CC BY
31
Математика
О РЕШЕНИИ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ1
М. Г. Булатова
Рассмотрена обратная граничная задача математической физики. Для ее решения использован оптимальный по порядку метод проекционной регуляризации. Для приближенного решения этой задачи получены оценки погрешности.
При тепловой диагностике ракетных двигателей (см. [1]) необходим учет физических свойств, используемых композиционных материалов. Это приводит к необходимости решения обратных задач для уравнения с разрывными коэффициентами. Высокие требования, предъявляемые к точности вычислений, при решении данного класса задач, заставляют разрабатывать оптимальные методы для их решения, а также получать точные оценки погрешности этих методов.
1. Постановка задачи
дгих{х^)
<5/ дх
0 < х < х, г>0, (1)
5и,(х,/) Э2м,(х,/)
—= аг —-^ < х < 1, I > 0, (2)
от дх
где 8е - некоторая известная положительная константа.
Предположим, что решения м,(х,/) и и2{х,{) удовлетворяют начальным условиям
а также граничным условиям
и условиям согласования
И] (х,0) = 0; 0 < х < х,, (3)
и2(х,0)=0; х, < х < 1, (4)
г/,(0,г) =/](/), (>0, (5)
м,(*,,/) = /2(г); />0, (6)
ы1(дс1,г) = м2(дс„/); />0, (7)
дщ (х,,/) __ 1 ди2 (х,,/) дх 2 дх ’ (8)
Л
где \ и Л2 некоторые известные положительные константы.
Функцию и2(1,/) требуется определить.
Задача (1)—(8), следуя [2], является некорректно поставленной. Поэтому предположим, что при /|0(Ои /20(0 6 ^2 [О’00) таких, что
оо со
|/20 й2 Ж + Л/м (0|1Ж < г1, (9)
1 Работа поддержана грантом р_урал_а №07-01-96001 Серия «Математика, физика, химия», выпуск 9
где г - известно, существуют точные решения ию{х,1), и2П(хЛ) задачи ( I)--(8) такие, что
и]0(х,0, аЦ|о(Х,°, е С([0, х, ]; Ь2 [О, да)) и и20(х,О, -8и?о(^° , ^2°^,
3/ дх дх й дх
ОХ"
со со
|м20(1,о|2л+ |м20(1,0|2^^п2> С1 °)
о о
где г, не известно.
Пусть точные значения функций /10(0 и /20(/) нам не известны, а вместо них даны некоторые приближения /и(1), /2Д0 е £2[0,оо) и уровень их погрешности 8 > 0 такие, что
\/\г ~ /ю|| — 3, (11)
(12)
Требуется, используя исходную информацию /и,/23, <■> и /• задачи, определить приближенное решение и2г (1,0 задачи (1)-(8) и оценить его уклонение от точного решения.
2. Сведение задачи (1)-(8) на отрезке [0,х,] к задаче для обыкновенного дифференциального уравнения
Пусть Я = 12[0,оо) + /12[0,оо) где /- мнимая единица, а Ь2[0,со) - действительное пространство.
На пространстве Я определим унитарное преобразование ^
^(м + г'у) = -^с(н)--у=^(у), (13)
где Рс и - косинус и синус преобразования.
Применяя к уравнению (1) преобразование определяемое формулой (13), сведем его к уравнению
2 А
с1 и,(х*т)
----]—г----1тщ(х,т) = 0\ хе[0,х1],г>0, (14)
с/х
в котором йх(х,т) = (х, /) + ш,(х,?)]•
К уравнению (14) добавим условия
Щ{ 0,г) = ^(т); г>0 (15)
и
щ(хх,т) = /2(г); г > О, (16)
где /, (г) = ^[/, (0 + Й (/)], а /2 (г) = ^[/2 (0 + ;/2 (0] •
Решая задачу (14)-( 16), получим, что
й1(х,т) = а](т)еМаХ'Гт+Ьг(т)е~^т-, г>0, (17)
где //0=-у=(1 + /).
Используя условия (15) и (16), определим коэффициенты а\(т) и 6,(г)
<|8>
2р„х, 4г
Ь,(т)-
2а>Х\4т , •/]
/(*0-
4т
2^_у2
/г
(19)
Из (17)—(19) следует, что
£100= 1'я-'-" = Мо"
ох
2Мох1 4т
+ 1
4~т
г > 0.
(20)
Задачу (20) представим в виде двух.
Первая из них, являющаяся сужением задачи (20) на отрезок 0 < г < 1, корректна, а вторая
ё\(т) =
^Мох\ 4т .
1
/гСО-
сР-МоХ] Л
-1
'/(Г)'
Г > 1
(21)
является задачей вычисления значении неограниченного оператора.
< 1, то
Из (20) следует, что если /1 (г) <1 и /2 (г-)!
\\ё\ (^):
Лх
0 < т < 1.
(22)
Для решения задачи (21) воспользуемся изометричностью в пространстве Я преобразования определяемого формулой (13).
Из(12)следует, что
Ло - А
23
<8,
(23)
где /2Дг) = ^[/2<у(0 +&*(')], /20(т-) = ^[/2о(0 + »/20(0].
Из (9) следует, что для ^ (г) справедливо соотношение
(24)
Теперь для решения задачи (21), (23), (24) используем метод проекционной регуляризации, изложенный в [3, с. 41]. Этот метод, для данной задачи, заключается во введении функции (г), определяемой формулой
£Г(г) =
[#1(г)> 1 <т<а 10, т>а,а>\,
в которой параметр а удовлетворяет уравнению
г
■ = а
а
(25)
(26)
где £ =
\-е
Пх,
8.
Так как на основании (23) имеем, что при г > 1
2уЦ0*1 '/г
+ 1
е2цаъ 4т _ |
2еЯЛ
4~Т
О2^ох\ 4т
-м*)
Г е2ц0Х\4т Л 2еМ°Х'^
2р0х, 4т
Л(г)-
2//0лг, ч/г
■/(О
<*, (27)
то из (24)-(27) следует, что приближенное решение (г) задачи (21) определяется формулой
С(%) =
& є(т), 1 <г <
ґ ..\У$
1 /
г>|;
(28)
4~т
Теорема, сформулированная в [3] на стр. 43, утверждает, что для функции опреде-
ленной формулой (28), справедлива оценка
Если функцию £“(с)(г) продолжить на всю полуось [(), х) формулой
а
, Г &
ё]£(т),
0,
г\2Л
т> I -
то из (22) и (30) будет следовать, что
К 2/ 4(5
Я?Я(г)-£і(г) . ,^>/2г^е^ +
^2[0,оо]
3. Решение задачи (1) - (8) на отрезке [*1,1]
Применяя к уравнению (2) преобразование получим
2 Л
б? щ(х,т) 1 . „ . . . г п
--------------пи2(х,т) = 0; хе[Х],1], г > 0,
сіх^
где й2(х,т) = р[и2 (х,/) + ш2 (х,/)] . Предположим, что
аг
Г го.
ОХ
ГДЄ #2*(г) = -7-£і“(г)(Г)-
Ло
Из формулы (31) следует, что
&20 ~ёгз\
■А
'Лі
72А* 4"
л/2х
з
где ^2о(г) = 71^о(т)-
Л,
Решая задачу (32)-(34), получим, что
й2(х,т) = а2{г)е + Ь2(т)е
М°Х'<Я 1. , ч ~М°Х4к
Ж , и Уж. г >05
АЛ
а2(т)е +Ь2(т)е
аг _
/2д(т); Г>0
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
Мо^1-а2(т)е
[г", V эе
= #2Дт); г^°-
(38)
Решая задачу (36)—(38), сведем ее к задаче вычисления значений неограниченного оператора
сМоО~хі).
Мо
1 ^Ъ/^О-хЛ —
I г \ ее
V
Мь/— ^АоО-^Х/— сЬ^оО-Хі), г эг V ае V эг у
І2<уО),
й2(т)
\МТЬ
где м2(т) = м2(1,г), а г>2(г) =
<Эй2(1,г) дх
или
Т ■
/2*
Vv2У
где неограниченный оператор Т действует из пространства Н х Н в Н х Н. Используя соответствующий унитарный оператор
(е2“+1)
1 (сТ2"
/«О
-О
в пространстве Н х Н, приведем оператор Т к диагональному виду 7\
О
где а = цй
V ж
а е и е
модули чисел е и е
Таким образом, задачу (40) сведем к задаче
(7 )
Jгs \8гз)
ТУ
где
/2
25
= 0*
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
- оператор, сопряженный <2, определяемому формулой (41), а Т\
23
у£гз ] \S23J
определен формулой (42).
Так как 0* унитарный оператор, то из (23) и (35) следует, что
/гг /20 -
л/гЛ
+
л/2х
(44)
\\82s £20 |-
К К К 4£
^2 Г/3Є/3 + ~і=г~
у/2х.
(45)
где
ґ? л У 20
4^20 У
0і
(їл
У 20
Ч&20 )
Из (42) следует, что оператор Тх может быть представлен в виде суммы
где
Г/.
/2
23
чОу
Л
(46)
Г-
£2,5 у
Ч^У
Из(10)следует, что
й20 (г) 1 +
эе
<г,.
Из формулы (47) определим оператор вложения
(47)
(48)
(49)
а задачу (46) перепишем в виде операторного уравнения
—~(>-х,)Л
Л1й2(т) = е Я й2(г) = /2£ .
Обозначим через а\{е,гх) модуль непрерывности оператора А^], определяемого формулой
(42) на множестве Мц = 55,., где 5 = \г : г е ^,|^| ^ гх}, а оператор В определен формулой (41).
Тогда из [4] следует, что
«,(£,>!) ~1іГ2( -
и.
Для решения уравнения (49) используем метод проекционной регуляризации, предложенный
(50)
в [4].
Для этого положим Є,
А
Яг
у[2х
и при условии \\/2Л ^ Зє]
^2з{то) = ^’>
а при |/2(5| >3^1, определим функцию /2“<£і)(г) формулой
\І2д{г) прит<а(гг,)
0 при т > а {г-),
где а (г,) определим из условия
| |/гЛ7)^^9^2-
а(£,)
Приближенное решение й2з (г) уравнения (49) определим формулой
(51)
(52)
(53)
Литература
1. Исаков, Г.Н. Определение характеристик тонкослойных теплозащитных покрытий из решения обратных задач тепло и массопереноса / Г.Н. Исаков, А .Я. Кузин, В.Н. Савельев, Ф.В. Ермолаев // Физика горения и взрыва. - 2003. - Т. 39, № 5. - С. 86-96.
2. Алифанов, О.М. Обратные задачи теплообмена / О.М. Алифанов. - М.: Машиностроение, 1988. -279 с.
3. Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Танана. - М.: Наука, 1981. -160 с.
4. Танана, В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач / В.П. Танана // Сиб. журнал инд. математики. - 2004. - Т. 7, № 2. -С.117-132.
Поступила в редакцию 11 мая 2007 г.
•-'ЛГ'М'
Из (49) - (51) следует существование числа /, такого, что
й23~й2Л< /,1П~
1
Окончательно решение задачи (1)-(8) будет иметь вид
и2<у(1,0 = Ке(^"1[Й2<у(т)])»
где Г 1 - отображение, обратное к Р\ определяемому формулой (13). Из (52) и (53) следует, что
( 1 Л
им(1,0-и20(\,г) </, 1п'
