Многомерная задача Дирихле для одного класса сингулярных гиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517-956

МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИНГУЛЯРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

MULTIDIMENSIONAL DIRICHLET'S PROBLEM FOR ONE CLASS SINGULAR HYPERBOLIC EQUALIZATIONS

С.А. Алдашев S.A. Aldashev

Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Казахстан. Kazakh National Pedagogical University named after Abai, Almaty, Kazakhstan.

E-mail: Aldash51 @mail.ru

Аннотация. На плоскости было показано, что одна из фундаментальных задач математической физики - изучение колеблющейся струны некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области. Как показано далее, задачи Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений.

В работах автора изучена задача Дирихле для линейных многомерных гиперболических уравнений, где показаны корректность этой задачи, существенно зависящая от высоты рассматриваемой цилиндрической области.

В данной статье для одного класса сингулярных гиперболических уравнений доказано разрешимость и получен явный вид многомерной задачи Дирихле.

Resume. It has been shown in a plane that one of fundamental problems of Math Physics, i.e. studying the behavior of a hesitating string, is not correct when boundary conditions are given on the whole boundary of the domain. As it is shown below, Dirichlet problem is incorrect not just for a wave equation but for general hyperbolic equations.

In works of author the Dirichlet's problem is studied for linear multidimensional hyperbolic equalizations, where shown correctness of this task, substantially depending on the height of the examined cylindrical area.

In this article for one class of singular hyperbolic equalizations solvability is well-proven and the obvious type of the multidimensional Dirichlet's problem is got.

Ключевые слова: многомерная задача Дирихле, сингулярные гиперболические уравнения, разрешимость, система уравнений.

Key words: multidimensional Dirichlet's problem, singular hyperbolic equalizations, solvability, system of equalizations.

1. Постановка задачи и результат

Пустьd - конечная область евклидова пространстваЕт+1 точек (Xlхт,t) в полупространстве t > 0 , ограниченная конической поверхностью TE : t = p(r) , p(s) = p(1) = 0,

p(r) e С 3((s,1)) П C1 {s,lj, |p'(r) |< 1 и гиперплоскостью t = 0, где r = x | - длина вектора

x = (x1,...,xm), m > 2,0 <s< 1.

Пусть далее SE - множество {t = 0, s < r < 1} точек из Ет •

В области d рассмотрим многомерное сингулярное гиперболическое уравнение

m а Lu = Axu - utt ai (x, t*)ux + b(x, t)ut--ut + c(x, t)u = 0, (1)

/=1 ' t

где Ax- оператор Лапласа по переменным xi,..., xm , а а - действительное число.

Через ua обозначим решение уравнения (1) при данном а . Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения (1).

Задача О. Найти в области D решение уравнения (1) , удовлетворяющее краевым условиям

u„

= т(х), u

Ua

ln t

S>

= <x),

ta-1u

S.

= T(x) , ua

при a < 1,

s

= ^(x) при a = 1 ,

(2)

(3)

(4)

т г / при а > 1.

Т £

Отметим, что эта задача при а — 0 изучена в [1-3] . В дальнейшем нам понадобится связь декартовых координат Х^,...,Хт со сферическими

гДг,0<в<2ж,0<в1<ж,i — 2,...,m-1 .

Пусть пт (в)}- система линейно независимых сферических функций порядка п,1 < к < кп,

(т - 2)п\кп —{п + т - 3).{2п + т - 2),в — (вх..,вт_х), ^ &), I — 0,1,... -

пространства Соболева.

Лемма 1 ([4.С.147]). Пусть f (г,в) е ). Если I > т -1, то ряд

f М) = Ц fk (r К 0),

(5)

n=0 k=l

сходится абсолютно и равномерно.

Лемма 2 [4.С.150]. Для того, чтобы f (r0)e W2l (Ss ), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (5) удовлетворяли неравенствам

I / \l J^ kn. , ,9

\f0 (r )< C, YZ" (r) < , Q, c2 = const.

n=1 k=1

Через Tkn (r), fkn (r), <~!n (r> t), ai (r, t), bkn (r, t), ckn (r, t), pkn обозначим коэффициенты разложения ряда (5) соответственно функций r(r,0), \y(r,6), (r,0, t^)p(0), atpt (в)р , p = -L,

' r

b(r,0,t)p, c(r,0,t)p, p(0), i = !,■■■,m . Введем множество функций

MS (Ss) = \f (r,0): f eWl (S.), ZZZZ (11 f"k (

n=0 k=1

k'r ^ C Sds.,^» fk (' 2

(rIICs..((s.i))^J'(exP 2"2 У 2

< да

j 3m ^ 1 I

l >—, s = 0,1,...! 2 I

Через Н£ обозначим проекцию области D£ на плоскость (г, ^). Пусть р > 0 - наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенствам а + 2р > т -1, если а < 0 и 2 -а + 2р > т -1, если а > 2; q > 0 - наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенствам 2 -а + 2q > т -1, если 0< а < 1 и а + 2q > т -1, если 1 < а <2; а также «, такое,

а~\ Га Л

— если а < 0 и 5 —--1 , если а > 2, где Га1 -целая часть числа а .

2 ] 12 ] 1 -1

Если а, (г, в, X), Ь(г,в, X), о(г,в, X )е^2 (Ов), г — 1,2,..., т , I > т -1, то имеет место

что s =

Теорема. Пусть т(г,в)е Mlp(Ss), ^(r,0)e (SB), при a< 0 и a> 2; r(r,0), ¥(r,e)e Mlq+1 (Ss) при 0< a < 1 и 1 <a <2, p = max{s +1, p}. Тогда задача D имеет решение

в классе

W2l(Ds)nC2(De), при a <1 и W2l(Ds)nC2(Ds)П(d. \Ss) при a> 1 , l > m-1.

Т

s

k

да

2. Доказательство теоремы

В сферических координатах Г, в1,...,вт—1, г уравнение (1) имеет вид

т -1 1 т а

Ьи = игг н--щ —у8и -иа + Аа(г, в,¡)их + Ь(г,в,г)щ--Щ + с(г,в,г)и = 0, (6)

г г ^ ' г

, (sinm-j1 в,—), g = 1, g, =(sin0i...sin0f-i)2, j >1 •

inm-j—1в дв j дв. g1 j 1 j

где £ = —V-

j=1 gj sin ~j~~j -j

При этом известно ([4]), что спектр оператора 8 состоит из собственных чисел Хп = п(п + т — 2), п = 0,1,...,каждому из которых соответствует кп ортонормированных соб-

Г^т (в), к = 1А .

Так как Ыа £ Ж2 ), I > т — 1, то в силу леммы 1 она разложима в ряд

ственных чисел

ua(r

^ ,vn

м, t )=vv<n (r, t Y,m (в).

(7)

n=0 k=1

Подставим (7) и (6). Затем полученное выражение умножим на р(в)ф 0 и проинтегрируем

Г к

по единичной сфере Г из Ет. Тогда для иа п получим ряд

P11Ua,orr P1Ua,ott +

m —1

^ ap0 1 1 1

a, or 1 b0ua,ot " Ua,ot + C0Ua,0 +

p1+V a<o + < or+b0< ot-

¿=1

t

+

vv \p.

f

kuk — pkuk „ +

n a,nrr rn a,ntt

n=1 k=1

Л

m 1 U ^^ b- Jr 1 Jr Jr к а Ь

-Pn +V ^ ua, nr + bkUkant — Pk„-Ukan nt + (8)

V r ¿=1 У t

+

A PV (~* — nak) uk }= 0.

n 9 / i \ ¿n—1 ¿n f a,n)

Ck —

n '"n 2

r ¿=1

Здесь мы использовали тот факт, что ([4])

С (в)= C0nst ^ (e)=dQ

dx; dx.

ПР'-

(в), Й (х) = гп

^п т (в) — гармоническая функция от

дОк

x, причем

dx.

есть т - мерная сферическая функция ^П—(в) порядка п — 1.

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

11 11 m 1 11 a 11 r\

P0ua,orr — P0ua,ott +-P^a.or " P^a.ot = 0 '

Г t

к к к 1 , m — 1 к к a к к , \ к к

P1 ua,1rr — P1 ua,1tt +-P1 ua,1r — ~ Pl ua,1t Pl ua,1 =

r t r

1

(9)

(10)

=--IVa1 u1 + b1u1 ,+ ^u1 I,n = 1,к = 1,к ,

» / . o a,or o a,ot o a,o P ' ' n'

к1 V '=1 У

^k k PnU

m 1 ^ k a k k ,AnKk

.. ...... + PnUa,nt +

r t r2

1 kn—1

k k m_1 k k k k ,ZnLr,k,,k -__л*

a,nrr rn a,ntt rn a,nr . rn a,nt Pn ua,n = jV}V "¿n—1

kn k=1 l ¿=1

+ bk uk ,. +

a,n—1r n—1 a,n—1t

+

m t \

1 +VK—2 — (n — )

Cnk. +

(11)

ua,n—1 k = 1, kn, n = 2,3,... .

Нетрудно показать, что если \иа п }, к = 1,кп , п = 0,1,2,... —решение системы (9)—(11), то оно является и решением уравнения (8).

Далее из краевых условий (2)-(4) для функций ика п (г, г) с учетом леммы 1 будем иметь

m

r

V

r=1

r =1

m

ulo(г,о) = т\(г), Ula,0 (г, р(г)) = у/1о (г), а <1, (12)

uka,nго) = Ткп (г),ukan(г,(Р(г)) = щк (г), к = 0 кп,n = 0,2,..., а <0, (13)

к

U

а,п

ln t

= тЩ (г), uka пп (г, (р{г)) = ¥l (г), к = 0, кп, п = 0, 0,2,..., а = 0, (14)

t=0

а,п1,_п ''пУ/' а,п\ >rv // -г п

где п (г, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом /а^ (г, t) = 0.

а1ик.\__о — тк(г),икап(г,(({г)) — ¥'к (г),к — 1 кп ,п — 0,1,2,..., а >1. (15)

Таким образом, задача Б сведена к системе задач Дирихле в области Н для уравнений (9)-

(11).

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9)-(11) можно представить в виде

Ь ик = ик -ик „+ ик -аик ,+^ик — /к (г,г), к — 1,кп,п — 0,1,..., (16)

а а,п а,пгг а,пп а,пг J а,пь 2 а,п л а,п\ ' / п

г t г

^^^........^ (

Теперь приведем некоторые свойства оператора Ь а, которые необходимы для исследования задачи Дирихле.

1. Если иа - решение уравнения Ьаи а — 0, то функция

а-\

и2-а= t иа (17)

является решением уравнения ^2_аМ — 0. 2. Оператор Ьа - обладает свойством

ьаиа— t ^(^Ч). (18)

Указанные свойства устанавливаются аналогично тому, как они были доказаны для уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона ([5])

ОС

Ахи - иа--и, — 0. (19)

Наряду с уравнением (16) рассмотрим уравнение

т-1 и* +^пк -*к

щк = ик -ик + т 1 ик +^ик — Гк (г г), к — 1,к ,п — 0,1,... (20)

^0и0,п = и0,пгг и0,па ^ и0,пг Т 2 и0,п J 0,п У , V' ' п' ' ' V ^

, , , г г ,

Имеет место следующая функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (16) и (20).

Утверждение 1. Если и^ (г, t) ,-решение задачи Коши для уравнения (20), удовлетворяю-

д/

щее условию и0'п (г,0) = 0,

-u2к (г,0) = g(г), то функция

0 . а а

2акп(г,t) = y_J-а\utf(г,^-еУ2 0d^r-аП-а)»??utf(г,t) (21)

при а <0 будет решением уравнение (16), удовлетворяющее условию

и2>кп{г,0) = 0, limи2П = g(r). (22)

Если же 0 < а <0, то функция

и % (r, t) = y2_k+2q [11]q t-+2q j ui;k„ -е )q-f de

У2-а+2,2q -1Г (q— + 1)D^

а ( и £ (r, t)>

t

a (a +1

2 ya =

является решением уравнение (16) с начальными данными (22), где 4ЖГ , а

V2) V 2 ,

Г (г) -Гамма-функция, -оператор Римана - Лиувилля, а ы^ (г, г) - решение уравнения (20) с начальным условием

(Г,0)=(1 — аХз —'Я +1 —а) ■ & (г,0)= 0.

При этом функции /ап (г, г) и (г, г) связаны по формуле (21), при а <0, и по формуле (23) при 0 < а < 1.

Справедливость утверждения устанавливается аналогичным образом, как это доказано для уравнений (19) и многомерного волнового уравнения в [6,7].

Теперь переходим к решению задачи Дирихле для уравнения (16). 1) Случай а <1. Сначала решим задачу (9), (12). Ее решение будем искать в виде

и1,0 = Ы 1,0 н и2,0 , где иа,0

u °,J0 + u , где u °;,0 (r, t) - решение задачи Коши для уравнения (9) с данными

u°',o (r,0) = T°1 (r), du110 (r,0) = 0, (24)

dt

а u J0 (r, t) - решение задачи Дирихле для уравнения (9) с условием

uä (r, t)= 0, u2,,0 (r, ppr)) = vi (r) — u^ (r, p(r)), s < r < 1 • (25)

Пусть U a 1 (x, t) - решение задачи Коши для (19) с данными

Ua,1(x,0)=^(x), д u a 1 (x, 0) = 0 • dt

Тогда и силу леммы 1 и u eW„(Ds), l > m — 1 нетрудно найти решение задачи (19), (24) u a 0 (r, t) в виде (7).

Учитывая формулы (21), (23) а также обратимость оператора D^ ([5]) задача (19),(25) сводится к задаче Дирихле для уравнения Lu^o = 0 с условием u0'0 (r,0) = 0, u^1 (r, p(r)) = V 0 (r) • Она однозначно разрешима в классе c(h s)n C(Hs)([3]).

Далее, решив задачу (10), (13) (n = 1), а затем (11), (13) n = 2,3,..., найдем все u kan (r, t ) = 0, к = 1,кп, n = 0,1,... •

2) Случай a = 1. Сначала решим задачу (9), (14), при n = 0, к = 1 и ее решение будем ис-

кать в виде и|0 = и°д + и12'01, где и12'01 (г, г) - решение уравнения (9) с данными и1'° = Т1 (г), а

, , , , 1п г 10

и^о (г, г) - решение краевой задачи для (9) с условием

д u1; 1 (r,0) = 0, ui;0 (r, p(r)) = v0 (r)—u* (r, p(r)), s < r < 1. (26)

Пусть и 2(х,г)- решение уравнения (19) с данными пт= т(х) из [8]. Тогда в силу 1,2 1п г

леммы 1 и иа £ ж/ (О )' I > т — 1, нетрудно найти и^1 (г, г) в виде (7).

Аналогично случаю а <1 задача (9), (26) сводится к краевой задаче для уравнения Ь0и°,10 = 0 с данными — и1'1 (г.°) = 0, и]1\ (г,р(г)) = ^° (г), которая в свою очередь решается единственным образом, как и задача (7), (8) в [2].

Аналогично решаются задачи (10), (14) (п — 1) и (11), (14) (п — 2,3,...). Следовательно, найдены все и*п (г, t), к — 1, кп , п — 0,1,... .

В силу свойства (18) оператора Ьа , а также с учетом формулы (17) задача (16), (15) сводится

к исследованному случаю а <1.

Таким образом, показано, что

\р{в)ЬиёГ — 0. (27)

Г

Пусть /(г, в, ^) — я(г)р{вуг(г), причем я(г)-плотна в ь2 (V + е,1 -1), Ррв) е С)- плотна

в ь2 (Г), а плотна в Ь2 (0, (1 - £)/ 2). Тогда f (т, в, X) -плотна в Ь2 (Ц) . Отсюда и из (27) следует, что

/ f (г, в, X)ЬиСЦ — 0 и Ьи — 0, V(г, в, Г)е ЦЕ.

ц,

Учитывая лемму 2, ограничения на заданные функции т(г, в), \у(г,в) и на коэффициенты уравнения (1) можно показать аналогично тому, как это было доказано в [2], что полученное решение и(г, в, t) задачи Б в виде (7) принадлежит искомому классу.

Список литературы References

1. АЫаэЬеу S.A. 1995- On the correctness of Dirichlet problem for multimeasural wave equation and equation of Lavrentiv- Bitsadze. Reports of the National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan, Nol :35-37.

2. Алдашев С.А. 1996. О корректности задач Дирихле для многомерных волнового уравнения и уравнения Лаврентьева- Бицадзе. Укр. Мат. журн. , 48( 5) : 701-705.

Aldashev S.A. 1996. Oh Dirichlet correctness task mnogomernix volnovogo equation and the equation La-vrenteva- Bicadze. Ukrainian . Matt . Zh ., 48 (5): 701-705. (in Russ).

3. Алдашев С.А.2014. Кооректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения. Укр. Мат. Журн., 6(10): 1414-1419.

Aldashev S.A. 2014. Correctness of Dirichlet and Poincare problems in a multidimensional area for wave equalization. Ukrainian math journal., 6(10) : 1414-1419. (in Russ).

4. Михлин С.Г. 1962. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнение. М., Физма-тгиз, 254.

Mikhlin S.G. 1962. Multidimensijnal singular integrals and integral equations. M.: Physmathgiz., 254 (in

Russ).

5. Weinstein A. 1954. On the wave equation and the equation of Euler- Poisson. The Fifth Symposium in applied Math. MCGraw. Hill . New York : 137-147.

6. Терсенов С. А. 1973. Введение в теорию уравнений, выраждающихся на границе. Новосибирск:, НГУ, 94 с.

Tersenov S.A. 1973. Introduction to the theory of equations confluent on the boundary, Novosibirsk , NGU, 94 (in Russ).

7. Алдашев С. А. 1994. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы, Гылым, 170.

Aldashev S.A. 1994. Boundary value problems for multidimensional hyperbolic and mixed equations. Almaty, Gylym, 170 (in Russ).

8. Blum E.K. 1954. The Euler - Poisson - Darbux equation in the exceptional cases. Proc. Amer . Math Soc., 5(4) : 511-520.