CC BY
47
Теория упругости
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С УЧЕТОМ АНИЗОТРОПИИ МАТЕРИАЛА
Д.Н. НИЗОМОВ*, д-р техн. наук, профессор, А.А. ХОДЖИБОЕВ**, канд. техн. наук, О.А. ХОДЖИБОЕВ*, инж.
*Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан
734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни 267, tiees@mail ru **Таджикский технический университет имени академика М.С. Осими 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект академиков Раджа-бовых, 10, hojiboev@mail.ru
В статье излагается решение задачи о концентрации напряжений на контурах отверстий в анизотропной среде на основе метода граничных интегральных уравнений при различных воздействиях.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: анизотропия, ортотропная пластина, изотропная пластина, трещина, численное решение, плоская задача, отверстие, подземные сооружения, массив горных пород, бесконечная область.
Вопрос о распределении напряжений в плоском анизотропном поле конечной или бесконечной области, ослабленном отверстием, и о концентрации напряжений около отверстий представляет практический интерес. Строительство подземных сооружений связано с нарушением естественного состояния горных пород и развитием механических процессов в породных массивах. Изучение напряженного и деформированного состояний в зоне концентрации относится к числу наиболее сложных задач теории упругости, пластичности и ползучести.
Важной особенностью явления концентрации состоит в том, что одновременно с резким повышением напряжений вблизи концентратора даже при исходном одноосном состоянии возникает сложное неоднородное напряженное состояние, непосредственно влияющие на развитие пластических деформаций или трещин разрушения. Несущая способность основных элементов многих конструкций обычно определяется напряженным состоянием и условиями прочности в местах концентрации, ибо именно там, прежде всего, наступает предельное состояние и разрушение.
В статье излагается решение задачи о концентрации напряжений в анизотропной среде на основе метода граничных интегральных уравнений.
Исследования напряженного состояния анизотропной пластинки, ослабленной круговым и эллиптическим отверстием, осуществлено С.Г. Лехницким [3, 5]. Им изложены основы решения плоской задачи теории упругости анизотропного тела. Полученное впервые С.Г. Лехницким [4] основное уравнение плоской задачи теории упругости, которому должны удовлетворять функция напряжений Ф( x, y), представляется в виде
а4Ф „ а4Ф ,„ ч а4Ф „ а4ф а4ф п
a22—-Г — 2a26 3 + ( 12 + a66) 2 2 " 2a16-3 + a11—4 = ^ (1)
dx dx dy dx dy dxdy dy
где aj — упругие постоянные.
В случае обобщенного плоского напряженного состояния средние значения компонентов деформации по толщине пластинки записываются в виде
ех = а1 1ах + а12ау + а1бтху , 8у = а12ах + а22ау + а26тху ,
Уху = а1бах + а2бау + аббтху . (2)
Средние значения компонентов деформации ех, 8у и тху будут функциями только х, у и удовлетворяют уравнениям совместности
б28х д2еу д2у
Решение задачи значительно упрощается в случае отсутствия объемных сил. Уравнениям равновесия без учета объемных сил
да дт„, дтп, дау
д^ + = 0, —^ + = 0, (4)
дх ду дх ду
можно удовлетворить, как и в случае изотропной среды, если ввести функцию напряжений
д2Ф д2Ф д2Ф
ах = ' а = 02' ^ =~дхду (5)
Внося (2) в (3), с учетом (5), получим уравнения (1). Если анизотропный материал имеет три плоскости симметрии (ортотропная пластинка), где а1б = а2б = 0, то уравнение (1) принимает вид
д4Ф ч д4Ф д4Ф Л
а22 4 + (2а12 + абб) 2 2 + а11^ = (б)
дх дх ду ду
Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения (1) ищем в виде
Ф(х, у) = ех+/у, (7)
где / —действительное или комплексное число, подлежащее определению. Подставляя (7) в (б), получаем характеристическое уравнение
ап/4 + (2а12 + абб)/2 + а22 = 0. (8)
Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 4-го порядка (1) зависит от вида корней его характеристического уравнения (8).
Вопросы существования и единственности решения плоской задачи для анизотропного тела достаточно подробно изучены в работах С.Г Михлина [б], Г.Н. Савина [7], Д.И. Шермана [8]. Как показано в [3], корни уравнения (8) всякого идеального упругого тела могут быть либо комплексные, либо чисто-мнимые. Эти числа /1, /2, /, /2 являются комплексными параметрами плоского напряженного состояния. В зависимости от соотношения между упругими постоянными, возможны два случая:
1) комплексные параметры все различны:
/1 = а + Р ■ 7, /2 = У + $ ' 7, /1 = а - Р '7, /2 = У - $ '7, Р > 0 , $ > 0. а,Р,$,у — вещественные числа; 2) комплексные параметры попарно равны:
/1 = /2 = а + Р ■ 7, /1 = /2 = а — Р ■ 78 , Р > 0 .
Например, в случае изотропной пластинки уравнение (8) приобретает вид
¡и4 + 2Щ2 +1 = 0,
откуда следует, что ¡1 = ¡2 = /; ¡1 = ¡2 = -, а = 0, Р = 1.
В случае ортотропной пластинки, полагая у = г и , из (8) получим
где корни
У1
4 2
а11У - (2а12 + абб)у + а22 = 0 ,
2 2а12 + а66 ±7(2а12 + а66)2 - 4а11а22 /л/2а17 ,
(9)
(10)
являются единственными положительными числами. Для ортотропной пластинки корни (10) связаны с упругими постоянными следующим образом:
У1У2 =4Ё^Ё1 ; У12 + У22 = 2а12±а66 .
а22
Алгоритм численного решения плоской задачи теории упругости строится на основе фундаментальных решений [1], [9]
и*х = Ка (Утфп 7 - у2 421П 72), и; = иух =-КаЛ1Л2(в1 -02), и * = - Ка [(1 / У1) Л121п Г - (1/ У2) Л221п 72],
где
УУ
Ка = 1/[2^(у12 - У22)а22] 2 , ,.2
(11)
Л1 = а12 - Уia22,
72 2 2 х + У / У г , 0 = агс^[ У/(хУг )] =
г = 1,2.
Фундаментальные компоненты напряжений можно записать в виде
Р*х = + тух, хп2 = К
\
-2 -2 IУ2Г2 У1Г1 )
Рху = ахуп1 + тух,уп2 = Ка
Рух = аухп2 + тху, хп1 = Ка
Л_2
Г5
Щ^г - М2-2
"2 722
(хпц + уп2) .
(12)
М - М2
У1 71 У2 г2
(
Руу = аууп2 +тху,уп1
= Ка
\
1
2
—2
(хщ + уп2),
где
У1Г1 У2Г2
п = cos(n, х), п2 = cos(n, у) - направляющие косинусы,
Мг = у г хп2 - -(1 / у г) уп1, г = 1,2.
Пусть задана область О с контуром S, где действуют поверхностные силы Рх и Ру. Погружая область О с границей S в неограниченное пространство, на основе теоремы Бетти, без учета объемных сил, получим
I(Рхи*х + РуиУх № = I (Р>* + Р*хиу № + ехих ,
| (Рхи*у + Руи*у )Ж = I (Р*их + Р*уиу + вуЫу ,
S S
2
где и* и Р* — фундаментальные перемещения и напряжения, соответствующие (11) и (12), ех, еу — единичные силы.
В случае первой основной задачи, когда на поверхности тела заданы напряжения из (13) путем предельного перехода, получаем граничные интегральные уравнения для бесконечной области с отверстием, которые можно представить в тензорной форме
С*и] + | Ри^ = | ир
S S
л *
Ь , С* = Нт I
и , п л ч е—^0 е
(14)
(7, * = х, у),
где Си* + | р*и= | ЩР*^;
S S
— символ Кронекера.
Численную реализацию предлагаемого алгоритма рассмотрим на примерах плоского напряженного состояния бесконечной анизотропной пластинки с отверстием. Особенность алгоритма заключается в том, что в систему разрешающих уравнений входят только неизвестные перемещения на контуре отверстия, а также он позволяет рассматривать отверстие произвольного очертания.
Таблица 1. Нормальные перемещения и тангенциальные напряжения
в точках А и В на контуре отверстия
Схема загружения ип,А '104, см ип,Б '104, см аs, А / Р аs Б / Р
1 -0.3б5б 0.10б3 -0.б799 5.47б
-0.1б48 0.0б027 -0.9793 2.984
2 -0.1050 -0.5183 -1.324 4.143
-0.0б027 -0.1б48 2.984 -0.9793
3 -0.2б0б -0.4120 2.4б3 3.152
-0.1045 -0.1045 1.00б 1.005
Таблица 2. Результаты аналитического решения
Схема загружения аs, А / Р аs Б / Р а11/ а22
1 -0.7071 5.453
2 -1.41 4.15 0.5
3 2.439 3.038
Таблица 3. Сравнение результатов
Метод аs, А / Р аs Б / Р а11/ а22
[2] -5.14 2.04 2б.3
МГУ -4.9б5 2.03
В табл.1 приведены результаты численного решения задачи плоского напряженного состояния ортотропной бесконечной пластинки, с круговым отверстием при различных схемах загружения (рис. 1): 1-растяжение пластинки уси-
2
лиями Р = 1ёа / т , параллельными главному направлении х; 2- растяжении
2
пластинки перпендикулярно к волокнам рубашки при Р = 1ёа / т ; 32
нормальное давление Р = 1ёа / т . Численные результаты получены при разбивке четверти окружности на 1б постоянных элементов, где Е1 = 1.2 -105,
5 5 2
Е2 = 0.б'10 , Gl2 = 0.07'10 ёа/т , у^ = 0.071 [5]. В знаменателе приводятся б
5 2
результаты расчета изотропной пластинки при Е = 1.2 -10 ёа/ т , V = 0.25. Результаты аналитического решения [5] для тангенциального напряжения в точках А и В приведены в табл.2.
I У
X -----L---J-----
ТШТТТГГШТН' 2
Рис. 1. Схемы загружения
Из сравнения результатов табл. 1 и 2 следует, что при разбивке четверти окружности на 16 элементов имеем хорошее совпадение с аналитическим решением. В табл.3 сравниваются результаты численного решения задачи о растяжении на бесконечности неограниченной упругой ортотропной пластины с круговым отверстием [8], где принято
a11 = 15.5 Л0~А(ё1 а)
^ a22 = 0.587 •10"4(ё/а)"1, a12 =-0.33 • 10-4(ё/а)-1, a66 = 11.5 • 10-4(ё/ а)-1.
На основе изложенного можно сделать вывод, что численное решение задачи концентрации напряжений в анизотропном теле методом граничных уравнений дает результаты, удовлетворительно совпадающие с известными аналитическими и численными решениями.
Л и т е р а т у р а
1. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Изд-во «Мир», 1987. - 524 с.
2. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных уравнений механики твердого тела. - М.: Изд-во «Мир», 1987. - 328 с.
3. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. - М. -Л.: ОГИЗ, 1947. - 355 с.
4. Лехницкий С.Г. Плоская статическая задача теории упругости анизотропного тела// Прикл. мат. и мех., 1937, №1.
5. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М. -Л.: Гостехиздат, 1950. - 299 с.
6. Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде// Тр. Сейсмологического института АН СССР, №76, 1936. - С. 1-19.
7. Савин Г.Н. Основная плоская статическая задача теории упругости для анизотропной среды// Тр. института строительной механики АН УССР, №32, 1938. - С. 1-55.
8. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды// Тр. Сейсмологического института АН СССР, №86, 1938. - С. 51-78.
9. Tomlin G.R. Numerical analysis of continuum problems of zoned anisotropic media, Ph.D. Thesis, Southampton University, 1972.
NUMERICAL SOLUTION OF THE FLAT PROBLEM OF ELASTICITY THEORY WITH TAKING INTO ACCOUNT THE ANISOTROPY OF MATERIALS
J.N. Nizomov, A.A. Hojiboev, O.A. Hojiboev
Solving a problem of stress concentration around the contour of holes under different loads in anisotropic medium based on boundary integral approach is presented in this paper.
KEY WORDS: anisotropy, orthotropic plate, isotropic plate, crack, numerical solution, plane problem, hole, underground structures, infinite domain.
