Приложение метода конечных элементов к решению задачи о плоском напряженном состоянии железобетонных пластин Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Общетехнические и социальные проблемы

63

нологических процессах 20,6% отходов от общего объема их образования

[5].

Заключение

Целью экологической политики должно являться формирование общей стратегии экологической безопасности деятельности, а также дальнейшее снижение техногенного воздействия на окружающую природную среду путем сокращения выбросов и сбросов загрязняющих веществ в природную среду и объемов образования отходов производства и потребления. Действие экологических программ является важным шагом для реализации основных направлений природоохранной деятельности на желез -нодорожном транспорте, так как в условиях все возрастающих требований к экологической безопасности железнодорожного транспорта от своевременного решения проблем охраны природы в значительной степени зависит устойчивая производственно-финансовая деятельность предприятий и дороги в целом, а главное - жизнь и здоровье людей.

Библиографический список

1. Чичин А.В. Экологический контроль на федеральном железнодорожном транспорте // Экономика железных дорог. - 1999. - № 6.

2. Об управлении природоохранительной деятельностью на железнодорожном транспорте. Указание МПС РФ № 113у от 14.08.96.

3. О выполнении экологической программы железнодорожного транспорта на 1996-2000 гг. и природоохранной деятельности железнодорожных предприятий в 2000 году. Указание МПС РФ № Г-3990 от 13.04.01.

4. Шанайца П.С., Москалев Н.В. Природоохранная деятельность на железнодорожном транспорте // Железнодорожный транспорт. Сер. Экология и железнодорожный транспорт: ЭИ / ЦНИИТЭИ МПС. - 2003. - Вып. 1.

5. Шанайца П.С., Москалев Н.В. Экологический рейтинг // Железнодорожный транспорт. Сер. Экология и железнодорожный транспорт: ЭИ / ЦНИИТЭИ МПС. -2004. - Вып. 2.

Современные технологии - транспорту

УДК 624.04 А. В. Бенин

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛАСТИН

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2006/1

64

Общетехнические и социальные проблемы

Рассматривается приложение метода конечных элементов к решению задачи о плоском напряженном состоянии железобетонных пластин с дискретным размещением арматуры. Для каждого элемента учитывается нелинейная связь между напряжениями и деформациями бетонной матрицы, а также возможность образования трещин в элементе и полного его разрушения. В основу расчета положено представление о бетоне с трещинами как о материале с приобретенной анизотропией.

конечно-элементный расчет, железобетон, силы сцепления, трещинообразование. Введение

При численной реализации тех или иных механических моделей железобетон часто рассматривается как единый (хотя и двухкомпонентный) материал. Так, в деформационной теории пластичности железобетона предполагается [1], что арматура расположена с определенной регулярностью в трех ортогональных направлениях и размеры тела велики по сравнению со средними расстояниями между стержнями, что позволяет пренебречь местными напряжениями на контакте арматуры с бетоном и «размазать» арматуру, задав ее непрерывными функциями координат. Таким образом, арматура, представленная в виде непрерывно расположенных дисперсных волокон, рассматривается как упругая анизотропная среда.

При расчете железобетонных пластин и оболочек, основная арматура которых сосредоточена вблизи верхних и нижних волокон, находят применение подходы, использующие модифицированную (с учетом образования трещин) гипотезу прямой нормали [2]. В общем случае для учета дискретного расположения арматурных стержней требуются более сложные модели, в которых явным образом учитывается действие сил сцепления между арматурой и бетоном.

Экспериментальные и теоретические исследования сил сцепления проводились начиная с 20-х годов прошлого столетия. Предлагались различные варианты зависимости касательных напряжений сцепления от величины проскальзывания арматуры относительно бетона: линейный закон, степенной закон, закон идеальных упругопластических деформаций.

По результатам большой серии опытов в 1959 г. М.М. Холмянским [3] был предложен так называемый «нормальный закон». Аналогичные исследования выполнялись и зарубежными учеными [4]-[7]. Результаты этих исследований нашли отражение в действующих нормах расчета и проектирования, таких как DIN 1045-1, Eurocode 2, CEB-FIP Model Code 90.

1 Теоретические основы конечно-элементного расчета

Для одномерной задачи в качестве достаточно простого, но удовлетворительно точного варианта аппроксимации связи между напряжениями и деформациями бетона принимается кривая, состоящая из двух участков,

2006/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические и социальные проблемы

65

границей между которыми является точка, соответствующая началу образования магистральных трещин и лавинообразного разрушения материала.

Координаты этой точки обозначаются далее s('cr')c, e^ при сжатии и S+,

при растяжении. Очертание первой кривой будем описывать кубичной параболой вида

q = ke - (2k-3) е2 + (k-2) е3, (1)

где q - относительное напряжение (отношение напряжения о к его значению Opick в верхней точке диаграммы 0—8); е - отношение деформации 8 к величине 8(pick) (последняя равна деформации бетона при о = 0pick). Единственная численная характеристика материала k, полностью характеризующая вид кривой (1), - это отношение начального модуля упругости Ео

к секущему модулю Esec(pick) при о = Opck.

Кубичная аппроксимация (1) используется как при растяжении, так и при сжатии. Разница состоит только в значениях 0pick и 8(pick), тогда как модуль Esec(pjck) (как и Ео) считается одинаковым при растяжении и сжатии. Если известны напряжения |0pick| = Rc при сжатии и 0pick = Rt при растяжении, то Esec(pick) определяется по формуле:

тр _ V(pick) jp

sec(pick) . . 0,

V

0

(2)

где Vo - начальное значение коэффициента Пуассона;

V(pick) = Rt / Rc - значение коэффициента Пуассона при о = 0pick.

Второй участок кривой 0—8 соответствует быстрому падению напряжений после образования магистральных трещин. В принципе эта часть графика неустойчива, ее очертание зависит от скорости, с которой изменяются в эксперименте напряжения или деформации. В то же время при полном использовании ниспадающих участков достигается улучшение сходимости результатов расчета с данными экспериментов [8]. Для этой части графика предлагается гиперболическая зависимость (при сжатии)

s

+

s

(-) crc

-s

(-) res

1 + d (E-sc-c))

(3)

Здесь s(reS - остаточная прочность (residual strength), сохраняемая бетоном при больших деформациях после образования трещин за счет трения скольжения между частицами крупного заполнителя или других несплошных поверхностей. Значение остаточной прочности может быть установлено только экспериментальным путем. Так, например, по данным

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2006/1

66

Общетехнические и социальные проблемы

[9], для бетона со средним значением кубиковой прочности 27 МПа остаточная прочность составляет около 7 МПа (при е = 0,01). При отсутствии

надежных данных о величине G(reS, по-видимому, можно принять в первом приближении s(re^= 0.

Значение параметра d можно найти из условия плавного сопряжения участков:

d

E(-)

tan,crc

а

(-) crc

-s

(-) ’ res

(4)

где E((atn>crc - значение касательного модуля при о =

При растяжении используются те же формулы (3), (4) с заменой s

E(-) г(+)

(-) res

на s(+) s(-) на s(+) e( ) на e(+) E( ) на E

Hd °res ’ ^crc Hd U crc ? crc Hd crc ? ^(an,crc Hd J^(an,crc ■

Еще одним параметром графика о—е может быть предельная деформация ецт , превышение которой соответствует окончательному разрушению бетона. Например, при сжатии значение ецт находится, очевидно, в интервале от 0,01 до 0,10. Уточнение значения е#т, как и а('1.е], может быть

получено только экспериментальным путем. Можно заметить, что конкретная величина этого параметра не оказывает существенного влияния на результаты расчета, так что в принципе ее можно вообще не указывать в числе исходных данных (это соответствует предположению ецт —— да).

При переходе от одномерной задачи к двумерной удобно ввести «приведенные» нормальные напряжения (аналог эквивалентных напряжений по второй теории прочности - теории наибольших деформаций):

0x,red ох Yxy оу,

о

'y,red'

оух vyx ох.

(5)

Тогда формулы закона Гука записываются формально как в одномерной задаче:

ех 0x,red 1 Ех, еух 0y,red 1 Еу. (6)

В основу решения плоской задачи положена гипотеза, согласно которой в материале с приобретенной анизотропией (каковым является нелинейно работающий бетон) плоскости главных деформаций являются плоскостями ортотропии, причем связь между деформациями и приведенными напряжениями определяется, как в одномерном случае, уравнениями (6). При этом секущий модуль по каждому из главных направлений определяется просто как отношение приведенного напряжения в данном направлении к соответствующей деформации. По соображениям, изложенным в

2006I1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические и социальные проблемы

67

[10], модуль сдвига Gxy подсчитывается по приближенной формуле через

Ex, Ey, E0i Vo.

В ходе итерационного конечно-элементного расчета на каждом этапе по уточненным значениям деформаций пересчитываются секущие модули двух направлений. При таком подходе вопрос о наступлении «предельного состояния в точке» и о формулировке соответствующего критерия прочности (в традиционном понимании) теряет свою актуальность. Речь идет об анализе напряженного состояния всей системы в целом и поиске такой равновесной конфигурации, в которой система «приспосабливается» к заданной нагрузке за счет снижения своих жесткостных характеристик (в связи с образованием микротрещин), а также за счет появления видимых дефектов (магистральных трещин). Естественно, что при достаточно высоком уровне нагрузки процесс поиска равновесной конфигурации может оказаться расходящимся, что свидетельствует о полном исчерпании ресурсов прочности конструкции.

2 Пример расчета

На рисунке 1 представлен типичный фрагмент расчетной схемы плоской железобетонной конструкции. Жирными точками отмечены узлы, через которые проходит горизонтальный арматурный стержень. Для большей ясности ось стержня (толстая черная линия) смещена на чертеже несколько ниже указанных узлов. Узлы арматуры и соответствующие им узлы бетонных элементов имеют одинаковые координаты, но их горизонтальные перемещения различны. Каждый «бетонный» узел связан с двумя узлами арматурного стержня горизонтальными пружинами (двойные линии на рис. 1), жесткость которых определяется интенсивностью сил сцепления.

Рис. 1. Деталь конечно-элементной расчетной схемы

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2006/1

68

Общетехнические и социальные проблемы

При использовании теории сцепления М.М. Холмянского касательное напряжение, действующее на поверхности арматурного стержня, определяется формулой:

ln(1 + as)

t = B-----------,

1 + as

(7)

где B, a - параметры нормального закона сцепления; s - взаимное смещение арматуры и бетона в рассматриваемом сечении.

На каждом шаге итерационного расчета жесткость пружин уточняется по формуле:

c = 0,5 (t / s) • p • d. (8)

Здесь p - общий периметр сечения арматурных стержней, d - расстояние между соседними узлами; коэффициент 0,5 учитывает наличие двух пружин в каждом сечении. Параметры B, a зависят от диаметра арматуры и кубиковой прочности бетона.

В качестве примера рассмотрим задачу изгиба шарнирно опертой железобетонной балки расчетным пролетом 1,50 м (полная длина балки -1,70 м) с прямоугольным поперечным сечением высотой 0,3 м и шириной 0,1 м. Балка выполнена из бетона класса В20; продольное армирование нижней зоны - два стержня периодического профиля (сталь класса A-II) диаметром 20 мм; верхняя продольная арматура отсутствует. Хомуты диаметром 3 мм (проволока В-I) расположены над опорами и в средней части балки с шагами 25 и 50 мм. Балка рассчитывается на действие вертикальной силы Р, приложенной в центре верхней грани балки и равномерно распределенной по ее ширине.

При формировании конечно-элементной расчетной схемы рассматривается, ввиду наличия плоскости симметрии, только половина балки под действием силы Р / 2; в плоскости симметрии введены необходимые опорные закрепления. Для моделирования бетонной матрицы используются прямоугольные элементы, работающие в условиях плоского напряженного состояния. Продольная арматура и хомуты моделируются стержнями, элементы которых сопротивляются только осевым усилиям.

В качестве максимальных напряжений приняты нормативные значения кубиковой прочности, а именно Rc = 19,554 МПа (сжатие) и Rt = = 1,95 МПа (растяжение).

Кратко опишем основные результаты выполненного расчета. При допустимой относительной погрешности в величине энергии деформации [5] = 0 ,001 процесс последовательных приближений для различных значений силы Р сходится за 6-8 итераций.

При нагрузке Р = 0,15 МН максимальный прогиб получился равным 7,6 мм (около V200 расчетного пролета). Элементы, в которых возникали

2006/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические и социальные проблемы

69

трещины двух направлений, считались разрушенными и исключались из расчетной схемы (при Р = 0,15 МН исключены уже 46 элементов - около 7% от площади фасада балки).

Характер развития трещин при той же нагрузке проиллюстрирован рисунком 2. Область трещин растяжения охватывает почти всю нижнюю половину балки, а под силой концентрируются элементы с трещинами, вызванными максимальными сжимающими деформациями. В то же время в верхней части балки много элементов, в которых процесс трещинообразования еще не начался.

Рис. 2. Трещинообразование при нагрузке Р = 0,15 МН

О характере распределения трещин можно получить представление также из анализа векторной диаграммы максимальных главных напряжений о1. В зоне без хомутов траектории главных напряжений быстро изменяют направление от нижней грани к нейтральной оси. Поэтому в данной зоне можно ожидать появления трещин различных направлений - от вертикальных до наклонных по отношению к вертикали на 60-70°, что и наблюдалось в проведенных экспериментах.

Расчет показал также, что почти во всех элементах вертикальные деформации &у превышают значение . Можно сделать вывод, что балка

находится в состоянии, предшествующем разрушению, хотя общая целостность конструкции еще не нарушена и она пока что способна сопротивляться приложенной нагрузке.

При увеличении нагрузки до Р = 0,16 МН процесс итераций формально сошелся при значении максимального прогиба 159 мм (больше 1/10 расчетного пролета), что фактически равносильно окончательному разрушению конструкции. Более половины всех элементов выходят из строя полностью, а почти во всех остальных образуются трещины сжатия или растяжения. При этом балка разделяется на несколько не связанных между собой частей, то есть прекращает свое существование как единое целое.

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2006/1

70 Общетехнические и социальные проблемы

Таким образом, нагрузка Р = 0,16 МН должна быть признана разрушающей.

Представляет интерес сопоставление перемещений, полученных в расчете и в эксперименте при различных уровнях нагрузки (рис. 3). На начальной стадии нагружения экспериментально полученные прогибы несколько больше, чем по расчету (расхождения составляют в основном до 0,5 мм). Это, видимо, объясняется неполным соответствием механических свойств материала балки требуемому классу бетона (В20), то есть наличием дефектов макроструктуры бетона.

Зависимость сила-перемещение

—•—Расчет - ♦ - Эксперимент

Сила, кН

Рис. 3. Сопоставление данных расчета и эксперимента

Экспериментальная и теоретическая кривые пересекаются при Р = 0,125 МН, когда прогиб по обеим кривым равен 3,8 мм. После этой точки теоретическая кривая круто поднимается вверх, что свидетельствует об интенсивном развитии прогрессирующего разрушения материала балки. Теоретическая кривая доведена на построенном графике до нагрузки

Р = 0,15 МН. Судя по данным расчета, вертикальная линия с абсциссой

*

Р = 0,16 МН является асимптотой для теоретической кривой.

Экспериментальная кривая после точки ее пересечения с теоретической снижает интенсивность роста ординат, что выражается в некоторой «неплавности» графика этой кривой. Естественно предположить, что при достаточно больших нагрузках начинают действовать механизмы торможения трещин. В качестве факторов торможения могут выступать: зерна крупного заполнителя; трещины иных направлений; ветвление трещин; разрыхление мелкими порами цементного камня и другие неоднородности структуры. С энергетической точки зрения торможение сводится к интенсивной диссипации энергии движения трещин. Учет этих факторов доста-

2006/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические и социальные проблемы 71

точно сложен и требует дополнительных экспериментальных исследований.

По результатам выполненных экспериментов среднее значение разрушающей нагрузки оказалось равным 0,175 МН. Следовательно, теоретический расчет обеспечивает получение разрушающей нагрузки с некоторым (8,5%) запасом прочности.

Заключение

Описанная методика позволяет прослеживать весь жизненный цикл системы при многократном варьировании данных о конструкции и нагрузке. Тем самым повышаются возможности теоретических исследований и исключается необходимость в проведении дорогостоящих натурных или лабораторных экспериментов.

В заключение сформулируем основные положения предлагаемой методики расчета железобетонных конструкций. Как указывал еще в 1974 году Л.М. Качанов [11], «целью механики разрушения является выяснение условий разрушения тел различной формы, работающих под действием заданных нагрузок в определенных внешних условиях». И далее: «Естественно попытаться сформулировать условия разрушения также в терминах механики сплошной среды», причем «континуальные модели разрушения создаются на основе экспериментальных данных и общих теоретических соображений».

Эти постулаты являются исходными для построения практической методики расчета бетонных и железобетонных конструкций, принятой в настоящем исследовании. Предлагаемая методика базируется на следующих простых и достаточно обоснованных принципах.

• При одноосном напряженном состоянии (растяжении или сжатии) во всем диапазоне изменения деформаций, от нуля до полного разрушения, используется упрощенная аппроксимация диаграммы 0—8. Следовательно, принимается феноменологический подход к построению этой диаграммы, основанный на обработке экспериментальных данных.

• Вводится сформулированная выше гипотеза о переходе от одноосного напряженного состояния к объемному. Известно [8], что ортотропные модели представляются наиболее перспективными для дальнейшего использования и совершенствования.

• Учитывается дискретное размещение арматуры в теле конструкции. Этим предлагаемая модель принципиально отличается от большинства моделей, используемых другими авторами. Силы взаимодействия между арматурой и бетоном возникают в нелинейно работающих элементах типа пружин.

• Магистральные трещины рассматриваются как структурная неоднородность материала. Тем самым условия разрушения бетона формулируются в терминах механики сплошной среды (наличие трещин проявляет-

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2006/1

72

Общетехнические и социальные проблемы

ся в резком снижении жесткостных характеристик материала - модулей упругости и коэффициентов Пуассона).

• В ходе итерационного конечно-элементного расчета на каждом этапе по уточненным значениям деформаций пересчитываются секущие модули двух направлений. В конечном счете либо выясняется такая равновесная конфигурация, в которой система приспосабливается к заданной нагрузке, либо делается вывод о разрушении конструкции.

Библиографический список

1. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона / ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. - М.: Стройиздат, 1974. - 316 с.

2. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами. - М.: Стройиздат, 1976. - 208 с.

3. Холмянский М.М. Контакт арматуры с бетоном. - М.: Стройиздат, 1981. - 184 с.

4. Konig G., Dehn F., Holschemacher K., Weifie D. Determination of the bond creep coefficient for lightweight aggregate concrete (LWAC) under cycle loading // Concrete for Extreme Conditions: Proceedings of the International Conference held at the University of Dundee, Scotland, UK on 9-11 September 2002. - London: Tomas Telford Publishing, 2002. -P. 673-683.

5. Torlen A., Horrigmoe G. Modeling of bond between reinforcement and concrete for deteriorated and repaired beams (in Norwegian). NORUT Technology, Narvik, Norway, 1998, Report No. NTAS A98034.

6. Castellani A., Coronelli D. Beams with corroded reinforcement: Evaluation of the effects of cross-section losses and bond deterioration by finite element analysis. Structural Faults and Repair-99, London, UK, July 1999.

7. Horrigmoe G. Assessment of the performance and safety of deteriorated concrete structures. Concrete Solutions: Conference Proceedings and Papers 1st International Conference on Concrete Repair, St-Malo, France, 15 - 17 July 2003. - Published by GR Technolo-gie Ltd, London, UK, 2003. - Vol.1. - P. 209-223.

8. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. - М.: Стройиздат, 1996. - 416 с.

9. Zheng, L., Wan E. Experimental investigation of the failure patterns and mechanical properties for plain concrete with cracks / Repair, rejuvenation and enhancement of concrete. Proc. Of the Int. Seminar at the Univ. Of Dundee, Scotland, UK, 5-6 Sept. 2002. - Thomas Telford Publishing, London, 2002. - P. 257-266.

10. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - 2-е изд - М.: Наука, 1977. - 416 с.

11. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. - М.: Наука, 1974. - 312 с.

УДК 628.51

А. Б. Буянов, С. И. Степанов, В. И. Крылов, А. С. Краснов

2006/1

Proceedings of Petersburg Transport University