О существовании и единственности классического решения смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка, содержащего оператор Бесселя по части пространственных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, СОДЕРЖАЩЕГО ОПЕРАТОР БЕССЕЛЯ ПО ЧАСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

© А.Ю. Сазонов, Ю.Г. Фомичева

Установлены достаточные условия на границу области, правую часть и начальные функции, при которых смешанная задача для гиперболического уравнения, содержащего оператор Бесселя, имеет единственное классическое решение.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, оператор Бесселя, метод Фурье, пространства И.А. Киприянова.

Пусть И++т = {х = (XI,...,Хп,У1, ...,Ут) = (Х,У') Е И++т : Уг > 0,г = 1,т} ,

П+ - область в К++т, ограниченная гиперплоскостями Г0 : уг = 0 (г = 1,т) и произвольной поверхностью типа Ляпунова Г+, образующей с гиперплоскостями Г0 : уг = 0

П

Бу. = —2 +—“—, к- > 0, ау = а-у(х'), Ьі = Ьі(х'), с = с(х') - заданные функции, такие,

углы, равные ^

п д ( д \ т

В области П+ рассматривается оператор Бу = ^ —— I а^ —— I + ^ ЬгБУ1 + с, где

г,3=1 дХг \ дХ3 / г=1

дд2_ к _д_

дУ2 + Уг дУг

что с(х') ^ 0, и выполнено условие Б- эллиптичности:

существует 8 > 0 такое, что для любого ненулевого а = (а1 ,а2, ...,ап+т) имеет место

п т

неравенство ^ а^ага^ + ^ ЬгаП_+г ^ 8\а\2.

%Л=1 г=1

В настоящей работе изучается вопрос о разрешимости в классическом смысле смешанной задачи для сингулярного гиперболического уравнения вида:

д 2и

- Бу, и = !, (1)

т2

дu

u|t=0 = V вї

= Ф, (2)

t=0

д u(x,t)

u(x,t)\r+x[0,T] = 0,

= 0, (3)

r?x[0,T ]

дУ

V(x), Ф(x), f (x,t) - заданные функции, x Є П+, (x,t) Є П+ x [0,T] , T = const > 0

i = 1,m.

Общее решение задачи (1)-(3) представимо рядом Фурье

u(x,t) = YJ vp(x) l ifip cos л/Xpt + ^!— sin л/Xpt +--= ffp(r)sin /\>(t — t)drj, (4)

р=1 у V*p 0 J

где vp(x) - собственные функции, a Xp - соответствующие собственные значения краевой задачи

By,v(x) + \v(x) = 0, x E П+ (5)

dv(x)

v(x)\r+ = 0

= 0, i = 1, m, (б)

Уі=0

дУ

через фр и /р(т) обозначены коэффициенты Фурье разложения функций <^(х), ф(х) и

/(х,і) по системе собственных функций {гр(х)}.

Теорема 1. Пусть коэффициенты оператора Бу, и функции р(х), ф(х), f (х, і) удовлетворяют условиям:

1) в замкнутой области П+ функции а^ (х') имеют непрерывные производные до порядка + 2, а функции Ъг(х') и с(х') - до порядка + 1, где к = |^ra+m+fcl+•••+fc^ - целая

п +1т -4- £>1 -1-

часть числа —

2 ’

2) Ф Е Нк+1,кт (^+), ф Е Нк+1,кт (П+) и> кроме того> Ф, ВУ' Ф,---,ВУ 1 ф, ф,

0 1

Ву, ф,... , Ву ф принадлежат пространству Н к1 кт (П+), где I = \[™+т+к1++--+кт+4^ ,

о 1

г = [га+т+к1+-.+кт+^ ; нк1>_>кт (^+), Н1 кт (П+) - весовые функциональные пространства И. А. Киприянова, определенные в [2], [3];

3) f Е Н^+т (П+ х [0,Т ]) и, кроме того, функции /, Ву,/,..., Ву, f принадлежат

о 1

пространству Нк1 кт (П+ х [0,Т]).

Тогда ряд (4) и ряды, полученные однократным и двукратным почленным дифференцированием по t ряда (4), сходятся равномерно во всем замкнутом цилиндре П+ х [0,Т], а ряды диХ ^, Byi u(x,t), полученные однократным и двукратным почленным дифференцированием ряда (4) по xi, сходятся равномерно в любой внутренней подобласти цилиндра П+ х [0,Т]. При этом сумма ряда (4) определяет классическое решение задачи

(1)-(3).

Теорема 2. Если область П+ и коэффициенты оператора By, допускают существование полной ортонормированной системы классических собственных функций краевой задачи (5)-(6), то существует только одно классическое решение смешанной задачи (1)-(3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений // УМН. 1960. Т. 15. Вып. 2. С. 97-154.

2. Киприянов И.А. Преобразования Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 89. С. 130-213.

3. Киприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным уравнением Бесселя // ДАН СССР. 1964. Т. 158. С. 275-278.

4. Сазонов А.Ю., Фомичева Ю.Г. О свойствах весовых потенциалов для одного класса B-эллиптических операторов // Вестн. Удмурт. ун-та, 2008. Вып. 2. С. 126-128.

Поступила в редакцию 15 ноября 2008 г.

There are found the sufficient conditions on the region boundary, right-hand side of equation , and initial functions, under which the mixed problem for the hyperbolic equation containing the Bessel operator has a unique solution.

Key words: hyperbolic equation, Bessel operator, Fourier method, I.A. Kupriyanov space.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ilyin V.A. On solvability of mixed problems for hyperbolic and parabolic equations // UMN. 1960. V. 15, №. 2. P. 97-154.

2. Kipriyanov I.A. Fourier-Bessel transformation and enclosure theorems for veight classes. // Works. MIAN USSR. 1967. V. 89. P. 130-213.

3. Kipriyanov I.A. On edge problems for partial derivates with Bessel differential equations

// DAN USSR. 1964. V. 158. P. 275-278.

4. Sazonov A. Yu, Fomicheva Yu.G. On properties of veight potentials for one class of

B-elliptic operators // Mess. of Udmurt. Un-ty, 2008. № 2. P. 126-128.