у)

M (x) • у

Jx1

(9)

1.5. Теперь, зная функцию нормальных напряжений, из дифференциального уравнения равновесия

ax (^ у) = Ex1 'Sx (x, у) =

= Ex1 (s0 (x) + х( x) • у).

da x(x, у)

dx ду

(10)

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

77

можем найти выражение для касательных напряжений с точностью до произвольной функции т0 (х):

1.8. Напряжения су (х, у) вдоль нижних волокон (у = h ) отсутствуют:

Т ух (^ У) =

гдах (х, у) .

-J я------dy + то( х) =

дх

г dM (х)

-к—^~ydy+то( х) =

dx • Jx1

Q(х) у J1 2

+ то( х).

Здесь Q(х) =

dM ( х) dx

(11)

3q(х) h

2A 2

'2 Л

1 --

V

3h2

= 0 ^а у о(х) = -

+ ау 0 (х) =

q( х)

2 • b

, Л 3q( х) и ау (x, у) = у

2A

1 -

3h2

2

q(х) q(x)

2b 2b

у 4 у3 3Z + — 1

h h

(15)

1.6. Зная, что вдоль нижних волокон (у =

h

= — ) касательные напряжения отсутствуют: 2

6Q( х)

bh

у2 + то( х) =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= 0 ^ то (х) =

3 Qx) 2 A

, ч 3 Q(х)„ 4у2 ит(х, у) =-^-L (1 -

2A Здесь A = bh.

h2

).

(12)

1.7. Аналогично из второго уравнения равновесия

да у (х, у) дт ух (х, у)

—у^ч_ + ух\ J = о (13)

ду дх

находим значение функции су с точностью до произвольной функции су0 (х):

а

. дт ух (х, у)

X х у) = -|--дх-----Лу + а у 0( х) =

г3 • dQ(х) 4у2, .

^(1 + ау0( х) =

= ^ у(1 - 4у2) + а у о( х).

2A 3h2 у0

Здесь q(х) = -

dQ( х) dx

(14)

Нахождением напряжений как функций двух переменных заканчивается первый цикл итерационного процесса. Этот шаг полностью описывает поведение стержня в рамках классического сопротивления материалов.

2. Вторая итерация.

2.1. В начале второго цикла по закону Гука (3) для анизотропного тела находим функцию деформаций вдоль оси у - £у:

£ у (х у ) = —а х (х у) +

Ex1

+ ^~ ау (x, у) + ^^Тух (X, у).

Ey1 Ey1

(16)

2.2. Зная функцию деформации £у (х, у), можно найти соответствующую функцию перемещения V (х, у), пользуясь уравнением связи между деформациями и перемещениями:

V (х у) =

= j£ у (x, у) • dy + К(хХ (17)

h

с точностью до произвольной функции V0 (х).

2.3. Далее определяем функцию деформации сдвига по обобщенному закону Гука

(3):

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

78

Общетехнические задачи и пути их решения

Уху =п^Ъх у) +

Ех1

п 1

+ Т^у (У У) + -Tух (У У )-

Еу1 Gx1 у1

(18)

Результаты численного расчета по предложенному алгоритму итерационного уточнения напряженного состояния для анизотропных стержней приведены далее.

2.4. Затем вновь находим функцию продольных деформаций а х (х, у ):

dW дУ

Гху ду дх

духу — dW д2У ;

дх дудх дх2 ’

а х(х у)

6W

дх

—^дуау~\Чгау+а0(х)- (19)

-у"( х) • х,

но это уже не та линейная функция, с которой начинался первый цикл вычислений.

Учитывая, что при малости углов поворота УДх) - -%(х), получаем схожую с первым циклом задачу определения новых функций а0 (х) и х (х). Эти функции, также как и в первом цикле, находятся из условия равновесия.

2.5. Зная деформации, теперь уже по обобщенному закону Гука для анизотропных тел можно определить нормальные напряжения сх (х, у) во втором цикле:

4 Точное аналитическое решение

Точное аналитическое решение (21) получено с использованием функции Эри (Airy) и приведено в [2]. Нормальные продольные и касательные напряжения в сечении определяются по следующим формулам:

а„ —

—q (i (- z2 )• у+

2/

у2 Л 1 -12 Дт

q a11 h V h2 J

b +2 (2 + 2 л 2a12 + a66 a16 ( 4 у3 3 у ]

v 4a11 a11 j Vh3 5h J

; (21)

T N и ( h2 5 - Y2 - q • Oyl • ( Y 4Y

2 J X1 V4 J b a11 V h hJ J

, L Jx1 — bh 1 V х1

где i—у; ; an — a12 —

2. 12 Ех1 Ех1

a16—

х1

а х(у у) — а х(у у) • Ех1 +

+ Vx1 'ау (x, у) Па • T ух (x, у).

(20)

Дальнейшие процедуры также повторяются.

5 Сравнение результатов

В таблице приведены значения нормальных и касательных напряжений в трех точках по высоте сечения в четверти пролета

ТАБЛИЦА. Нормальные напряжения (т/м2)

Сечение Итерационный способ Аналитический метод

Цикл 1 Цикл 2 Цикл 3

о т о т о т о т

Верхняя фибра -1406,25 0 -1058,68 0 -968,49 0 -979,48 0

Центр сечения 0 187,50 -187,41 187,50 -187,41 187,49 -187,41 187,50

Нижняя фибра 1406,25 0 1808,35 0 1718,40 0 1729,12 0

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

79

Рис. 3. Эпюры нормальных (а) и касательных (б) напряжений по высоте балки.

1 - первая итерация; 2 - вторая итерация; 3 - третья итерация; 0 - аналитическое решение

балки. На рис. 3 определенным двумя различными способами по численным данным построены эпюры напряжений по высоте балки в том же сечении. Очевидна сходимость результатов итерационного способа к точному решению уже на третьем цикле.

Заключение

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. В среде MathCAD был реализован алгоритм расчета анизотропных балок на прочность, основанный на итерационном способе последовательного удовлетворения условиям равновесия и совместности деформаций. По данному алгоритму решена задача.

2. Та же задача решена точным аналитическим методом.

3. Приведено сравнение напряженного состояния конкретной анизотропной балки, определенного вышеизложенным способом, с аналитическим, полученным с использованием функции Эри. После трех циклов итерации предложенное решение практически не отличается от точного, полученного

методами теории упругости анизотропного тела.

Библиографический список

1. Теория анизотропных пластин (прочность, устойчивость и колебания) / С. А. Амбарцумян. -Москва : Наука, 1967. - 268 с.

2. Анизотропные пластинки / С. Г. Лехниц-кий. - Москва : Гос. изд-во техн.-теор. литературы, 1957. - 463 с.

3. Итерационный метод расчета балок с изменяющимися по высоте характеристиками. Исследования по механике материалов и конструкций (сб. научн. статей) / Б. М. Аллахвердов. -2002. - Вып. 12. - С. 30-34.

4. Итерационный способ расчета слоистых балок на прочность / К. Ю. Полинкевич // Известия ПГУПС. - 2013. - Вып. 2 (35). - С. 148-153.

5. Анализ оптимальных сочетаний требований к разрабатываемым углепластикам для крупногабаритных ракетно-космических конструкций / А. А. Смердов, И. А. Буянов, И. В. Чуд-нов // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 2012. - Вып. 8. - С. 70-77.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.