CC BY
20
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.95
Б.С. Аблабеков
д-р физ.-мат. наук, профессор, кафедра высшей и прикладной математики, Кыргызский государственный технический университет
им. И. Раззакова, г. Бишкек, Киргизия
А.Б. Байсеркеева
преподаватель,
кафедра высшей математики, Иссык-Кульский государственный университет
им. К. Тыныстанова, г. Каракол, Киргизия
О РАЗРЕШИМОСТИ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Аннотация. Рассматривается начально-краевая задача для линейного двумерного псевдопараболического уравнения. Для данной задачи получены достаточные условия однозначной разрешимости классического решения.
Ключевые слова: псевдопараболические уравнения, разрешимость, метод Фурье, нелокальная нелинейность.
B.S. Ablabekov, Kyrgyz State Technical University named after I. Razzakov, Bishkek, Kyrgyzstan
A.B. Baiserkeeva, Issyk-Kul State University named K. Tinisctanov, Karakol, Kyrgyzstan
ON THE SOLVABILITY OF A MIXED PROBLEM FOR THE TWO-DIMENSIONAL PSEUDO-PARABOLIC
EQUATIONS
Abstract. We consider the initial-boundary value problem for a linear two-dimensional pseudo equation. For the given problem obtained sufficient conditions for the unique solvability of the classical solution.
Keywords: pseudo-parabolic equations, solvability, Fourier method.
Введение
Уравнениям псевдопараболического типа и типа Соболева посвящено большое количество работ. Различные прямые и обратные задачи для псевдопараболических уравнений исследовались многими авторами, и библиографию по этому вопросу можно найти в [1; 4].
В работе [2] рассматривается задача Коши для двумерного псевдопараболического уравнения и с помощью фундаментального решения соответствующего оператора построены явное решение этой задачи.
Отметим, что моделированию физических процессов, приводящих к уравнениям псевдопараболического типа, посвящена работа [3].
Основным вопросом, изучаемым в этой статье, является вопрос о разрешимости (в классическом смысле) смешанной задачи для двумерного псевдопараболического уравнения.
Постановка задачи
Пусть ПТ = {(x,y,t): (x,y) еП, t е (0,7]}, П = {(х,y): 0 < x < l, 0 < y < m}.
Рассмотрим следующую первую краевую задачу: Найти классическое решение задачи
ut(x,t)-a2[(ut + u)xx + (ut + u)yy] = 0, (x,y)е П7; u(x, y,0) = j(x, y),(x, y) е П;
(1) (2)
u(0, y,t) = u(l, y,t) = 0, 0 < y < m, 0 < t < T,
u(x,0,t) = u(x,m,t) = 0, 0 < x < l, 0 < t < T. ( )
непрерывное в замкнутой области П7.
ТЕОРЕМА 1. Если p(x,y)е С2(П), j (x,y)e ^(П) и
p(0,y) = p(l,y) = 0, pxx (0,y) = pxx(l,y) = 0 , p(x,0) = p(x,m) = 0, j (x,0) = j(x,m) = 0, то существует единственное решение задачи (1)-(3), и оно представляется рядом
и(х,y,t) = YTj exP
(
11sin — xsin—y. (4)
1 + a2\n ¡ l m
Доказательство. Будем искать нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (3) в виде двойного ряда:
и(х, у, t) = £ £ X, (х)Уп (у)Ткп (0. (5)
к=1 п=1
Подставляя значения и(х,у^) из (5) в (1), получим, что оно заведомо выполняется, если равны члены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:
X, (х)Уп (у )Ткп«) = а2 (X, (х)Уп (у) + X, (х)У (у)) (Т^ «) + Ткп (/)} = 0. Отсюда, предполагая, что ТП + Ткп ф 0, и разделяя переменные, получим
Тп = х;(х) + ум. (6)
а2(Ткп + Тп) X, (х) Уп (у) Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа - от (х, у), то это возможно, только если и левая, и правая части этого равенства равны константе. Итак, 3\п такая, что
Т„ +Л + Т„) = ^ + Щ = \п. <7>
Но сумма функций, одна из которых зависит только от х, а вторая - только от у, может быть константой лишь в случае, если обе эти функции - константы. Тогда 3^/с и чп такие, что
(х)+т X(х) =0, уп (у)+^Уп(у) =0, т + =1. (8)
Таким образом, естественно начать решение задачи (1)-(3) с решения двух задач Штурма-Лиувилля - для X, (х) и для Уп (у).
Краевые условия дают для функций X,(х) и Уп(у) выполнение равенств:
X,(0) = X,(I) = 0, Уп(0) = Уп(т) = 0.. Итак, функции X, (х) и Уп (у) есть решения задачи Штурма-Лиувилля: X-, (х) + т Xк (х) = 0, [у; (у) + V У (т) = 0,
Хк (0) = Хк (/) = 0, [Yn (0) = Yn (m) = 0. (9)
Собственные значения и собственные функции первой задачи (8) будут иметь вид:
m к= (kpJ, Хк(X) = sinкрх,к = 1,2,..., и образуют ортонормированный базис в пространстве L2(0,/). А для второй задачи
Vn= Ít) , Yn(x) = sinnpy, n = 1,2,.... (10)
k=l n=1
Tn + alJTn + Tn) = 0, f > 0, l =|РЧ + ipmi ■
В силу соотношения uk + vn = 1n для функций Tkn (t) имеем уравнение:
\ 2 / 1 f pm
/ J + Ьт.
Разложим функцию ((x,y) в ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля:
( У) = t t Xk (x )Y¡ (У (,
k=1 n=1
где
(kn = i4 í T (x, y )sin ^ x sin—ydxdy. (11)
IT 00 l m
А поскольку начальное условие u(x,y,0) = ((x,y) будет заведомо выполнено, если
Tkn(0) = (kn, то для функций Tkn(t) имеем задачу Коши:
T'nn + a2lkn(Tkn + Tkn ) = 0, (12)
Tkn (0) = (kn.
Для каждого 1k из (12) находим
( о2
Tk„ (f) = С exp
a \n f
1 + a21k„ J
где С - произвольная постоянная. Подставив Ткп(?) в начальное условие Ткп(0) = сркп, получим, что С = (кп, откуда
^ a2lkn f |
1 + a21.
Ткп ) = (кп еХР
После подстановки найденных Ткп ) в искомый вид решения (4), получим
^ a2Ákn Л . kp . np ....
-—k^f Isin —xsin—У ■ (13)
v 1 + a1kn J 1 m
УЛ) = ХХ( ехР
к=1 п=1
Нетрудно показать, что функция, определённая по формуле (13), удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (3).
Далее докажем, что ряд (13) с коэффициентами (ркп, определяемыми по формуле (10), удовлетворяет всем условиям задачи (1)-(3).
Для равномерной сходимости ряда (13) достаточно, чтобы мажорантный для него ряд
XXК сходился, а это зависит от начальной функции ((х,у). Так как
к=1 п=1
((х,у) е С1(П), ((0,у) = ((/,у) = 0, ((х,0) = (х,т) = 0 , то из (11), интегрируя по частям, получим
(к" = "Г" =
/т / т
оо . т
lm kp г np
knp21 R(^)cos тXcos nmdxdh=kp jk n,
где
j=m .i m j (h, h) cos x cos—hcfxcfh
/m 00 I m
• , kp J- 2 kpx I
Но cos—x - ортогональная система в L2(0,I), и . cos2-dx = — , следовательно, по
1 i-i 1 2
неравенству Бесселя
2 4 1т
£ £Ы < тИЫ(x, y)Гdxdy .
*=1 п=1 "" 0 0
Поэтому из неравенства Коши-Буняковского получаем
££ Ы = ££
4
^р
,2 ГКп
(
<
£
2
1<р
2
1/2
(
£
2
тр
21
££ |ы п
21
< ¥ .
Следовательно, ряд ££ |ып| сходится.
Легко видеть, что ряд
|и(x,у,t^ <-= ££Ыехр
\1т ,=1 п=1
^ ,2
а 1,
1 + а21
2 о 0
to I < соп^££
где е =
а21.
1 + а21,
, тоже сходится. Отсюда, по теореме Вейерштрасса, функциональный ряд (11)
сходится равномерно на П при "t > 0 к непрерывной по х,у функции, откуда, в свою очередь, вытекает, что (11) удовлетворяет граничным условиям (3) и начальному условию (2). Чтобы сходилась равномерно ряды
а21,
и ,(х у^) = -££. + о 1 ы ехр
,=1 п=1 1 + а 1п
( а2Лкп Л . Ир . пр
--2<^t IБ\П-хБ\П-у ,
V 1 + а21п У 1 т
Аи( х, y,t) = ££
(г, \2 , \2\
kp) ( пр
-) + V т
2
\п еХР
а 1,
\
V 1 + а 1 у
. . пр
Б\П-х Б\П-у ,
I т
Аи, (х, y,t) = -££
kp\ (пр
~г ) +1пр
а21.
1 + а21,
х ехр
с а2 7 ^ а 1 t
1 + а 1
Кп
. . пр
Б1П-х Б1П-у
I т
надо, чтобы сходился мажорантный ряд £,2|ы|. Учитывая условия, наложенные на функции
Ы(х,у), и интегрируя два раза по частям из (13), получим
4 1т
\ \Ы(£,т)Бт—£б1п И I т
х{| (Ы + Ы)(%,Л)Б\П ^р Хб1П—6%С!т
по 1 т
1т
(
т
р) (рп)
т
{pk) (рп)
(Ы+Ып),
где
ат-^ [? ы'(£,т)соб ^^П—6%С!Т1, 1т р )3 0 0 I т
4 т3 ...е . г ■ пр .... -—ггi \%(%Т)СОБ—хб\п—dXdт. (рп) 00 | т
(14)
-г I /п 1\ Г 2 ,рх . I
Так как соб—х - ортогональная система в L2(0,l) и \ соб2—бх = — , то, по неравен-
ству Бесселя, имеем
,=1 п=1
, =1 п=1
,=1
п=1
у V,=1 ,=1 у
, =1 п =1
е„ г,
,=1 п=1
,=1 п=1
х
,=1 п=1
,=1
т
3
I
х
п
13
" I |2 2 ' I |2 " I I2 2 — |2
Ек* £т1к'(х,у) Ек' £—||к'(х,У) ^<-
к=1 ' 0 *=1 — О
т.е. ряд ЕЕ(|кк'Г +|кТ) сходится.
к=1 п=1 ^ '
Тогда, с учетом (14) и неравенства Коши-Буняковского, имеем
/3
Е *2 к = Е *2
к=1 к=1
ЕЕ *2 к=ЕЕ *2
к =1 ... |2 \
р'и3 /3
к
ж3*
-к
/2 ^ 1, ж *=1 *
< .Л Е-I
< ж2 Е *1
/ 2 " 1 » <"2(Е + Ек ) <¥ ,
ж *=1 * *=1
/2 - 1 - 2 < + Ек ) <¥,
ж * = 1 * * = 1
т.е. ряд ЕЕ (к 2 + п2 )(к;|2 + |кП'|2)
*=1 п =1
сходится.
Отсюда следует, согласно признаку равномерной сходимости функционального ряда,
абсолютная и равномерная сходимость рядов Е " ""
Теорема доказана.
* =1 91
Е9 * к 9х2
ЕЕ
Ь 9х 29г'
Список литературы:
1. Аблабеков Б.С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений. - Бишкек: Илим, 2001. - 181 с.
2. Аблабеков Б.С. Фундаментальное решение задачи Коши для двумерного уравнения фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде // Известия КГТУ им. И. Раззакова. - Бишкек, 2009. - № 9. - С. 8-101.
3. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 852-864.
4. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа [Текст] / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: Физматлит, 2007. - 736 с.
* =1
