CC BY
22
{.'С„}^=0 С C([0,d\, Е), определенная равенством
Xn(t) = емх0 + [ eA{t~s)fn(s) ds,
J о
сходится KiB пространстве С([0, d], Е).
Теорема. Если оператор А и отображение F удовлетворяют условиям (A), (F1)-(F3), то множество обобщенных решений «овыпупленной» задачи (2) совпадает с множеством квазирешений задачи (1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Kamenskii М., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl. 7, Walter de Gruyter, Berlin-N.Y., 2001.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-01-00324, Министерства образования и науки РФ, грант N2 Е02-1.0-212, НИР темплана 01.002.2.
О РАЗРЕШИМОСТИ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПРОИЗВОЛЬНОМ НОРМАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ
© А.Ю.Сазонов
Пусть К"+1 полупространство у > 0 точек х = (ц,..., хп, у) = {х',у) евклидова (п + 1)-мерного пространства Кп+1. С+ и Г2+ - ограниченные (п + 1)-мерные области, расположенные в Кп+1 и прилегающие к гиперплоскости у = 0. Через Г° обозначим часть границы области Г2+, лежащей на гиперплоскости у = 0, а Г+ - замыкание оставшейся части границы. Через (¿г обозначим (п + 2)-мерный цилиндр, равный произведению Г2+ х (0 < Ь < Т). В работе рассматривается вопрос о разрешимости в классическом смысле краевой задачи:
|- Lu = f(x, t), (х, t) Є QT, и(х, 0) = р(х), = ^{x),x Є Г2+,
u(x,t) I
Г+ x (0,T)
__ гч du(x,t)
- и> ду
а)
Г°х(0,Т)
= 0.
Здесь (р(х), 'ф(х) и /(х, ¿) - заданные функции, определенные в областях и (¿т соответственно,
Ь - определенный в области С+, дифференциальный оператор Б-эллиптического типа [1]:
71 А
у JL
^ дХг
i,j= 1
j(x)
_д_
дх.
д2 к д
-I- + - • — + с{х),с{х) < 0, к > 0.
ду2 у ду
(2)
Общее решение задачи (1) представимо рядом Фурье
i{x,t) = У'vp(x) р= 1
(Рр COS -
I
л/аpt + sin л/Лpt + —-!== [ /р(г) sin л/\р (t - т) dr
у Лр \/Лю J
\/\>
(3)
в котором 11р{х) - собственные функции, а Лр - соответствующие собственные значения краевой задачи:
ду
Ьу + Хи = 0, х £ $7+, г>|Г+= 0, —
ду
г°
Через (рр, фр и /р(т) обозначены коэффициенты Фурье разложения функций <р(х), ф(х) и /(ж, ¿) по системе {г)р(ж)}. Обозначим через Ву = -щр + | к > 0 дифференциальный оператор Бесселя и через [а] целую часть числа а.
Теорема. Пусть П+ - произвольная нормальная область, содержащаяся вместе с частью границы Г+ в открытой области С+ и Г+ составляет с гиперплоскостью у = 0 угол, равный 11 12-Коэффициенты оператора Ь, начальные функции <р{х), 1р(х) и правая часть /(ж, ¿) удовлетворяют следующим требованиям:
1) а^(х) и с(х) удовлетворяют условиям В-эллиптичности и условию с(х) < 0 в области С+. а^(х) имеют непрерывные производные до порядка [и+^+1 ] + 2, а коэффициент с(х) - до порядка [п+2+1] +1 к, кроме того,
д1а^(х)
_ п 91с(х)
Го ’ ду‘
= 0, 1 < I <
г°
п + к + 1
-1;
ду1
Г п + *е + 1 1 | ^ ^ Г тг + ^ + 11 | о Г ^п
2) <р £ Щ 2 1 (П+),ф € Щ 2 (^+) и, кроме того, <р, Ь^р,... ,1л 4 1(р и функции
ф,Ьф,... ,1\ +4+ }ф принадлежат пространству Н\(£1+)',
Гп±*±11^.2 Г п + Лг+З 1
3)/ € Щ J {Ят) и, кроме того, /, 4 принадлежат пространству
Щ (<ЭТ).
Тогда ряд (3) и ряды, полученные однократным и двукратным почленным дифференцированием ряда (3) по t, сходятся равномерно во всем замкнутом цилиндре С}т, а ряды, полученные дифференцированием вида ^7, 9х9дх., Ву ряда (3) сходятся равномерно в любой строго внутренней
подобласти С}т- При этом сумма ряда (3) определяет классическое решение задачи (1).
о
Весовые функциональные пространства И.А. Киприянова Н1(П+), 1Ц. {С}т) введены и изучены в работе [2]. Сформулированная теорема имеет своим классическим аналогом соответствующую теорему В.А. Ильина [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Киприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1964. Т. 158. № 2. С. 275-278.
2. Киприянов И.А. Преобразования Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 89. С. 130-213.
3. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений // УМН. 1960. Т. 15. Вып. 2. С. 97-154.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-01-00324, Министерства образования и науки РФ, грант № Е02-1.0-212, НИР темплана 01.002.2.
