CC BY
42
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2008. — № 2(17). — С. 66—76
Механика деформируемого твёрдого тела
УДК 539.376
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СЛОИСТО-ВОЛОКНИСТЫХ ИЗГИБАЕМЫХ МЕТАЛЛОКОМПОЗИТНЫХ ПЛАСТИН
Ю. В. Немировский, А. П. Янковский
Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, 630090, г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1.
E-mails: nemirov@itam.nsc.ru, shulgin@itam.nsc.ru
Сформулирована .задача поперечного изгиба кирхгофовских слоистых пластин переменной толщины, армированных волокнами постоянного поперечного сечения и 'работающих в условиях установившейся ползучести всех фаз композиции. Проанализирована система разрешающих уравнений и соответствующие ей граничные условия. Разработан метод решения поставленной задачи. Проведены конкретные расчёты, показавшие, что скорость прогиба установившейся ползучести пластин существенно зависит от способа их закрепления, структуры армирования и разнесения несущих слоев, распределения толщины конструкции и её слоев. Указан путь приближенного решения таких задач в условиях неустановившейся ползучести.
Ключевые слова: установившаяся ползучесть, слоистые пластины, поперечный изгиб, сложное армирование.
Вопросу изгиба анизотропных и армированных слоистых пластин посвящены многие исследования, например [1-4 и др.]. Существенной особенностью этих исследований является то, что в них рассматривается лишь упругий или упругопластический изгиб без учёта явления ползучести. Однако известно [5], что при длительной эксплуатации изделий в случае статического нагружения подавляющую часть времени металлокомпозитная конструкция работает в условиях установившейся ползучести, поэтому актуальной является проблема расчёта тонкостенных конструкций при установившейся ползучести всех фаз композиции. Изучению этого вопроса применительно к сложно армированным слоистым пластинам, нагруженным в поперечном направлении, посвящено настоящее исследование.
Рассмотрим поперечный изгиб кирхгофовской пластины (допустимость гипотез Кирхгофа при расчёте установившейся ползучести тонких изгибаемых пластин обоснована в [5]) переменной толщины 2h, состоящей из нечётного числа армированных слоев, расположенных симметрично относительно среднего слоя: именно, к среднему слою с обеих сторон примыкают два слоя
Немировский Юрий Владимирович — главный научный сотрудник лаборатории «Физика быстропротекающих процессов» ИТПМ СО РАН, д.ф.-м.н., профессор, академик Академии транспорта РФ; профессор кафедры «Строительная механика» Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (НГАСУ—СибСТРИН). Янковский Андрей Петрович — старший научный сотрудник лаборатории «Физика быстропротекающих процессов» ИТПМ СО РАН, д.ф.-м.н.
одинаковой толщины и с одинаковыми структурами армирования и фазовыми материалами; к внешним поверхностям этих слоев примыкают ещё два одинаковых слоя и т.д. Предполагается: к рассматриваемому моменту времени деформации ползучести получили настолько значительное развитие, что по сравнению с ними можно пренебречь начальными упругими и пластическими деформациями [5]; по толщине каждый слой имеет регулярную и квазиоднородную структуру; на границах слоев выполняется идеальный механический контакт; прогибы считаются малыми.
Пластина рассматривается в прямоугольной декартовой системе координат плоскость Ж1Ж2 совмещена со срединной плоскостью центрального слоя (она же срединная плоскость пластины) до изгиба, а ось г перпендикулярна этой плоскости. Средний слой будем называть «нулевым»; выше него (г > 0) последовательно располагаются слои с номерами т = 1, 2, ..., М; ниже (г < 0) — слои с номерами т = М + 1, М + 2, ..., 2М (всего 2М + 1 слоев, причём М-тый слой является верхним, а 2М-тый слой — нижним). Каждый т-тый слой армирован N(т) семействами волокон (металлических проволок, возможно, различной физической природы), которые уложены в плоскостях, параллельных плоскости Ж1Ж2 (плоское армирование), или на поверхностях, расстояния между которыми по оси г изменяются пропорционально изменению толщины слоя (пространственное армирование).
Обозначим через Нт ^ 0 аппликату границы между т-тым и (т + 1)-вым слоями (0 ^ т ^ М, Нм = Л), тогда г = — Нт ^ 0 будет задавать границу между (т + М)-тым и (т + М + 1)-вым слоями (1 ^ т ^ М), а г = —Но ^ ^ 0 — границу между средним слоем и соседним нижним (М + 1)-вым слоем, при этом 2Но ^ 0 — толщина среднего слоя, Нт — Нт-1 ^ 0 — толщина т-того и (т + М)-того слоев (1 ^ т ^ М).
Для формулировки задачи поперечного изгиба слоистых армированных пластин в условиях установившейся ползучести необходимо использовать общеизвестные уравнения равновесия в перерезывающих силах ^ и моментах М„- [1, 5]:
+ ^2,2 + р = 0, Мад + М^2,2 = Fi, г = 1, 2; (1)
связь между средними напряжениями в композиции г^ и моментами:
п м
Мц = (Гцг^г = 2^ / еИг^г (г,; = 1, 2, Н- = 0); (2)
1 т=0гт
—п Ит-1
соотношения между скоростями изгибных деформаций и скоростью прогиба V:
= — г-и^, г, ; = 1, 2, |г| ^ Л, (3)
(т)
а также выражения для осреднённых напряжений а\- в т-том слое через напряжения в фазовых материалах (используется модель армированного слоя из [6]):
г(т) = а^Ч!? + £ гкт)#), г, 3 = 1, 2; (4)
к
= 2д(т) (Н) (2& + &)
а™ = 2д(т) (Н) & =3 - г, г = 1, 2);
Н = V&+ьь+& +, акт) = дкт) (ект))ект),
С(т) = С /(т)/(т) + С /(т)/(т) | 2С /(т)/М
(5)
= сов ^, /кт) =81п ^ (к = 1, (т));
а(т) = 1 -£ 4т),
/ \ .. (т) (т)
где р(Ж1, Х2) —распределенная поперечная нагрузка; а^- , ак —напряжения в связующем и арматуре к-того семейства в т-том слое соответственно; —скорость деформации ползучести в к-том семействе арматуры т-того слоя, связанная с напряжением акт) коэффициентом пропорциональности дкт)(С^) (зависимость д^т) ~ £кт) известна); д(т)(Н) —заданная функция, являющаяся коэффициентом пропорциональности между интенсивностью касательных напряжений Т (т) и интенсивностью скоростей деформаций
Н в связующем т-того слоя: Т(т) = д(т)(Н)Н; шкт), —интенсивность и угол (отсчитываемый от направления Ж1) армирования т-того слоя волокнами к-того семейства; суммирование производится по указанному индексу от 1 до N(т), если не указаны пределы; нижний индекс после запятой означает частное дифференцирование по переменной Жг соответственно; верхний индекс в скобках означает номер армированного слоя.
В случае степенного закона £ = Вап, связывающего скорость деформации £ установившейся ползучести и напряжение а в материале каждой фазы композиции, имеем следующие зависимости [5]:
д(т) (Н) = В(т) Н ^
(т) _ 1
дкт) Йт)) = вкт) Йт)) ^-1,
В (т) = (В (т))-М(т),
(т)
(т) =
,(т) :
( т)
(т) :
В?(т) = (вЫ}
1 < к < N(т), 0 < т < 2М,
(6)
где В(т), п(т), Вкт)
п
(т)
известные характеристики материалов связующего и арматуры к-того семейства т-того слоя.
К приведенным выше уравнениям и соотношениям необходимо добавить условия постоянства поперечных сечений непрерывных волокон, которые при пространственном армировании тонких слоев имеют такой вид [7] (Н_1 = 0):
и
(т)
(Нт Нт_ 1 ) сов ф1
(т)
+
и
(т)
(Нт Нт_1 ) 8Ш ^
(т)
= 0, (7)
а при плоском армировании редуцируются к
(икт) сов ^ ) 1 + (икт) 81п ^т)) 2 = 0, 1 < к < N(т), 0 < т < М. (8)
1
к
к
к
1
2
Пусть область С, занимаемая пластиной в плане, ограничена контуром Г, тогда на одной части этого контура (обозначим её Гр) могут быть заданы статические граничные условия по изгибающему моменту [1, 5]:
Мцп? + М22П + 2M12 П1П2 = Mn, ni = cos в, n2 = sin в, (x1, x2) € Гр
(9)
и приведённой поперечной силе Кирхгофа:
Fini + ^2П2 + дт (Мпт) = Fnz, Мпт = (М22 - Mil) П1П2 + М12 (ni - n2) , (10)
дт (Мпт) = -П2Мпт,1 + П1Мпт,2, (Х1, Ж2) € Гр,
а на другой части (обозначим её Ги) — кинематические условия:
v(rM)= Vo, v,1n1 + v,2n2 = 0п, (X1, X2) € Г„, (11)
где Мп, Fп^ — изгибающий момент и приведённая поперечная сила Кирхгофа, заданные на Гр; Vo, 0п — скорость прогиба на Ги и производная от скорости прогиба по направлению внешней нормали к контуру, задаваемой углом в; дт — производная вдоль контура (на контуре Г могут быть заданы и смешанные из (9)—(11) граничные условия, например, условия свободного опирания).
На той части контура Г (обозначим её Г^), на которой волокна k-того семейства m-того слоя входят в область G, необходимо задать краевые условия для интенсивностей армирования [7]:
4m) (rkm)) = ), k = 1, 2, ..., N(m), m = 0, 1, ...,М, (12)
где ш0т) —заданные на Г km) функции.
Структура армирования должна удовлетворять физическим ограничениям:
0 < ш£т) (k = 1, 2, ..., N(m)),
< ш(т) < 1 (m = 0, 1, 2, ..., М), (13)
к
(m) ,
где ш = const — предельно допустимая суммарная интенсивность армирования m-того слоя (на практике ш(т) ~ 0,7).
Прежде чем получить разрешающее уравнение и соответствующие ему статические граничные условия, исходя из (2)—(6) определим связь между моментами и скоростью прогиба установившейся ползучести:
22
Му = - £ £ Суп^пь i, j = 1, 2, (14)
п=1г=1
где
м
^ч X Л ^ -г-« I m i I m ) ,,(m) — 1 \ ^ -.-4(m) (m,
К
= £ 2D(m)a(mV(m) — 1 + £ D(m)—^ Г)4
m=o
Cj = Е [D(m) a(m) -1 + E Dm)4m) S"W )2(ikm
m=0 k
M ( )
C = E [2D(m)a(m)^-1 + EDím)-ím)^Г -1(lkm))2(j)2
m=0 k
M ,(m)
= e EDm)4m)^-1 tímvc (j=3 - M=1,2); (15)
kk
m=0 k
D(m) = (m) /Wm) +2 D(m) = 2Bkm) /V^ +2 ^
D = ^(m) + 2 I - 1 J ' D = V - ^m"1 J'
a(m) = 1 wkm)' к = 2yJ v211 + V,11V,22 + v222 + v212, k
Kmk = -v,11ikm)ikm) -v,22ikm)i? - 2^,12¿km)i? (1 < * < n(m), 0 < m < M).
Замечание 1. Если используется более сложный, чем степенной (6), закон связи а ~ £, то зависимость а = а (£) для каждого фазового материала можно с наперёд заданной точностью аппроксимировать многозвенной ломаной. При этом в (14) коэффициенты C¿jn¿ вместо (15) можно определить по схеме, изложенной в [4]. В частности, при аппроксимации этой зависимости двухзвенной ломаной для C¿jn¿ получим выражения (2.2) из [4] (при этом в отличие от (14) моменты определяются равенствами (2.5) из [4]), которые нужно умножить на | ив которых следует принять v(m) = 2¡ (применение алгоритма вывода выражений для Cjn¿, использованного в [4], допустимо в силу формального сходства [5] определяющих уравнений деформационной теории пластичности, использованной в [4], и теории течения установившейся ползучести, на соотношениях которой базируется настоящее исследование).
Подставим соотношения (14) в уравнения (1) и граничные условия (9), (10) и исключим из рассмотрения поперечные силы. Тогда уравнение равновесия примет вид
2222
Е Е Е Е (Cíjniv)ra¿= p(x1, Ж2)' (жь X2) € G, (16)
i=1 j=1 n=1 1=1
а статические граничные условия преобразуются к следующему виду: - по изгибающему моменту:
- (C1111 cos2 в + C1122 sin2 в + C1112 sin 2в)v,11 —
- (C2211 cos2 в + C2222 sin2 в + C2212 sin 2в)v,22 -
- 2(C1211 cos2 в + C1222 sin2 в + C1212 sin 2в)и,12 = Mn; (17)
- по приведённой силе Кирхгофа: 2 2 2 2
£ £ £ £ (CijnlV,nl) i=1 j=1 n=1 l=1
j Пг-
- 1 dJ [(C1122 - C1111) sin 2в + 2C1112 cos 20]v>n +
+ [(C2222 - C2211) sin 2в + 2C2212 cos 20] v,22+ + 2 [(C1222 - C1211) sin 20 + 2C1212 cos 20] v, 12} = Fnz, (£1,^2) € Гр (18)
(кинематические граничные условия (11) остаются без изменения).
Если толщины слоёв (или, что то же самое, аппликаты границ между
слоями z = Hm) и траектории армирования (т.е. углы ф(т)) каждого слоя заданы, то начально-краевая задача (7), (12) (или (8), (12)) определяет интен-
(т) ; » i
сивности армирования и^ m-того слоя волокнами k-того семейства (начально-краевые задачи для линейных уравнений в частных производных первого порядка (7), (8) хорошо изучены [8], поэтому не будем останавливаться на этом вопросе более подробно; отметим лишь, что уравнения (7), (8) имеют действительные характеристики, совпадающие с траекториями армирования k-того семейства m-того слоя). Если функции ф(т), и (m), Hm известны (заданы) и удовлетворяют физическим ограничениям (13), то уравнение равновесия (16) замкнуто относительно скорости прогиба v установившейся ползучести. Этому квазилинейному (в силу того, что коэффициенты Cjni зависят нелинейно от v,sr; см. (15)) эллиптическому дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка соответствуют нелинейные (17), (18) и линейные (11) граничные условия.
Для линеаризации рассматриваемой граничной задачи (11), (16)-(18) можно использовать следующий итерационный процесс, базирующийся на применении идеи метода секущего модуля, предложенного в [5] для линеаризации уравнений установившейся ползучести. Предположим, что коэффициенты Cijni в (16)-(18) известны из решения на предыдущей итерации, тогда для определения приближения скорости прогиба имеем линейную граничную задачу с переменными коэффициентами, формально совпадающую с задачей упругого поперечного изгиба неоднородных анизотропных пластин [1, 2] (методы решения таких задач хорошо разработаны: МКЭ, МКР, вариационные методы и др.). При известном приближении скорости прогиба по формулам (15) определяем новые приближения коэффициентов Cjni и т.д., пока итерационный процесс не сойдётся (сходимость метода секущего модуля доказана [5]).
Используя общеизвестные формулы [1] перехода от прямоугольной декартовой системы координат к цилиндрической, можно записать уравнения (7), (8), (16), а также граничные (11), (17), (18) и краевые (12) условия в полярной системе координат. При этом углы армирования ф(т) отсчитываются от направления полярного радиуса r, а выражения для моментов по-прежнему определяются равенствами (14), в которых, а также в (15), (17), следует
d2 v
сделать замены -v,ij на ку, где в случае осевой симметрии Кц = — ¿р?, К22 =
= -r—1 dp, К12 = к21 =0. Г
В качестве примера рассмотрим расчёт установившейся ползучести кольцевых пластин, ограниченных кромками радиусов ro = 0,05 м, п = 0,5 м и нагруженных равномерной поперечной нагрузкой p = 1 МПа. Слои пластин осесимметрично армированы двумя семействами волокон (N(m) = 2,
(r) = - ф2™')(r), w(m)(r) = ш2т)(r)), изготовленных из одного материала
(n1m) = n2m), B(m) = B(m), 0 ^ m ^ 2М). Пластины могут иметь постоянную 2h* или переменную
2h(r, s) = 2sh*+
+ 12h*(r1 - r0)—2(1 - s)(r1 - r)(r - r0) (r0 ^ r ^ r1, 0 <s ^ 1) (19) толщину.
При задании толщины конструкции в виде (19) её объём равен объёму пластины постоянной толщины 2h*. Из (19) следует, что при 0 < s < 1 толщина пластины на кромках r = ro, r1 меньше, чем во внутренних точках (максимум толщины достигается в точке r = 2(ro + п)); при s = 1 получаем пластину постоянной толщины 2h*. В расчётах будем принимать 2h* = 2 см.
Так как армирование пластин и слоёв осуществляется непрерывными волокнами постоянного поперечного сечения, то функции ф^, в осесим-метричном случае при пространственном армировании слоев связаны равенством
( m) ( m) ( m) ( m)
rwk (Hm - Hm—1) cos Фк = ro^fe (Hom - Hom— 1) cos ^ofc
(H—1 - 0, w^ - 4m) (ro), ^om) - Ф^ (ro), Hom - Hm (ro) ,
k = 1, 2, 0 ^ m ^ 2М), (20)
а при плоском армировании в (20) следует формально принять Hm-Hm— 1=1,
Hom - Hom—1 = 1 [7].
Предполагается, что пластины изготовлены из меди и армированы стальной проволокой У8А. Механические характеристики фаз композиции имеют значения [9, 10]: n(m) = 1,6, B(m) = 3,65 ■ 10—1o (МПа)—п(т) ■ ч—1, n1m) = 24,98,
B(m) = 1,054 ■ 10—84 (МПа)—п1 ■ ч—1, соответствующие температуре около 200 ° C.
На рис. 1 изображены зависимости максимального значения скорости прогиба установившейся ползучести (vm = max v(r)) пластин постоянной толщины 2h* от угла армирования по логарифмическим спиралям (ф^ (r) = = -ф2™') (r) = Ф = const). Горизонтальные прямые 1, 2 соответствуют изотропным медным пластинам {ш^) = 0); кривые 1', 2' рассчитаны для однослойных пластин (М = 0), армированных на внутренней кромке с интен-
(o) (o) '' ''
сивностями wo! = = 0,2; линии же 1 , 2 получены для трёхслойных
(М = 1) пластин, изготовленных из тех же материалов, внутренний слой которых не армирован (w(o) = w2° = 0) и имеет полутолщину Ho = 4 h*, а внешние несущие слои армированы с интенсивностями (20), причём на внутренней
Рис. 1
кромке = шо= 0,35 (при этом удельная суммарная плотность арми-
(т) . (т) п - / -I
рования во внешних слоях на внутренней кромке + = 0,7 (т = 1, 2) близка к предельно допустимой; при таких структурах армирования общий расход арматуры в трёхслойных пластинах постоянной толщины такой же, как и в однослойных). Линии 1, 1', 1'' определены для шарнирно опёртых пластин; линии же 2, 2', 2'' рассчитаны для пластин, шарнирно опёртых на внутренней кромке и жёстко защемлённых на внешней кромке.
Кривые 1', 1'' и 2', 2'' лежат ниже прямых 1 и 2 соответственно, следовательно, армирование пластин позволяет уменьшить скорость прогиба установившейся ползучести конструкций рассматриваемой геометрии. Поведение кривых на рис. 1 указывает на то, что при рассматриваемых размерах конструкций наименьшая скорость прогиба установившейся ползучести развивается в радиально армированных (ф = 0) пластинах (с точки зрения минимизации скорости прогиба установившейся ползучести такие структуры армирования можно считать рациональными). При увеличении углов спиральной намотки величина гт (ф) существенно возрастает (при углах армирования ф ~ 4 —в 1,5-2 раза). При всех углах армирования кривые 1'', 2'' лежат ниже линий 1', 2' соответственно, т. е. разнесение несущих слоев позволяет уменьшить скорость прогиба установившейся ползучести (например, при ф = 0 — на 31 и 28% соответственно).
Сопоставление линий 1, 1', 1'' и 2, 2', 2'' показывает, что замена шарнирного опирания внешней кромки пластины на жёсткую заделку приводит к существенному (в разы) снижению скорости прогиба установившейся ползучести.
Варьируя форму профиля пластины или слоев, можно управлять скоростью прогиба. На рис. 2 приведены зависимости гт от параметра профилирования в (см. (19)) для шарнирно опёртых пластин. Кривая 1 рассчитана для изотропной медной пластины, а остальные линии — для радиально (ф = 0) армированных конструкций. Кривые 2, 3 определены при плоском, а линии 2', 3' — при пространственном армировании. Кривые 2, 2' соответствуют однослойным (М = 0) пластинам (ш^ = = 0,2); линии 3, 3' —трёхслойным
Рис. 2
(М = 1) конструкциям, внутренний слой которых по-прежнему не армирован = = О) и имеет полутолщину Но (г) = 4Л-(г), а внешние слои
(т) (т)
армированы в радиальном направлении с интенсивностями ЦО1 = =
= 0,35, т = 1, 2 (значения ут при в = 1 на рис. 2 равны значениям ут на кривых 1, 1', 1'' рис. 1 при ф = 0). Кривые 1-3, 2' на рис. 2 имеют локальные минимумы при в ~ 0,55, в ~ 0,4, в ~ 0,35, в ~ 0,9 соответственно; линия же 3' имеет минимум при в = 1. Поведение кривых 2, 3 на рис. 2 указывает на то, что за счёт профилирования (по формуле (19)) плоско армированных одно- и трёхслойных пластин скорость прогиба установившейся ползучести в них можно уменьшить на 35 и 43 % соответственно. Поэтому в этих случаях (а также в случае изотропной пластины, см. кривую 1) целесообразно формулировать задачи рационального или оптимального профилирования изотропных и армированных пластин (и их слоев), работающих в условиях установившейся ползучести. При пространственном радиальном армировании (кривые 2', 3') профилирование пластины по формуле (19) практически не приводит к уменьшению скорости прогиба (для кривой 2' такое уменьшение составляет менее 0,4%, и поэтому визуально не заметно), т.е. при таком армировании пластины со слоями постоянной толщины можно рассматривать как близкие к рациональным.
На рис. 3 изображены эпюры скорости прогиба установившейся ползучести для различных кольцевых пластин. Кривые 1-4, 3', 4' получены для шарнирно опёртых конструкций, линии же 5, 5', 6 —для пластин, шарнир-но опёртых на внутренней кромке и жёстко защемлённых на внешней. Все кривые, за исключением линий 2, рассчитаны для пластин постоянной толщины; кривые же 2 —для изотропной пластины переменной толщины с параметром профилирования в = 0,55 (см. (19)) — рациональный проект. Линии 1, 2 соответствуют изотропным медным пластинам, остальные кривые — армированным конструкциям. Линии 3, 3', 5, 5' получены для однослойных, а кривые 4, 4', 6 —для трёхслойных пластин. Линии 3-6 определены при радиальном (ф = 0), а кривые 3', 4', 5' — при спиральном армировании (линии 3', 4' — при ф = 4, кривые 5' — при ф = Юп; эти эпюры соответствуют точкам максимумов на кривых 1', 1'', 2' рис. 1). Сравнение кривых, приведённых
Рис. 3
на рис. 3, позволяет проследить за качественным и количественным изменением эпюр скоростей прогиба установившейся ползучести в зависимости от способа закрепления кромок пластины, структуры её армирования (с учётом разнесения армированных слоев) и профилирования.
Замечание 2. Зная из граничной задачи (11), (16)—(18) скорость прогиба V, по формуле (14) можно определить моменты М- в пластине (а по формулам (3)—(5)—напряжённое состояние во всех фазовых материалах), работающей в условиях установившейся ползучести. Если известно помимо это-
( - (т) го и начальное моментное состояние Ш- (порождаемое напряжениями и\- ,
см. (2)) в конструкции (его можно определить, например, методами, изложенными в [1, 2, 4, 11]), то решение о неустановившейся ползучести на первой её стадии можно получить приближённо, используя методику, предложенную в [5]. Для этого представим текущее моментное состояние в пластине в виде Ш%з = (1 — т(¿)) М- + т(Ь)Му (а текущее напряжённое состояние в т-том слое:
= (1 — т(¿))о^ + т, г, 3 = 1, 2), где т(Ь) — монотонная функция времени Ь, возрастающая от значения т = 0 в начальный момент времени Ь = 0 до т = 1 при Ь ^ то. Функцию т(Ь) можно определить исходя из экстремальных принципов теории ползучести (см. §34 в [5]). В случае изотропных пластин реализация такого подхода не вызывает особых трудностей, а в случае сложно армированных и слоистых пластин требует дополнительного более тщательного исследования, выходящего за рамки настоящей работы.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00046-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лехницкий, С. Г. Анизотропные пластинки [Текст] / С. Г. Лехницкий. — М.: ГТТИ, 1957.-436 с.
2. Амбарцумян, С. А. Теория анизотропных пластин [Текст] / С. А. Амбарцумян. — М.: Наука, 1967. — 268 с.
3. Андреев, А. Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость и колебания [Текст] / А. Н. Андреев, Ю. В. Немировский. — Новосибирск: Наука, 2001. — 287 с.
4. Немировский, Ю. В. Упругопластический поперечный изгиб слоистых армированных пластин [Текст] / Ю. В. Немировский, А. П. Янковский // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2005. —Т. 11, № 1. —С. 3-20.
5. Качанов, Л.М. Теория ползучести [Текст] / Л.М. Качанов. — М.: Физматгиз, 1960.— 456 с.
6. Немировский, Ю. В. Ползучесть однородных и композитных оболочек [Текст] / Ю. В. Немировский / Актуальные проблемы механики оболочек: Тр. междунар. конф., по-свящённой 100-летию проф. Х. М. Муштари, 90-летию проф. К. З. Галимова и 80-летию проф. М. С. Корнишина (Казань, 26-30 июня 2000 г.). — Казань: Новое знание, 2000. — С. 42-49.
7. Немировский, Ю. В. О некоторых особенностях уравнений оболочек, армированных волокнами постоянного поперечного сечения [Текст] / Ю. В. Немировский, А. П. Янковский // Механика композиционных материалов и конструкций. —1997.—Т. 3, № 2.— С. 20-40.
8. Камке, Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка [Текст] / Э. Камке. — М.: Наука, 1966. —260 с.
9. Писаренко, Г. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести [Текст]: Справ. пособ. / Г. С. Писаренко, Н. С. Можаровский.—Киев: Наукова думка, 1981.— 496 с.
10. Композиционные материалы [Текст]: Справочник / Под ред. Д. М. Карпиноса. —Киев: Наукова думка, 1985. — 592 с.
11. Немировский, Ю. В. Термоупругопластический изгиб слоисто-волокнистых пластин [Текст] / Ю. В. Немировский, А. П. Янковский // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2005. — Т. 11, № 4. — С. 467-493.
Поступила в редакцию 23/VI/2008; в окончательном варианте — 15/VII/2008.
MSC: 74K20, 74R20
THE STEADY CREEP LAYER-FIBROUS BENDINGS METAL-COMPOSITES PLATES
Yu. V. Nemirovskii, A. P. Yankovskii
Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics,
Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences
630090, Novosibirsk, Institutskaya st., 4/1.
E-mails: nemirov@itam.nsc.ru, shulgin@itam.nsc.ru
The problem of cross bending the Kirkhoff layers plates of the variable thickness reinforced by filaments of a constant cross-section and working in conditions of steady creep of all phases of a composition is formulated,. The system of the resolving equations and boundary conditions corresponding it is analysed. The method of a solution of a task in view is developed.. The concrete calculations which have shown are lead, that the velocity of a sag of the steady creep of plates essentially depends on a mode of their fastening, structure of reinforcing and a diversity of distant layers, distribution of thickness of a design and its layers. The path of the approximated solution of such problems in conditions of the unsteady creep is specified.
Key words: steady creep, layered plates, cross-bending, complex reinforcement.
Original article submitted 23/VI/2008; revision submitted 15/VII/2008.
Nemirovskii Yurii Vladimirovich, Dr. Sci. (Phis. & Math.) Prof., Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences Yankovskii Andrey Petrovich, Dr. Sci. (Phis. & Math.), Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences.
